BÀI 2 GIỚI hạn hàm số

BÀI GIỚI HẠN HÀM SỐ MỤC TIÊU Kiến thức: - Nắm khái niệm giới hạn hàm số - Nắm tính chất phép tốn giới hạn hàm số Kỹ năng: - Biết cách tìm giới hạn hàm số điểm - Vận dụng quy tắc tìm giới hạn hàm số - Thực hành khử số hạng vô định Cơ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa giới hạn hàm số điểm Giới hạn hữu hạn điểm Định nghĩa Cho khoảng  a; b  điểm x0 Hàm số y  f  x  xác định  a; b  (a; b) \ x0  Ta nói hàm số f  x  có giới hạn số thực L x dần đến x0 , (hoặc điểm x0 ) với dãy số x0  tập hợp (a; b) \ x0  mà lim xn  x0 ta có lim f  x0   L Khi ta viết lim f ( x)  L hay f ( x)  L x  x0 x  x0 Các giới hạn đặc biệt +) lim C  C , với C số x  x0 +) f  x  hàm số quen thuộc ( đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác) xác định  a; b  chứa x0 x0 lim f ( x)  f  x0  x  x0 Giới hạn vơ cực Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn dương vơ cực x dần tới x0 , với dãy số  xn  cho xn  x0 f  xn    Kí hiệu lim f ( x)   x  x0 Tương tự ta có định nghĩa giới hạn âm vơ cực lim f ( x)   x  x0 Giới hạn hàm số vô cực Định nghĩa Giả sử hàm số y  f  x  xác định khoảng  a;   Ta nói hàm số f  x  có giới hạn số thực L x   với dãy số  xn  : xn  a xn   f  xn   L Kí hiệu: lim f ( x)  L x  Các giới hạn lim f ( x)  ; lim f ( x)   lim f ( x)  L định nghĩa tương tự x  x  x  Các giới hạn đặc biệt C lim C  C; lim  với C số x  x  x lim x k   với k nguyên dương ; lim x k   với k số nguyên dương lẻ lim x k   k x  x  x  nguyên dương chẵn Một số định lí giới hạn hữu hạn Định lí Trang Giả sử lim f ( x)  L, lim g ( x)  M Khi x  x0 x  x0 a) lim[ f ( x)  g ( x)]  L  M x  x0 b) lim[ f ( x)  g ( x)]  L.M x  x0 f ( x) L  (M  0) g ( x) M c) lim x  x0 d) lim | f ( x) || L | x  x0 e) Nếu f ( x)  0, lim f ( x)  L lim x  x0 f) lim x  x0 x  x0 f ( x)  L f ( x)  L g) Nếu c số lim cf ( x)  cL x  x0 Quy tắc Cho lim f ( x)  ; lim g ( x)  L  Ta có: x  x0 x  x0 Quy tắc Cho lim f ( x)  L; lim g ( x)  0; L  Ta có: x  x0 x  x0 Giới hạn bên Giới hạn hữu hạn Định nghĩa Giả sử hàm số f  x  xác định khoảng  x0 ; b  ,  x0   Ta nói hàm số f  x  có giới hạn bên phải số thực L x dần đến x0 ( điểm x0 ) với dãy số  xn  thuộc khoảng  x0 ; b  mà lim xn  x0 ta có im f  xn   L Khi ta viết lim f ( x)  L f ( x)  L x  x0 x  x0 Định nghĩa Giả sử hàm số f  x  xác định khoảng  a; x0  ,  x0   Ta nói hàm số f  x  có giới hạn bên trái số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy  xn  thuộc khoảng  a, x0  mà lim xn  x0 ta có lim f  xn   L Khi ta viết lim f ( x)  L f ( x)  L x  x0 x  x0 Chú ý: Trang a) lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L x  x0 x  x0 x  x0 b) Các định lí giới hạn hàm số thay x  x0 , x  x0 x  x0 Giới hạn vô cực a) Các định nghĩa lim f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)   lim f ( x)   phát biểu x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 tượng tự Định nghĩa Định nghĩa b) Các ý thay L   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tìm giới hạn hàm số cách thay trực tiếp ► Phương pháp giải Nếu f  x  hàm số sơ cấp xác định x0 lim f ( x)  f  x0  x  x0 Ví dụ: Giới hạn lim  