Bài 2 giới hạn hàm số đáp án p1

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 ĐiệTrang chủ»Khoa Học Tự Nhiên»Toán họcMột số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11Tại nhiều nước trên thế giới, việc xây dựng chương trình và triển khai nội dung dạy học ở bậc phổ thông luôn gắn liền với quan điểm dạy học tích hợp. Bài viết Một số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11 trình bày một số ý tưởng dạy học tích hợp nội dung cấp số nhân trong chương trình Toán 11.n thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https www facebook comphong baovuong Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Giới hạn hàm số 1 Giới hạn của hàm số tại một điểm a) Giới.

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489 Bài GIỚI HẠN HÀM SỐ • Chương GIỚI HẠN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn : Cho khoảng K chứa điểm x0 Ta nói hàm số f ( x) xác định K (có thể trừ điểm x0 ) có giới hạn L x dần tới x0 với dãy số ( xn ) bất kì, xn  K \{x0} xn  x0 , ta có f ( xn )  L Ta kí hiệu: lim f ( x )  L hay f ( x)  L x  x0 x  x0 Các giới hạn đặc biệt: lim x  x0 ; lim c  c x  x0 x  x0 b) Giới hạn vô cực + Ta nói hàm số y  f ( x) có giới hạn dần tới dương vơ cực x dần tới x0 với dãy số ( xn ) thỏa xn  x0 f ( xn )   Kí hiệu lim f ( x )   x  x0 + Tương tự ta có định nghĩa giới hạn dần âm vơ cực + Ta có định nghĩa ta thay x0   Giới hạn hàm số vô cực + Ta nói hàm số y  f ( x) xác định  a;   có giới hạn L x   với dãy số ( xn ) thỏa xn  a xn   f ( xn )  L Kí hiệu: lim f ( x)  L x  + Ta nói hàm số y  f ( x) xác định (; b) có giới hạn L x   với dãy số ( xn ) thỏa xn  b xn   f ( xn )  L Kí hiệu: lim f ( x)  L x  Các giới hạn đặc biệt: c + lim c  c ; lim  với c số x  x  x + lim x k   với k nguyên dương; lim x k   với k lẻ, lim x k   với k chẵn x  x  x  Một số định lí giới hạn hữu hạn Định lí 1: a Nếu lim f ( x )  L, lim g ( x )  M x  x0 x  x0 lim  f ( x )  g ( x )  L  M ; x  x0 lim  f ( x).g ( x)  L.M ; x  x0 lim x  x0 f ( x) L  g ( x) M ( M  0) b Nếu f ( x )  0, lim f ( x )  L lim x  x0 x  x0 f ( x)  L c lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L x  x0 x  x0 x  x0 Chú ý: Định lí ta áp dụng cho hàm số có giới hạn hữu hạn Ta không áp dụng cho giới hạn dần vơ cực Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Cho ba hàm số f ( x), g ( x), h( x) xác định K chứa điểm x0 (có thể hàm khơng xác định x0 ) Nếu g ( x)  f ( x)  h( x) x  K lim g ( x )  lim h( x )  L lim f ( x)  L x  x0 x  x0 x  x0 Các giới hạn đặc biệt + lim x k   ; lim x k 1   () x  ( x  ) x  ( x  ) + lim f ( x)   ()  lim x  x0 x  x0 k  (k  0) f ( x) Giới hạn vô cực a) Quy tắc Cho lim f ( x )  ; lim g ( x )  L  Ta có: x  x0 x  x0 lim  f ( x).g ( x) Dấu L lim f ( x ) x  x0 x  