Chủ đề 1. Hàm số lượng giác

Tài liệu hệ thống kến thức cơ bản, phân dạng bài tập chủ đề Hàm số lượng giác. Phương trình lượng giác thuộc chương trình Đại số 11: Các hàm số lượng giác cơ bản; Phương trình lượng giác cơ bản; phương trình lượng giác thường gặp.

sin tang CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC §0 ƠN TẬP A LÝ THUYẾT T Định nghĩa giá trị lƣợng giác OP  cos a OQ  sin a AT  tan a BT '  cot a B Q T' cotang M a Nhận xét:  a,   cos a  1;   sin     tana xác định a   k , k  Z , O cosin p A  cota xác định a  k , k  Z Hệ thức bản: sin2a + cos2a = 1;  tan2 a  cos a Cung liên kết: Cung đối tana.cota = ;  cot a  sin2 a Cung bù cos(a)  cos a sin(  a)  sin a sin(a)   sin a cos(  a)   cos a tan(a)   tan a tan(  a)   tan a cot(a)   cot a cot(  a)   cot a Cung p Cung Cung phụ   sin   a   cos a 2    cos   a   sin a 2    tan   a   cot a 2    cot   a   tan a 2  Bảng giá trị lƣợng giác góc (cung) đặc biệt 0 0 30 45 0 60 90 0 120 135 0 180 270 360 sin –1 cos –1 tan –1 cotg –1 0 Công thức cộng Công thức nhân đôi: Hệ quả: sin2a = 2sina.cosa cos2a  cos2 a  sin2 a  cos2 a    2sin2 a tan 2a  Công thức hạ bậc: tan a  tan2 a ; cot 2a  cot a  cot a Công thức nhân ba: a Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan : 2t a Đặt: t  tan (a    2k ) thì: sin a  ;  t2 cos a   t2 1 t ; tan a  2t  t2 10 Cơng thức biến đổi tổng thành tích: sin(a  b) cos a.cos b sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b sin(a  b) cot a  cot b  sin a.sin b sin(b  a) cot a  cot b  sin a.sinb     sin a  cos a  2.sin  a    2.cos  a   4 4   ab ab cos 2 ab ab sin a  sin b  cos sin 2 ab ab cos a  cos b  cos cos 2 ab ab cos a  cos b   2sin sin 2 sin a  sin b  2sin tan a  tan b      sin a  cos a  sin  a     cos  a    4  4 11 Cơng thức biến đổi tích thành tổng:  cos(a  b)  cos(a  b) 2 sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b) sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  cos a.cos b  §1 HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ y  sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T   1, 1 ; hàm lẻ, chu kỳ T0  2 2 a * y = sin(ax + b) có chu kỳ T0  * y = sin(f(x)) xác định  f ( x ) xác định y  cos x : Tập xác định D = R; Tập giá trị T   1, 1 ; hàm chẵn, chu kỳ T0  2 2 * y = cos(ax + b) có chu kỳ T0  a * y = cos(f(x)) xác định  f ( x ) xác định   y  tan x : Tập xác định D  R \   k , k  Z  ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0   2   * y = tan(ax + b) có chu kỳ T0  a * y = tan(f(x)) xác định  f ( x )    k (k  Z ) y  cot x : Tập xác định D  R \ k , k  Z  ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0    * y = cot(ax + b) có chu kỳ T0  * y = cot(f(x)) xác định  f ( x )  k (k  Z ) a * y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 Thì hàm số y  f1( x )  f2 ( x ) có chu kỳ T0 bội chung nhỏ T1 T2 B BÀI TẬP Tìm tập xác định tập giá trị hàm số sau:  2x    x 1  a/ y  sin  b/ y  sin x c/ y   sin x d/ y   cos2 x   e/ y  tan  x     f/ y  cot  x   3    Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:   a/ y = 2sin  x    b/ y  cos x    4 d/ y  4sin2 x  4sin x  e/ y  cos2 x  2sin x  Xét tính chẵn – lẻ hàm số: a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x Tìm chu kỳ hàm số: b/ y  cos a/ y  sin