Giới hạn hàm số ( phần 2 ) vô cùng bé, vô cùng lớn

Giới hạn hàm số ( phần 2 ) vô cùng bé, vô cùng lớn tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn...

GiỚI HẠN HÀM SỐ

(phần 2)

Vô cùng bé – vô cùng lớn

ĐỊNH NGHĨA

• (x) là vô cùng bé khi x ) là vô cùng bé khi x) là vô cùng bé khi x  x) là vô cùng bé khi x o nếu giá trị của

(x) là vô cùng bé khi x ) rất bé khi x) là vô cùng bé khi x gần x) là vô cùng bé khi x o

• (x) là vô cùng bé khi x ) là vô cùng lớn khi x) là vô cùng bé khi x  x) là vô cùng bé khi x o nếu giá trị của |

(x) là vô cùng bé khi x )| rất lớn khi x) là vô cùng bé khi x gần x) là vô cùng bé khi x o

x) là vô cùng bé khi x ,  > 0 là VCB khi x) là vô cùng bé khi x  0

x) là vô cùng bé khi x ,  > 0 là VCL khi x) là vô cùng bé khi x  +

lnx) là vô cùng bé khi x là VCB khi x) là vô cùng bé khi x 1

là VCL khi x) là vô cùng bé khi x +, 0

x x f x a f x a  x

SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ

(x) là vô cùng bé khi x ) và (x) là vô cùng bé khi x ) là 2 VCB khi x) là vô cùng bé khi x  x) là vô cùng bé khi x o, đặt

0

( )lim

( )

x x

x K

1 K=0, (x) là vô cùng bé khi x ) là VCB bậc cao hơn (x) là vô cùng bé khi x ),

ký hiệu: (x) là vô cùng bé khi x ) = o((x) là vô cùng bé khi x ))

2 K 0, : (x) là vô cùng bé khi x ) và (x) là vô cùng bé khi x ) đồng bậc.

K= 1: (x) là vô cùng bé khi x ) và (x) là vô cùng bé khi x ) tương đương: (x) là vô cùng bé khi x ) ~ (x) là vô cùng bé khi x )

(tức là (x) là vô cùng bé khi x ) đồng bậc với [(x) là vô cùng bé khi x )]n )

Thì (x) là vô cùng bé khi x ) được gọi là VCB bậc n đối với (x) là vô cùng bé khi x )

x x

Các vcb tương đương cơ bản

2

sin

1 cos

2 tan

arcsin

arctan

x x

x x

Nguyên tắc thay tương đương VCB

2

3 x



2 Nguyên tắc ngắt bỏ VCB bậc cao: tổng các VCB khác cấp tương đương với VCB bậc thấp nhất

3 (x) là vô cùng bé khi x ) ~ 1(x) là vô cùng bé khi x ), khi x) là vô cùng bé khi x x) là vô cùng bé khi x o,

Nguyên tắc thay tương đương VCB

VD: khi x) là vô cùng bé khi x  0





3 2 0

2

x

x x





5 Phép thay qua hiệu 2 VCB

Cách thực hiện

Thay  và  qua các tương đương trung gian

(chẳng hạn x) là vô cùng bé khi x p khi x) là vô cùng bé khi x 0), đến khi không còn thay

được nữa, nếu hiệu triệt tiêu thì  và  là 2 VCB tương đương  không thay qua hiệu trong trường hợp này

Lưu ý

1 Không chuyển vế trong tương đương cơ bản

2 Không thay tương đương qua hàm số ngoại

đương cho VCB, VCL.)

3 Tính triệt tiêu trong tương đương tổng hiệu chỉ x) là vô cùng bé khi x ét cho từng cặp hàm

Xét tính đúng, sai trong các tương đương sau

Khi x) là vô cùng bé khi x → 0

So sánh bậc các VCB khi x) là vô cùng bé khi x → 0

  ((x) là vô cùng bé khi x ) bậc cao hơn (x) là vô cùng bé khi x ))

Bậc 1 theo x) là vô cùng bé khi x Bậc 2 theo x) là vô cùng bé khi x

 (x) là vô cùng bé khi x )  (x) là vô cùng bé khi x )

So sánh bậc các VCB khi x) là vô cùng bé khi x → 0

So sánh bậc các VCB khi x) là vô cùng bé khi x →+

ln

x x

( )

x

x x

Tính giới hạn

 2 

2 0

1 tan 3 lim

1 lim

1 Tích các VCL là VCL.

2 c  0, (x) là vô cùng bé khi x ) là VCL  c(x) là vô cùng bé khi x ) là VCL

3 f(x) là vô cùng bé khi x ) bị chận trong lân cận x) là vô cùng bé khi x o,

(x) là vô cùng bé khi x ) là VC khi x) là vô cùng bé khi x  x) là vô cùng bé khi x o

 (x) là vô cùng bé khi x ) + f(x) là vô cùng bé khi x ) là VCL khi x) là vô cùng bé khi x  x) là vô cùng bé khi x o

Tính chất vô cùng lớn

SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG LỚN

(x) là vô cùng bé khi x ) và (x) là vô cùng bé khi x ) là 2 VCL khi x) là vô cùng bé khi x  x) là vô cùng bé khi x o, đặt

0

( ) lim

( )

x x

x K

1 K= + , (x) là vô cùng bé khi x ) là VCB bậc cao hơn (x) là vô cùng bé khi x )

2 K 0, : (x) là vô cùng bé khi x ) và (x) là vô cùng bé khi x ) đồng bậc.

K= 1: (x) là vô cùng bé khi x ) và (x) là vô cùng bé khi x ) tương đương: (x) là vô cùng bé khi x ) ~ (x) là vô cùng bé khi x )

1 Chỉ được thay tương đương qua tích các VCL

2 Nguyên tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp: tổng các VCL khác cấp tương đương với VCL bậc cao nhất

3 (x) là vô cùng bé khi x ) ~ 1(x) là vô cùng bé khi x ), khi x) là vô cùng bé khi x x) là vô cùng bé khi x o,

5 f(x) là vô cùng bé khi x ) bị chận trong lân cận x) là vô cùng bé khi x o, (x) là vô cùng bé khi x ) là VCL

khi x) là vô cùng bé khi x  x) là vô cùng bé khi x o  (x) là vô cùng bé khi x ) + f(x) là vô cùng bé khi x ) (x) là vô cùng bé khi x ) khi x) là vô cùng bé khi x  x) là vô cùng bé khi x o

VÍ DỤ

lnp x x ax

1 Khi x) là vô cùng bé khi x  +, m > n >0:

x) là vô cùng bé khi x m là VCL bậc cao hơn x) là vô cùng bé khi x n.

2 Khi x) là vô cùng bé khi x  +, p > 0,  > 0, a > 1:

,ln

3 Khi x  +  x  x  x

1 / lim

x x x

xe e

 



/2

2 lim x 2 0

xe x