x0    b) Quy tắc Cho lim f ( x)  L; lim g  x   0; L  Ta có:  x  x0   x  x0 Dấu g  x  Dấu L lim x  x0 f ( x) g ( x) +       II Giới hạn bên Giới hạn hữu hạn a) Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định khoảng  x0 ; b  ,  x0  R  Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số  xn  số thuộc khoảng  x0 ; b  mà lim xn  x0 ta có lim f  xn   L Khi ta viết lim f  x   L f  x   L x  x0  x  x0  b) Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định khoảng  a; x0  ,  x0  R  Ta nói hàm số f có giới hạn bên trái số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy  xn  số thuộc khoảng  a; x0  mà lim xn  x0 ta có lim f  xn   L Khi ta viết lim f  x   L f  x   L x  x0  x  x0 Chú ý: lim f  x   L  lim f  x   lim f  x   L x  x0 x  x0 x  x0 Các định lí giới hạn hàm số thay x  x0 x  x0  x  x0  Giới hạn vô cực + Các định nghĩa lim f  x    , lim f  x    , lim f  x    lim f  x    phát biểu x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 tương tự định nghĩa định nghĩa + Các ý thay L   PHẦN CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Giới hạn điểm a Giới hạn hữu hạn Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Giả sử  a; b  khoảng chứa điểm x0 f ' hàm số xác định tập hợp  a; b  \ {x0 } Ta nói hàm số f ' có giới hạn số thực L x dần tới x0 ( điểm x0 ) với dãy số  xn  tập hợp  a; b  \ {x0 } , mà Lim xn  x0 ta có Lim f  xn   L Khi ta viết Lim f  x   L f  x    x  x0 x  x0 Nhận xét: f  x  c Nếu Lim f  x   c x  x0 Nếu f  x   x Lim f  x   x0 x  x0 b Giới hạn vô cực Giả sử  a; b  khoảng điểm x0 f ' hàm số xác định tập hợp  a; b  \  x0  Ta nói hàm số f có giới hạn số thực  x dần tới x0 ( điểm x0 ) với dãy số  xn  tập hợp  a; b  \  x0  mà Lim xn  x0 ta có Lim f  xn   L Khi ta viết: Lim f  x    f  x   L Lim  x  x  11 x 2 x  x0 II Định lý giới hạn Định lý Cho Lim f  x   L , Lim g  x   M x  x0 x  x0 Ta có: Lim  f  x   g  x    L  M x  x0 Lim  f  x  g  x    L.M x  x0 Lim c f  x    c.L x  x0  f  x  L Lim   x  x0  g  x   M với M  Định lý Nếu Lim f  x   L Lim f  x   L ; Lim x  x0 x  x0 x  x0 f  x   L ; Lim x  x0 f  x   L với L  Bài tập tự luận Câu Tính giới hạn  3x  1  3x  b Lim  x  x  x3 a Lim x 2 x 0 x 1 1 x c Lim 3x2   x x 1 d Lim 5x 1 x2  x  e Lim x2 2x  x 1 f Lim x8 3 x2 x 1 x 1 x 1 Lời giải a Lim x 2  3x  1  3x   40 x 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/  x  x2  x3 1 x 0 1 x x   x 3 c Lim  x 1 x 1 5x 1 1 d Lim   x 1 2x  27 b Lim x2  x   1   x2 x 1 1 x 8 3 1  f Lim  0 x 1 x2 1 Câu Tính giới hạn  x  1  x  b Lim x  x  a Lim x 3 x 1 x 1 x 1 e Lim Lời giải a Lim x 3  x  1  x  x 1   3  1  3 3   2 x2  x 1  11   x 1 x 1 11 Câu Tính giới hạn x  16 x2  3x  Lim a Lim b x 2 x  x x 4 x2  x b Lim c Lim x3  x  x  5  d Lim x  x  15 x  x   x n  n e Lim x 1 x5 x 