160 bài tập GIỚI hạn dãy số + đáp án CHI TIẾT

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ LÝ THUYẾT GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC Giới hạn đặc biệt:  0; n n Giới hạn đặc biệt: lim lim  (k  n n k lim qn  ( q  1) ; n  lim C  C a) Nếu lim un   lim  lim (un + vn) = a + b  lim (un.vn) = a.b un =0 c) Nếu lim un = a  0, lim = a (nếu b  0) b b) Nếu un  0, n lim un= a lim un  =  neáu a.vn  neáu a.vn  d) Nếu lim un = +, lim = a un  a a  lim 0 un b) Nếu lim un = a, lim =  lim  lim (un – vn) = a – b  ) Định lí: n a) Nếu lim un = a, lim = b un  lim qn   (q  1) Định lí :  lim lim nk   (k  lim n   ) c) Nếu un  ,n lim = lim un =  lim(un.vn) =   neáu a  neáu a  * Khi tính giới hạn có dạng vơ d) Nếu lim un = a lim un  a định: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u S  u1  u1q  u1q    1 q  , ,  – , 0. phải tìm cách khử  dạng vô định  q  1 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài Kết lim A  Bài Kết lim  5n2 3n  2.5n B  50  n  2n  3n  C D  25 là: HDedu - Page Bài B  3 A  B  Giá trị lim  Bài Giá trị C  lim n 2 n 7 C D B Nếu lim un   , lim un   C Nếu lim un  , lim un  D Nếu lim un  a , lim un  a lim 3n  n3 Kết lim B Kết lim A C D 2 C D 3n  4.2n1  bằng: 3.2n  4n B  Tính giới hạn I  lim A I  Bài 12 D 2 bằng: B  A  Bài 11 C A Nếu lim un   , lim un   A Bài 10 D Chọn mệnh đề mệnh đề sau:  Bài C  B  A  Bài D Giá trị lim  3n  5n  là: A  Bài C n2   3n2  là: B  A  Bài D 3n  4.2n1  Kết lim bằng: 3.2n  4n A  Bài C  2n  2017 3n  2018 B I  C I  2017 2018 D I  n2 bằng: 3n  1 B  C 2 D Phát biểu sau sai ? A lim un  c ( un  c số ) B lim q n   q  1 C lim  n D lim   k  1 nk HDedu - Page Bài 13 Tìm lim 8n5  2n3  4n5  2n2  A Bài 14 A B Tính giới hạn lim Bài 15 A Bài 16 Tính lim Bài 19 B C D  C D C D 4n   n 4n  n  Tính giới hạn T  lim 1 Biết lim  Khi giá trị I là: B I  C I  1 16n1  4n  16n1  3n  B T  C T  Cho dãy số  un  có lim un  Tính giới hạn lim A Bài 22 D B  Cho I  lim A T  Bài 21 C  n  2n  3n3  2n2  A I  Bài 20 B Tìm I  lim A B 2n  kết 1 n A Bài 18 D $2018$  n2 2n  A Bài 17 C 2n  n  4n  n  11 lim D 4n  2018 2n  B lim C B C D I  D T  16 3un  2un  5 D  2n  n   với a tham số Khi a  a an  2 HDedu - Page B 2 A 12 Bài 23 B L   Tính I  lim  n   C I  1, 499 D I   B I  3n  3n  Tính lim n  B lim 2n  2n  C lim D lim n 1 n 1  C  B Giới hạn lim 4n  3n  4n2   8n3  n A  Bài 27 D L  Trong giới hạn hữu hạn sau, giới hạn có giá trị khác với giới hạn lại? A lim Bài 26 C L  n2   n2    A I   Bài 25 D 6 1 1  Tìm L  lim         n   1 A L  Bài 24 C D 3n2  n a a  (với a, b số nguyên dương phân số tối giản)  3n   b b Tính T  a  b A T  21 Bài 28 Giới hạn dãy số  un  với un  A  Bài 29 Bài 31 lim D D  B C D  B C D  B 10 C D    n   n   là:  5n  bằng: 3n  A  Bài 32 C  B Giá trị lim  n  lim C n3  2n  :  5n Chọn kết lim A 1 D T  3n  n là: 4n  B  A Bài 30 C T  B T  11 10 n  n2  