x  x   có giá trị bao nhiêu? x 1 Hướng dẫn giải Do hàm số f ( x)  x2  2x  xác định điểm x0  1 , nên giới hạn f  1  lim  x  x    x 1 ► Ví dụ mẫu x  3x  có giá trị bao nhiêu? x 2 3x  Ví dụ Giới hạn lim Hướng dẫn giải x  3x  Cách 1: lim  x 2 3x  Cách 2: Nhập máy tính sau x  3x  bấm CACL, nhập giá trị x  ta nhận đáp 3x  án Ví dụ Tìm giới hạn hàm số B  lim  x tan x  sin x  Hướng dẫn giải  tan  tan x  36   Ta có B  lim  sin x  x sin  6 f ( x)  x 2 f ( x)  Ví dụ Cho lim f ( x)  Tìm giới hạn A  lim x 2 Hướng dẫn giải f ( x)  2.3  Ta có A  lim   x 2 f ( x)   10 Ví dụ Tìm giới hạn lim x 2 x3  x (2 x  1)  x3   Hướng dẫn giải Trang Ta có lim x 2 x3  x 23  4.2  0 (2 x  1)  x3   (2.2  1)  23   Ví dụ Tìm giá trị tham số m để B  với B  lim  x3  x  2m  5m   x 1 Hướng dẫn giải Ta có B  lim  x3  x  2m2  5m    2m  5m  x 1 Do B   2m2  5m    m2 ► Bài tập tự luyện dạng x 1 Câu Giá trị lim x 1 x  x    A  B Câu Giá trị lim x 1 A  2x  3x   A 2 x3  x  x 1 B  2 D  C D C D B Câu Giá trị giới hạn lim C x5  1 Câu Chọn kết kết sau lim x  cos x  x 0 A Không tồn B C D  3x  m Để A = 5, giá trị m bao nhiêu? x2 x  Câu Cho A  lim A 14 C B D 10 x2  Câu Cho hàm số f ( x)  Giá trị lim f ( x) x 2 2x  x2  A B không xác định Câu Kết lim x  A  B C 33 D  C 2 D Không xác định sin x  cot x  2 x3  x x 1 x 1   x A 1 B C Câu Nếu lim f ( x)  lim[13  f ( x)] bao nhiêu? Câu Chọn kết kết sau lim x 2 D  x 2 Trang A 17 B 1 D 7 C  x  x   x3  x   a a Câu 10 Cho lim    ( phân số tối giản; a , b số nguyên dương) x 1   b b x2    2 Tính tổng L  a  b A B 36 C D 37 1  x   3x   f  x  Câu 11 Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f    x  2; x   Giá trị xlim  2  x   2x 1  A B C D   x  x f ( x)  f ( x)   1 tính l  lim Câu 12 Cho lim x 1 x 1 x 1 x4 4 A l   B l  C l  5 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT B B A B A C B C 11 C D l  5 D 10 B 12 A Câu Ta có lim x 1  ( x  1)  x2  x   Câu Ta có lim  x 1 x  3x    Câu Ta có lim x 1 x3  2x2  2x5   2 Câu Ta có lim  x cos x     x 0   Câu 3x  m  m   m  14 x 2 x  Ta có  A  lim Câu x2   x 2 x  x  33 Câu Ta có lim sin3x   Ta có lim  x  cot x  2  2 3 1 Câu Trang x3  x2 Ta có lim 2x 1  1 x x 1   Câu Nếu lim f ( x )  lim[13  f ( x )]  13   lim f ( x )  13  4.5  7 x 2 x 2 x 2 Câu 10  x  x   x  5x    4.2 a   lim    L  37  2 b x 1  x    Câu 11 Ta có 2x 1 2t  Khi x   t  x x2 t 2  x   3( x  2) t  13   f (t )  Ta có f   5t  x   2x 1 2x 1 Đặt t   lim f ( x)  lim f (t)  x  t 2 Câu 12 f ( x)  f (1)  Ta có lim  1   1  f (1)  3 x 1 x 1 11 x I  lim x 1   x f (x)  x4  (1  1) f (1)  2  (3)    1 5 Dạng 2: Tìm giới hạn hàm số dạng vơ định 0 Đây dạng tốn vơ quan trọng tìm giới hạn hàm số Việc tìm giới hạn dạng vơ định tốn tìm giới hạn hàm số dạng hữu tỉ L  lim x  P( x) Q  x0   P  x0   Q( x ) ► Phương pháp giải Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn Sử dụng đẳng thức để nhân liên hợp tử mẫu đưa dạng Chú ý: • Nếu tam thức bậc hai ax  bx  c có hai nghiệm x1 , x2 ax2  bx  c  a  x  x1  x  x2  • a n  bn  (a  b)  a n1  a n2b  abn2  bn1  Trường hợp P( x) với P  x0   Q  x0   P( x), Q  x  biểu thức chứa bậc L  lim x 5 Q( x) Sử dụng đẳng