1 x 1 x 5 Lời giải x   x    x  2  x2  4  x  16  Lim  Lim  8 a Lim x 2 x  x x 2 x 2 x2  x  2 x2 2 b Lim  x  1 x    Lim x   x  3x   Lim x  x 4 x  4x x  x  4 x c Lim  x  1  x2  x  1 x3  x2  x   Lim  Lim  x 1 x  x    x1  x  1 x   x6 x 4 x 1  x  5 x  3  Lim x   8 x  x  15  Lim   x 5 x 5 x 5 x5 x5 x  x   x n  n x   x    x n  e Lim  Lim x 1 x 1 x 1 x 1 n  x 1 x 1   Lim      x    x n 1  x n   1    Lim x 1 x  x 1 x 1   d Lim   n 2 2  Lim  1   1  x  x    x n  x n  x n 1    n  n   n    1   n  1   x 1 n 1  n  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 Câu Tính giới hạn 4 x 2 a Lim x 0 4x x7 2 x 1 b Lim x 1 Lời giải a 4 x 2  Lim x 0 4x Lim x 0  4 x 2 x x7 2 b Lim  Lim x 1 x 1 x 1 4 x 2 4 x 2 x7 2    x  1  x   Câu Tính giới hạn 2x   a Lim x 2 x2 2   x  7   23 x   b Lim x 1    Lim x 0  x  1  x   x   23  Lim x 1    2 4 x4 x  4 x 2  23 x    23 x    Lim x 1  x 0   x  7  4 x 2   16    Lim  23 x     12 x3  3x  x 1 Lời giải a Lim x 2 2x    Lim x 2 x2 2    x    2x    x   3 2x    x   2 x2 2  x   2  2x   9  x   2  Lim  x2  x     x   3 x 2 x   3  Lim    x3  1  3x    x3  x3  x  3x    b Lim  Lim  Lim    x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1   x 1  3x    Lim  x  x   x 1   x  1 3x     Câu Tính giới hạn x  1 a Lim x 1 x  1  b Lim x 1  3    Lim  x  x    3    x   2 3x   1   x7  x3 x 1 Lời giải a Đặt t  12 12 x   x  t  x  1 t  Do đó:  t  1  t  t  1 x  1 t 1 t2  t 1 Lim  Lim  Lim  Lim  2 x 1 x  x  x  t 1 x  1  t  1 t  1  t  1  t  1  t  1 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ x7  x3  Lim b Lim x 1 x 1 x 1    Lim  x 1   x  1     x7 2  x3 2 x 1   Lim  x 1   x7 2 x   2   x 1 x 1      x 3  2  23 x    x   23   x  7    1  1 1  Lim   x 1  3 x    12   x  7  x    Câu Tính giới hạn x  3x  a Lim x 1 x2 1 1 2x 1 3x b Lim x 0 Lời giải x  3x  a Lim  Lim x 1 x 1 x2 1 b Lim x 0  2x 1  Lim x 0 3x  1   x  1  x   2x 1 2   Lim   x  1 x  1 x1 x   1 2x 1 3x    Lim 1 2x 1  x0 1 2x 1 2x 3x    2x   Lim x 0    2x   Dạng Giới hạn hàm số vô cực Giả sử hàm số f xác định khoảng  a;   Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x tiến tới  với số Lim f  x n   L Khi ta viết Lim x   xn  khoảng  a;   f  x   L f  x   L mà Lim x n   ta có Các giới hạn: Lim f  x    ; Lim f  x    x  x  Lim f  x    ; Lim f  x    x  x  Lim f  x   L x  Chú ý số giới hạn 1  ; Lim k  k x  x x k k Lim x   k chẵn; Lim x   k lẻ Lim x k   ; Lim x  x  x  x  Bài tập tự luận Câu Tính giới hạn x2  x  a Lim x  x  x  c Lim x  x x  x2  x x3  b Lim x  x2  x  5x2  2x2  x  x  x  d Lim Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Lời giải  1   1  x 1    1    x  x 1 x x  x x   a Lim  Lim  Lim  0 x  x  x  x  x      x3     x2    x x  x x    1  5 x  x 1 x x x 0 b Lim  Lim x  x  5x2  5 x x x  x2  c Lim x x  x2  x x3  x  x x3 x