Chủ đề 5. Đạo hàm của hàm số

Tài liệu hệ thống kiến thức cơ bản, phân dạng bài tập chủ đề ĐẠO HÀM trong chương trình Toán 11.Cụ thể: Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm hàm số lượng giác; Ứng dụng của đạo hàm; Đạo hàm cấp cao.

 Học, học nữa, học mãi! “Khơng có việc khó Chỉ sợ lịng khơng bền Đào núi lấp biển Quyết chí làm nên” A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa đạo hàm Đạo hàm cấp cao Ý nghĩa đạo hàm Chủ đề ĐẠO HÀM Quy tắc tính đạo hàm Vi phân Bảng đạo hàm Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x0  (a; b): (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)) f ( x )  f ( x0 ) y f '( x0 )  lim  lim x  x0 x 0 x x  x0 Chú ý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục điểm  Học, học nữa, học mãi! Ý nghĩa đạo hàm Ý nghĩa hình học: + f (x0) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M  x0 ; f ( x0 )  + Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M  x0 ; y0  là: y – y0 = f (x0).(x – x0)  Ý nghĩa vật lí: + Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t) thời điểm t0 : v(t0) = s(t0) + Cường độ tức thời điện lượng Q = Q(t) thời điểm t0 là: I(t0) = Q(t0) Qui tắc tính đạo hàm  Đạo hàm tổng, hiệu:  Đạo hàm tích: (u  v)  u  v (uv)  uv  vu (ku)  ku  u  uv  vu  Đạo hàm thương:    (v  0) v v2   v Đặc biệt:    v v Đặc biệt:  Đạo hàm hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm x ux hàm số y = f(u) có đạo hàm u yu hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x là: yx  yu.ux  Học, học nữa, học mãi! Đạo hàm số hàm số  (c) = (Với c số) n N   (xn) = n.xn–1   n     (sin x) = cos x   tan x    cos2 x sin u( x ) sin x  (với  lim  1; lim x  x0 x 0 u( x ) x  (x) =   x   x  (cos x) = – sin x   cot x     sin x lim u( x)  ) x x0 Vi phân  dy  df ( x)  f ( x).x  f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 ).x Đạo hàm cấp cao  f ''( x )   f '( x ) ;  f '''( x )   f ''( x ) ;  f ( n ) ( x )   f ( n1) ( x ) (n  N, n  4) Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t0 a(t0) = f(t0) B BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa ta thực bước: Bước Giả sử x số gia đối số x0 Tính y = f(x0 + x) – f(x0) y Bước Lập tỉ số : x y Bước Tính lim x 0 x  Học, học nữa, học mãi! Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số y  f ( x)  x  x  định nghĩa x0  Giải Giả sử x số gia đối số x0  Ta có: y  1  x   1  x      x   4x 2 y  x  x y y ' 1  lim  lim  x    x 0 x x 0 Bài Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y  f ( x )  x  x  x0  2x  x0 = x 1 Bài Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: a) f ( x)  x  3x  điểm x b) y  f ( x )  b) f ( x )  x ( với x  ) c) f ( x )  ( với x  ) x VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm cơng thức Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) cơng thức ta sử dụng qui tắc tính đạo hàm bảng đạo hàm Các công thức, quy tắc trình bày phần lý thuyết đề nghị xem lại Chú ý: Qui tắc tính đạo hàm hàm số hợp Bài Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  x  x  x  b) y  x  3x  3 c) y  ( x  2)(1  x ) d) y  2x  2x  1 e) y  f) y  x   3x x  Học, học nữa, học mãi! Bài Tính đạo hàm hàm số sau (Hàm hợp) a) y  ( x  x  1)4 c) y  x.cos2 x b) y  x  x    d) y  sin  x   3  Bài Tìm x để hàm số y  x  3x  a y’= b y’ > VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số Dạng Phương trình tiếp tuyến điểm M(x0, y0)  (C ) là: y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) (*) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: + Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm Ta có: f ( x0 )  k (ý nghĩa hình học đạo hàm) + Giải phương trình tìm x0, tìm y0  f ( x0 ) + Viết phương trình tiếp tuyến theo cơng thức (*) Chú ý Nhắc lại: Cho (): y = ax + b Khi đó: + (d )  ()  kd  a a *Dạng Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) qua điểm A(x1, y1) cho trước (Nhiều năm không xuất đề thi Tốt nghiệp THPT) + Gọi (x0 , y0) tiếp điểm (với y0 = f(x0)) + Phương trình tiếp tuyến (d): y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) (d) qua A ( x1 , y1 )  y1  y0  f '( x0 ) ( x1  x0 ) (1) + Giải phương trình (1) với ẩn x0, tìm y0  f ( x0 ) f '( x0 ) + Từ viết phương trình (d) theo công thức (*) + (d )  ()  kd   Ví dụ : Cho hàm số (C): y  f ( x )  x  x  Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm thuộc (C) có hồnh độ x0 = b) Song song với đường thẳng (d) : 4x – 2y + =  Học, học nữa, học mãi! Giải a) Theo ta có: x0  suy y0  y '  x  suy y ' 1  2.1   Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) x0  y   x  1  hay y = b) Theo ta có: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) nên ta có x0 nghiệm phương trình y '   x    x  Với x0  suy y0  Phương trình đường thẳng (d): x  y    y  x  Vậy phương trình tiếp tuyến là: y   x    hay y  x   x  x2 Bài Cho hàm số y  f ( x )  (C) x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2; 4) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết hệ số góc k = 3x  Bài Cho hàm số y  f ( x )  (C) 1 x a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; –7) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y  x  100 c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : 2x + 2y – = ... biệt:  Đạo hàm hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm x ux hàm số y = f(u) có đạo hàm u yu hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x là: yx  yu.ux  Học, học nữa, học mãi! Đạo hàm số hàm số  (c)... với x  ) x VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm cơng thức Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) công thức ta sử dụng qui tắc tính đạo hàm bảng đạo hàm Các công thức, quy tắc trình bày phần lý thuyết đề nghị xem lại... BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa ta thực bước: Bước Giả sử x số gia đối số x0 Tính y = f(x0 + x) – f(x0) y Bước Lập tỉ số : x y