thức để nhân liên hợp tử mẫu đưa dạng Chú ý: Ta dùng MTCT để tìm giới hạn Cách 3: Dùng chức lim máy Vinacal Sử dụng MTCT với chức phím CALC Dùng chức lim máy Vinacal 570ES Plus Trường hợp Trang P( x) x  Q( x) với P  x0   Q  x0   P( x) biểu thức chứa không đồng bậc L  lim Giả sử: P( x)  m u( x)  n v( x)) với m u  x0   n v  x0   a Ta phân tích P( x)  (m u( x)  a)  (a  n v( x)) Chú ý: Ta hồn tồn dùng cách đặt ẩn phụ Ta Có Với tốn bậc cao Trong nhiều trường hợp việc phân tích trênkhơng đến kết ta phải phân tích sau: n u  x   m v( x)  ( n u ( x)  m( x))  ( m v( x)  m( x)) m  x   c x2  x  x 1 2x  Ví dụ :Tính giới hạn lim Hướng dẫn giải , ta nhóm nhân tử chung  x  1 tử mẫu để triệt tiêu sau đưa dang tốn để tìm kết Ta thấy thay x0  1 tốn có dạng x2  x  ( x  1)2  lim x 1 x 1 2( x  1) 2x  x 1  lim 0 x 1 Cách 1: lim x2  x  Cách 2: Bấm máy tính sau CACL x  1  109 nhận đáp án 2x  x2  2x  570ESPlus : lim x  x1109 Ví dụ: Tìm giới hạn L  lim x 7 4x 1  x  2x   Hướng dẫn giải L  lim x 7 4x 1  x  2x    4x 1  x  3   lim  4   lim( A  B) x 7 x    x7  2x   Ta có A  4x 1  2x   2( x   2)( (2 x  2)  4) ( (4 x  1)  x   9)  64 27 Trang B  x  3 2x   ( x   2)( (2 x  2)  4) 2( x   3) 64 8 L  lim( A  B)    x 7 27 27 ►Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm giới hạn A  lim x 1  x3  3x  x2  x  Hướng dẫn giải ( x  1)  x  x   x3  3x  x2  2x   lim  lim  Ta có A  lim x 1 x  x  x 1 x 1 ( x  1)( x  3) x 3 Ví dụ Tìm giới hạn B  lim x 2 x4  5x2  x3  Hướng dẫn giải x  1 x   x  1 ( x  2)( x  2) x  1 ( x  2)    x4  5x2   lim Ta có B  lim  lim  lim 1 x 2 x 2 x 2 ( x  2) x  x  x3  x3  23   x 2 x  x  (1  5x)3  (1  x)4 x0 x (1  5x)3  (1  x)4 Ta có C  lim x0 x (1  5x) 1 (1  x)4 1  lim  lim x 0 x 0 x x x (1  x)  (1  x)  1 12 x(3x  1) (1  x)  1  lim  lim x 0 x 0 x x  lim (1  x)  (1  x)  1  lim12(3 x  1) (1  x)  1  39 Ví dụ Tìm giới hạn C  lim x 0 x 0 Ví dụ Tìm giới hạn D  lim x 0 (1  x)(1  x)(1  x)  x Hướng dẫn giải (1  x)(1  x)(1  3x) 1 x3  11x  x Ta có D  lim  lim 6 x 0 x 0 x x xn 1 Ví dụ Tìm giới hạn A  lim m  m, n  *  x 1 x  Hướng dẫn giải Ta có A  lim x 1 ( x  1)  x n1  x n2  x  1 ( x  1)  x m1  x m2  x  1  lim x 1 xn1  xn2  x  n  xm1  x m2  x  m Sau tìm số giới hạn liên quan đến biểu thức chứa dấu Nguyên tắc dạng tập nhân lượng liên hợp để đưa đa thức Ngồi cách chuyển đa thức thực đặt ẩn phụ tùy cụ thể: Trang 2( 3x   1) x 0 x B Ví dụ Tìm giới hạn l  lim A Hướng dẫn giải C 6 D 2( 3x   1) 6x  lim  lim 3 x 0 x 0 x( x   1) x 0 x 3x   Ta Có l  lim x  3x Ví dụ Tìm giới hạn K  lim x 0 4x  1 Hướng dẫn giải ( x  3)( x   1)  x 0 Ta có K  lim Ví dụ Giới hạn lim x 5 3x   có giá trị bao nhiêu? 3 x  Hướng dẫn giải Ta có lim x 5 3x   [(3x  1)  16](3  x  4)  lim x  3 x  [9  ( x  4)]( 3x   4) 3(3  x  4) 18   x 5 3x    lim Ví dụ Tìm giới hạn lim x 2 x 1 1 x2 Hướng dẫn giải Ta có lim x 2  lim x 5 x 1 1 x2  lim x  x2 ( x  2)( ( x  1)2  x   1) ( x  1)  x    Bằng phương pháp tương tự ta làm số tốn mở rộng sau Ví dụ 10 Tìm giới hạn M  lim x 0  4x   6x x2 Hướng dẫn giải x   (2 x  1)  x  (2 x  1)  lim x 0 x  x x2 4 8 x  12  lim  lim x 0 x   x  x0 (1  x)  (2 x  1)  x  (2 x  