x3   Lim x  x x3 x2   x x x x x3   Lim x  1 x  2x2  x x3  d Lim  Lim x  x  x  x  1  x x Câu Tính giới hạn x3  x3  a Lim x  d Lim b Lim x  x2  x  2x  x6  x4  x2  x  e Lim x2  x  c Lim x  x3  x2  x  x2  x  x2  Lời giải 1 x3  x    Lim x a Lim x  x  x  2 x  1   1  x 1    x 1    x  x 1  x x   x x   Lim  Lim  b Lim x  x  x  1 1 2x 1   x2   x2   x x   1 1   x 1   x 1   x 1  x   x   Lim  Lim   Lim c Lim x  x  x  x  1 2x 1     x2    x 2  x  x    3 3 1  1    x      2  x   1  1    x 1     x 1     x x  x x  x  x  x 1  x  x  Lim  Lim   d Lim x  x  x    x2   2 x 2  x 2  x  x    1 x  Lim   1  e Lim x  x  1 2x  x 1 2x  x  x x  x2  x x 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Câu Tính giới hạn x  3x  a Lim x  2  x  x x  x  3x b Lim x2   x  x  Lời giải 2  2 x  3x  x x  1  Lim a Lim x  2  x  x x  2  4 2 x x  2 x 1    3x x  x  3x  x b Lim  Lim x  x   4x 1  x   x2.    x  x   2 2  3x  x   x  1  2 x x x  Lim  Lim  x  x  1 4  x3  x   x    1 x x x x x 1  Lim x  x Câu Tính giới hạn 3x  a Lim x  x  4 x  x   x b Lim Lời giải  3x   Lim x x  a Lim x  x  x  2 x 4  4 x  x b Lim  Lim   x  x  2x  x2 x    1 Vì Lim  4    Lim     0;   0; x  x  x  x x  x x x   Câu Tính giới hạn a Lim x   x2  x   x  b Lim x   x2  x   x  Lời giải a Lim x    x  x   x  Lim x  x  x   x2 4x  x   2x  Lim x  2 x 4x  x   2x 1 2x x  Lim  Lim  x  x  2  x    x     2x x x x x Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 b Lim x   TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 2 x  x x  x   x  Lim  Lim 1 x  x  x  2x   x 1  1 x x  Câu Tính giới hạn   a Lim  x3  x  x  x   b Lim x  x  x  x   Lời giải   1  a Lim  x3  x  x   Lim  x3  1        x  x  x x x      Vì Lim x3  ; x  1 1  Lim   x3  x  x  1  Lim  1      1  x  x  x x x    b Lim x  x  x   Lim  x  x x  x         Lim  x     x  x x    Vì Lim     x  x x  4       Lim  x  x    x x  x   x x             0;  Lim x   x  Câu Tính giới hạn 2x2  x  a Lim x  x2  b Lim x  x2  x Lời giải 2  2x2  x  x x 2 a Lim  Lim x  x  x 1 1 x x2  b Lim  Lim x  x  x x  Lim   x  x x2 x  Dạng Giới hạn bên I Định nghĩa hữu hạn Giới hạn phải Giả sử hàm số f xác định định khoảng  xo ; b  Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải số thực L x tiến xo số  xn  khoảng  xo ; b  mà Lim xn  xo ta có Lim (f(xn ))  L Khi đó, ta viết: Lim f  x   L f  x   L x  xo x  xo Giới hạn trái Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Giả sử hàm số f xác định định khoảng  a; xo  Ta nói hàm số f có giới hạn bên trái số thực L x tiến xo số  xn  khoảng  a; xo  mà Lim xn  xo ta có Lim (f(xn ))  L Khi đó, ta viết: Lim f  x   L f  x   L x  xo x  xo Nhận xét: Nếu tồn Lim f  x   L Lim f  x   Lim f  x   L ngược lại x  xo x  xo x  xo Giới hạn vô hạn Lim f  x    Lim f  x    x  xo x  xo Lim f  x    Lim f  x    