x d/ y  sin x  cos x e/ y  tan x  cot 3x h/ y  cos2 x g/ y  2sin x cos3x ĐS: a/  b/  x c/  d/  e/  f/ 70  c/ y  sin x f/ y  sin4 x  cos2 x  c/ y = sinx + cosx f/ y = sinx.cosx c/ y  sin2 x f/ y  cos 3x 2x  sin i/ y = tan(3x + 1)   g/  h/ i/ Vấn đề Đồ thị hàm số lƣợng giác 1/ – – – – Vẽ đồ thị hàm số lƣợng giác: Tìm tập xác định D Tìm chu kỳ T0 hàm số Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần) Lập bảng biến thiên đoạn có độ dài chu kỳ T0 chọn: x   0, T0  – –  T T  x   ,   2 Vẽ đồ thị đoạn có độ dài chu kỳ Rồi suy phần đồ thị lại phép tịnh tiến theo véc tơ v  k T0 i bên trái phải song song với trục hoành Ox (với i véc tơ đơn vị trục Ox) 2/ Một số phép biến đổi đồ thị: a/ Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy đồ thị hàm số y = f(x) + a cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trục hoành a đơn vị a > tịnh tiến xuống phía trục hồnh a đơn vị a < b/ Từ đồ thị y = f(x), suy đồ thị y = –f(x) cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành c/ Đồ thị y  f ( x )   f ( x ), neáu f(x)  suy từ đồ thị y = f(x) cách giữ -f(x), neáu f(x) < nguyên phần đồ thị y = f(x) phía trục hồnh lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm phía trục hồnh qua trục hồnh Ví dụ 1: đồ thị hàm số y = f(x) = sinx – Tập xác định: D = R – Tập giá trị:  1, 1 – – y Chu kỳ: T = 2p Bảng biến thiên đoạn  0, 2  x y = sinx p x 2p –1 0 y 0 – Tịnh tiến theo véctơ v  2k i ta đồ thị y = sinx –1 Nhận xét: – Đồ thị hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng     – Hàm số đồng biến khoảng  0,  nghịch biến  ,   2  y Ví dụ 2: đồ thị hàm số y = f(x) = cosx – Tập xác định: D = R – Tập giá trị:  1, 1 – – y = cosx p x 2p –1 y  Chu kỳ: T = 2p Bảng biến thiên đoạn  0, 2  : x 2 0 2k i ta đồ thị y = cosx – Tịnh tiến theo véctơ v  –1 Nhận xét: – Đồ thị hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng    3  – Hàm số nghịch biến khoảng  0,  nghịch biến khoảng   ,  2     §2 PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN A LÝ THUYẾT Phƣơng trình sinx = sina a/ sin x  sin    x    k 2 (k  Z )  x      k 2 sin x  a Điều kiện :   a   x  arcsin a  k 2 sin x  a   (k  Z )  x    arcsin a  k 2 c/ sin u   sin v  sin u  sin(v)   d/ sin u  cos v  sin u  sin   v  2    e/ sin u   cos v  sin u  sin  v    2 b/ Các trƣờng hợp đặc biệt: sin x   x  k (k  Z )   sin x   x   k 2 (k  Z ) ; sin x    x    k 2 (k  Z ) 2 sin x    sin2 x   cos2 x   cos x   x    k (k  Z ) Phƣơng trình cosx = cosa a/ cos x  cos  x     k 2 (k  Z ) cos x  a Điều kiện :   a  cos x  a  x   arccos a  k 2 (k  Z ) c/ cos u   cos v  cos u  cos(  v)   d/ cos u  sin v  cos u  cos   v  2    e/ cos u   sin v  cos u  cos   v  2  b/ Các trƣờng hợp đặc biệt:  cos x   x   k (k  Z ) cos x   x  k 2 (k  Z ) cos x    x    k 2 (k  Z ) cos x    cos2 x   sin2 x   sin x   x  k (k  Z ) Phƣơng trình tanx = tana a/ tan x  tan   x    k (k  Z ) b/ tan x  a  x  arctan a  k (k  Z ) c/ tan u   tan v  tan u  tan(v)   d/ tan u  cot v  tan u  tan   v  2    e/ tan u   cot v  tan u  tan   v  2  Các trƣờng hợp đặc biệt: tan x    x   tan x   x  k (k  Z ) Phƣơng trình cotx = cota cot x  cot   x    k (k  Z ) cot x  a  x  arccot a  k (k  Z ) Các trƣờng hợp đặc biệt:  cot x   x   k (k  Z ) cot x    x     k (k  