GIỚI hạn dãy sô

MỤC LỤC CHƯƠNG GIỚI HẠN GIỚI HẠN DÃY SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 1.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn 1.2 Một số dãy số có giới hạn thường gặp DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN 2.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn 2.2 Một số định lí 2.3 Tổng quát cấp số nhân lùi vơ hạn DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC 3.1 Dãy số có giới hạn +∞ 3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực 3.3 Một số kết B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Sử dụng định nghĩa chứng minh lim un = L Dạng Tính giới hạn dãy số định lí giới hạn Dạng Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Dạng Dãy số có giới hạn vô cực CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM C ĐÁP ÁN GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 50 51 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 51 Giới hạn hàm số điểm 51 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11 Giới hạn hàm số vơ cực 51 Một số định lí giới hạn hữu hạn 51 Giới hạn bên 52 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực 52 Các dạng vô định 53 B CÁC DẠNG TOÁN 53 Dạng Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số tìm giới hạn 53 Dạng Chứng minh lim f (x) không tồn 54 Dạng Các định lí giới hạn giới hạn để tìm giới hạn 54 Dạng Tính giới hạn bên hàm số 57 Dạng Giới hạn hàm số số kép 59 Dạng Một vài qui tắc tính giới hạn vơ cực 59 x→x0 Dạng Dạng C 61 Dạng Giới hạn dạng 1∞ , · ∞, ∞0 79 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 80 ĐÁP ÁN 136 HÀM SỐ LIÊN TỤC 138 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 138 Hàm số liên tục điểm 138 Hàm số liên tục khoảng 138 Các định lí hàm số liên tục 139 B CÁC DẠNG TỐN 139 Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm - Dạng I 139 Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm - Dạng II 140 Dạng Xét tính liên tục hàm số khoảng 141 Dạng Sử dụng tính liên tục hàm số để chứng minh 143 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra C Dạng Sử dụng tính liên tục hàm số để xét dấu hàm số 144 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 144 ĐÁP ÁN 173 CHƯƠNG GIỚI HẠN BÀI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN GIỚI HẠN DÃY SỐ Định nghĩa dãy số có giới hạn 1.1 Định nghĩa Ta nói dãy số (un ) có giới hạn (hay giới hạn 0) số hạng dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ số hạng trở Khi ta viết: lim (un ) = viết tắt lim (un ) = un → n→+∞ Nhận xét Dãy số (un ) có giới hạn dãy số (|un |) có giới hạn Dãy số không đổi (un ) với un = có giới hạn Một số dãy số có giới hạn thường gặp 1.2 Từ định nghĩa, ta có kết quả: 1 • lim = • lim √ = n n • lim √ =0 n Định lí Cho hai dãy số (un ) (vn ) Nếu |un | Định lí Nếu |q| < lim q n với n lim = lim un = =0 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN 2.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn Định nghĩa Ta nói dãy số (un ) có giới hạn số thực L (hay giới hạn L) lim (un − L) = x→+∞ Khi ta viết: lim (un ) = L viết tắt lim (un ) = L un → L n→+∞ 2.2 Một số định lí Định lí Giả sử lim un = L Khi √ đó: √ • lim |un | = |L| lim un = L √ √ • Nếu un với n L lim un = L Định lí Giả sử lim un = L, lim = M Khi đó: Các dãy số (un + ), (un − ), (un ) (c.un ) có giới hạn và: lim (un + ) = L + M lim (un − ) = L − M lim (un ) = L.M lim (c.un ) = c.L https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Å Nếu M = dãy số 2.3 un ã Chương - Giải tích 11 Å un có giới hạn lim ã = L M Tổng quát cấp số nhân lùi vơ hạn Với cấp số nhân (un ) có cơng bội q thỏa mãn |q| < thì: S = u1 + u2 + + un + = u1 1−q DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC 3.1 Dãy số có giới hạn +∞ Định nghĩa Ta nói dãy số (un ) có giới hạn −∞ số hạng dãy số nhỏ số âm nhỏ tùy ý cho trước kể từ số hạng trở Khi đó, ta viết: lim (un ) = −∞, viết tắt lim (un ) = −∞ lim un = −∞ un → −∞ n→+∞ Nhận xét Nếu lim un = −∞ lim (−un ) = +∞ Các dãy số có giới hạn +∞ −∞ gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vơ cực Dãy số có giới hạn số thực L gọi dãy số có giới hạn hữu hạn 3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực Quy tắc Nếu lim un = ±∞ lim = ±∞ lim (un ) cho bảng sau: lim un +∞ +∞ −∞ −∞ lim +∞ −∞ +∞ −∞ lim (un ) +∞ −∞ −∞ +∞ Quy tắc Nếu lim un = ±∞ lim = L = lim (un ) cho bảng sau: lim un +∞ +∞ −∞ −∞ Dấu L + − + − lim (un ) +∞ −∞ −∞ +∞ Quy tắc un cho bảng sau: Nếu lim un = L lim = = với n lim Th.s Nguyễn Chín Em Dấu L Dấu + + − − + − + − un +∞ −∞ −∞ +∞ lim https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 3.3 Chương - Giải tích 11 Một số kết Cho hai dãy số (un ) (vn ) • Nếu un với n lim un = +∞ lim = +∞ un • Nếu lim un = L ∈ R lim |vn | = +∞ lim =0 • Nếu lim un = +∞ (hoặc −∞) lim = L ∈ R lim (un + ) = +∞ (hoặc −∞) Ví dụ Chứng minh dãy số (un ) sau có giới hạn un = n+1 un = sin n n+4 Lời giải a) Ta có : 1 1 < lim = ⇒ lim =0 n+1 n n n+1 b) Ta có : sin n 1 sin n < ⇒ lim =0 < n+4 n+4 n n+4 Nhận xét Để chứng minh dãy số có giới hạn sử dụng phép đánh giá để khẳng định 1 un < lim = n n Ví dụ Chứng minh dãy số (un ) với un = √ n+1− √ n có giới hạn Lời giải √ √ n+1 1 1 n+1− n= √ √ =√ √ < √ < √ lim √ = ⇒ lim un = n n n n+1+ n n+1+ n Nhận xét Để chứng minh dãy số có giới hạn sử dụng phép đánh giá để khẳng định 1 un < √ lim √ = n n Ví dụ Chứng minh dãy số un với un = cos(nπ) có giới hạn 4n Lời giải Å ãn Å ãn cos(nπ) 1 < lim = ⇒ lim un = Ta có = n n 4 4 Nhận xét Để chứng minh dãy số có giới hạn sử dụng phép đánh giá để khẳng định un < qn lim qn = B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Sử dụng định nghĩa chứng minh lim un = L Phương pháp áp dụng ta chứng minh lim (un − L) = Ví dụ Chứng minh lim 3n − = 2n + 2 lim n2 + n =1 n2 + Lời giải Å ã Å ã 3n − 3n − −5 Đặt un = ⇒ lim un − = lim − = lim = ⇒ lim un = 2n + 2n + 2n + Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11 Å ã n2 + n n +n n−1 Đặt un = ⇒ lim(un − 1) = lim − = lim = ⇒ lim un = n +1 n +1 n +1 ï Ví dụ Chứng minh lim ò (−1)n √ + =2 n Lời giải (−1)n (−1)n √ + ⇒ lim (u − 2) = lim = ⇒ lim un = Đặt un = √ n 3 n n Dạng Tính giới hạn dãy số định lí giới hạn Phương pháp áp dụng ta đưa dãy số cho dạng tổng hiệu tích thương dãy số mà ta biết giới hạn Ví dụ Tính giới hạn sau lim n−1 n+1 3n − lim n −2 Lời giải 1 1+ lim + lim n+1 n n Ta có lim = lim = = 1 3n − 3− lim − lim n n 1 1 − lim − lim n−1 n n n n Ta có lim = lim = = =0 2 n −2 1− lim − lim n n Nhận xét Như vậy, để tính giới hạn thực phép chia tử mẫu cho bậc cao a n sử dụng kết lim k = n Ví dụ Tính giới hạn sau √ n2 + 1 lim n+1 √ n2 + n n3 + lim √ n n2 + + Lời giải … 1+ n2 + n = =1 = lim lim n+1 1+ n … √ 1+ 1+ n2 + n n3 + n = 1+1 =2 lim √ = lim … 1+0 1 n n2 + + 1+ + n n √ Ví dụ Tính giới hạn sau … 4n + sin(nπ) lim n … lim 8n + cos(nπ) n Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ … lim … lim 4n + sin(nπ) = lim n … 8n + cos(nπ) = lim n 4+ … 8+ Chương - Giải tích 11 sin(nπ) √ = 4=2 n (vì lim cos(nπ) √ = 38=2 n sin(nπ) = 0) n (vì lim cos(nπ) = 0) n Nhận xét Như để tính giới hạn trên, thực phép tách thành giới hạn nhỏ Ví dụ Tính giới hạn sau 3n − 4n+1 − 4n + 4n lim lim n+2 + 4n Lời giải Å ãn −1 0−1 − 4n Å ã lim = lim = = −1 n n 1+4 0+1 +1 Å ãn −4 3n − 4n+1 0−4 = lim Å ãn = −4 lim n+2 = n 3 +4 0+1 9· +1 Nhận xét Như vậy, để tính giới hạn thực phép chia tử mẫu cho số lớn sử dụng kết lim qn = với |q| < Ví dụ Tính giới hạn sau √ √ lim n+1− n lim Ä√ √ √ lim √ 3n + − 2n + lim n2 + n − n ä √ n2 + − n + 3n + Lời giải lim √ n+1− Ä√ √ n = lim √ n+1−n √ = lim √ √ = n+1+ n n+1+ n n 1 = lim … = +n+n 1+ +1 n … … 2 √ √ + 2+ + 3n + + 2n + n n n n √ = = lim √ = lim = lim n + 1 3n + − 2n + 1+ n √ √ n2 − n n2 + − n + Ä√ ä = lim lim √ 3n + (3n + 2) · n2 + + n + 1 1− n å= = lim Å … ã Ç… 1 3+ · 1+ + + n n n n lim ä n2 + n − n = lim √ n2 Nhận xét Như vậy,để tính giói hạn cần sử dụng phép nhân liên lợp để khử dạng ∞ − ∞ k ∞−∞ Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11 √ n + − n3 Ví dụ Tính lim √ n2 + − n Lời giải Ä√ ä √ n3 + − n3 · n2 + + n n + − n3 » lim √ = lim √ n2 + − n (n2 + − n2 ) · n2 − n − n3 + (1 − n3 )2 √ n2 + + n » = lim √ n2 − n − n3 + (1 − n3 )2 … 1 + 4+ n n n  Å = lim … ã2 = = 1 1− 3 −1+ −1 n n3 Ta có Ví dụ Tính L = lim + a + a2 + + an , với |a| < 1, |b| < 1 + b + b2 + + bn Lời giải + a + a2 + + an (1 − a)(1 − b) (1 + b + b2 + + bn ) (1 − a)(1 − b) − an+1 (1 − b) = lim (1 − bn+1 ) (1 − a) (1 − a · an )(1 − b) 1−b = lim = n (1 − b · b )(1 − a) 1−a L = lim Dạng Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp áp dụng: Sử dụng công thức: S = u1 + u2 + · · · = u1 ,với |q| < 1−q Ví dụ Tính tổng sau: S =1+ 1 + + ··· S = −1 + 1 (−1)n − + · · · + n−1 + · · · 10 10 10 Lời giải Xét cấp số nhân un có