A  bằng: HDedu - Page Bài 33 lim 200  3n5  2n bằng: A Bài 34  1 Tìm giá trị S  1      A Bài 35 1 B B Chọn kết lim  A Bài 37 4n  Giá trị D  lim n2  3n  Giá trị B  lim B  n2  2n n  3n2   2n Giá trị C  lim C 1 D C D C D D A   n  2 1 4 n17  D C 16 D 1 bằng: 2n4  n   n bằng: B   C n2   3n3  Giá trị D  lim Giá trị A  lim bằng: B  A  Bài 42 C B  A  Bài 41 D 2n2  3n  Giá trị A  lim bằng: 3n  n  A  Bài 40 C 2 bằng: B  A  Bài 39     2n n2  1   n 2n B A  Bài 38  D  n 1  n 1  n Tính giới hạn: lim A Bài 36 C  B C 1 3 1 D  n2  6n  n bằng: B  C D HDedu - Page Bài 43 Giá trị B  lim   n3  9n2  n bằng: A  Bài 44 B  B  Giá trị D  lim  n2  2n  n3  2n2 A  Bài 46 Giá trị A  lim Giá trị B  lim B  B  Giá trị C  lim 3n3   n 2n4  3n   n C D C D C D bằng: B  B  Giá trị H  lim   n2  n   n bằng: B  Giá trị M  lim 12 Giá trị A  lim A  Bài 53 D (n  2)7 (2n  1)3 Giá trị F  lim bằng: (n2  2)5 A  Bài 52 C 2n2   n bằng: A  Bài 51 D   A  Bài 50 C n2  2n   n bằng: A  Bài 49 D   A  Bài 48 C   bằng: B  A  Bài 47 D 3.2n  3n Giá trị C  lim n1 n1 bằng: 3 A  Bài 45 C Giá trị B  lim  C D   n2  8n3  2n bằng: B  C D C  D 2n  bằng:  3n B  n  3n  bằng: (3n  1)2 HDedu - Page A  Bài 54 Giá trị C  lim B  B  B  Giá trị F  lim B  n4  n   n A  Bài 58 Giá trị M  lim Giá trị N  lim  C D 3 1 D C D C D  n3  3n2   n bằng:   8n3  n  4n2  bằng: B  C  D C D C D C D 3.2n  3n bằng: n   3n  B  2n3  sin 2n  Giá trị A  lim bằng: n3  A  Bài 63 D C B  A  Bài 62 C n2  6n  n bằng: Giá trị H  lim n Giá trị K  lim D bằng: B  A  Bài 61   A  Bài 60 3n3  n  n B  A  Bài 59 C n3  2n  bằng: n2 Giá trị E  lim A  Bài 57 D n3  3n2  bằng: n4  n3  Giá trị D  lim A  Bài 56 n3  bằng: n(2n  1)2 A  Bài 55 C Giá trị C  lim A  B  3.3n  4n bằng: 3n   n  B HDedu - Page Bài 64 Giá trị D  lim n1 n2 ( 3n2   3n2  1) A  Bài 65 B  B   Giá trị F  lim A  Bài 67 D C D C D C Đáp án khác D  Giá trị K  lim n B    n2   n bằng: B  Tính giới hạn dãy số C  lim Tìm lim un biết un  A  Bài 71 p A  Bài 70 Giá trị H  lim( k n2   n2  1) bằng: A  Bài 69 n   n bằng: B  A  Bài 68 C Giá trị E  lim( n2  n   2n) bằng: A  Bài 66 bằng: C  D  4n2  n   2n : B  C D n     (2n  1) 2n  B  C D Tìm lim un biết un  2 n dau can A  Bài 72 B  Cho dãy số  un  với un  C D n u n 1  Chọn giá trị lim un n un số sau: A Bài 73 Kết lim A  Bài 74 B C D D   5n2 là: 3n  2.5n B  50 Giới hạn dãy số  un  với un  C 25 3n  n là: 4n  HDedu - Page A  Bài 75 lim Giá trị lim  C D C 2 D   n2   3n2  là: Cho dãy số un với un   n  1 lim 2n  Chọn kết lim un là: n  n2  B C D  B C D  C  D  5n  : 3n  lim 200  3n5  2n : A Bài 82 D  n  2n   5n B A  Bài 81 C  D n   lim  n sin  2n3  bằng:   A  Bài 80 D B  A  Bài 79 C B A  Bài 78 B  Chọn kết lim A Bài 77 C 3n  4.2n1  bằng: 3.2n  4n A  Bài 76 B  B  u1  Cho dãy số có giới hạn (un) xác định :  Tìm kết lim un un 1  , n 1  un  A Bài 83 C 1 D 4n  2n 1 lim n :  4n  A Bài 84 B Tính giới hạn