Chuyên đề 1: Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác

Chuyên đề 1: Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác Toán 11 trình bày chi tiết dễ hiểu. Chuyên đề gồm rất nhiều các dạng toán khác nhau giúp nâng cao kiến thức cũng như kỹ năng giải toán. Mỗi dạng đều có bài tập tự luyện kèm theo lời giải chi tiết.

CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT I Các công thức lượng giác Các đẳng thức: * sin2   cos2   với  với   * tan .cot   *  tan2   *  cot   cos2  sin  k với   k2 với   k Hệ thức cung đặc biệt a.Hai cung đối nhau:   cos()  cos  tan()   tan  b Hai cung phụ nhau:  sin()   sin  cot()   cot      )  sin   tan(  )  cot   sin(  )  cos   cot(  )  tan  cos( c Hai cung bù nhau:     sin(  )  sin  tan(  )   tan  cos(  )   cos  cot(  )   cot  d) Hai cung  :     sin(  )   sin  tan(  )  tan  Các công thức lượng giác a Công thức cộng cos(a  b)  cosa.cos b tan(a  b)  sina.sin b cos(  )   cos  cot(  )  cot  sin(a  b)  sina.cos b  cosa.sin b tana  tan b tana.tan b b) Công thức nhân sin 2a  2sinacosa cos 2a  cos2 a  sin2 a   2sin2 a  2cos2 a  sin 3a  3sina  4sin3 a cos3a  4cos3 a  3cosa c Công thức hạ bậc  cos 2a  cos 2a tan a   cos 2a sin a  cos2 a  d Cơng thức biến đổi tích thành tổng cosa.cos b  [cos(a  b)  cos(a  b)] 1  cos 2a sina.sin b  [cos(a  b)  cos(a  b)] sina.cos b  [sin(a  b)  sin(a  b)] e Công thức biến đổi tổng thành tích ab ab cos 2 ab ab sina  sin b  sin cos 2 sin(a  b) tan a  tan b  cosa cos b ab ab sin 2 ab ab s ina - sin b  cos sin 2 sin(a  b) tan a  tan b  cosa cos b cosa  cos b  cos cosa  cos b  2 sin II Tính tuần hồn hàm số Định nghĩa: Hàm số y  f(x) xác định tập D gọi hàm số tuần hồn có số T  cho với x  D ta có x  T  D f(x  T)  f(x) Nếu có số T dương nhỏ thỏa mãn điều kiện hàm số gọi hàm số tuần hồn với chu kì T III Các hàm số lượng giác Hàm số y  sin x  Tập xác định: D  R  Tập giác trị: [  1;1] , tức 1  sin x  x  R  Hàm số đồng biến khoảng (     k2;  k2) , nghịch biến khoảng 2  3 (  k2;  k2) 2  Hàm số y  sin x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng  Hàm số y  sin x hàm số tuần hồn với chu kì T  2  Đồ thị hàm số y  sin x y - -5 -3 - -2 -3 3 O   2 3 2 5 x 2 Hàm số y  cos x  Tập xác định: D  R  Tập giác trị: [  1;1] , tức 1  cos x  x  R  Hàm số y  cos x nghịch biến khoảng (k2;   k2) , đồng biến khoảng (  k2; k2)  Hàm số y  cos x hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng  Hàm số y  cos x hàm số tuần hồn với chu kì T  2  Đồ thị hàm số y  cos x  Đồ thị hàm số y  cos x cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sin x theo véc tơ v  (  ; 0) y - -5 - -2  -3 -3 3 O 3 2  5 2 x Hàm số y  tan x  Tập xác định : D   \   k, k  2     Tập giá trị:  Là hàm số lẻ  Là hàm số tuần hồn với chu kì T        Hàm đồng biến khoảng    k;  k     Đồ thị nhận đường thẳng x   Đồ thị   k, k  làm đường tiệm cận y - -2 -5 -3 2 -  2 5 3  2 x 2 O Hàm số y  cot x  Tập xác định : D  \k, k    Tập giá trị:  Là hàm số lẻ  Là hàm số tuần hồn với chu kì T    Hàm nghịch biến khoảng  k;   k   Đồ thị nhận đường thẳng x  k, k   Đồ thị làm đường tiệm cận y - -2 -5 -3 2 -  