u1 = công bội q = S= u1 = 1−q 1− < 1, ta được: = 1 (−1)n −1 , − , , n−1 , cấp số nhân có u1 = −1 công bội q = 10 10 10 10 u1 −1 −10 Từ đó, suy ra: lim S = = = 1−q 11 1+ 10 Dãy số −1, Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11 Ví dụ Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số: 0,444 0,2121 0,32111 Lời giải Nhận xét rằng: 4 + + + ··· 0, 444 = 0, + 0, 04 + 0, 004 + = 10 100 1000 4 4 đó, số , , , cấp số nhân lùi vơ hạn có u1 = cơng bội q = 10 100 1000 10 10 u1 Từ đó, suy ra: 0, 444 = = 10 = 1−q 1− 10 Nhận xét rằng: 21 21 0, 2121 = 0, 21 + 0, 0021 + · · · = + + ··· 100 10000 21 21 21 , , cấp số nhân lùi vơ hạn có u1 = cơng bội q = đó, số 100 10000 100 100 21 u1 21 Từ đó, suy ra: 0, 2121 = = 100 = 1−q 99 1− 100 Nhận xét rằng: 1 0, 32111 = 0, 32 + 0, 001 + 0, 0001 + · · · = 0, 32 + + + ··· 1000 10000 1 1 đó, số , , cấp số nhân lùi vơ hạn có u1 = cơng bội q = 1000 10000 1000 10 u1 32 289 Từ đó, suy ra: 0,32111 = 0,32 + = + 1000 = 1−q 100 900 1− 10 Dạng Dãy số có giới hạn vơ cực Ví dụ Tính giới hạn sau: lim(n2 − n + 1) lim(−n2 + n + 1) Lời giải ï Å ãò 1 = +∞ Ta có: − n + 1) = lim n − + n n ãò ï Å 1 2 = −∞ Ta có: lim(−n + n + 1) = lim −n − − n n lim(n2 Ví dụ Tính giới hạn sau: √ lim 2n2 − 3n − lim √ + 2n − n3 Lời giải Ta có: lim √   2n2 − 3n − = lim Th.s Nguyễn Chín Em n2 Å ã − − = +∞ n n https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11   x − x − x = x−2 Câu 53 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số f (x) = liên tục x =  m x = A m = B m = C m = D m = Lời giải x2 − x − Hàm số liên tục x = m = lim = lim (x + 1) = x→2 x→2 x−2 Chọn đáp án A √  5x − −   , x > x−1 Câu 54 Cho hàm số f (x) = , (m tham số) Giá trị m để hàm số liên tục   mx + m + , x ≤ R C m = D m = A m = B m = Lời giải Tập xác định D = R Trên (−∞; 1), (1; +∞) hàm số f (x) liên tục Xét tính liên tục f (x) x = 1 Ta có f (1) = 2m + √ 5x − − 5 = lim √ = Ta thấy lim f (x) = lim x−1 x→1+ x→1+ x→1+ 5x − + 1 Ta thấy lim f (x) = lim (mx + m + ) = 2m + 4 x→1− x→1− 1 Ta có f (x) liên tục x = ⇔ lim f (x) = lim f (x) = f (1) ⇔ 2m + = ⇔ m = + − 4 x→1 x→1 Chọn đáp án B Câu 55 Cho mệnh đề: Nếu hàm số y = f (x) liên tục (a; b) f (a) · f (b) < tồn x0 ∈ (a; b) cho f (x0 ) = Nếu hàm số y = f (x) liên tục [a; b] f (a) · f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm Nếu hàm số y = f (x) liên tục, đơn điệu [a; b] f (a) · f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm (a; b) Trong ba mệnh đề A Có hai mệnh đề sai B Cả ba mệnh đề C Cả ba mệnh đề sai D Có mệnh đề sai Lời giải Theo tính chất hàm số liên tục mệnh đề sai, mệnh đề 2, Chọn đáp án D ® − + 4a − 2b + c > Câu 56 Cho số thực a, b, c thỏa mãn Khi số giao điểm đồ thị hàm số + 4a + 2b + c < y = x3 + ax2 + bx + c với trục Ox A B C D Lời giải Hàm số y = x3 + ax2 + bx + c xác định, liên tục R Hàm số y = x3 + ax2 + bx + c bậc ba nên có đồ thị cắt Ox nhiều điểm (1) Ta có lim y = −∞, suy ∃α < −2 sao f (α) < x→−∞ Lại có lim y = +∞, suy ∃β > sao f (β) > x→+∞ Hơn y(−2) = −8 + 4a − 2b + c > y(2) = + 4a + 2b + c < Từ suy y(α) · y(−2) < 0, y(−2) · y(2) < 0, y(2) · y(β) < Do đồ thị hàm số cắt Ox điểm (2) Từ (1) (2) suy đồ thị hàm số cho cắt Ox ba điểm Chọn đáp án D Câu 57 Cho mệnh đề: Nếu hàm số y = f (x) liên tục (a; b) f (a) · f (b) < tồn x0 ∈ (a; b) cho f (x0 ) = Th.s Nguyễn Chín Em 159 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11 Nếu hàm số y = f (x) liên tục [a; b] f (a) · f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm Nếu hàm số y = f (x) liên tục, đơn điệu [a; b] f (a) · f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm (a; b) Trong ba mệnh đề A Có hai mệnh đề sai B Cả ba mệnh đề C Cả ba mệnh đề sai D Có mệnh đề sai Lời giải Theo tính chất hàm số liên tục mệnh đề sai, mệnh đề 2, Chọn đáp án D ® − + 4a − 2b + c > Câu 58 Cho số thực a, b, c thỏa mãn Khi số giao điểm đồ thị hàm số + 4a + 2b + c < y = x3 + ax2 + bx + c với trục Ox A B C D Lời giải Hàm số y = x3 + ax2 + bx + c xác định, liên tục R Hàm số y = x3 + ax2 + bx + c bậc ba nên có đồ thị cắt Ox nhiều điểm (1) Ta có lim y = −∞, suy ∃α < −2 sao f (α) < x→−∞ Lại có lim y = +∞, suy ∃β > sao f (β) > x→+∞ Hơn y(−2) = −8 + 4a − 2b + c > y(2) = + 4a + 2b + c < Từ suy y(α) · y(−2) < 0, y(−2) · y(2) < 0, y(2) · y(β) < Do đồ thị hàm số cắt Ox điểm (2) Từ (1) (2) suy đồ thị hàm số cho cắt Ox ba điểm Chọn đáp án D ® − x2 x < −2 