lim B C D  n 1  n 1  n HDedu - Page B A Bài 85 Tính giới hạn lim A Bài 86 C 1 D      2n  1 3n2  B C D C D C D  1    Tính giới hạn lim    1.2 2.3 n n      A B Khơng có giới hạn Bài 87 1  1   Tính giới hạn lim    n  2n  1  1.3 3.5 B A Bài 88 1 1    Tính giới hạn lim    1.3 2.4 n n      A Bài 89 11 18 C D B C D C  D C  D  sin x  x  x Giới hạn lim A  Bài 91 B  1    Tính giới hạn: lim   n(n  3)  1.4 2.5 A Bài 90 B Chọn kết lim A B n3  2n   5n HDedu - Page 10 Ta xét ba trường hợp sau k  k  p Chia tử mẫu cho n ta có: D  lim k  k  p Chia tử mẫu cho n ta có: D  lim ak 1 a   0k  if a b  k p n n   bp  if a b  b0 k p     k n np k ak  ak 1 a   0k a n n  k b bk bk   0k n ak  ak a   0p pk p n 0  k  p Chia tử mẫu cho n : D  lim n b0 bp   p n Bài 103 Chọn C Ta có: N  lim Mà: lim lim    4n2   2n  lim    8n3  n  2n 4n2   2n  lim 8n2  n  2n  lim  4n   n  0 n (8n  n)  2n 8n2  n  4n2 2 0 Vậy N  Bài 104 Chọn C Ta có: K  lim Mà: lim    n3  n2   n  3lim  n3  n2   n  Do đó: K  ; lim   4n2  n   2n  n2  n   n     12 Bài 105 Chọn C n Ta có: n! n  2n  n nn n  2n n  n  2n   B  Bài 106 Chọn D Ta có: ( k  1) k  k k   k  k 1 HDedu - Page 38 Suy un   n1  lim un  Bài 107 Chọn C  n(n  1)  Ta có: 13  23   n3      Suy un  n(n  1)2  lim un  3(3n  n  2) Bài 108 Chọn C Ta có:  ( k  1)( k  2)  1  Tk k( k  1) k( k  1) n2 Suy un   lim un  n Bài 109 Chọn C Ta có k3  ( k  1)( k  k  1)  k  ( k  1)[( k  1)2  ( k  1)  1] n2  n   lim un  Suy  un  (n  1)n Bài 110 Chọn C 1 1 1  2n  Ta có: un  un       n1   n1 2 2 2  2n   un   n1  lim un  2 Bài 111 Chọn C Ta có: un  qun  q  q  q   q n  nq n1  (1  q)un  q q  qn  nq n1 Suy lim un  1 q 1  q  Bài 112 Chọn D Ta có: n n n n 1  un  n   un   n n n 1 n 1 n 1 HDedu - Page 39  un   n   lim un  n 1 Bài 113 Chọn D Chia tử mẫu cho n2 ta có được: B  lim 1 1   1  n n n n  1   4  3   n   Bài 114 Chọn C Ta có: D  lim Mà: lim lim     n2  n   n  lim   1  1 n2  (n3  n2  1)2  n n3  n2   n2 n2   1 1   n4  n6    n  n3    Vậy D  n3  n2   n n1 3 1 n n2  n   n  lim  lim  1 n2  n   n 1  1 n n n3  n2   n  lim  lim    Bài 115 Chọn C Ta có 1, a, a , , a n cấp số nhân với công bội a nên:  a  a   a n  Tương tự,  b  b2   bn   a n1 1 a  bn1 1 b  a n 1 1 b Suy lim I  lim  an 1  ( Vì a  1, b   lim a n1  lim bn1  ) 1 b 1 a 1 b Bài 116 Chọn C HDedu - Page 40 Từ công thức truy hồi ta có: xn1  xn , n  1, 2, Nên dãy ( xn ) dãy số tăng Giả sử dãy ( xn ) dãy bị chặn trên, tồn lim xn  x Với x nghiệm phương trình: x  x2  x  x   x1 (vơ lí) Do dãy ( xn ) khơng bị chặn, hay lim xn   1 1    xn 1 xn ( xn  1) xn xn  Mặt khác: Suy ra: 1   xn  xn xn 1 Dẫn tới: Sn  1 1   2  lim Sn   lim  x1 xn 1 xn 1 xn 1 Bài 117 Chọn D Ta có: Mà lim n n n n2  n  n k  lim  n n2  1 n 1 , k  1, 2, , n Suy n n n  un  n n2   nên suy lim un  Bài 118 Chọn C Chứng minh phương pháp quy nạp tốn học ta có n  2n , n  n n n 1 Nên ta có: n   n   n n  n  n    