tài liệu Giới hạn dãy số

tài liệu Giới hạn dãy số tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kin...

GIỚI HẠN DÃY SỐ DÃY SỐ THỰC Dãy số là tập hợp các số được đánh chỉ số từ nhỏ đến lớn trong tập hợp số tự nhiên N. VD: 1/ x n = n 2 , n = 0, 1, 2, … 2/ x n = 1/n, n = 1, 2, … 3/ {x n } là cấp số cộng: a, a+d, a+2d, … Các cách cho dãy số 2 1, / n n x n x n= = 1/ Dạng liệt kê: VD: dãy 1, 2, 3,…; dãy 1, 1/2, 1/3,… 2/ Dạng tường minh: {x n } cho dạng biểu thức giải tích của biến n. 3/ Dạng quy nạp: Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trước VD: VD: dãy 2 1 1 1 1, n n n x x x x + = = − + dãy 1 1 2 1 1 1 2 , , n n n x x x x x − + − = = = Dãy đơn điệu {x n } là dãy tăng ⇔ x n ≤ x n+1 , với mọi n đủ lớn {x n } là dãy giảm ⇔ x n ≥ x n+1 , với mọi n đủ lớn Dãy tăng và dãy giảm gọi chung là dãy đơn điệu. Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng (giảm) ngặt. 1.Xét hiệu số: x n+1 – x n (so với “0”) 2.Xét thương số: x n+1 /x n (so với “1”) (dùng cho dãy số dương) 3.Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = x n Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu: Ví dụ 1 1 1 2 = + + +K/ : n a x n 1 1 / 1 1 : 2 n b x n     = − −  ÷  ÷     K ⇒ giảm 1 1 1 1 + = − + n n x x n 1 1 1 + − = + n n x x n 0> ⇒ tăng 2 3 / : 3 4 n n c x n − = − Biểu thức giống hàm số, xét đạo hàm 2 2 3 1 ( ) , ( ) 0 3 4 (3 4) x f x f x x x − ′ = ⇒ = > − − ⇒ f(x) tăng ⇒ {x n } tăng. Dóy b chn {x n } l dóy b chn trờn M : x n M, n N 0 {x n } l dóy b chn di m : x n m, n N 0 {x n } b chn {x n } b chn trờn v b chn di VD: Xeựt tớnh bũ chaởn cuỷa caực daừy ( ) { } / 1 n c n { } / 3 n b { } 2 1 /a n • Các chỉ số của dãy con cũng kéo dài ra ∞ { } { } 1 2 3 4 5 6 7 8 , , , , , , , , , , n n x x x x x x x x x x = L L DÃY CON Cho {x n }, chọn ra các số hạng từ dãy này 1cách tùy ý theo thứ tự chỉ số tăng dần ta được 1 dãy con của {x n }. VD: {x 2n – 1 } {x 2n } {x 2n-1 } = {x 1 , x 3 , x 5 , …} {x 2n } = {x 2 , x 4 , x 6 , …} GiỚI HẠN DÃY SỐ Định nghĩa đơn giản: {x n } có giới hạn là a khi n ra ∞ tức là x n ≈ a khi n đủ lớn Dãy hội tụ ⇔ 0 0 0, : , ε ε ⇔ ∀ > ∃ ∈ − < ∀ ≥ n N N x a n N 0 0 0, : n N a x a n N ε ε ε ⇔ ∀ > ∃ − < < + ∀ ≥ : lim höõu haïn n n a x a →∞ ∃ = a 0 N x 0 ( ) n x n N > a ε − a ε + Định nghĩa chặt chẽ: 1 x 2 x 3 x [...]... x ĐK : x ≥ 0 & lim x ≥ 0 n n n n →∞ n →∞  n→∞ n ( ( ) ) SỰ HỘI TỤ VÀ DÃY CON lim xn = a ⇔ Mọi dãy con của {xn} đều → a ∃ 1 dãy con phân kỳ Dãy {xn} phân kỳ ⇔  ∃ 2 dãy con có lim ≠ nhau VD: dãy {xn} = {(–1)n} phân kỳ  x2n = 1 → 1 Vì 2 dãy con   x2n −1 = −1 → −1  x2n → a ⇔ xn → a Hệ quả:  x  2n −1 → a GIỚI HẠN KẸP Cho 3 dãy {xn}, {yn}, {zn}  xn ≤ y n ≤ zn ∀ n ≥ N0   lim x = lim z = a n→∞... 