2 5 3  O 2 x B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề Tập xác định tập giá trị hàm số Phương pháp  Hàm số y  f(x) có nghĩa  f(x)  f(x) tồn có nghĩa  f(x)  f(x) tồn f(x)  sin u(x)   u(x)  k, k   Hàm số y   cos u(x)   u(x)    k, k   1  sin x, cos x  Các ví dụ Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau:  y  cot ( y  tan(x  ) 2  3x) Lời giải    Điều kiện: cos(x  )   x    k  x  2  k  2  \   k, k   3  2 2 2  Điều kiện: sin(  3x)    3x  k  x   k 3  2   TXĐ: D  \   k , k   9  TXĐ: D  Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: y  tan 2x   cot(3x  ) sin x  y  Lời giải   sin x  1 x    k2    Điều kiện:    sin(3x  )  x     k  18     n  Vậy TXĐ: D  \   k2,   ; k,n   18    2  Ta có: sin 4x  cos 3x  sin 4x  sin   3x   x   7x    cos    sin    2 4  4 tan 5x sin 4x  cos 3x      x  10  k cos 5x     x    Điều kiện: cos      x   k2 2 4    k2   7x     0 sin  x   14      Vậy TXĐ: D    k   2m \  ,  n2,    10 14   CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tìm tập xác định hàm số sau:  sin 2x cos 3x   y  tan(2x  ) y  y   cos 3x  sin 4x y   cot x  sin 3x Bài Tìm tập xác định hàm số sau: sin 2x  cos 3x cot x y  sin x  1 y  tan 2x y  sin 2x  cos 2x   y  tan(x  ).cot(x  ) Bài Tìm tập xác định hàm số sau: y  tan 3x.cot 5x  y  tan(2x  )  y  tan 3x  cot(x  )  sin x 3 y  tan 4x tan x y  cos 4x  sin 3x sin 3x y  sin 8x  sin 5x Vấn đề Tính chất hàm số đồ thị hàm số Phương pháp Cho hàm số y  f(x) tuần hồn với chu kì T * Để khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số, ta cần khảo sát vẽ đồ thị hàm số đoạn có độ dài T sau ta tịnh tiến theo véc tơ k.v (với v  (T; 0), k  ) ta toàn đồ thị hàm số * Số nghiệm phương trình f(x)  k , (với k số) số giao điểm hai đồ thị y  f(x) y  k * Nghiệm bất phương trình f(x)  miền x mà đồ thị hàm số y  f(x) nằm trục Ox Chú ý:  Hàm số f(x)  a sin ux  bcos vx  c ( với u,v  ) hàm số tuần hồn với chu kì T  2 (u,v) (u,v) ước chung lớn nhất) ) hàm tuần hoàn với chu kì T   Hàm số f(x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u,v   (u,v) ( Các ví dụ Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở hàm số : f(x)  cos 3x x cos 2 Lời giải Ta có f(x)   cos x  cos 2x   hàm số tuần hồn với chu kì sở T0  2 Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau f(x)  cos x  cos 3.x f(x)  sin x2   Lời giải Giả sử hàm số cho tuần hoàn  có số thực dương T thỏa f(x  T)  f(x)  cos(x  T)  cos 3(x  T)  cos x  cos 3x cos T    cos 3T  Cho x   cos T  cos 3T     m T  2n   3 vơ lí, m,n  n   3T  2m  m số hữu tỉ n Vậy hàm số cho khơng tuần hồn Giả sử hàm số cho hàm số tuần hoàn  T  : f(x  T)  f(x)  sin(x  T)2  sin x2 x  Cho x   sinT2   T2  k  T  k  f(x  k )  f(x) x  Cho x  2k ta có: f( 2k )  sin f(x  k )  sin  k2  k   k2    sin(k2)    sin 3k  2k   sin(2k 2)  f(x  k )  Vậy hàm số cho hàm số tuần hồn Ví dụ Cho a, b,c,d số thực khác Chứng minh hàm số f(x)  a sincx  bcosdx hàm số tuần hoàn c số hữu tỉ d Lời giải * Giả sử f(x) hàm số tuần hoàn  T  : f(x  T)  f(x) x a sin cT  bcosdT  b cosdT   a sin cT  bcosdT  b sin cT  Cho x  0,x  T   dT  2n c m     cT  m  d 2n  c c k 2k 2l  * Giả sử   k,l  :  Đặt T  d d l c d Ta có: f(x  T)  f(x) x   f(x) hàm số tuần hồn với chu kì T  2k 2l  c d Ví dụ Cho hàm số y  f(x) y  g(x) hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ T1 ,T2 Chứng minh T1 số hữu tỉ hàm số f(x)  g(x); f(x).g(x) hàm số tuần T2 hồn Lời giải Vì T1 số hữu tỉ nên tồn hai số nguyên m,n; n  cho T2 T1 m   nT1  mT2  T T2 n Khi f(x  T)  f(x  nT1 )  f(x) g(x  T)  g(x  mT2 )  g(x) f(x  T) f(x) Từ ta có  g(x  T) g(x) Suy f(x  T)  g(x  T)  f(x)  g(x) f(x  T).g(x  T)  f(x).g(x) , điều phải chứng minh Nhận xét: ) hàm số tuần hoàn với chu kì T  Hàm số f(x)  a sin ux  bcos vx  c ( với u,v  2 (u,v) (u,v) ước chung lớn nhất) ) hàm tuần hồn với chu kì T  Hàm số f(x)  a.tan ux  b.cot vx  c (với u,v   (u,v) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh hàm số sau hàm số tuần hồn với chu kì sở T0 f(x)  sin x , T0  2 f(x)  tan 2x, T0   Bài Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau y  sin 2x  sin x y  tan x.tan 3x y  sin 3x  2cos 2x Bài Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau y  sin 2x  sin x y  tan x.tan 3x y  sin 3x  2cos 2x y  sin x Vấn đề Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Các ví dụ Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y  2sin x Lời giải Hàm số y  2sin x  TXĐ: D   Hàm số y  2sin x hàm số lẻ  Hàm số y  2sin x hàm tuần hoàn với chu kì T  2     Hàm số đồng biến khoảng  k2;  k2  Nghịch biến khoảng       k2;   k2  2  (    Đồ thị hàm số quan điểm (k; 0),   k2;  2  y -5 3 - -3 x O  5 2 Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y  tan 2x Lời giải Hàm số y  tan 2x  TXĐ: D    \   k ,k  4     Hàm số y  tan 2x hàm số lẻ  Hàm số y  tan 2x hàm tuần hồn với chu kì T       Hàm số đồng biến khoảng  k;  k       Các đường tiệm cận: x   k k  Đồ thị hàm số quan điểm ( ; 0) y -7 -5 -3 -  3 5 7 4 4 4 4 x O Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y   2cos2 x Lời giải Hàm số y   2cos2 x Ta có: y   cos 2x  TXĐ: D   Hàm số y   cos 2x hàm số chẵn  Hàm số y   cos 2x hàm tuần hồn với chu kì T         Hàm số đồng biến khoảng   k;   k  , nghịch biến khoảng  k;  k    2   Đồ thị hàm số quan điểm ( k ;1),    k;  y x -2 -3 - - O  2 3  2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  sin 2x Bài 2: Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  cos x Vấn đề Giá trị lớn nhỏ hàm số Các ví dụ Ví dụ Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y  4sin xcos x  y   3sin2 2x Lời giải Ta có y  2sin 2x  Do 1  sin 2x   2  2sin 2x   1  2sin 2x    1  y    * y  1  sin 2x  1  2x    k2  x    k  * y   sin 2x   x   k Vậy giá trị lớn hàm số , giá trị nhỏ 1 Ta có:  sin2 x     3sin2 x   * y   sin2 x   cos x   x   k * y   sin2 x   x  k Vậy giá trị lớn hàm số , giá trị nhỏ Ví dụ Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y  6cos2 x  cos2 2x y  (4sin x  3cos x)2  4(4sin x  3cos x)  Lời giải Ta có: y  6cos2 x  (2cos2 x  1)2  4cos4 x  2cos2 x  Đặt t  cos2 x  t  0;1 Khi y  4t  2t   f(t) t f(t)  Vậy y  đạt cos x   x   k max y  đạt cos2 x   x  k Đặt t  4sin x  3cosx  5  t  x  Khi đó: y  t  4t   (t  2)2  Vì t    5; 5  7  t     (t  2)  49 