2 2 2 n n n n 1 1 Suy ra:  un    , mà lim     lim un  2 2 Bài 119 Chọn C n   sin  n       lim  n sin  2n3   lim n3      n    n   sin   Vì lim n  ; lim     2   n    HDedu - Page 41 n n   sin   ; lim   lim    2   n n n  n    sin Bài 120 Chọn A n Do n n 1 n n 1 9n  3n1 n nên lim   lim  với  5n  n  a 5n  n  a 5n  9n  a Theo đề ta có lim 1    3    lim n 9a 3a 5 a   9 9 9n  3n 1 1   a  Do a số nguyên thuộc  a n na 9 2187 2187 khoảng  0; 2018 nên có a  7;8;9; ; 2017  có 2011 giá trị a Bài 121 Chọn C Ta có un  n 1  n  2  n2  1 1      n  n  1 n  n  1  n  n  n  n   n 2 1 1 1 1 1  Ta có u1  u2   un  1             3 7 13 13 21 n  n 1 n  n 1  1  n n  1    n  n   n2  n  1 1 n 1 Suy lim  u1  u2   un   lim 1 1  2 n n Bài 122 Chọn B Ta có:     x2    1  cos   2.2 cos  2cos 4 4.2 4.2       x3   x2  1  cos  2cos   2.2cos 4.2  4.2.2 4.2  Dự đoán : xn  2cos  4.2n1 1 Ta chứng minh 1 với n  , n  HDedu - Page 42 Giả sử 1 với n  k ,  k  , k   Tức xk  2cos  4.2k 1 Ta cần chứng minh 1 với n  k  , tức xk 1  2cos  4.2k Thật vậy, ta có :      xk 1   xk  1  cos k 1   2.2cos k 1  2cos k 4.2  4.2 4.2  Do 1 với n  , n  Khi đó, với n  * ta có xn  cos  4.2n 1  nên lim xn  Vậy khẳng định lim xn  Bài 123 Chọn B + Với phương án A: un  n  n  2018  n  2017  2017 2018  n.n2017 1 n2018 + Với phương án B: un  n     n2  4n2  n  n    n2  2020  4n2  2017  n + Với phương án C:  1 1 1 un           3  5  1       1 2n   2n  2n   + Với phương án D: un1  1  un  1  un1   un  1 2 v1  2017  v  u  Đặt n , ta có  n vn 1  , n  Suy dãy   cấp số nhân có số hạng đầu 2017 , công bội 1  2017   2 1 Suy un  2017   2 n 1 n 1 nên  n  1   n  1 , lim un  Chú ý: HDedu - Page 43 Ở phương án D, ta chứng minh un  với n   un  dãy giảm nên  un  có giới hạn Gọi lim un  a Khi từ un1  1  un  1 , n  suy a   a  1  a  , lim un  2 Bài 124 Chọn C Ta có: k 1 nên xk     (k  1)! k ! (k  1)! (k  1)! Suy xk  xk 1  1    xk  xk 1 (k  2)! (k  1)! n Mà: x2011  n x1n  x2n   x2011  n 2011x2011 Mặt khác: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011   Vậy lim un   2012! 2012! Bài 125 Chọn C Ta thấy un  0, n Ta có: un31  un3    (1) un3 un6 Suy ra: un3  un31   un3  u03  3n (2) Từ (1) (2), suy ra: un31  un3   Do đó: un3  u03  3n  1 1   un3    u  3n  u  3n  3n 9n n 1 n    (3) k 1 k k 1 k n Lại có: n 1 1 1          n   1.2 2.3 ( n  1) n n k 1 k k 1 k n k k 1  2n 2n Nên: u03  3n  un3  u03  3n   u03 un3 u03 2 Hay       n n n 9n n Vậy lim un3  n Bài 126 HDedu - Page 44 Chọn C  n  1 Xét phương trình 0; (1) n   Gọi (u0 , v0 ) nghiệm nguyên dương (1) Giả sử (u, v) nghiệm nguyên dương khác (u0 , v0 ) (1) Ta có au0  bv0  n, au  bv  n suy a(u  u0 )  b(v  v0 )  tồn k nguyên dương cho u  u0  kb, v  v0  ka Do v số nguyên dương nên v0  ka   k  v0  (2) a Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương phương trình (1) số số k nguyên  v  1  n u 1 dương cộng với Do