2 n →∞ TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS Dãy tăng & bị chặn trên thì hội tụ, Dãy giảm & bị chặn dưới thì hội tụ VD: 1/ Chứng minh tồn tại giới hạn sau: 1 + 1 + 1 + + 1  lim  2 2 2÷ n →∞  2 3 n  1 1 xn = 1 + 2 + + 2 : 2 n 1 ( xn +1 − xn = > 0 ⇒ { xn } tang 2 (n + 1) 1 1 1 1 < = − ⇒ xn < 2 2 n ( n − 1) n n − 1 n TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS 2/ Chứng minh tồn tại và tìm giới hạn dãy số: xn x0 = 3, xn +1 = +1 2 •... n ≤ zn ∀ n ≥ N0   lim x = lim z = a n→∞ n n→∞ n  ⇒ lim y n = a n →∞ xn ≤ y n ≤ zn a Hệ quả: 0 ≤ xn ≤ y n ∀ n & lim y n = 0 ⇒ lim xn = 0 n →∞ n →∞ Dãy phân kỳ ra vơ cùng Dãy khơng hội tụ gọi là dãy phân kỳ: Khơng có giới hạn Phân kỳ ra vơ cùng Giới hạn = ± ∞ : khơng thể xét | xn – a | ! lim xn = +∞ ⇔ ∀ M > 0 , ∃ N0 ∈ N : xn > M , ∀ n ≥ N0 n→ ∞ lim xn = −∞ ⇔ ∀ M > 0 , ∃ N0 ∈ N : xn < − M , ∀ n ≥ N0... 2 {xn} giảm và bị chận dưới nên hội tụ Gọi: lim xn = L Khi đó lim xn +1 = L Ta lại có xn xn +1 = +1 2 Qua giới hạn khi n→∞, ta được L L = +1 ⇔ L = 2 2 SỐ e Chứng minh tồn tại giới hạn sau : n 1 + 1  e = lim  ÷ n →∞  n n • Tính đơn điệu: 1 + 1  xn =  ÷  n sử dụng bđt Cauchy cho 1 và n số (1+1/n) n n +1  1 + 1  ≤ 1 + 1  ÷ n +1  n Vậy {xn} tăng n n +1 1 + 1  ≤ 1 + 1  ⇔ ÷  ÷  n ... ≥ N0 ⇒ n ≥ ⇒ n + 1 > ⇒ x n − 1 < ε ε ε * Với ε = 10-3, tìm N0? Tính chất dãy hội tụ Dãy hội tụ thì bị chận •an ≥ 0 và an→ a thì a ≥ 0 •an → a và a < c thì an < c với n ≥ N0 a an, n ≥ N0 a-ε an, n ≥ N0 a-ε a+ε a c a+ε 0 Các phép tốn trên dãy hội tụ lim tổng (hiệu, tích, thương, căn,…) = tổng (hiệu…) lim ∃ lim xn , lim y n (hữu hạn) n →∞ n →∞  lim ( x ± y ) = lim x ± lim y n n n  n→∞ n n →∞ n →∞ ... Các phép tốn trên dãy phân kỳ ra ∞ 1/ Nếu lim an = ∞ thì n →∞ 1 lim = 0 n →∞ a n  lim an = 0 n→∞ 2/ Nếu  thì an > 0(< 0), ∀n ≥ N0  lim an = +∞ n →∞ (−∞)  lim (an + bn ) = ∞ n→∞ lim an = ∞ , lim bn = c ⇒  n →∞ n →∞ lim n→∞ an bn = ∞, nếu c ≠ 0  lim an = +∞ , lim bn = +∞ ⇒ lim (an + bn ) = +∞ 3/ n →∞ n →∞ lim an = +∞ , lim bn = +∞ n →∞ n →∞ n →∞ ⇒ lim an bn = ∞ n →∞ GIỚI HẠN CƠ BẢN α > 0 ⇒... n ! 1 ×2K n 1 0< n = ≤ →0 n ×nK n n n n sin n n 0≤ 2 ≤ 2 →0 n +1 n +1 n sin n 2 / lim 2 n →∞ n + 1 n  1000  3 / lim  ÷ n→∞  n  n Với n ≥ 2000: n  1000  ≤  1  → 0 0 . GIỚI HẠN DÃY SỐ DÃY SỐ THỰC Dãy số là tập hợp các số được đánh chỉ số từ nhỏ đến lớn trong tập hợp số tự nhiên N. VD: 1/ x n = n 2 , n = 0, 1,. quy nạp: Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trước VD: VD: dãy 2 1 1 1 1, n n n x x x x + = = − + dãy 1 1 2 1 1 1 2 , , n n n x x x x x − + − = = = Dãy đơn điệu {x n } là dãy tăng ⇔ x n . chỉ số của dãy con cũng kéo dài ra ∞ { } { } 1 2 3 4 5 6 7 8 , , , , , , , , , , n n x x x x x x x x x x = L L DÃY CON Cho {x n }, chọn ra các số hạng từ dãy này 1cách tùy ý theo thứ tự chỉ số