Chủ đề 3. Dãy số. Cấp số cộng. cấp số nhân

Tài liệu hệ thống kiến thức cơ bản, chia dạng bài tập chủ đề DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN. Cụ thể: Phương pháp quy nạp Toán học, dãy số, cấp số công, cấp số nhân. Các công thức thường sử dụng đối với cấp số cộng, cấp số nhân

Chủ đề DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN §1 PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC A LÝ THUYẾT Phƣơng pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau:  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n =  Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) với với số nguyên dương n  p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k  p phải chứng minh mệnh đề với n = k + B BÀI TẬP Bài Chứng minh với n  N*, ta có: n(n  1)(2n  1) n(n  1) a) + + … + n = b) 12  22   n  2  n(n  1)  c) 13  23   n3   d) 1.4  2.7   n(3n  1)  n(n  1)2    n(n  1)(n  2) e) 1.2  2.3   n(n  1)  f) 1 n     1.2 2.3 n(n  1) n  Bài Chứng minh với n  N*, ta có: a) n3  11n chia hết cho b) n3  3n  5n chia hết cho c) 7.22 n2  32 n1 chia hết cho d) n3  2n chia hết cho e) 32 n1  2n chia hết cho f) 13n  chia hết cho n(n  3) Bài Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh -=oOo= lehai88.blogspot.com §2 DÃY SỐ A LÝ THUYẾT Dãy số u: * Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … n u ( n) Dãy số tăng, dãy số giảm  (un) dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*  un+1 – un > với  n  N* u Hoặc n1  với n  N* ( un > 0) un  (un) dãy số giảm  un+1 < un với n  N*  un+1 – un< với  n  N* u Hoặc n1  với n  N* (un > 0) un Dãy số bị chặn  (un) dãy số bị chặn  M  R: un  M, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m  R: un  m, n  N*  (un) dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N* B BÀI TẬP Bài Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: 2n  n  (1) n n 1 a) un  b) un  c) un  n 1 2n  n2  Bài Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: a) u1  2, un1   un  1 b) u1  15, u2  9, un2  un  un1 c) u1  0, un1  d) u1  1, u2  2, un2  un1  2un un  Bài Hãy viết số hạng đầu dãy số (un), dự đốn cơng thức số hạng tổng qt un chứng minh cơng thức qui nạp: a) u1  1, un1  2un  b) u1  3, un1   un2 d) u1  1, un1  2un  e) u1  1, un1  un  c) u1  3, un1  2un u 1 e) u1  , un1  n Bài Xét tính tăng, giảm dãy số (un) cho bởi: 4n  (1) n 2n  a) un  b) un  n c) un  5 n2 3n  2 2n n  n 1 u  d) un  e) f) u  n  cos n n n n2  n Bài Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số (un) cho bởi: 2n  a) un  b) un  c) un  n2  n(n  1) n2 lehai88.blogspot.com §3 CẤP SỐ CỘNG A LÝ THUYẾT Định nghĩa: (un) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N*(d: công sai) Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d với n  u u Tính chất số hạng: uk  k 1 k 1 với k  2 n(u1  un ) n  2u1  (n  1)d  Tổng n số hạng đầu tiên: Sn  u1  u2   un  = 2 B BÀI TẬP Bài Trong dãy số (un) đây, dãy số cấp số cộng, cho biết số hạng đầu cơng sai nó: 3n  a) un = 3n – b) un  c) un  n2  3n n d) un  3n e) un  f) un   2 Bài Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết: u1  u5  u3  10 u2  u5  u3  10  u3  15 a)  b)  c)  u1  u6  17 u4  u6  26 u14  18   u7  u15  60 u7  u3  u1  u3  u5  12 d)  e)  f)  u1u2u3   u2 u7  75  u4  u12  1170 Bài3 a) Giữa số 35 đặt thêm số để cấp số cộng b) Giữa số 67 đặt thêm 20 số để cấp số cộng Bài a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293 b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 22 tổng bình phương chúng 66 Bài a) Ba góc tam giác vng lập thành cấp số cộng Tìm số đo góc b) Số đo góc đa giác lồi có cạnh lập thành cấp số cộng có cơng sai d = 30 Tìm số đo góc c) Số đo góc tứ giác lồi lập thành cấp số cộng góc lớn gấp lần góc nhỏ Tìm số đo góc Bài Tìm x để số a, b, c lập thành cấp số cộng, với: a) a  10  3x; b  x2  3; c   x b) a  x  1; b  3x  2; c  x  Tìm nghiệm số phương trình: x3  15 x  71x  105  , biết nghiệm số phận biệt tạo thành cấp số cộng Bài Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây, … Hỏi có hàng? lehai88.blogspot.com §3 CẤP SỐ NHÂN A LÝ THUYẾT Định nghĩa: (un) cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q: công bội) Số hạng tổng quát: với n  un  u1.q n1 Tính chất số hạng: với k  uk  uk 1.uk 1 Tổng n số hạng đầu tiên:  Sn  nu1 với q   n  S  u1 (1  q ) với q   n 1 q B BÀI TẬP Bài Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân, biết: u1  u3  u5  65 u3  u5  90 u4  u2  72 a)  b)  c)  u1  u7  325 u5  u3  144  u2  u6  240 Bài a) Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân b) Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân Bài Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216 Bài a) Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết công bội 3, tổng số số hạng 728 số hạng cuối 486 b) Tìm cơng bội cấp số nhân có số hạng đầu 7, số hạng cuối 448 tổng số số hạng 889 Bài a) Tìm góc tứ giác, biết góc lập thành cấp số nhân góc cuối gấp lần góc thứ hai b) Độ dài cạnh ABC lập thành cấp số nhân Chứng minh ABC có hai góc khơng 600 Bài Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ hai nhỏ số hạng thứ 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560 lehai88.blogspot.com ... thành cấp số nhân b) Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân Bài Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216 Bài a) Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết công bội 3, tổng số. . . số 35 đặt thêm số để cấp số cộng b) Giữa số 67 đặt thêm 20 số để cấp số cộng Bài a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293 b) Tìm số hạng liên tiếp cấp. .. bội 3, tổng số số hạng 728 số hạng cuối 486 b) Tìm cơng bội cấp số nhân có số hạng đầu 7, số hạng cuối 448 tổng số số hạng 889 Bài a) Tìm góc tứ giác, biết góc lập thành cấp số nhân góc cuối gấp