rn            a   ab b a  Từ ta thu bất đẳng thức sau: Từ suy ra: n u0 n u    rn     ab b a ab b a u0 rn u0 1        ab nb na n ab nb na n rn  n n ab Từ áp dụng nguyên lý kẹp ta có lim Bài 127 Chọn B Ta có u2  u1  4.1  u3  u2  4.2  un  un 1   n  1  Cộng vế theo vế rút gọn ta un  u1  1    n  1   n  1  n  n  1   n  1  2n2  n  , với n  Suy u2 n   2n   2n  u 22 n   2 n   2 n  u22018 n   22018 n   22018 n  HDedu - Page 45 u4 n   4n   4n  u 42 n   n   n  u42018 n   42018 n   42018 n  un  u4 n  u42 n   u42018 n Do lim un  u2 n  u22 n   u22018 n 42018    2.42      42018    n n n n n n  lim 2018 3    2.22      22018    n n n n n n 1      1     2 Vì 2019 2018 2018    42019 2019 2019  1    2019 1 22019  1 a    2019 xác định nên b  c   Vậy S  a  b  c  Bài 128 Chọn D 4n  2n  1   f  2n  1  g n  Xét g  n   f  2n   4n2  2n  1   4n g n   4n  1  4n  4n  1   4n  1 4n   4n   2n  1    2  1  4n  4n  1   4n  1 4n   4n   2n  1  2 10 26  2n  3   2n  1   un   2 10 26 50  2n  1   2n  1   2n  12   lim n un  lim Bài 129 H  lim n  Bài 130 2n  4n  4n  2 Chọn C  8n3  n  2n  lim n   4n2   2n   Chọn A HDedu - Page 46  n Ta có A  lim n            n2  n Do lim n  ;lim      Bài 131   1  n  Chọn D Ta có: lim 200  3n5  2n2  lim n Nhưng lim 200 3 n n 200    3  lim n   n n 5 Nên lim 200  3n  2n   Bài 132 A  lim 2 sin 2n  n3 2 1 n Bài 133 n Ta có: Chọn C Chọn C n! n  2n  n nn n  2n Bài 134 Chọn C Bài 135 Chọn B Bài 136 Chọn A Bài 137 Chọn C  n n  2n 0 B 0 Xét trường hợp TH1: k  p  H   TH 2: k  p  H   TH 3: k  p  H  Bài 138 Ta có: Chọn D 1   (k  1) k  k k  k k 1 Suy un   Bài 139  lim un  n 1 Chọn C  n(n  1)  Ta có: 13  23   n3     HDedu - Page 47 Suy un  n(n  1)2  lim un  3(3n  n  2) Bài 140 Ta có:  Chọn C (k  1)(k  2)  1  Tk k (k  1) k (k  1) n2  lim un  Suy un  n Bài 141 Ta có Chọn C k 1 (k  1)(k  k  1)  k  (k  1)[(k  1)2  (k  1)  1] n2  n   lim un  Suy  un  (n  1)n Bài 142 Chọn C 1 1 1  2n  Ta có: un  un       n 1   n 1 2 2 2  2n   un   n1  lim un  2 Bài 143 Chọn C Ta có: un  qun  q  q2  q3   q n  nq n1  (1  q)un  q Bài 144 Ta có: n  qn q  nq n 1 Suy lim un  1 q 1  q  Chọn D n n n 1  un  n   un   n n n 1 n 1 n 1  un   n   lim un  n 1 Bài 145 Chọn D Chia tử mẫu cho n ta có được: 1 B  lim Bài 146 1   1  n n n n  1   4 3  2  n  Chọn D 1 n Ta có: C  lim  lim  1 4n  n   n 4  2 n n n 1 1 HDedu - Page 48 Bài 147 Chọn C Ta có: D  lim Mà: lim lim     n2  n   n  2lim  1  n2  (n3  n2  1)2  n n3  n   n n2 n3  n   n n 1 n n  n   n  lim  lim  2 1 n  n 1  n 1  1 n n   lim 1 n3  n2   n  lim  1  1  1        n n  n n   Vậy D     Bài 148 Chọn C Từ công thức truy hồi ta có: xn1  xn , n  1, 2, Nên dãy ( xn ) dãy số tăng Giả sử dãy ( xn ) dãy bị chặn trên, tồn lim xn  x Với x nghiệm phương trình : x  x2  x  x   x1 vơ lí Do dãy ( xn ) không bị chặn, hay lim xn   Mặt khác: Suy ra: 1 1    xn 1 xn ( xn  1) xn xn  1 1   xn  xn xn 1 Dẫn