1) Ta có M  lim = -2 + =  ax  bx   c với c số nguyên a, b  Ví dụ 11 Cho biết lim x3  3x  x Phương trình ax  2bx  c   có nhiều nghiệm Hướng dẫn giải Ta có 4x3  3x 1  (2x 1)2 ( x 1) Suy phương trình   ax2  (bx  2)2  phải có nghiệm kép x  ? Trang   a  b2  x  4bx   có nghiệm kép x      a  b2  a  b       a  b   b  a  b  3    16b   a  b        2  1 a  b   b         b     4.b      2    2  Thử lại Vậy a  b  3 3(2 x  1)2 Khi lim x  3x  3x   3x  (3x  2)  lim x3  3x  (2 x  1) ( x  1) x 3  lim1 x (  3x  3x  2)( x  1) 2  2 Suy c  2 Vậy ta có phương trình 3x  x   có nghiệm x  1 Sau làm số tốn mang tính tổng qt Ví dụ 12 Tìm giới hạn B  lim n x 0  ax  n  x * , a  0 Hướng dẫn giải Cách 1: Nhân liên hợp Ta có B  lim ( n  ax  1)( n (1  ax)n1  n (1  ax)n2  n  ax  1) x( n (1  ax)n1  n (1  ax)n2  n (1  ax  1) x 0 B  lim x 0 n a (1  ax) n 1  n (1  ax) n2  n  ax   a n Cách 2: Đặt ẩn phụ t n 1 x   t  a a t 1 t 1  a lim n 1 n   B  alimt 1 n  alim n  n t 1 t  t  t  n t  t 1 (t  1)  t  t  t  1 Đặt t  n  ax  x  Ví dụ 13 Tìm giới hạn N  lim m x 0  ax  n  bx x Hướng dẫn giải Ta có N  lim x 0 m n  ax  1  bx  a b  lim   x  x x m n n Ví dụ 14 Tìm giới hạn A  lim m x 0  ax  với ab   bx  Hướng dẫn giải Trang 10 Kết luận L   Ví dụ Tìm lim x 3 x  x  12 ( x  3) Hướng dẫn giải L  lim x 3 x  x  12 x  x  12 ( x  4)  lim  lim  x  x  ( x  3) ( x  3) ( x  x  12) ( x  3)( x  x  12) Ta có lim x 3 ( x  4)  ( x  x  12) Mặt khác lim ( x  3)  x  3  x  3  x   x 3 Kết luận L   Ví dụ Tìm lim ( x2   x) x  Hướng dẫn giải       Ta có lim ( x2   x  lim  x     x   lim x     1     x  x   x  x  x      x    xlim    Vì             xlim   x2     Ví dụ Tìm lim ( x2  x  x) x Hướng dẫn giải   1)   x  x x x2 Sau xét tập tìm điều điện để tồn giới hạn x  m Ví dụ Tìm giá trị thực tham số m để hàm số f ( x)   x 1 Ta có lim ( x2  x  x)  lim x( x  có giới hạn x = x  Hướng dẫn giải Ta có lim f ( x)  lim ( x  m)  m; lim f ( x)  lim  x  1  x 0 x 0 x 0 x 0 Hàm số có giới hạn x = lim f ( x)  lim f ( x)  m  x 0 x 0 3x  b, x  1 Ví dụ Biết hàm số y  f ( x)   có giới hạn x = -1 Tính giá trị a - b?  x  a, x  1 Hướng dẫn giải Tại điểm x = -1 ta có lim  f ( x)  lim  (3x  b)  3  b  f (1) lim  f ( x)  lim  ( x  a)  1  a x ( 1) x ( 1) x ( 1) x ( 1) Hàm số có giới hạn x =-1 lim  f ( x)  lim  f ( x) x ( 1) x ( 1) Điều tương đương với 3  b  1  a  a  b  2 ►Bài tập tự luyện dạng 1 2 Câu Kết lim    x 0  x x  A  B C  D không tồn Trang 32 Câu Kết lim x 1 A -1 x3  x x 1 1  x B x  x 1 x2 1 A  B -1 | x 3| Câu Giá trị lim x 3 x  A Không tồn B C D  C D  C D  Câu Kết lim x 1 Câu Giới hạn A  lim ( x2  x   x) kết x  A  C  B  D Câu Giới hạn B  lim (2x  4x4  x  1) có kết x A  B  Câu Cho hàm số f ( x)  A  C D 1  Tìm lim f ( x) x 1 x 1 x 1 2 B  C 3 D  Câu Giới hạn B  lim x( x2   x) x  A  B  C 2 x  3,  Câu Tìm lim  f ( x) với f ( x)  5, x ( 2) 3x  1,  A Không tồn A.0 C x  D -7 Khi lim f ( x) x 1 x  D  C  B   x2 ,  Câu 11.Cho f ( x)   x  ,   x2 A D | x | | x | | x | B   x2  ,  Câu 10 Cho hàm số f ( x)    x  x  2,    x  x  Giá trị lim f ( x) x 2 C  D không tồn B  x   3,  Câu 12 Giá trị thực tham số a để hàm số f ( x)    ax  1, A