Câu 59 Cho hàm số f (x) = Tìm m để tồn giới hạn hữu hạn lim f (x) x→−2 m x ≥ −2 A m = B m = −1 C m = −3 D m = Lời giải Ta có lim f (x) = lim m = m lim f (x) = lim − x2 = −3 x→−2+ x→−2− x→−2+ Để tồn giới hạn hữu hạn lim f (x) x→−2 x→−2− lim f (x) = lim f (x) ⇔ m = −3 x→−2− x→−2+ Chọn đáp án C  3−x √ x = x+1−2 Câu 60 Cho hàm số y = Hàm số cho liên tục x = m  m x = A m = B m = −1 C m = D m = −4 Lời giải Hàm số cho liên tục x = 3−x =m x+1−2 ⇔ m = −4 lim f (x) = f (3) ⇔ lim √ x→3 x→3 Chọn đáp án D Câu 61 Cho hàm số y = f (x) xác định đoạn [a; b] (a < b) Khẳng định sau sai? A Hàm số liên tục (a; b] hàm số liên tục khoảng (a; b) lim f (x) = f (b) x→b+ B Hàm số liên tục [a; b) hàm số liên tục khoảng (a; b) lim f (x) = f (a) x→a+ C Cho x0 ∈ (a; b), hàm số liên tục x0 lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) x→x+ x→x− D Cho x0 ∈ (a; b), hàm số có giới hạn số thực L x0 lim f (x) = lim f (x) = L x→x+ x→x− Lời giải Hàm số liên tục (a; b] hàm số liên tục khoảng (a; b) lim f (x) = f (b) x→b− Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 160 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11 Câu 62 Hàm®số hàm số sau liên tục điểm x = 1? x + 1, x ≥ x+3 A h(x) = B f (x) = x −1 3x − 1, x < ® √ x + 1, x ≥ C g(x) = D k(x) = − 2x 2x − 3, x < Lời giải ® x + 1, x ≥ Xét hàm số h(x) = Ta có 3x − 1, x < h(1) = 2; lim h(x) = lim (x + 1) = lim h(x) = lim (3x − 1) = x→1+ x→1− x→1+ x→1− Do lim h(x) = lim h(x) = h(1) = x→1− x→1+ Vậy h(x) liên tục x = Chọn đáp án A   x − 3x + Câu 63 Tìm giá trị tham số m để hàm số f (x) = x−1  m A m = −1 B m = −2 C m = Lời giải Hàm số liên tục x = khi x = liên tục x = x = D m = (x − 1)(x − 2) = m ⇔ lim (x − 2) = m ⇔ m = −1 x→1 x→1 x−1 lim f (x) = f (1) ⇔ lim x→1 Chọn đáp án A Câu 64 Hàm số gián đoạn điểm x = 1? x−1 x2 + A y = B y = x +x+1 x−1 x2 − x + C y = (x − 1)(x2 + x + 1) D y = x+1 Lời giải x2 + x2 + x2 + = +∞ lim = −∞ nên hàm số y = gián đoạn điểm x = Ta có lim x−1 x→1− x − x→1+ x − Chọn đáp án B   x + x − x > Câu 65 Cho hàm số f (x) = x−2  − 2ax + x ≤ Xác định a để hàm số liên tục điểm x = A a = B a = C a = −1 D a = Lời giải x2 + x − = lim (−2ax + 1) = −4a + Ta có lim x→2 x→2 x−2 Để hàm số liên tục điểm x = −4a + = ⇔ a = −1 Chọn đáp án C ® x + x > Câu 66 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số f (x) = liên tục x2 + m x ≤ x = A m = −1 B m = C m = D m = −6 Lời giải f (2) = + m, lim f (x) = 3, lim f (x) = + m Hàm số liên tục x = x→2+ x→2− + m = ⇔ m = −1 Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 161 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/   sin x Câu 67 Cho hàm số f (x) = x a A B −1 Lời giải x = Chương - Giải tích 11 Tìm a để f (x) liên tục x = x = C Hàm số liên tục x = ⇔ lim f (x) = f (0) ⇔ lim x→0 x→0 D sin x = a ⇔ a = x Chọn đáp án A ® x + m x ≥ Câu 68 Cho hàm số f (x) = (m tham số) Tìm giá trị thực tham số m để hàm 3x − x < số cho liên tục x0 = A m = B m = C m = D m = Lời giải f (2) = + m; lim f (x) = lim x2 + m = + m x→2+ x→2+ lim f (x) = lim (3x − 1) = x→2− x→2− Hàm số cho liên tục x0 = lim f (x) = lim f (x) = f (2) ⇔ + m = ⇔ m = x→2+ x→2− Chọn đáp án B   3x − 7x − x > x−3 liên tục với x thuộc Câu 69 Tìm giá trị tham số m để hàm số f (x) =  x + 5mx + x ≤ R A m = B m = C m = D m = Lời giải Tập xác định hàm số D = R Với x > f (x) hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng (3; +∞) Với x < f (x) hàm số đa thức nên liên tục khoảng (−∞; 3) Ta có lim f (x) = f (3) = 32 + 15m + = 15m + 11 x→3− lim f (x) = lim x→3+ x→3+ 3x2 − 7x − (3x + 2)(x − 3) = lim = lim (3x + 2) = 11 x−3 x−3 x→3+ x→3+ Hàm số f (x) liên tục với x thuộc R hàm số f (x) liên tục x = 3, tức f (3) = lim f (x) = lim f (x) ⇔ 15m + 11 = 11 ⇔ m = x→3− x→3+ Vậy hàm số f (x) liên tục với x thuộc R m = Chọn đáp án D √ x+4−2   x > x Câu 70 Giá trị tham số m cho hàm số f (x) = liên  2m − x x 4 C D A B Lời giải √ x+4−2 x 1 √ Có lim f (x) = lim = lim = lim √ = x x→0+ x→0+ x→0+ x x→0+ x+4+2 x+4+2 Å ã lim f (x) = lim 2m − x = 2m f (0) = 2m x→0− x→0− 1 Hàm số liên tục x = ⇔ lim f (x) = lim f (x) = f (0) ⇔ 2m = ⇔ m = x→0+ x→0− Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 162 tục x = https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11 √ x−1   x > x−1 Câu 71 Giá trị tham số a để hàm số f (x) = liên tục điểm x =  ax − x ≤ 1 A B −1 C D − 2 Lời giải Ta có f (1) = a − 2Å ã 1 =a− lim f (x) = lim