tới: Sn  Bài 149 Ta có: 1 1   2  lim Sn   lim 2 x1 xn 1 xn 1 xn 1 Chọn C k 1 nên xk     (k  1)! k ! (k  1)! (k  1)! Suy xk  xk 1  1    xk  xk 1 (k  2)! (k  1)! n n n Mà: x2011  n x1  x2   x2011  n 2011x2011 Mặt khác: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011   2012! HDedu - Page 49 Vậy lim un   Bài 150 2012! Chọn C Ta thấy un  0, n Ta có: un31  un3    (1) un3 un6 Suy ra: un3  un31   un3  u03  3n (2) Từ (1) (2), suy ra: un31  un3   Do đó: un3  u03  3n  n k Lại có: k 1  1 1 1   un3    2 u  3n  u  3n  3n 9n 0 n 1 n    (3) k 1 k k 1 k n 1 1     2    n 1.2 2.3 ( n  1) n n k 1 k n k k 1  2n 2n Nên: u03  3n  un3  u03  3n   Hay  u03 un3 u3 2   3   n n n 9n n Vậy lim un3  n Bài 151 Chọn C Ta có un 1  un   un2 u u un  n 1 n  2010 un 1.un 2010un 1 1 un   2010    un 1  un un 1  Ta có un u  2010( n 1 1  )  2010(1  ) u1 un 1 un 1 Mặt khác ta chứng minh được: lim un   Nên lim( Bài 152 uu )  2010 un 1 Chọn C Ta có:     2n   n2 nên lim un  Bài 153 Chọn D Ta có:    n  n(n  1) n(n  1)(2n  1) 12  22   n2  HDedu - Page 50 Nên lim un  Bài 154 Ta có: Chọn D 1 1   Suy un    lim un  (k  1) k  k k  k k 1 n 1 Bài 155 Ta có:  Chọn C (k  1)(k  2) n2  1   lim un  Suy un  Tk k (k  1) k (k  1) n Bài 156 Chọn D Ta có: Mà lim  n n n n2  n Bài 157 Ta có: un  Bài 158 n k  lim  n 1 n n2  , k  1, 2, , n Suy n n n n  un  n2   nên suy lim un  Chọn C 1    n 22 1 1  2 2 n 1 1   2 ,nên lim un  lim n  Chọn C 8 3u1    3u2  u3 nên dãy (un ) dãy tăng Ta có  u1  u2  u3    9 9 Dễ dàng chứng minh un  , n  * Từ tính lim un  Bài 159 Chọn C  n  1 Xét phương trình 0; (1) n   Gọi (u0 , v0 ) nghiệm nguyên dương (1) Giả sử (u, v) nghiệm nguyên dương khác (u0 , v0 ) (1) Ta có au0  bv0  n, au  bv  n suy a(u  u0 )  b(v  v0 )  tồn k nguyên dương cho u  u0  kb, v  v0  ka Do v số nguyên dương nên v0  ka   k  v0  (2) a Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương phương trình (1) số số k nguyên dương cộng  v  1  n u 1 với Do rn            a   ab b a  Từ ta thu bất đẳng thức sau: n u0 n u0    rn     ab b a ab b a HDedu - Page 51 Từ suy : u0 rn u0 1        ab nb na n ab nb na n Từ áp dụng nguyên lý kẹp ta có lim n rn  n ab Bài 160 Chọn B Ta có: u1  ; u2  ; u3  ; u4  ; u5  ; Dự đoán un  n với n  n 1 * Dễ dàng chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp Từ lim un  lim n  lim  1 n 1 1 n HDedu - Page 52 ... C Bài 108 Tính giới hạn dãy số un  (1  A  12 bằng: B  Bài 107 Tính giới hạn dãy số un  A  D n3  n2   4n2  n   5n bằng: Bài 106 Tính giới hạn dãy số un  A  C B  Bài. ..  Bài 141 Tính giới hạn dãy số un  D (n  1) 13  23   n3 : 3n3  n  Bài 140 Tính giới hạn dãy số un  (1  A  D 1 1    : 1 2 (n  1) n  n n  B  Bài 139 Tính giới hạn dãy số. .. q  D q 1 q  n n k 1 n  k Bài 144 Tính giới hạn dãy số un   A  B  Bài 145 Tính giới hạn dãy số B  lim A  B  : C 3 B  Bài 146 Tính giới hạn dãy số C  lim A  D n  n   n 