Do 3  y  46 Vậy y  3; max y  46 Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau nhận giá trị dương : y  (3sin x  4cos x)2  6sin x  8cos x  2m  Lời giải Đặt t  3sin x  4cosx  5  t  Ta có: y  t  2t  2m   (t  1)2  2m  Do 5  t    (t  1)2  36  y  2m   y  2m  Hàm số nhận giá trị dương  y  x   y   2m    m  Vậy m  giá trị cần tìm Ví dụ Tìm m để hàm số y  2sin2 x  4sin xcos x  (3  2m)cos2 x  xác định với x Lời giải Hàm số xác định với x  2sin2 x  4sin xcos x  (3  2m)cos2 x   x  (1)  cos x   (1)  cos x  ta có: (1)  tan2 x  tan x  (3  2m)  2(1  tan2 x)   tan2 x  tan x   2m x   (2 tan x  1)2   2m x    2m   m  1 Ví dụ Cho góc nhọn x, y thỏa mãn sin2 x  sin2 y  sin(x  y) () Chứng minh rằng: xy  Lời giải   Ta có hàm số y  sin x, y  cos x đồng biến khoảng  0;   2       Và x, y,  x,  y   0;  2      sin x  sin   y   cos y x   y        Giả sử x  y         y   x sin y  sin   x   cos x   2  Suy ra: sin2 x  sin2 y  sin x.sin x  sin y.sin y  sin xcos y  sin ycos x  sin(x  y) Mâu thuẫn với () 10  x x Lúc đó: (1)  sin x cos x   cos  sin  2   x  x   sin 2x  sin      2 4 x      x   5 x  10    k 5  k 10 Phương trình  sin x  cos x  sin x  cos2 x       sin x  cos x sin x  cos x   sin x  cos x  sin x  cos x  1  sin x  cos x   1   sin x  cos x  x    arcsin  k2      sin x   cos x   x  k2  cos x  Phương trình   2  2  cos x  cos x    cos x   x  k2 Phương trình   cos 2x  sin 4x   cos2 x    cos 2x  sin 2x cos 2x   vô nghiệm cos x  14  sin x  sin x Ta có:   sin14 x  cos13 x  13  cos x  cos x 14  k  sin x  sin x Phương trình   x 13 2  cos x  cos x  tgxtgy Ta có cot(x  y)  tgx  tgy  tan xcot(x  y)  tan ycot(x  y)  tan xtan y  Áp dung BĐT a2  b2  c2  ab  bc  ca ta có tan2 x  tan2 y  cot (x  y)  x  y  k    tan x  cot(x  y)  x   x  y  l  tan x  tan y Nên phương trình     x   k  l   y    l      Phương trình   sin x  sin2 3x   sin 3x  sin 3x     sin 3x  1  sin x  sin 3x  sin 3x    v   sin 3x cos2 3x  sin x  sin x    76 x  5  k2,x   k2,x  k 6 Ta có: VT   VP Nhưng VP   x  10 Ta có: VP  k , lúc VT khơng xác định  PT vơ nghiệm 25 Áp dụng BĐT: a  b2   a  b 2 ta có 2  1 1  25 VT  sin x  cos2 x   1     2 2  sin 2x  sin x cos x     y   2k cos y  Nên phương trình    sin 2x  x    k   Vấn đề Tìm nghiệm phương trình lượng giác Bài    x  k2 Phương trình  cos(x  )   cos   Vì x   ;  nên:  x  2  k2  * Với x  k2 ta chọn k   x  2 2  k2 ta chọn k   x  3 2 Vậy tổng nghiệm  5 Phương trình  sin(5x  )  sin(  2x)   5   2  5x    2x  k2  x  14  k    5x      2x  k2  x     k 2  18 3   2  2 k 0 k   Với x  14 14  2 13 13 Do k   k 0,1,2,3  k   k 14 14 4  5 9 13 Suy nghiệm: x  ,x  ,x  ,x  14 14 14 14  2  2 0 k   Với x    k 18 18  2 19 19 Do k   k   k   k 18 18 12 12 11 Suy nghiêm: x  18 * Với x  77 Vậy tổng nghiệm là: 47  18 Bài Điều kiện: 9x2  16x  80   x   4 Phương trình   3x  9x2  16x  80   k, k    3x  9x2  16x  80  4k  9x2  16x  80  3x  4k  4k  4k x  x      9x2  16x  80  (3x  4k)2 x  2k  10  3k    2k  10 4k    3k  2  2k  10 4 Yêu cầu toán  x  3k    2k  10    3k   2k  10 4k  6k  8k  30  0     3k  Ta có:  3k   k3  2 2k  10   2k  12k  18 x      3k  3k  Vì k   k  1,2,3 * k  1 2k2  