x  xo x  xo Bài tập tự luận Câu Tìm giới hạn  3x  x a lim x 3 x3 2x 1 d lim x 2 x  x2  x2 x2 3x  e lim x 3  x b lim c lim 2x 1 x2 f lim  x 2 x 3 3 x  x  Lời giải  3x  x   x3 a lim x 3 x2   lim x2 x2 x2 2x 1 lim   x 2 x  2x 1 lim   x  2 x  3x  lim   x 3  x lim  x  x  b lim c d e f x 3   x   x   x2  lim x2 x2   x2  Câu Tìm giới hạn a lim x 2 2 x x  5x  b lim x 3 3 x 3 x c lim x 2 x2  4x  x2 Lời giải a lim x2 2 x 2 x 1 1  lim  lim  x  x  x2  x   x  1 x2 x  3 x 3 x  lim 1 x  3 x 3 x x2 x2  x  x2 c lim  lim  lim 1 x 2 x  x  x2 x2 x2 Câu Tìm giới hạn b lim x 3 a lim   x  x4 2x 1 x3  64 b lim  x  1 x  x2  x  3x  Lời giải a lim   x  x4 2x 1  lim x3  64 x 4  x  1  x   lim  x  1  x    x    x  x  16  x 4  x  x  16   Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  1  1      x  1  x  1  x2  x x   lim  lim  2 b lim  x  1 4 x  x  x  x  x  x  3x  1  x x Bài toán chứng minh tồn giới hạn điểm Nếu lim f  x   lim f  x   L tơng lim f  x   L 2 x  x0 x  x0 x  x0 Câu Tìm giới hạn hàm số sau:  x  3x  x   a) f  x    x  x  x  x   1  cos2 x x   b) f  x    sin x x  cos x x    x  x  x  c) f  x    x  x  4 x  Lời giải  x a) Có lim f  x   lim      x 1 x 1  2 2  x  1 x    lim x    x  3x  lim f  x   lim  lim x 1 x 1 x 1  x  1 x  1 x 1 x  x 1 1  lim f  x   lim f  x     lim f  x    x  x 1 x 1 2 b) Có  cos2 x  cos2 x 2sin x lim f  x   lim  lim  lim  lim 1 2 x 0 x 0 x 0 sin x  cos2 x sin x x 0  cos2 x sin x x 0  cos2 x       lim f  x   lim  cos x   x 0 x 0  lim f  x   lim f  x    lim f  x   x 0 x 0 x 0 c) Có lim f  x   lim  x  x  3  x 2 x2 lim f  x   lim  x  3  x  2 x2  lim f  x   lim f  x  x 2 x2 Vậy không tồn giới hạn hàm số f  x  x  Câu Tìm m để hàm số có giới hạn tại:   x2 1 x    a) f  x     x  x   x  m  x  x  m  b) f  x    x  100 x  x  x   x3  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/  3x   x   c) f  x    x  x  mx  x   Lời giải a) Có  x2 1 lim f  x   lim  lim x 0 x 0  x  x 0  x2   1  x    lim  x   1 x 1   x2    x  x 0  1  x   0  1 x 1  x2  1  lim f  x   lim  m    m  x0  2 x  0 Để tồn giới hạn f  x  x  m  1 0m 2 b) Có lim f  x   lim  x  m   m x 0 x 0 x  100 x  1 x3 Để tồn giới hạn f  x  x  m  lim f  x   lim x  0 x 0 c) Có lim f  x   lim x 2 x2 3x    lim x2 x2  x  2 3x     3x    3x   22   1  lim f  x   lim  mx    2m  x 2 x2  4 Để tồn giới hạn f  x  x  2m  Câu Tìm giá trị a; b; c để lim x1 1  m0 4 ax  b  cx  x  2x  x Lời giải Ta có lim x 1 ax  b  cx (cx  ax  b)    lim   (*) 2 x  2 x  2x  x x  x  1 ax  b  cx   Để xảy (*) điều kiện cần k   a  2k , b  k   ab c    (c x  ax  b)  k (x  1)2 (k  0) a  2k   c  k       b  k  1  a.1  b  c  k   (PTVN)    k c   k      2k  k  k   c   k  a.1  b  c  k     k  1     2k  k  k Thử lại: với a  2, b  1, c  thỏa mãn yêu cầu toán Dạng Một vài quy tắc tính giới hạn vơ cực 1.