ax − − − 2 x→1 x→1 √ x−1 1 = lim f (x) = lim = lim √ x+1 x→1+ x→1+ x − x→1+ 1 Hàm số liên tục x = f (1) = lim f (x) = lim f (x) ⇔ a − = ⇔ a = − + 2 x→1 x→1 Chọn đáp án C   x − 16 x > Câu 72 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số f (x) = liên tục x−4  mx + x ≤ R 7 B m = m = − A m = −8 m = 4 7 C m = − D m = 4 Lời giải Hàm số cho liên tục khoảng (−∞; 4), (4; +∞) Vậy hàm số liên tục R liên tục điểm x = Hàm số liên tục điểm x = lim f (x) = lim f (x) = f (4) ⇔ = 4m + ⇔ m = x→4+ x→4− Chọn đáp án D ® sin x cos x ≥ Hỏi hàm số f có điểm gián đoạn Câu 73 Cho hàm số f (x) = + cos x cos x < khoảng (0; 2018)? A 2018 B 1009 C 542 D 321 Lời giải Do hàm số y = sin x ï kỳ 2π ò và y = cos x tuần hoàn với chu π 3π   sin x x ∈ 0; ∪ ; 2π  2 Å ã Ta xét hàm số f (x) =  π 3π  1 + cos x x ∈ ; 2 π Ta xét lim f (x) = lim (1 + cos x) = = f π+ π+ x→ x→ π π Tương tự lim f (x) = lim sin x = = f Do hàm số liên tục x = − − π π 2 x→ x→ Å ã 3π Mặt khác, ta xét lim f (x) = lim sin x = −1 = f + + 3π 3π x→ x→ Å ã 3π 3π Tương tự lim f (x) = lim (1 + cos x) = = f Do hàm số gián đoạn x = − − 2 3π 3π x→ x→ 2 Ta có lim f (x) = lim sin x = = f (2π) x→2π − x→2π − 3π Vậy điểm gián đoạn hàm số có dạng x = + k2π, với k ∈ Z Å ã 3π 3π Để x ∈ (0; 2018) suy < + k2π < 2018 ⇔ − < k < 2018 − , k ∈ Z suy k ∈ 2π {0,1,2, ,320} Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 163 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11 √ x−1 Tìm khẳng định khẳng định sau: x−1 (I) Hàm số f (x) gián đoạn x = (II) Hàm số f (x) liên tục x = 1 (III) lim f (x) = x→1 A Chỉ (II) B Chỉ (I) (III) C Chỉ (II) (III) D Chỉ (I) Lời giải √ x−1 Hàm số f (x) = có tập xác định [0; +∞) \{1} x−1 Vậy hàm số f (x)√gián đoạn x = ⇒ (I) x−1 1 lim f (x) = lim = lim √ = ⇒ (III) x→1 x→1 x − x→1 x+1 Chọn đáp án B   x − x = x−1 Câu 75 Cho hàm số f (x) = , với m tham số thực Tìm m để hàm số f (x) liên tục  m x = x = A m = B m = −2 C m = D m = −1 Lời giải x2 − = lim (x + 1) = Ta có lim f (x) = lim x→1 x→1 x→1 x − Hàm số f (x) liên tục x = lim f (x) = f (1) ⇔ m = Câu 74 Cho hàm số f (x) = x→1 Chọn đáp án A  √   x −√3 x = Câu 76 Cho hàm số f (x) = x − Tìm khẳng định khẳng định sau: √   √ x = √ (I) f (x) liên tục x = 3.√ (II) f (x) gián đoạn x = (III) f (x) liên tục R A Chỉ I II B Chỉ I III C Cả I, II, III D Chỉ II III Lời giải Ä ä √ ä Ä√ x2 − x2 − √ = √ = f (x0 ) Suy hàm số liên tục với Với x0 ∈ −∞; ∪ 3; +∞ ta có lim x→x0 x − x0 − Ä ä √ ä Ä√ x0 ∈ −∞; ∪ 3; +∞ (1) Ä √ äÄ √ ä Ä x− x+ √ ä √ √ x2 − √ √ = lim = lim Ta có lim = = f ( 3) (2) x + √ √ √ x− x→ x→ x→ x − Từ (1) (2) suy hàm số liên tục R Chọn đáp án B  x3 − x    với x < 0, x = −1  x+1 Câu 77 Cho hàm số f (x) = với x = −1    √x cos x với x ≥ Khẳng định sau đúng? A f (x) liên tục R B f (x) liên tục điểm, trừ điểm x = −1 C f (x) liên tục điểm, trừ điểm x = D f (x) liên tục điểm, trừ điểm x = x = Lời giải Ta có: √ f (x) = x cos x với x ≥ nên f (x) liên tục (0; +∞) x3 − x f (x) = với x < 0, x = −1 nên f (x) liên tục (−∞; −1) (−1; 0) x+1 Th.s Nguyễn Chín Em 164 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11 x3 − x x(x − 1)(x + 1) = lim = lim x(x − 1) = = f (−1), suy f (x) gián đoạn x→−1 x + x→−1 x→−1 (x + 1) Mặt khác lim x = −1 x(x − 1)(x + 1) lim f (x) = lim = − − (x + 1) x→0 x→0 √ lim = lim x cos x = = f (0) Vậy f (x) liên tục x = x→0+ x→0+ Vậy f (x) liên tục x = −1 Chọn đáp án B   x − 3x + với x = x−2 Câu 78 Cho hàm số f (x) = Với giá trị m sau để hàm số f (x)  2m + với x = liên tục x = A B C D −1 Lời giải TXĐ: D = R x = ∈ D, f (2) = 2m + x2 − 3x + lim = lim (x − 1) = x→2 x→2 x−2 Để hàm số liên tục x = lim f (x) = f (2) ⇔ = 2m + ⇔ m = x→2 Chọn đáp án A ï Câu 79 Có giá trị thực tham số m để hàm số f (x) = R? A B Lời giải Hàm số liên tục R ⇔ hàm số liên tục x = ⇔ m2 x2 x ≤ liên tục (1 − m)x x > C D lim f (x) = lim f (x) = f (2) x→2+ x→2− ⇔ 4m = 2(1 − m)  m = −1 ⇔  m=− Chọn đáp án C  x + x − Câu 80 Cho hàm số f (x) = x−2  − 2ax + 1 A a = B a = Lời giải Ta có x > Xác định a để hàm số liên tục điểm x = x ≤ C a = D a = −1 x2 + x − (x − 2)(x + 3) = lim = lim (x + 3) = + = + + + x−2 x−2 x→2 x→2 x→2 x→2+ lim f (x) = lim (−2ax + 1) = −2a · + = −4a + lim f (x) = lim x→2− x→2− f (2) = −4a + Khi đó, để hàm số liên tục x = lim f (x) = lim f (x) = f (2) ⇔ = −4a + ⇔ a = −1 x→2+ x→2− Vậy a = −1 Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 165 