10  12  3k  * k2 2k2  10   3k  2 * k3 2k2  10  4 3k  Kết hợp điều kiện, ta có x  4,x  12 giá trị cần tìm Bài Phương trình      2x  x2     k2, k     2k   2x  x2  Ta có:   (1  x)2   2k số chẵn nên ta có nghiệm là: x  1,x  3,x  Bài Phương trình  4cos3 x  3cos x  4(2cos2 x  1)  3cos x     k  3 5 7 Vì x  0;14   x  ,x  ,x  ,x  2 2  4cos3 x  8cos2 x   cos x   x  Bài Ta có phương trình cho tương đương với   cos 4x   sin x  1   3sin x    sin 4x.cos x     sin x  1  6sin x  cos 4x   sin 4x.cos x   sinx  1  6sinx   sinx.cos4x  cos4x  sin4x.cosx 78  3(1  2sin2 x)  3sinx  sin5x  cos4x      3cos 2x  3cos  x    cos  5x    cos 4x 2 2   3x  x  9x  x   3.2.cos(  ).cos(  )  2.cos(  ).cos(  ) 4 4  x  3x  9x 3   cos     3cos(  )  cos(  )  4      x  cos(  )  x   x  3x   cos(  ).cos3 (  )     4 x  cos( 3x   )      3 Vì x  (; ) nên suy x   ,x  ,x  Bài Điều kiện: cos2x   2x  k2  x  k cos 2x sin x   Phương trình   cos  2x   4 sin x  3  k2    k2  Ta thấy x   khơng nghiệm phương trình  Nếu x   0;   phương trình  cos 2x sin x sin x    cos  2x   4       cos 2x  cos  2x    x   k ,k  4 16    15 Do x   0;      k  ,k     k  ,k  16 8   x k   16    k   x  9  16 cos 2x sin x    Nếu x   ; 2  phương trình   cos  2x   4  sin x    5   cos 2x   cos  2x    x   k ,k  4 16  5  11 27 Do x   ; 2      k  2,k    k  ,k  16 8  21  x  16 k     x  29 k   16 Nghiệm phương trình thỏa mãn tốn : x  9 21 29 ;x  ;x  ;x  16 16 16 16 79 Vấn đề Phương pháp loại nghiệm giải phương trình lượng giác có điều kiện Bài 1: Cách 1:  Với sin x  (*) phương trình cho tương đương với   2x   x  k2    cos 2x  sin x  cos   x       2x     x  k2    2k (1) x     x     k2 (2)  Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*) Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta điểm A1 , A2 , A3 Trong có hai điểm A1 ,A2 nằm phía Ox y A2 A1 O x A3  Hai điểm ứng với cung x   k2 x  5  k2  Với sin x  (**) phương trình cho tương đương với    2x   x  k2   cos 2x   sin x  cos   x    2   2x     x  k2     x   k2 (3)   x     k2 (4)  Dễ thấy (3) không thỏa (**) Biểu diễn (4) đường tròn lượng giác ta điểm B1 , B2 , B3 Trong có hai điểm B2 , B3 nằm Ox ( sin x  )  Hai điểm ứng với cung: x    k2 x   y B1 5  k2  Vậy nghiệm phương trình cho là: x    k Bài 2: Điều kiện: cos 4x  Phương trình  sin 4xcos3x  sin 5xcos4x  sin7x  sin x  sin9x  sin x  sin9x  sin7x 80 O B2 x B3  k  16  Với x  k cos 4x  cos 4k    k   k  cos 4x  cos     với k   Với x  16 4   x  k,x  Vậy nghiệm phương trình là: x  k, x   k , k  16 sin 3x  cos 3x  Bài 3: Phương trình    2  sin 3x  cos 3x    sin 6x  sin 2x sin 3x  cos 3x  sin 3x  cos 3x  (*)       5 sin 2x   k (1),x   k (2)  x    12 12   k  Với nghiệm x  12     sin 3x  cos 3x  sin   3k   cos   3k    k  2n 4  4  5  k 12  5   5  sin 3x  cos 3x  sin   3k   cos   3k    k  2n       Với nghiệm x  Vậy nghiệm phương trình cho là:  17   2n x   2n 12 12    x   k cos 2x       Bài 4: Điều kiện: cos 3x   x   k cos7x     k  x  14   x Phương trình   tan 2x(1  tan 3xtan7x)  tan 3x  tan7x Nếu tan 3xtan7x   tan 3x  tan7x  vơ lí Nên ta có phương trình :  tan 2x   10x  2x  m  x  tan 3x  tan7x  tan10x  