Định lý Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 lim f ( x)    lim 0 x  x0 x  x0 f ( x ) 2.Một vài quy tắc tính giới hạn Quy tắc 1: lim   lim g ( x)  L  x  x0 x  x0 lim f ( x)   lim[ f ( x) g ( x)] lim g ( x)  L  x  x0 x  x0 x  x0 +∞ +∞ -∞ -∞ + + - +∞ -∞ -∞ +∞ Quy tắc 2: lim f ( x)  L lim g ( x)  g(x) > g(x) < x  x0 lim f ( x)  L x  x0 lim g ( x)  x  x0 lim x  x0 + + - x  x0 + + - +∞ -∞ -∞ +∞ Bài tập tự luận Câu Tính giới hạn a lim 2 x  x x  x  x    x  e lim x   b lim x x  x x  x  2x x 4 c lim 3 x  f ( x) g ( x) d lim x   4 x3  x  x2  x  x x Lời giải 1  a lim 2 x  x x  x   lim x3  2       x  x  x  x x x    2   b lim x x  x x   lim x x       x  x   x x x x   c lim 3 x  x  d lim x  4 x  4x  e lim x  2x x   lim x (3   )   x  5 x x  lim x  2x  x 1  lim x  x x 4 0 3 x (1   ) x x 1 1 1  2) x 2  2  x x  lim x x  lim  x x  x  x  1 x(1  ) x(1  ) (1  ) x x x x (2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Câu Tìm giới hạn x( x  1) a lim (2 x  3) x  x 5x  x  ( x  4) ( x  11) b lim   x 1 c lim  x 1 ( x  1)(2 x  x  3)    2x 1 e lim x 1 x  x   1 d lim     x 0 x x x   Lời giải 15   x( x  1)  a     lim3 x  (2 x  3)  lim    x  (2 x  3)  lim x( x  1)  x  x x  22    x4 x 5x  x  11 15  b     lim x  ( x  4) ( x  11)  lim   x  ( x  4)  lim     x 1 x 1 c lim   lim      2 x 1 ( x  1)(2 x  x  3)   x 1  ( x  1) (2 x  3)   1 d lim      lim  x  x     x 0 x x  x x  x  e lim x 1 2x 1 2  1   x  3x    Câu Tìm giới hạn a lim x  x2  x  3x  x  16 x 2 x  x  x  27 x x 3 x  x  b lim c lim Lời giải a lim x  1 x2  x  lim 3 x  x  x    x x x  16 ( x  4)( x  4) ( x  2)( x  4)  lim  lim  16 x 2 x  x  x 2 ( x  2)( x  4) x 2 x4 b lim x  27 x x( x  27) x( x  3)( x  3x  9) x( x  3x  9)  lim  lim  lim 9 x 3 x  x  x 3 ( x  3)(2 x  3) x 3 x 3 ( x  3)(2 x  3) 2x  c lim Câu Tìm giới hạn x3  x  a lim x   x  x (3x  8)(2 x  1) x   x3 b lim Lời giải Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 3  3 x3  x  x x  3 a lim  lim x   x  x x  1 4 x x (3x  8)(2 x  1) b lim  lim x  x   x3 (3  )(2  ) x x   3 4 4 x3 Câu Tìm giới hạn 5 x  a lim x   x x  x  b lim Lời giải 5  5 x  x5 a lim  lim x   x x  2 x 7 b lim  lim x   x  x  x  2 x Câu TÌm giới hạn 2 x  x  x  3x  lim a lim b x  x   5x5 2x  Lời giải 2  4 2 x  x  x x x  0 a lim  lim x  x  1  5x 5 x5 x  3x  b lim  lim x  x  2x  3  x x     x x 4 Câu Tìm giới hạn x x 1 a lim x  x  x  x  2x2  x  5x  b lim Lời giải 1  x x 1 x a lim  lim x  0 x  x  x  x  3  3 x x 2 x  x2  x  2 b lim  lim x x  x  5x  5 x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Câu Tìm giới hạn 3x   x  x3 a lim b lim x   x x   x  x Lời giải 3 3x  x    a lim  lim x   x x   x x  2 3  x  x3 2 x x b lim  lim  x   x  x x   5 x3 x Câu Tìm giới hạn a lim (2  3x  x ) x  b lim (7 x  x  2) x  Lời giải   a lim (2  x  x )  lim x       x  x  x x  b lim (7 x  x  2)  lim x (7  x  x  Câu 10 Tìm giới hạn  5x a lim x 2 (  x  2) c lim (1  x3  x ) x   )   x3 x 3x  x  x  x3 b lim d lim (6 x  x  2) x  Giải  5x  5.