B C x  tồn lim f ( x) x 1 x  m   Câu 13 Giá trị thực tham số m để hàm số ( x)  2m  13  1  x  x  x  tồn lim f ( x) D x 1 x  Trang 33 A không tồn B m = D m  C m=5  x2  ,  Câu 14 Tìm giá trị thực tham số b để hàm số f ( x)   x3  x   b  3, x  11 có giới hạn x  x = 3  x3   Câu 15 Các giá trị thực tham số m để hàm số h( x)   x  mx  x  m  x = -1 A m  1; m  B m  1; m  2 C m  1; m  2 A B  D  C  3 x  Câu 16 Giá trị thực tham số m để hàm số f ( x)   x   m  nhiêu? A m  1 B m  C m  4 x  1 3 có giới hạn x  1 x  D m  1; m  có giới hạn lim f ( x) bao x 3 x  D m   3x    Câu 17 Các giá trị thực tham số a để hàm số f ( x)   x  ax   hạn lim f ( x) bao nhiêu? x2 có giới x2 x 2 A a  B a  C a  2  a x Câu 18 Gọi S tập hợp giá trị tham số a để hàm số f ( x)    (2  a) x D a  x  x  có giới hạn x  Tổng giá trị S A B.0 C D -1 x  x   Câu 19 Cho hàm số f ( x)  ax  b  x  Biết hàm số f(x) có giới hạn x = x = x  x   Hệ thức sau đúng? A 2a - b = B 2a + b =0 C a -2b = D a + 2b =  x 1   x  x  Câu 20 Cho hàm số f ( x)  ax  b   x2    x  x    x  x  2 Tìm a, b để hàm số có giới hạn x = -2 x = 61 25 37 61 A a  , b  B a  , b  C a  , b  24 12 24 12 24 12 D a  85 25 ,b  24 12 Trang 34 Dạng Tìm giới hạn hàm lượng giác ►Phương pháp giải sin x x tan x x  lim  1;lim  1;lim 1 Sử dụng giới hạn lim x 0 x 0 sin x x 0 x 0 tan x x x Mở rộng ta sử dụng kết sau với số thực a  sin ax sin ax x tan ax x  a lim  a;lim  lim  a;lim  +) lim x 0 x 0 x 0 sin ax x 0 tan ax x ax a x 0 x a n sin n x xn tan n x xn  sin x   lim  1;lim  lim n  1;lim n    x 0 x 0 x 0 sin n x x 0 x 0 tan x xn x  x  Sử dụng nguyên lý kẹp Sử dụng MTCT giới hạn trên, chuyển qua chế độ Radian tan x  sin 3x Ví dụ : Tìm giới hạn A  lim x 0 x Hướng dẫn giải  tan x sin 3x  Ta có A  lim       1 x 0 x   x  cos x Ví dụ: Tìm giới hạn A  lim x 0 x2 Hướng dẫn giải +) lim  sin x  Ta có A  lim    2 x 0  x  ►Ví dụ mẫu  cos ax , với a  x 0 x2 Ví dụ Tìm giới hạn A  lim Hướng dẫn giải ax ax   sin   a a2 2 Ta có A  lim  lim    x 0 x2 x0  ax     cos x  cos x  cos 3x Ví dụ Tìm giới hạn B  lim x 0 x2 Hướng dẫn giải  cos x  cos x  cos 3x Ta có x2  cos x  cos x cos x(1  cos 3x)  cos x(1  cos x)  x2  cos x  cos 3x  cos x   cos x  cos x  cos x 2 x x x2  cos3x  cos x    cos x B  lim   cos x  cos x  cos x 7 2 x 0 x x2  x   sin x  cos x Ví dụ Tìm giới hạn A  lim x 0  sin x  cos x Hướng dẫn giải 2sin Trang 35 x x x 2sin  2sin cos  sin x  cos x 2  Ta có  sin x  cos x 2sin x  2sin x cos x x x x sin sin  cos 2 x  21  A  lim  x 0 x sin x sin x  cos x 2 Một cách tổng quát ta có tập sau:  sin mx  cos mx , với m.n  Ví dụ Tìm giới hạn A  lim x 0  sin nx  cos nx Hướng dẫn giải mx mx mx 2sin  2sin cos  sin mx  cos mx 2  Ta có nx nx nx  sin nx  cos nx 2sin  2sin cos 2 mx nx mx mx sin sin  cos m   2  n mx sin nx sin nx  cos nx 2 2 mx nx mx mx sin sin  cos m  lim  lim 2 m Suy A  lim n x 0 mx x 0 sin nx x 0 sin nx  cos nx n 2 2  cos x Ví dụ Tìm giới hạn A  lim x 0 3x 2sin Hướng dẫn giải 3x sin sin x  sin x  0  lim x  Ta có A  lim   lim x 0 x  x 0 3x 3x x   sin 2 cos x  cos3x Ví dụ Tìm giới hạn B  lim x 0 x(sin 3x  sin x) Hướng dẫn giải 5x x 5x   2sin