tan 3x tan7x m 12 Loại nghiệm: Với toán sử dụng phương pháp loại nghiệm cách biểu diễn lên đường tròn lượng giác hay phương pháp thử trực tiếp phải xét nghiều trường hợp Do ta lựa chọn phương pháp đại số   k    k     m   6k  m 12 m   4k  m 12 m  12t    m k    12k  7m   ,t  14 12 k  7t  81 k  2(2t  1) k KL: Nghiệm phương trình là: x  với k  3(2t  1) ,t  12 k  6(2t  1)   sin 2x  cos x   sin x  1 Bài 5: Điều kiện: cos x    sin x  1 cos x   cos  x     2 4  Phương trình   cos 2x  x    tan x 1  tan     sin 2x  cos x     cos 2x  sin 2x  cos x tan x tan x   sin x  x   cos2    2 4  cos 2x sin x   cos 2x  sin x (*) cos x(1  sin x) cos x(1  sin x)  2sin2 x  sin x    sin x  1 (loại), sin x  (nhận)  5  k2, x   k2 6 sin x    sin x  Bài 6: Phương trình    2  sin x 8 cos x(1  cos x)     cos x x  sin x    8 cos x  cos x   sin x  (1)    (2 cos x  1)(4 cos x  cos x  3)  (2) Giải phương trình (2) ta có nghiệm cos x  ,cos x   13 Vì nghiệm phương trình phải thỏa điều kiện (1) nên ta tìm cách biểu diễn nghiệm qua sin x  cos x   2 ta có sin x   x   k2, x   k2 3 2  13  sin x   cos2 x   13 4   13    k2,  x  arcsin        13    k2 x    arcsin       cos x  Vậy nghiệm phương trình cho là:   13      k2, x    k2, x  2  k2 , x    arcsin   13   k2 x  arcsin      4 3     82 sin 3x  Bài 7: Điều kiện:  sin x  Phương trình   sin 3x  cos 2x(3  sin x) sin x(3  sin x)  cos x sin x cos x   cos 2x  cos x  cos x  cos x     cos x     Với cosx   sin x   sin 3x   cosx  loại  Với cos x    sin 3x  sin x  sin x 2      sin x cos2 x   Suy cos x   loại Vậy phương trình cho vô nghiệm Bài   k x    Điều kiện: cos x  cos 2x  cos 3x    x   2  k2   sin 2x cos x  sin 2x Phương trình   cos x cos 2x  cos 2x  m  tan 2x   x   , m Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm phương trình là: x  5  n, x   2n 6 Điều kiện: cos x  Phương trình  2cos2 x   tan2 x   cos x   tan2 x cos x  1  cos x  cos x     cos x     x    k2, x    k2 nghiệm phương trình  sin x  cos x    Điều kiện: sin 2x   sin x  1 sin 4x    sin x    2   Phương trình  sin x sin2 x  sin x    sin x   5  k2 Điều kiện: cos x   sin x  1 Hay x   k2,x  Phương trình  sin4 x  cos4 x  (2  sin2 2x)sin 3x 83 1  3sin x  sin x  (*) 2 Ta thấy sin x  1 không thỏa (*)     k2  3x   k2  x  18  Vậy nghiệm phương trình :    3x  5  k2  x  5  k2   18 Điều kiện: cos 5x  k  k Phương trình  sin12x  sin 8x  x  ,x   20 10  k Sử dụng phương pháp thử trực tiếp ta có: x  m,x   20 10 cos x   tan x  cot 2x  sin 2x  Điều kiện:   cot x   sin x  sin x  cos x    sin 3x  sin x  Phương trình  sin 2x   sin x   cos x   3 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm: x   k2 Bài Điều kiện: sin 2x   cos 2x  1 Phương trình  8sin2 x  cos 2x  4sin2 2x  cos 2x  (loai)  cos2 2x  3cos 2x     cos 2x     1  x   arccos     k  4 Điều kiện: cos 2x.cos 3x.cos 5x  Phương trình  tan 5x  tan(x)  x  k Thay vào điều kiện kiểm tra trực tiếp sử dụng phương trình nghiệm nguyên ta tìm nghiệm phương trình x  k2,x  cos x  Điều kiện:  cos 3x   cos 3x   x   2  k2,x   k2 3   k Phương trình  cos2 x  cos 5xcos 3x  8sin xcos xsin 3xcos 3x   cos8x  4sin6xsin 2x  cos 