Z )   k (k  Z ) Một số điều cần ý: a/ Khi giải phương trình có chứa hàm số tang, cotang, có mẫu số chứa bậc chẵn, thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định  * Phương trình chứa tanx điều kiện: x   k (k  Z ) * Phương trình chứa cotx điều kiện: x  k (k  Z ) * Phương trình chứa tanx cotx điều kiện x  k * Phương trình có mẫu số:  sin x   x  k (k  Z )   cos x   x   k (k Z )  (k  Z ) 2  tan x   x  k  cot x   x  k  (k  Z )  (k  Z ) b/ Khi tìm nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng cách sau để kiểm tra điều kiện: Kiểm tra trực tiếp cách thay giá trị x vào biểu thức điều kiện Dùng đường tròn lượng giác Giải phương trình vơ định B BÀI TẬP Giải phương trình:       1) cos  x    2) cos  x    3) cos   x   1 6    4) sin  x    3  7) sin  3x  1  3  x  5) sin     2 4   8) cos x  150  5    6) sin   x   1 6  2    2x    11) tan  x  1  6  10) cos    13) tan  x    1     14) cot  x      x  9) sin      2 3   12) cot 3x  100  3 15) cos(2x + 250) =  §3 PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP 2 A LÝ THUYẾT 3.1 Phƣơng trình đƣa phƣơng trình bậc hai Dạng Đặt Điều kiện t = sinx t = cosx t = tanx t = cotx Nếu đặt: t  sin2 x hoaëc t  sin x điều kiện :  t  B BÀI TẬP Giải phương trình sau: 1) 2sin2x + 5cosx + = 2) 4sin2x – 4cosx – = 3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 4) tan2 x  1   tan x   5) 4sin2 x    1 sin x   7) tan2x + cot2x = 2 Giải phương trình sau: 1) 4sin23x +   1 cos3 x  = 3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 5) 7) + tan2x = cos x sin x 2) cos2x + 9cosx + = 4) cos x     tan x    6) – 13cosx + = cotx + 9) cos2x – 3cosx = cos2 6) cos3 x  sin x  8cos x 8) cot22x – 4cot2x + = 8) x 2 cos x  tan2 x =0 + 3cot2x = 10) 2cos2x + tanx = §3 PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP(Tiếp) A LÝ THUYẾT 3.2 Phƣơng trình a sin x  b cos x  c Cách 1:   a2  b2 ta được: a b sin x  cos x  (1)  a2  b2 a2  b2 a b , cos     0, 2  2 2 a b a b Chia hai vế phương trình cho Đặt: sin   phương trình trở thành: sin  sin x  cos  cos x   cos( x   )   c a b c a2  b2 c a2  b2  cos  (2) Điều kiện để phương trình có nghiệm là: c a2  b2 (2)  x      k 2 (k  Z )   a2  b2  c  Cách 2: x    k có nghiệm hay không? 2 x b/ Xét x    k 2  cos  x 2t  t2 Đặt: t  tan , thay sin x  , cos x  , ta phương trình bậc hai theo t:  t2  t2 a/ Xét x    k 2  (b  c)t  2at  c  b  (3) Vì x    k 2  b  c  0, nên (3) có nghiệm khi:  '  a2  (c2  b2 )   a2  b2  c2 Giải (3), với nghiệm t0, ta có phương trình: tan x  t0 Ghi chú: 1/ Cách thường dùng để giải biện luận 2/ Cho dù cách hay cách điều kiện để phương trình có nghiệm: a2  b2  c2 3/ Bất đẳng thức B.C.S: y  a.sin x  b.cos x  a2  b2 sin2 x  cos2 x  a2  b2  y   a2  b2 vaø max y  a2  b2  B BÀI TẬP Giải phương trình sau: sin x cos x a   tan x  a b b 2) sin x  cos x  1) cos x  sin x  4) sin x  cos x  sin 5x 5)   6) sin x  sin   x   2  3) cos3x  sin3x   1 sin x    1 cos x     Giải phương trình sau: 2) sin x  cos x   sin x  cos8 x  1) 2sin2 x  sin x  3) 8cos x   sin x cos x    x 3  4) cosx – sin x  cos  5) sin5x + cos5x = cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + = – 3(3cosx – 4sinx – 6) Giải phương trình sau: 1) 3sinx – 2cosx = 2) cosx + 4sinx – = 3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = §3 PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP (tiếp) A LÝ THUYẾT 3.2 Phƣơng trình a sin x  b sin x cos x  c cos x  d Cách 1:  Kiểm tra cosx = có thoả mãn hay khơng?  