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11  x − x = Câu 81 Cho hàm số f (x) = x − Tìm m để hàm số liên tục x =  mx + x = 17 15 13 11 A m = B m = C m = D m = 2 2 Lời giải x3 − lim f (x) = lim = lim (x2 + 2x + 4) = 12 x→2 x→2 x − x→2 f (2) = 2m + 11 Hàm số liên tục x = ⇔ lim f (x) = f (2) ⇔ m = x→2 Chọn đáp án D   x − 4x + , ∀x > liên tục R Câu 82 Tìm P để hàm số y = x−1  6P x − 3, ∀x ≤ 1 A P = B P = C P = D P = 6 Lời giải /Tập xác định hàm số : D = R Với x > x < hàm số xác định nên liên tục x2 − 4x + Xét x = 1, ta có lim y = 6P − = y(1), lim y = lim = lim (x − 3) = −2 x−1 x→1− x→1+ x→1+ x→1+ Để hàm số liên tục R lim y = lim y = y(1) ⇔ 6P − = −2 ⇔ P = x→1− x→1+ Chọn đáp án C   x + ax + b , với x = x−1 Câu 83 Cho a, b hai số thực cho hàm số f (x) = liên tục R Tính  2ax − , với x = a − b A B −1 C −5 D Lời giải Nếu x = không nghiệm x2 + ax + b = lim (x) = ∞, nên hàm số f (x) gián đoạn x = 1, vô x→1 lý Vậy x = nghiệm x2 + ax + b = 0, hay a + b + = ⇔ b = −a − x2 + ax − a − Khi đó: lim f (x) = lim = lim (x + + a) = + a x→1 x→1 x→1 x−1 Mà f (1) = 2a − 1, nên để hàm số liên tục R + a = 2a − ⇔ a = 3, suy b = −4 Chọn đáp án D √  3x + − x = Câu 84 Tìm giá trị tham số m để hàm số f (x) = liên tục điểm x0 = x−1  m x = A m = B m = C m = D m = Lời giải 3 Ta có f (1) = m lim f (x) = lim √ = Do đó, hàm số y = f (x) liên tục điểm x0 = x→1 x→1 3x + + lim f (x) = f (1) ⇔ m = x→1 Chọn đáp án C ®√ x−m x ≥ Câu 85 Cho hàm số f (x) = Tìm tất giá trị thực m để f (x) liên tục mx + x < R A m = B m = C m = −1 D m = −2 Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 166 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11 Hàm số liên tục R hàm số liên tục x = Do đó, lim f (x) = lim f (x) = f (0) ⇔ lim x→0− x→0+ √ x − m = lim (mx + 1) = −1 ⇔ m = −1 x→0− x→0+ Chọn đáp án C  − (a − 2) x −   ax √ x+3−2 Câu 86 Cho hàm số f (x) =  8 + a2 hàm số liên tục x = A B Lời giải Để hàm số liên tục x = lim f (x) = f (1) Do x→1 x = Có giá trị tham số a để x = C D giả thiết ta có f (1) = + a2 ò ax2 − (a − 2) x − √ lim x→1 x+3−2 ï ò (ax + 2) · (x − 1) √ lim x→1 x+3−2 đ √ (ax + 2) · (x − 1) x + + √ √ lim x→1 x+3−2 x+3+2 đ √ (ax + 2) · (x − 1) x + + lim x→1 x−1 ỵ Ä√ äó lim (ax + 2) · x+3+2 ï lim f (x) = x→1 = = = = x→1 = (a + 2) = 4a + Suy 4a + = + a2 ⇔ a2 − 4a =0⇔ ñ a=0 a=4 Vậy tồn giá trị a để hàm số liên tục x = Chọn đáp án D Câu 87 Hàm số hàm số không liên tục R? x C y = sin x A y = |x| B y = x+1 Lời giải x Hàm số y = có tập xác định D = R \ {−1} nên không liên tục R x+1 Chọn đáp án B Câu 88 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R f (x) ≥ x4 + D y = x |x| + − 2x, ∀x > f (1) = −1 Khẳng x2 định sau đúng? A phương trình f (x) = có nghiệm (0; +∞) B phương trình f (x) = có nghiệm (0; 1) C phương trình f (x) = có nghiệm (1; 2) D phương trình f (x) = có nghiệm (2; 5) Lời giải √ Ta có x4 + − 2x ≥ 2x2 − 2x ≥ ∀x > 0, nên f (x) > ∀x > 0, hay hàm số y = f (x) đồng biến x (0; +∞) Suy f (0) < f (1) = −1 f (x) = có nhiều nghiệm (0; +∞) Mà 2Å ã 16 f (2) = f (1) + f (x)dx ≥ x + − 2x dx = > x 1 Suy phương trình f (x) = có nghiệm thuộc khoảng (1; 2) Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 167 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11  − (a − 2)x −   ax √ x = x+3−2 Có tất giá trị tham số a Câu 89 Cho hàm số f (x) =   8+a x = để hàm số liên tục x = 1? A B C D Lời giải √ √ (x − 1)(ax + 2) x + + Ta có lim f (x) = lim = lim (ax + 2) x + + = 4a + x→1 x→1 x→1 x−1 Lại có f (1) = + a2 đ a=0 Hàm số f (x) liên tục x = ⇔ lim f (x) = f (1) ⇔ 4a + = + a ⇔ x→1 a = Vậy có giá trị tham số a thoả mãn yêu cầu toán Chọn đáp án D ß sin πx |x| ≤ Câu 90 Cho hàm số f (x) = Mệnh đề sau đúng? x + |x| > A Hàm số liên tục R B Hàm số liên tục khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) C Hàm số liên tục khoảng (−∞; 1) (1; +∞) D Hàm số gián đoạn x = ±1 Lời giải Ta có lim f (x) = lim (x + 1) = lim f (x) = lim sin πx = sin π = Suy hàm số gián đoạn x→1+ x→1+ x→1− x = lim f (x) = lim sin πx = sin(−π) = x→−1+ x→−1+ x→1− lim f (x) = lim (x + 1) = 0; f (−1) = sin(−x) = Suy x→−1− x→1− hàm số liên tục x = −1 Chọn đáp án C  x ≤ 3x + a − √ Câu 91 Cho hàm số f (x) = Tìm tất giá trị a để hàm số cho liên  + 2x − x > x tục điểm x = A a = B a = C a = D a = Lời giải Ta có f (0) = a − ; lim f (x) = lim (3x + a − 1) = a − x→0− √ x→0− + 2x − 2x √ lim f (x) = lim = lim √ = = lim x x→0+ x→0+ x→0+ x( + 2x + 1) x→0+ + 2x + Hàm số liên tục x = ⇔ f (0) = lim f (x) = lim f (x) ⇔ a − = ⇔ a = x→0− x→0+ Chọn đáp án C   x − 16 Câu 92 Tìm m để hàm số f (x) = x−4  mx + A m = −8 x > liên tục điểm x = x ≤ C m = − B m = D Lời giải Hàm số liên tục lim f (x) = lim f (x) = f (4) ⇔ = 4m + ⇔ m = x→4+ x→4− Chọn đáp án D Câu 93 Phương trình có nghiệm khoảng (0; 1)? A 2x2 − 3x + = B (x − 1)5 − x7 − = C 3x − 4x + = D 3x2017 − 8x + = Lời giải Xét hàm số f (x) = 3x2017 − 8x + = liên tục R f (0) = 4; f (1) = −1 ⇒ f (0) · f (1) = −4 < suy phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) Th.s Nguyễn Chín Em 168 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11 Chọn đáp án D   x − x = Câu 94 Cho hàm số f (x) = Tìm m để hàm số liên tục điểm x0 = x−2  2m + x = 13 11 A m = B m = C m = D m = − 2 2 Lời giải x3 − Ta có lim = lim (x2 + 2x + 4) = 12, f (2) = 2m + Hàm số f (x) liên tục x0 = x→2 x − x→2 lim f (x) = f (2) ⇔ 12 = 2m + ⇔ m = x→2 11 Chọn đáp án C  x ≤ x + mx √ Câu 95 Cho hàm số f (x) = Tìm m để hàm số cho liên tục x =  x+3−2 x > x−1 A − B C D Lời giải lim f (x) = lim x2 + mx = m + x→1− x→1− √ x+3−2 x−1 1 √ = lim = lim √ = lim f (x) = lim + + + + x − x→1 (x − 1) x→1 x→1 x→1 x+3+2 x+3+2 Và f (1) = m + Khi hàm số liên tục x = lim f (x) = lim f (x) = f (1), hay x→1− x→1+ m+1= ⇔m=− 4 Chọn đáp án A √  x + − x = liên tục tai x = Câu 96 Giá trị b để hàm số f (x) = x−2  2b + x = 3 A - B - C D − 4 Lời giải √ x+2−2 x−2 √ = lim Ta có lim f (x) = lim = ; f (2) = 2b + x→2 x→2 x→2 (x − 2) x−2 x+2+2 Hàm số f (x) liên tục x = lim f (x) = f (2) ⇔ = 2b + ⇔ b = − x→2 Chọn đáp án D   − cos x x = x2 Câu 97 Cho hàm số f (x) = Khẳng định khẳng định sau?  x = A f (x) B f (x) liên tục x = √ có đạo hàm x = D f (x) gián đoạn x = C f ( 2) < Lời giải Ta thấy mệnh đề: f (x) liên tục x = mệnh đề: f (x) gián đoạn x = xung khắc nhau, ta cần kiểm tra tính liên tục hàm f (x) x=  Ñ x é2 x sin sin 1 = lim  Ta có f (0) = lim f (x) = lim · =  x x→0 x→0 x→0 x2 2 Do lim f (x) = f (0) Vậy hàm số gián đoạn x = x→0 Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 169 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11  √  4x + −  x = Câu 98 Tìm a để hàm số f (x) = ax + (2a + 1)x liên tục x =  3 x = 1 −1 A B C D Lời giải Ta có √ 4x + − √ lim f (x) = lim = lim = x→0 x→0 x (ax + 2a + 1) x→0 (ax + 2a + 1) 2a +1 4x + + Hàm số liên tục x = ⇔ =3⇔a=− 2a + Chọn đáp án C √  x + − x = Câu 99 Tìm a để hàm số y = liên tục x0 = x−2  a + 2x x = 15 A a = B a = C a = − 4 Lời giải Ta có f (2) = + a √ x+2−2 1 = lim √ = lim f (x) = lim x→2 x→2 x→2 x−2 x+2+2 Do hàm số liên tục x = ⇔ lim f (x) = f (2) ⇔ a = − x→2 D a = 15 Chọn đáp án C √   − x + x = Câu 100 Cho hàm số f (x) = Tìm a để hàm số liên tục x0 = x2 −  a x = √ 1 a=2− A a = B a = +∞ C a = − D 8 Lời giải Tập xác định: D = [−3; +∞) √ \ {−1} 2− x+3 − (x + 3) √ Ta có lim f (x) = lim = lim x→1 x→1 x→1 (x − 1)(x + 1)(2 + x + 3) x −1 −1 √ = lim =− x→1 (x + 1)(2 + x + 3) Hàm số liên tục x0 = ⇔ lim f (x) = f (1) ⇔ a = − x→1 Chọn đáp án C √   x+1−1 x > x Câu 101 Tìm tất giá trị thực m để hàm số f (x) = liên tục   x2 + − m x ≤ R 1 A m = B m = C m = −2 D m = − 2 Lời giải √ x+1−1 Với x > 0, ta có f (x) = liên tục khoảng (0; +∞) √ x Với x < 0, ta có f (x) = x2 + − m liên tục khoảng (−∞; 0) Tại x = 0, ta có f (0) = − m √ x+1−1 = lim √ = + x x→0 x+1+1 Ä ä lim f (x) = lim x2 + − m = − m lim f (x) = lim x→0+ x→0+ x→0− x→0− Th.s Nguyễn Chín Em 170 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Suy hàm số f (x) liên tục R ⇔ − m = Chương - Giải tích 11 1 ⇔m= 2 Chọn đáp án B   x2 x ≤ liên tục x = Câu 102 Tìm a để hàm số f (x) =  ax + x > 1 B a = −1 C a = − A a = 2 Lời giải x2 Ta có lim f (x) = lim (ax + 1) = a + 1, lim f (x) = lim = = f (1) + + + x→1+ x→1 x→1 x→1 D a = Hàm f (x) lên tục x = lim f (x) = lim f (x) = f (1) ⇔ a + = x→1− x→1+ 1 ⇔a=− 2 Chọn đáp án C Câu 103 Trong hàm số f1 (x) = sin x, f2 (x) = √ ® x + 1, f3 (x) = x3 − 3x f4 (x) = x+ √ 2−x x − x x < có tất hàm số liên tục R ? A B C D Lời giải √ Hàm số f2 (x) = x + khơng liên tục R có tập xác định D = [−1; +∞) Hàm số f1 (x) = sin x, f3 (x) = x3 − 3x liên tục R √ ® x + x − x Ta xét tính liên tục hàm số f4 (x) = R 2−x x < Tập xác định R Hàm số f4 (x) liên tục khoảng (−∞; 1) (1; +∞) Ta cần xét tính liên tục √ x = lim f4 (x) = lim x + x − = lim f4 (x) = lim (2 − x) = x→1+ x→1− x→1+ x→1− Vậy hàm số