sin sin   2   lim   lim  B  lim  x 0 x 0 7x x x  x 0 7x   2 x cos sin cos 2   Bây ta xét số tập chứa dấu căn: tan 2 x x 0  cos x Ví dụ Tìm giới hạn C  lim Hướng dẫn giải tan 2 x tan 2 x(1  cos x  cos 2 x )  lim x 0  cos x x 0  cos x C  lim tan 2 x(1  cos x  cos 2 x )  lim x 0 2sin x Trang 36  tan x   2lim   x 0  2x  2  x  3   (1  cos x  cos x )  sin x  C 6 x2 Ví dụ Tìm giới hạn D  lim x 0  x sin x  cos x Hướng dẫn giải Ta có D  lim x 0  x sin 3x  cos x x2 mà lim x 0  x sin 3x  cos x  x sin 3x 1  cos x  lim  lim 2 x 0 x 0 x x x2  sin 3x   3lim   2  x 0  x sin 3x    3x Ví dụ Tìm giới hạn A  lim x 1 Hướng dẫn giải A  lim x 1 sin  1  x m  sin  1  x n   lim x 1 sin  x m  sin  x n  sin  1  x m   1  x m   lim x 1  1  x n  sin  1  x n   xn x 1  x m  lim (1  x)  x n1  x n2  1 n  xn  lim  lim  x 1  x m x 1 (1  x) x m 1  x m     m Trong nhiều trường hợp việc tìm giới hạn phải sử dụng đến nguyên lý kẹp Bài tập sau trường hợp cụ thể 3sin x  2cos x Ví dụ 10 Tìm giới hạn F  lim x  x 1  x Hướng dẫn giải Ta có  13 3sin x  2cos x   x 1  x x 1  x 13 x 1  x  13 0 x 1  x 3sin x  2cos x Vậy F  lim 0 x  x 1  x ►Bài tập tự luyện dạng tan( x  1) Câu Tìm giới hạn B  lim kết x 1 x 1 A  B C tan x  sin x Câu Tìm giới hạn C  lim kết x 0 x2 A 10 B C Lại có lim x  D D Trang 37 sin x  tan x kết x 0 x3 A  B  C 2 cos x  cos x Câu Tìm giới hạn A  lim kết x 0 cos x  cos x A  B  C 11 Câu Tìm giới hạn D  lim   2sin x kết x 0 sin 3x B  C  D D Câu Tìm giới hạn B  lim A  sin 2 x kết x 0 cos x  cos x B  C 96 D Câu Tìm giới hạn C  lim A  sin x kết xác x 0 sin 3x 16 B  C 81 Câu Tìm giới hạn D  lim A  D D    sin  cos x  2  kết Câu Tìm giới hạn E  lim x 0 sin(tan x) A  B  C 2 Câu Kết lim x cos x 0 nx A không tồn B C D 3x  5sin x  cos x x2  A B C cos x Câu 11 Tìm giới hạn L  lim kết  x x D -1 D  Câu 10 Kết lim x  A L  B L  1 cos ax  m cos bx có kết x 0 sin x b a  B  C 2n 2m Câu 12 Tìm giới hạn H  lim A  C L  D L   m D  n cos ax có kết x 0 x2 Câu 13 Tìm giới hạn M  lim A  B  C a 2n D Trang 38 Câu 14 Kết giới hạn M  lim x 0 a+b A 3 a  3x   x a phân số tối giản a; b > 0.Tổng   b  cos x b B C D a a 1 x   x Kết giới hạn lim f ( x)  , phân số x 0 b b sin 3x tối giản a; b > Tổng a + b A 49 B 48 C 21 D 35 Câu 15 Cho hàm số y  f ( x)  HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT C C D A B A A B D 10 D 11 A 15 C 16 C 17 A 18 D 19 B 20 A 12 A 13 A 14 D Câu Cách 1:  2 Ta có lim     lim  lim   x 0 x  x 0 x x 0 x x Cách 2: (sử dụng MTCT)  2 Nhập hàm số f ( x )     x  x Vì x   nên nhập CALC   1011 Câu Cách 1: Ta có lim x3  x2  lim x    x x  Cách 2: (Sử dụng MTCT) x3 - x  Nhập hàm số f ( x )  x x 1 x 1 1 x  lim x 1 x 1 x 1  x3  x2 x 1 1 x Vì x  1 nên nhập CALC    1011 Câu Cách 1: x2  x    Ta có lim x  x2 1 Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f ( x )  x2  x  x2 1 Vì x  1 nên nhập CALC    1011 Câu Trang 39 Cách 1: | x 3| x 3  lim*  x 3 x  x3 x  | x 3| 3 x Mặt khác lim  lim  1 x 3 x  x 3 x  | x 3| | x 3| Do lim  lim Nên không tồn giới hạn x 3 x  x 3 x  Cách 2: (Sử dụng MTCT) Ta có lim Nhập hàm số f ( x )  | x 3| x 3 Vì x  3 nên nhập x  3 nên nhập CALC   1011 