( 2) 6     x 2 ( x  2) (2  2) a lim b lim x  3x  x   lim x  x3  x x     x x2 3 1  c lim (1  x3  x )  lim x       x  x  x x   d lim (6 x  x  2)  lim x       x  x  x x   Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 Dạng Giới hạn vơ định Ta gặp số dạng vô định sau: Dạng Tìm giới hạn hàm số có dạng 0 Phương pháp P  x  x  x0  P1  x  Nếu f  x   P  x  , Q  x  hai đa thức x , ta biến đổi f  x   Q  x  x  x0  Q1  x  Rút gọn thừa số x  x0 khử dạng vô định (*) f  x  biểu thức có chứa x dấu ta nhân chia biểu thức liên hợp biểu thức chứa tiến 0, sau rút  x  x0  nhân tử chung, rút gọn thừa số  x  x0  khử dạng vô định Dạng Tìm giới hạn hàm số có dạng   Phương pháp Giới hạn dạng vô định P  x  giới hạn hàm số dạng x  x0 (hay  ) Q  x  P  x   , Q  x    Chia tử mẫu cho xk với xk lũy thừa có số mũ lớn tử mẫu (hoặc rút xk làm nhân tử) sau áp dụng định lí giới hạn hữu hạn Dạng Tìm giới hạn hàm số có dạng    Phương pháp Nếu x  x0 ta quy đồng mẫu số đưa dạng  Nếu x   ta nhân chia cho lượng liên hợp để đưa dạng  Dạng Tìm giới hạn hàm số có dạng 0. Phương pháp: Giả sử cần tìm giới hạn hàm số F  x   f  x  g  x  x  x0 hay x   , f  x   g  x    Ta thường biến đổi theo hướng sau: f đưa giới hạn dạng 1/ g  g -Nếu giới hạn x   ta thường viết f g  đưa dạng  1/ f -Tuy nhiên nhiều giới hạn loại này, ta cần thực số biến đổi đưa thừa số vào dấu căn, quy đồng mẫu số, ta đưa giới hạn dạng quen thuộc -Nếu giới hạn x  x0 ta thường viết f g  Bài tập tự luận Câu Tìm giới hạn sau: x  3x  a lim x2 x  x  x3  3x  x  d lim x2 x3  x  x3  3x  x x5  c lim x 2 x 1 x  x2  x  x  x   x n  n e lim x 1 x 1 Lời giải  x   x  1  lim x   x  3x   lim a lim x2 x  x  x   x   x   x2 x  b lim x  x   x  1 x3  x  x  lim  x 2 x 2  x   x   x  x6 b lim Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/  x  1  x  x3  x  x  1 x5  c lim  lim  x 1 x  x 1  x  1  x  x  1  x    x  x  1 15 x3  x  x  d lim  lim  x2 x2 x  x3  x     x  x  3 11 n  n  1 x   x    x n   lim1   1  x  x   x n 1  n  n        x 1 x 1 x 1 nso '1 n 1so ' x Câu Tìm giới hạn sau: e lim x2   x2 a lim x 2 b lim x2 x x2 4x   x 1 x 1 c lim x 0 Lời giải x 5 3  lim x 2 x2 a lim x 2 x 59   x2    x   x2  lim x2   x2      x  1 x   x   x x2  lim  x   x 2 x   x  x  2 b lim  x2 x x  lim x 0  x  x 0 Câu Tìm giới hạn sau: c lim  x 1 1 x x 0 3x x 0 a lim d lim   lim 1 x 1 b lim x 1 1 x 1  x 1 c lim x2   x2  x   x  1 x 1 x 1 x 1 x 3 2 Lời giải  1  x  a lim x 0 1 1 x 1  lim  lim  x  x  2 3x 3x   x  1  x    x  1  x   b lim x 1 c lim x 1 x 1  lim x 3 2 x2  x   x  1 x 1   x  1   Câu Tìm