Lưu y: cosx =  x   k  sin2 x   sin x    Khi cos x  , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x  ta được: a.tan2 x  b.tan x  c  d (1  tan2 x)  Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t: (a  d )t  b.t  c  d  Cách 2: Dùng công thức hạ bậc  cos2 x sin x  cos2 x  b  c  d 2  b.sin x  (c  a).cos2 x  2d  a  c (đây phương trình bậc sin2x (1)  a B BÀI TẬP Giải phương trình sau: cos2x) 1) 2sin2 x  1   sin x.cos x  1   cos2 x  2) 3sin2 x  8sin x.cos x     cos2 x  3) 4sin2 x  3 sin x.cos x  cos2 x  4) sin2 x  sin x  cos2 x  5) 2sin2 x    sin x.cos x    1 cos2 x  1 6) 5sin2 x  sin x.cos x  3cos2 x  7) 3sin2 x  8sin x.cos x  cos2 x   9)  8)   sin2 x  sin x    1 cos2 x   1 sin2 x  sin x.cos x    1 cos2 x  10) 3cos4 x  4sin2 x cos2 x  sin4 x  11) cos2x + 3sin2x + sinx.cosx – = 12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = Giải phương trình sau: 1) sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 2) sin x.cos x  sin2 x  1 Tìm m để phương trình : (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = có nghiệm §3 PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP (tiếp) A LÝ THUYẾT 3.3 Phƣơng trình khác Dạng 1: a.(sinx  cosx) + b.sinx.cosx + c =    Đặt: t  cos x  sin x  2.cos  x  ; t  4    t   2sin x.cos x  sin x.cos x   (t  1) Thay vào phương trình cho, ta phương trình bậc hai theo t Giải phương trình tìm t thỏa t  Suy x Lưu ý dấu:      cos x  sin x  cos  x    sin  x     4  4     cos x  sin x  cos  x     sin  x    4  4 Dạng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c =    Đặt: t  cos x  sin x  cos  x  ; Ñk :  t   4  sin x.cos x   (t  1)  Tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối B BÀI TẬP Giải phương trình: 1) 2sin x  3  sin x  cos x    2)  sin x  cos x   3sin x  3)  sin x  cos x   2sin x  3 4) 1   1  sin x  cos x   sin x 3) 1   1  sin x  cos x   sin x 4) cosx – sinx + 3sin2x – = 5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – = 6) 1    sin x  cos x   sin x   2 Giải phương trình: 1) sin x   cos x  sin x   2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = Giải phương trình sau: 1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x = 3) cos2x + cos22x + cos23x = 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = Giải phương trình sau: 1) sinx + sin3x + sin5x = 3) cos2x – cos8x + cos6x = 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx ... sin i/ y = tan(3x + 1)   g/  h/ i/ Vấn đề Đồ thị hàm số lƣợng giác 1/ – – – – Vẽ đồ thị hàm số lƣợng giác: Tìm tập xác định D Tìm chu kỳ T0 hàm số Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần) Lập bảng... sinx –1 Nhận xét: – Đồ thị hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng     – Hàm số đồng biến khoảng  0,  nghịch biến  ,   2  y Ví dụ 2: đồ thị hàm số y = f(x) = cosx – Tập xác... song với trục hoành Ox (với i véc tơ đơn vị trục Ox) 2/ Một số phép biến đổi đồ thị: a/ Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy đồ thị hàm số y = f(x) + a cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trục hoành