Hai giá trị không gần nên không tồn giới hạn Câu Cách 1: Ta có A  lim ( x  x   x )  lim x  x  3 x  x  x2  x   2x  lim x  1  x x2   1    x2 x3 x x 3  Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f ( x )  ( x  x   x) Vì x   nên nhập CALC x  1010 Câu Cách 1: 1   x x x    lim Ta có B  lim (2 x  x  x  1)  lim x  x  1 x  x  x  x   4 7 x x x x Cách 2: (Sử dụng MTCT) 4 x  x  x  4  Nhập hàm số f ( x )  (2 x  x  x  1) Vì x  nên nhập CALC x  1010 Câu Cách 1:     2   lim  1  lim   Ta có lim    x   x  x   x  x   x  x   x 1 3( x  1) Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f ( x )  1  x 1 x 1 Vì x  1 nên nhập CALC   1010 Câu Cách 1: Trang 40 Ta có B  lim x( x   x)  lim x  x  x2  lim   1 x   x x   4  x x x   3 x 3x  Cách 2: (sử dụng MTCT) Nhập hàm số f ( x )  x( x   x ) Vì x  nên nhập CALC  1010 Câu 2 x  3,  Với f ( x )  5, 3 x  1,  | x | | x | Ta có lim  f ( x )  lim  (3 x  1)  7 x ( 2) x ( 2) | x | Câu 10  x2  ,  Với hàm số f ( x )    x  x  2,  x  x  Khi lim f ( x)  lim x 1 x 1 x2    1 x Câu 11   x2 ,  Với hàm số f ( x )   x  ,   x 2 Câu 12 Ta có   x  x  Khi lim f ( x )  lim  x  x 2 x 2  lim f ( x )  lim ( x   3)   x 2 x 2  lim f ( x )  lim (ax  1)  2a   x 2  x 2 Vậy để tồn lim f ( x ) lim f ( x )  lim f ( x ) x 2 x 2 x 2   2a   a  Câu 13  lim f ( x )  lim(1  x  2)  2  x 1 x 1  Ta có  lim f ( x )  lim( m  3)  m  x 1  x 1  f (1)  2m  13  Để tồn lim f ( x ) lim f ( x )  lim f ( x )  f (1)  2  m   2m  13 x 1 x 1 x 1 Vậy không tồn m Câu 14  x2  1  lim f ( x )  lim  x 3 x x6 Ta có  x 3  lim f ( x )  lim(b  3)  b   x 3 x 3 Vậy để tồn lim f ( x ) lim f ( x )  lim f ( x )  x 3 x 3 x 3  b  b   3 Trang 41 Câu 15  lim f ( x )  lim mx  x  m  m  m  x 1  x 1 Ta có   x3    lim f ( x )  lim    lim x  x   x 1  x   x 1  x 1     Vậy để tồn lim lim f ( x ) lim f ( x )  lim f ( x ) x 1 x 1 x 1  m  m    m  1; m  2 Câu 16  3 x (3  x )( x   2) f ( x )  lim  lim  4   xlim * x 3 x 3 Ta có  3 x   x 3  lim f ( x )  lim m  m  x 3  x 3 Vậy để tồn lim f ( x ) lim f ( x )  lim f ( x )  m  4 x 3 x 3 x 3 Câu 17  3x   3( x  2)  lim   lim f ( x )  lim x 2 x 2 x 2  x 2 ( x  2)( (3 x  2)2  3 x   4) Ta có   1  f ( x )  lim  ax    2a   xlim  x 2 4   2 Vậy để tồn lim lim f ( x ) lim f ( x )  lim f ( x ) x 2  2a  x 2 x 2 1   a  4 Câu 18  lim f ( x )  lim (2  a) x   2a    x Ta có  x  f ( x )  lim a2 x  2a2  xlim x 2 Để tồn lim lim f ( x ) lim f ( x )  lim f ( x ) x x x   2a  2a a    a  2 Vậy tổng giá trị S 1 Câu 19  lim f ( x )  lim f ( x ) 2a  b   x 2  Vì hàm số có giới hạn x  x  nên ta có  x 2 f ( x )  lim f ( x ) a  b  10   xlim 6  x 6  Câu 20 Để hàm số có giới hạn x  2 x   x2  lim ( ax  b  1)  lim  2a  b   4  x 2 x 2 x   Từ (1) (2) ta có  x    x 13  lim  lim( ax  b  1)  b    x  0 x 12  x  0   61 2a  b  3 a  24  13   b   b  25 12  12  Trang 42 Dạng Tìm giới hạn hàm lượng giác D A B C C 11 B 12 C 13 C 14 D C C D B 10 B 15 A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Ta có B  lim x 1 tan( x  1)  x 1 Câu 2.tan x  sin 5x   10 x 0 2x 5x Ta có C  lim Câu  x x 2sin x  sin sin   sin x (cos x  1) sin x   lim   1   lim  Ta có D  lim 3 x 0 x 0 x 0 x  x  