giới hạn sau: 1 x  1 x a lim x 0 x x  11  x  c lim x 2 x  3x     x  x   x  1   lim x 1 x2   3   lim x 1    x2      x  x   x  1 x 1  x3    lim x 1   x2  x   3x    x x 0 x 1 4x  1 6x d lim x 0 x2 Lời giải 3 1 x  1 x  x 1    x  lim  a lim x 0 x 0 x x 3 3x    x 3x      x  lim  b lim x 0 x 0 x x b lim Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 c lim x2 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 x  11  x  x  11    x   lim x  x  3x   x  1 x      lim  x 2   x  1        27 54 3 x   x    x  11  x  11      3  x   x  1   x  1   x 1 4x  1 6x  lim d lim x 0 x  x x2     4 12 4 x  12  lim      x 0 2 3  x  x      x  1   x  1  x  1  x     Câu Tìm giới hạn x2  x2  x  2x2  a lim b lim c lim x  x  x  x  x  x  x  x 1 Lời giải 1 x2  1 x a lim  lim  x  x  x  x  1 2  2 x x 2x 1  2x  x 1 x   b lim  lim x  x  x 1 1 x 2 2 2x 1 x 0 c lim  lim x  x  x  x  x 3 x Câu Tìm giới hạn    a lim x    x6  x   x6  2x 1 b lim x  d lim 9x2   x  x    x2  x   x c lim  x  x x 1 x2  x  x2  2x   4x  4x2    x Lời giải a lim x  6 x  x 1  x 1  lim x  2x 1 x2  1   x3  x x x   x2   x   1   x2  x x x    lim x  1  2  x  1  x x 1  lim x x  b lim x  x  x  x  1 1  x x c x 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ 2 1 1 x 1 lim x x  2   1 x x 2 2  2   x   1  x   x   1 x  2x   x x x  x   lim x   lim x   x  x x   x  1   x  x   x  1       x2 x x2 x   x 1 lim x  x2  x   x  d lim x2    x x   4 x x x 5 + lim  lim x  x  4x 1   x   1 x x  1    2 x  2x   4x 1 x x x  1 + lim  lim x  x  4x 1   x    1 x x Câu Tìm giới hạn 1 x2  x   x  a lim b lim x  c lim x2  x x   x  1 x  x 1  2x x2  x x   x  1 d lim x 2 x   x  1 x  1 3x  1 x  1 x  1  x  5 x  x 1  2x  x3   x  Lời giải a lim  x  1 x  x  1 x  x x 1 1  x  1 1  x x2   x  1  1 1  x x2  lim   x  1 x   2x 1  x x    1   1             15 x  1 x  1 x  1 x  1 x  1  x x x x x      lim   b lim 5 x  x  128 5   x  5 4  x  x  c x 1  2x  x  1 lim x2  x x   lim 1  x x2 x   x  1 x 1  lim x  1 x   2x  1  x x   x x3   x  x3   x x3   x  x    d lim x x3   x  lim x  x   3 3 2  x   x x   x  x    x 1  lim  lim  2 x   x  3 3 2   3 1  x   x x   x  x       3   x  x  Câu Tìm giới hạn x2   2x x    x         lim 1  x x2        Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/   ...  1 2x 1 3x    Lim 1 2x 1  x0 1 2x 1 2x 3x    2x   Lim x 0    2x   Dạng Giới hạn hàm số vô cực Giả sử hàm số f xác định khoảng  a;   Ta nói hàm số f có giới hạn số thực... ? ?2   16    Lim  23 x     12 x3  3x  x 1 Lời giải a Lim x ? ?2 2x    Lim x ? ?2 x? ?2 ? ?2    x    2x    x   3 2x    x   2? ?? x? ?2 ? ?2  x   2? ??  2x   9  x   2? ??...  3  x ? ?2 x? ?2 lim f  x   lim  x  3  x  2? ?? x? ?2  lim f  x   lim f  x  x ? ?2 x? ?2 Vậy không tồn giới hạn hàm số f  x  x  Câu Tìm m để hàm số có giới hạn tại:   x2 1 x  