4x(cos 4x  1)  x  k k  ,x  Sử dụng phương pháp phương trình nghiệm ngun ta có nghiệm phương trình là: x    k ,x  m 84 sin x  cos x  Điều kiện:  cos 2x  Phương trình  (sin x  cos x)(cos x  sin x)  (sin x  cos x)2  sin x  cos x  sin x  cos x    sin x  cos x  sin x  cos x     tan x   x   k    2 cos x  cos 2x  (*) (*)  cos 2x   cos x  cos 2x   4cos x  cos2 x  cos2 x  4cos x    cos x  1  Thử trực tiếp ta thấy: x   k2,x    k2 nghiệm phương trình Vấn đề Phương trình lượng giác chứa tham số Bài 1 Phương trình  sin 2x  2m  (1) 2m    2m      m  phương trình (1) có 2  2m   x  arcsin  k nghiệm  , k  x    arcsin 2m   k  2  5    Nếu m   ;     ;   phương trình (1) vơ nghiệm 2 2    Nếu  Nếu m   phương trình (1) vô nghiệm    2m (2)  Nếu m   phương trình đa cho  cos2  4x     m 1   2m 0  m  ( ; 0]  (1; )  +) Nếu  m    1  m  1  m   2m   m    2m Phương trình (2)  cos  2x     3 m 1   2x     2m   2m    arccos     k2  x    arccos     k, k   m 1   m 1       m  1 +) Nếu  phương trình (2) vơ nghiệm m  Với giá trị m ta có phương trình cho tương đương với 2x    k  arctan(m  1)  k  x   arctan(m  1)  12 2 85  Nếu m   phương trình vơ nghiệm  Nếu m  phương trình ch tương đương với    2m  cot  2x    8 m  (4) 2m  1     m  phương trình (4) vơ nghiệm m  m +) Nếu  phương trình (4) có nghiệm  m    2m    2m   k   2x   arc cot    arc cot   , k   k  x     m  16 m    +) Nếu Bài  Nếu m   phương trình vơ nghiệm  Nếu m   phương trình  sin 2x  1 m m  1 m m   1 1 m  m    phương trình vơ nghiệm m m     1 m   x  arcsin     k  m    +) m   phương trình có nghiệm :   1 m     x   arcsin   m   k    +)  phương trình vơ nghiệm m2  Nếu m  phương trình  tan 3x  2m  +) Nếu 2  m   phương trình vơ nghiệm  m  2 +) Nếu   phương trình có nghiệm m    Nếu m   m   k x  arc t an     2m   3   Bài Phương trình có nghiệm x  (m  1)sin    3  m cos  2m   m  3 Bạn đọc tự giải phương trình Phương trình có nghiệm  (m  1)2  m2  (2m  1)2  m2  m    m  86 Bài Phương trình  3sin2 x  3sin x  2m  2 Đặt t  sin,t    1;1 Ta có phương trình : 3t  3t  2m  Xét hàm số f(t)  3t  3t, t    1;1 Bảng biến thiên 1 t f(t) Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình cho có nghiệm   2m    1  m  Phương trình  2cos2 x   2m  1 cosx  m   cos x     cos x  1 cos x  m      cos x  m    Ta có : x   ;    1  cos x  2    Suy phương trình cho có nghiệm x   ;    1  m  2  Bài 5:  Nếu m  , phương trình  sin3 x  sin x  sin xcos2 x   sin 2x   x  k  Nếu m  , chia hai vế phương trình cho cos3 x  ta   (8m2  1)tan3 x  (4m2  1)tan x  tan x  2m   4m2 tan3 x  (4m2  1)tan x  2m   (2m tan x  1)(2m tan x  tan x  2m)     x  arctan  k  tan x  tan x  2m    2m   2m   x  arctan(4m)  k  2m tan x  tan x  2m   tan 2x  4m  2 k KL:  Nếu m  phương trình có nghiệm x   Nếu m  phương trình có nghiệm k 1 k x ,x  arctan  k,x  arctan(4m)  2m 2   Đặt t  sin x  cos x  cos  x   , t   2;   sin x cos x  4  Thay vào phương trình ta có: t  m(t  1)  t    (t  1)(mt  m  1)     mt   m 87 t2    x   k2     t   cos  x      4  x  k2    Xét phương trình : mt   m (*) +) Nếu m   (*) vô nghiệm +) Nếu  (*)  t   m  1  m  1 m   2  m  m  1   m  2m   1 m  1 m   1 m   