x  cos x x  cos x     Câu 7x x 7x sin  sin sin cos3x  cos x 2  lim   lim Ta có A  lim x 0 cos5 x  cos6 x x 0 x  11x x 11x 11 sin  sin sin 2 Câu   2sin x 2sin x  lim  Ta có B  lim x 0 x  sin3x sin3x  (1   2sin x  (1  2sin x)2 ) Câu sin2 x sin x x2  lim ; Ta có C  lim x 0 x 0 cos x  1  cos x cos x  cos x  x2 x2 x 2sin2  cos x  cos x  lim  lim  lim  ; 3 x 0 x 0 x 0 2 3 x2 x (1  cos2 x  cos x ) x (1  cos2 x  cos x )  cos x (1  cos x )  lim  ; 2 x 0 x 0 x x (1  cos x )(1  cos x )  lim sin2 x  x 0 x2  lim Vậy C   96 1   Câu Trang 43 sin x sin x 16  lim x4  Ta có D  lim x  sin x x  sin x 81 x Câu    sin  cos x  2  tan x mà lim sin(tan x )  Ta có E  lim x 0 x 0 tan x tan x sin(tan x )    sin  cos x  2  Lại có lim x 0 tan x  x  sin2   2 2sin2       cos  (1  cos x )      lim  lim x 0 x 0 tan x tan x  x  sin2   2 sin2    sin x    x  x   lim x x 0 tan x x  sin 2   Do E  Câu Ta có  cos 2    x cos  x mà lim x  nên lim x cos  x 0 x 0 nx nx nx Câu 10 3x  5sin x  cos2 x x  10sin x  cos2 x   lim x  x  x 2 2x2  Ta có lim 6x  10sin x  cos2 x 10sin x  cos2 x  lim  lim 2 x  x  x  x  2x  2x2   lim Vì 10sin x  cos2 x  Lại có lim x  10    12 sin2 x  cos2 x  101 nên  10sin x  cos2 x 101  2x  2x  101 10sin x  cos2 x  suy lim  x  2x  2x2  Câu 11   sin   x  cos x 2   1  lim Ta có L  lim     x x x x 2 Câu 12 H  lim x 0 n n cos ax  n cos bx cos ax    m cos bx  lim x 0 sin2 x sin2 x Trang 44  lim x 0 cos ax  ( n cos ax )m 1  ( cos ax )m 2  1 sin2 x    lim x 0 cos bx  m   m 1 m 2  ( cos bx )   ( cos bx )  1 sin x   bx ax 2sin2 2  lim  lim x 0  n x 0  n m 1 m 2 m 1 m  ( cos bx )  ( cos bx )  sin x ( cos ax )  ( cos ax )m 2  1 sin x     2sin2 bx b  b2 x  lim x 0 ( cos bx )  m m 1 sin2  ( cos bx ) m m 2 ax a  a2 x sin2 x  1  x  lim x 0 sin2 (m cos ax )m 1  (m cos ax )m 2  1 sin x   x2 b2  a2 2m Câu 13   n cos ax  cos ax  lim x 0 x 0  n x ( cos ax )n 1  ( n cos ax )n 2  1 x   Ta có M  lim a2 ax sin 2  lim 2 ( cos ax )n 1  ( n cos ax )n 2  1  a x   Câu 14 x 0  a2 2n 3x   x  x   ( x  1)  ( x  1)  x  x2  lim Ta có M  lim x 0 x 0  cos2 x x2 x2 2sin2 x 3x   x   lim  lim x 0 x 0 x2 2sin2 x x2 x  1 2x  x2 2sin2 x x2   x2 2  x ( x  1)  ( x  1) x   ( x  1)    lim x ( x   x  1)  lim x 0 x 0 2sin2 x 2sin2 x x2 x2   x  3x 1 1     a  1; b   a  b  4 Câu 15  1 x   x 1 x     x 1 x  2 8 x  lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 x 0 sin3x sin3x sin3x sin3x Ta có lim Trang 45 x 2x  8 x ( 8 x)  lim   x  lim x  x 0 sin x sin x x 3x  3x 3x 3   x  (  x )2  lim   x  lim x 0 x 0 sin x sin x 3 3 3x 3x 1 13 a      a  b  49 36 36 b Trang 46 ... cos2 x x2 x2 2sin2 x 3x   x   lim  lim x 0 x 0 x2 2sin2 x x2 x  1 2x  x2 2sin2 x x2   x2 2  x ( x  1)  ( x  1) x   ( x  1)    lim x ( x   x  1)  lim x 0 x 0 2sin2 x 2sin2... Câu Kết giới hạn lim x ? ?2 x2  5 A  B C  12 12 12 Câu Kết giới hạn lim x 0 12 D  x 1 x B  A D C  12 x4  27 x x 3 x  3x  C Câu Kết giới hạn lim B A x  3x  , ta kết x 1 x2 1 B C... 2  (3)    1 5 Dạng 2: Tìm giới hạn hàm số dạng vơ định 0 Đây dạng tốn vơ quan trọng tìm giới hạn hàm số Việc tìm giới hạn dạng vơ định tốn tìm giới hạn hàm số dạng hữu tỉ L  lim x 