f4 (x) liên tục x = liên tục R Kết luận: Có tất ba hàm số liên tục R Chọn đáp án D  − 16  x √ x > x−2 Câu 104 Hàm số f (x) = liên tục x0 = m nhận giá trị   3x − m x ≤ A 44 B −20 C 20 D −44 Lời giải Ta có: lim f (x) = lim (3x − m) = 12 − m x→4− x→4− √ √ x2 − 16 (x − 4)(x + 4)( x + 2) lim f (x) = lim √ = lim = lim (x + 4)( x + 2) = 32 + + + + x−4 x − x→4 x→4 x→4 x→4 Mặt khác: f (4) = 12 − m Hàm số liên tục x0 = ⇔ lim = lim = f (4) ⇔ 12 − m = 32 ⇔ m = −20 x→4+ x→4− Chọn đáp án B Câu 105 Cho hàm số f (x) = ® x − x ≤ x + m x > B m = liên tục điểm x0 = m nhận giá trị A m = −2 C m = D m = −1 Lời giải Ta có: lim f (x) = lim (x + m) = + m; lim f (x) = lim (x2 − 1) = f (1) = x→1+ x→1+ x→1− x→1− Để hàm số f (x) liên tục x = lim f (x) = lim f (x) = f (1) ⇔ + m = ⇔ m = −1 x→1+ x→1− Chọn đáp án D Th.s Nguyễn Chín Em 171 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11 x2 − 12x + 35 x→5 25 − 5x B − Câu 106 Tính lim Lời giải A C −∞ x2 − 12x + 35 x→5 25 − 5x lim D +∞ (x − 5)(x − 7) x→5 5(5 − x) −x + = lim x→5 = = lim Chọn đáp án A √ √  2x + − x + Câu 107 Cho hàm số f (x) = x−4  a+2 a để hàm số liên tục x0 = 11 A a = B a = − Lời giải Ta có x = Tìm tất giá trị thực tham số x = C a = D a = √ √ 2x + − x + lim f (x) = lim x→4 x→4 x−4 √ = lim √ x→4 2x + + x + = f (4) = a + Hàm số liên tục x0 = lim f (x) = f (4) ⇔ a + = x→4 11 ⇔a=− 6 Chọn đáp án B  |2x − 7x + 6|    x−2 Câu 108 Cho hàm số f (x) =  −x  a + 2+x x < Biết a giá trị để hàm số f (x) liên tục x ≥ x0 = 2, tìm số nghiệm nguyên bất phương trình −x2 + ax + > A B C D Lời giải Å ã 1−x |2x2 − 7x + 6| Ta có lim f (x) = lim a + = a − = f (2); lim f (x) = lim = lim (−2x + 3) = 2+x x−2 x→2+ x→2+ x→2− x→2− x→2− −1 Hàm số liên tục x0 = ⇔ a − = −1 ⇔ a = − 4 7 −x − x + > ⇔ − < x < suy x = −1, x = 4 Chọn đáp án D   x − x − x = Câu 109 Tìm tất giá trị thực m để hàm số f (x) = liên tục điểm x−2  m x = x = A m = −3 B m = C m = D m = −1 Lời giải x2 − x − Ta có lim f (x) = lim = lim (x + 1) = x→2 x→2 x→2 x−2 Để f (x) liên tục x = lim f (x) = f (2) = m ⇔ m = x→2 Chọn đáp án C Th.s Nguyễn Chín Em 172 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Giải tích 11  2x +  , x = ±3  3x − 27 Câu 110 Cho hàm số f (x) = Mệnh đề sau đúng?   −1 , x = ±30 A Hàm số liên tục điểm trừ điểm x thuộc khoảng (−3; 3) B Hàm số liên tục điểm trừ điểm x = −3 C Hàm số liên tục điểm trừ điểm x = D Hàm số liên tục R Lời giải 2x + hàm phân thức nên liên tục với ∀x = ±3 Với x = ±3 f (x) = 3x − 27 2(x + 3) 2x + = lim = ∞ nên hàm số không liên tục x = Mặt khác lim x→3 3(x + 3)(x − 3) x→3 3x − 27 2x + 2(x + 3) −1 lim = lim = nên hàm số liên tục x = −3 x→−3 3x2 − 27 x→−3 3(x + 3)(x − 3) Chọn đáp án C Câu 111 Tìm tất giá trị tham số m cho hàm số f (x) = ® √ x − m với x ≥ mx + với x < liên tục R B m = ±2 A m = Lời giải C m = −2 D m = √ Với x > f (x) = x − m liên tục Với x < f (x) = mx + liên tục Tại x = 0, ta có √ lim f (x) = lim (2 x − m) = −m x→0+ x→0+ lim f (x) = lim (mx + 2) = x→0− x→0− f (0) = −m Nên, hàm số liên tục x = lim f (x) = lim f (x) = f (0) ⇔ −m = ⇔ m = −2 x→0− x→0+ Vậy, hàm số cho liên tục R m = −2 Chọn đáp án C ĐÁP ÁN 11 21 31 42 52 62 72 82 92 102 C A A D A C A D C D C 12 22 32 43 53 63 73 83 93 103 D A C D B A A D D D D 13 23 33 44 54 64 74 84 94 104 Th.s Nguyễn Chín Em D C C B C B B B C C B 14 24 35 45 55 65 75 85 95 105 B B A B A D C A C A D 15 25 36 46 56 66 76 86 96 106 C B A B B D A B D D A 16 26 37 47 57 67 77 87 97 107 173 D A D B A D A B B D B 17 27 38 48 58 68 78 88 98 108 A A A B A D B A C C D 18 28 39 49 59 69 79 89 99 109 C C B A D C D C D C C 19 29 40 50 60 70 80 90 100 110 B A C A D D C D C C C 10 20 30 41 51 61 71 81 91 101 111 C D B A D A C D C B C https://emncischool.wixsite.com/geogebra ... 173 CHƯƠNG GIỚI HẠN BÀI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN GIỚI HẠN DÃY SỐ Định nghĩa dãy số có giới hạn 1.1 Định nghĩa Ta nói dãy số (un ) có giới hạn (hay giới hạn 0) số hạng dãy số có giá... ) = +∞ Các dãy số có giới hạn +∞ −∞ gọi chung dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực Dãy số có giới hạn số thực L gọi dãy số có giới hạn hữu hạn 3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực... số hạng trở Khi ta viết: lim (un ) = viết tắt lim (un ) = un → n→+∞ Nhận xét Dãy số (un ) có giới hạn dãy số (|un |) có giới hạn Dãy số khơng đổi (un ) với un = có giới hạn Một số dãy số có giới