cos  x     x   arccos    k2 m 4 m  m 2  1 m m  vô nghiệm  (*)  t  m  1   m  1  +)  KL:  Nếu 1   m  1   phương trình có nghiệm x   k2, x  k2  m  1   Nếu   phương trình có nghiệm  m  1  x 1 m     k2, x  k2,x   arccos    k2 m 2 cos 2x cos 2x  sin 2x  3sin2 x cos2 x    Phương trình ln có nghiệm: x   k m  hay 3mt  4t  4m  (*)  Phương trình: sin 2x  3sin 2x Phương trình  m Với t  sin 2x    1;1 \0 +) m  phương trình vơ nghiệm +) m   phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt t1t   nên có có nhiều nghiệm thuộc   1;1 Nghiệm t  2   3m 2    1;1   3m   m 3m  3m2    3m2  9m4  144m2   m  Nghiệm t  2   3m   1;1   3m   m vô nghiệm  3m m  Vậy : * Nếu   m   phương trình cho có nghiệm x   k    m  phương trình cho có nghiệm x   k  m  * Nếu  2   3m  2   3m x  arcsin  k, x   arcsin  k 3m 2 3m 88 Bài 6:  sin x  Phương trình   (1) cos 2x(m sin x  1)  (2)  Nếu m   phương trình  cos 2x   3 5 7  m  thỏa yêu cầu toán  x  ,x  ,x  ,x  4 4  m  Vì phương trình ln có nghiệm  0; 2  nêu u cầu tốn  phương trình msin x   vơ nghiệm có nghiệm m   m       m  Điều xảy   m      m       m m 1 Vậy   m   giá trị cần tìm Phương trình  1 m   4m  cos x cos x Đặt t   t  x  1;   cos x Ta có phương trình : (1  m)t  2t  4m  (*) Yêu cầu tốn  (*) có nhiều nghiệm t   (*) có hai nghiệm phân biệt t1 ,t   1  m  m  1,m      '   4m(m  1)     t1  t   (t1  1)  (t  1)  t t  (t  t )   (t  1)(t  1)  12      m  1,m  m  1,m   m  1,m    m     2m  0  m    20  0 1  m  m 1  m1     m1  4m  3m  3 1  m   m    1 m    Phương trình  m tan2 x  tan x    tan2 x  (m  1)tan2 x  tan x   (1)  m   (*)  tan x   m  Ta có (*) có nghiệm   '  2m    m  Vậy m  giá trị cần tìm 89 Phương trình  cos2 2x    cos 6x m(1  cos 2x)  2  4cos3 2x  4cos2 2x  3cos 2x   m(1  cos 2x)  cos 2x   (cos 2x  1)(4 cos 2x   m)    cos 2x  m         Vì x   0;   2x   0;   cos 2x   ;1   12   6   m3 Do phương trình cho có nghiệm   1  m 1 4 1 Bài 7: Phương trình   sin2 2x  cos 2x  sin 2x  a   cos2 2x  4cos 2x  4a    Với a  2  cos2 2x  4cos 2x    cos 2x  1  x   k Phương trình  cos2 2x  4cos 2x  4a  Phương trình có nghiệm  3  4a    2  a  Bài 8: Phương trình   sin2 2x  cos 2x  m   cos2 2x  4cos 2x  3  4m Đặt t  cos 2x  t    1;1 Ta có phương trình f(t)  t  4t  4m  Bảng biến thiên t 1 f(t) 3 Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình có nghiệm  3  4m    2  m  Bài 9: Phương trình  2mcos2 x  cos x  m  Đặt t  cos x,t    1;1 ta có phương trình 2mt  t  m   m   t  nghiệm phương trình  m  ta thấy phương trình ln có hai nghiệm t1 ,t t1t  nghiệm thuộc   1;1 90  hai nghiệm ln có ... 9: Chứng minh phương trình cosx  mcos2x  ln có nghiệm với m 37 ĐÁP ÁN CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Vấn đề Tập xác định tập giá trị hàm số Bài 1 Điều... để giá trị nhỏ hàm số y  k sin x  lớn 1 cos x  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Dạng tốn 1: Phương trình lượng giác Phương trình: sin x  m (1) * Nếu: m   Phương trình vơ nghiệm... hàm số sau y   2cos2 x Lời giải Hàm số y   2cos2 x Ta có: y   cos 2x  TXĐ: D   Hàm số y   cos 2x hàm số chẵn  Hàm số y   cos 2x hàm tuần hồn với chu kì T         Hàm số