Giới hạn hàm số ( phần 2 ) vô cùng bé, vô cùng lớn

Giới hạn hàm số ( phần 2 ) vô cùng bé, vô cùng lớn tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn...

GiỚI HẠN HÀM SỐ (phần 2) Vô cùng bé – vô cùng lớn ĐỊNH NGHĨA • α(x) là vô cùng bé khi x → x o nếu giá trị của α(x) rất bé khi x gần x o . 0 lim ( ) 0 x x x α → ⇔ = • α(x) là vô cùng lớn khi x → x o nếu giá trị của | α(x)| rất lớn khi x gần x o . 0 lim ( ) x x x α → ⇔ = +∞ Ví dụ 0 1 / 0, lim 0 x x α α → > = 2 / 0, lim x x α α →+∞ > = +∞ 1 5 / limln 0 x x → = 3 / lim ln x x →+∞ = +∞ 0 4 / lim ln x x + → = −∞ x α , α > 0 là VCB khi x→ 0 x α , α > 0 là VCL khi x→ +∞ lnx là VCB khi x→1 là VCL khi x →+∞, 0 TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG BÉ 1.Tổng, hiệu, tích các VCB là VCB. 2.c ≠ 0, α(x) là VCB ⇒ c×α(x) là VCB. 3. với α(x) là VCB khi x → x o . 0 lim ( ) ( ) ( ), x x f x a f x a x α → = ⇔ = + SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ α(x) và β(x) là 2 VCB khi x → x o , đặt 0 ( ) lim ( ) x x x K x α β → = 1.K=0, α(x) là VCB bậc cao hơn β(x), ký hiệu: α(x) = o(β(x)) . 2.K≠ 0,∞ : α(x) và β(x) đồng bậc. K= 1: α(x) và β(x) tương đương: α(x) ~ β(x) SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ α(x) và β(x) là 2 VCB khi x → x o , nếu tồn tại n>0 sao cho: [ ] 0 ( ) lim 0, ( ) n x x x K x α β → = ≠ ≠ ∞ (tức là α(x) đồng bậc với [β(x)] n ) Thì α(x) được gọi là VCB bậc n đối với β(x) VÍ DỤ 3 3 4 ( ) 2 1 / ( ) x x x x x α β   = +  =   ( ) ( ) x x α β ( ) ( )x x α β ⇒ : là 2 VCB khi x → 0 3 3 4 2x x x + = 3 4 3 3 2x x x + = 0 1 x→ → ( ) ln(cos ) 2 / ( ) x x x x α β =   =  là 2 VCB khi x → 0 ( ) ( ) x x α β ( ) ( ( ))x o x α β ⇒ = ln(cos )x x = ln(1 cos 1)x x + − = 0 1 ( 1 / 2) 0 0 x→ → × − × = 2 ln(1 cos 1) cos 1 cos 1 x x x x x + − − = × × − α(x) bậc cao hơn β(x) ( ) ln(cos ) 3 / ( ) x x x x α β =   =  là 2 VCB khi x → 0 [ ] 2 ( ) ( ) x x α β 2 ln(cos )x x = 2 ln(1 cos 1) cos 1 cos 1 x x x x + − − = × − 0 1 ( 1 / 2) 1/ 2 x→ → × − = − α(x) là VCB bậc 2 đối với β(x). Các vcb tương đương cơ bản 2 sin 1 cos 2 tan arcsin arctan x x x x x x x x x x − : : : : : ln(1 ) 1 1 ln (1 ) 1 x x x x e x a x a x x α α + − − + − : : : : Khi x →0 [...]... hằng số a và p sao cho 5 / α (x) = x + 2 − 2 x = x +2+ 2 x 1 : ⇒a= ,p =1 2 2 2 2 So sánh bậc các VCB khi x → 0 α ( x ) = sin( x 2 − 2 x )  1/  3 2  β ( x ) = 1 − 3x − 1  Bậc 1 theo x α ( x ) : 2 x   1 2 Bậc 2 theo x β ( x ) : ( 3x )  3  ⇒ β ( x ) = o ( ( x )) ( (x) bậc cao hơn α(x )) So sánh bậc các VCB khi x → 0 α ( x ) = arctan x 2/  x ( x + 1) −1 β ( x ) = e α (x) : x β ( x ) : x ( x + 1). .. f (x) × α (x) : a × α ( x ) : a × α1 ( x ) VD: khi x → 0 1 / ( x + 1) × ln( x + 1) : 1 × ln( x + 1) : x 2/ e 2x 0 ( x2 x2 2 x−x2 ) −e = e : e e (e 2 x −x2 ( ) −1 − 1 : 1 × 2x − x 2 ) : 2x 4 Nguyên tắc thay tương đương trong tính giới hạn α ( x ) : α1 ( x ), β ( x ) : β1 ( x ) khi x → x0 α (x) α1 ( x ) ⇒ lim = lim x → x0 β ( x ) x → x0 β ( x ) 1 sin x − 3x 2 sin x = lim =1 VD: 1 / lim x →0 ln(1 + x ). .. vô cùng lớn 1 Tích các VCL là VCL 2 c ≠ 0, α(x) là VCL ⇒ c×α(x) là VCL 3 f(x) bị chận trong lân cận xo, α(x) là VC khi x → xo ⇒ α(x) + f(x) là VCL khi x → xo SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG LỚN α(x) và β(x) là 2 VCL khi x → xo, đặt α (x) K = lim x → x0 β ( x ) 1 K= + ∞, α(x) là VCB bậc cao hơn β(x) 2 K≠ 0,∞ : α(x) và β(x) đồng bậc K= 1: α(x) và β(x) tương đương: α(x) ~ β(x) Nguyên tắc thay thế VCL 1 Chỉ được... + 1) : x ⇒ α(x) ∼ β(x) So sánh bậc các VCB khi x →+ ∞ 1 x 3 / α (x) = , β (x) = x ln x e x 1 e α (x) = lim × lim x →+∞ ln x x →+∞ β ( x ) x x x e = lim × 2 = +∞ x →+∞ ln x x ⇒ β(x) bậc cao hơn α(x) Tính giới hạn (e lim x →0 x tan x 3 −e 2 3x 2 x + sin x ) = lim e 3x2 (e x tan x −3 x 2 x x →0 = lim ( (x = lim x →0 2 1 x tan x − 3x x x →0 2 2 − 3x x 2 2 ) −1 2 ) ) = 2 Tính chất vô cùng lớn 1 Tích các... Tính giới hạn α x : ax p , khi x → 0 Tìm các hằng số a và p sao cho 2 2 1 / α ( x ) = sin( x − 2 x ) : x − 2 x : −2x ⇒ a = -2, p = 1 2 2 / α ( x ) = sin( x − tan 2 x ) 2 : x − tan 2 x 2 : x − 2x ⇒ a = -2, p = 1 α x : ax p , khi x → 0 Tìm các hằng số a và p sao cho 3 / α ( x ) = sin x − tan 2 x : x − 2x = − x ⇒ a = -1, p = 1 1 + sin 3 (e x − 1)  4 / α ( x ) = ln   3 x : sin (e − 1) x : (e − 1) 3... ln(1 + x ) x →0 x x2 (e − 1)arctan x x 2x x3 2 / lim = lim = lim x →0 x →0 ln(1 + cos x − 1) x →0 cos x − 1 ln(cos x ) x3 = lim 2 = 0 x →0 x − 2 Nguyên tắc thay tương đương VCB 5 Phép thay qua hiệu 2 VCB α ( x ) : α1 ( x ), β ( x ) : β1 ( x ) khi x → x0  / α ( x ) : β ( x ) ⇒ α ( x ) − β ( x ) : α1 ( x ) − β1 ( x ) (chỉ thay tương đương qua hiệu nếu 2 VCB ban đầu không tương đương) Cách thực hiện... sin 2 x : 2 x , khi x → 0 1 4 1 − cos x : x , khi x → 0 2 tan(ln(1 + x )) : ln(1 + x ) : x , khi x → 0 2 ln x : x − 1, khi x → 1  1  : 1 , khi x → ±∞ arctan  ÷ x x Nguyên tắc thay tương đương VCB 1 Chỉ được thay tương đương qua tích các VCB α ( x ) : α1 ( x ), β ( x ) : β1 ( x ) khi x → x0 ⇒ α ( x ) × β ( x ) : α1 ( x ) × β1 ( x ) VD: khi x → 0 1 / (e x − 1) × sin x : x × x = x 2 , 2/ ( 3 5 ) x... 1 − 2 x − 1 (e − 1) × tan x 1 : ( 2 x 5 ) × x × 3 x 3 3 = 16 2 3 − x 3 Nguyên tắc thay tương đương VCB 2 Nguyên tắc ngắt bỏ VCB bậc cao: tổng các VCB khác cấp tương đương với VCB bậc thấp nhất α1 ( x ) + α 2 ( x ) + L + α n ( x ) : α i ( x ) với αi là VCB bậc thấp nhất VD: khi x → 0 2 3 x − 2 x + 3x 3 sin x − 2 x 2 : 3x : −2x 2 Nguyên tắc thay tương đương VCB 3 α(x) ~ α1(x), khi x→xo, lim f ( x ) =... các VCL 2 Nguyên tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp: tổng các VCL khác cấp tương đương với VCL bậc cao nhất 3 α(x) ~ α1(x), khi x→xo, lim f ( x ) = a ≠ 0 f (x) × α (x) x → x0 : a × α ( x ) : a × α1 ( x ) 4 Nguyên tắc thay tương đương trong tính giới hạn: giống VCB 5 f(x) bị chận trong lân cận xo, α(x) là VCL khi x → xo ⇒ α(x) + f(x) ∼α(x) khi x → xo VÍ DỤ 1 Khi x → +∞, m > n >0: xm là VCL bậc cao hơn xn 2 Khi... trung gian (chẳng hạn xp khi x→ 0), đến khi không còn thay được nữa, nếu hiệu triệt tiêu thì α và β là 2 VCB tương đương ⇒ không thay qua hiệu trong trường hợp này VÍ DỤ 1 / arctan x − sin x 2 x x2 : 2 / tan x − sin x x 3 / (e − 1 )( x + 1) − sin x x ×1 x x x x 4 / x − ln( x 2 + 1) − sin x x2 x x x x Lưu ý 1 Không chuyển vế trong tương đương cơ bản 2 Không thay tương đương qua hàm số ngoại trừ hàm lũy thừa . BÉ α(x) và β(x) là 2 VCB khi x → x o , đặt 0 ( ) lim ( ) x x x K x α β → = 1.K=0, α(x) là VCB bậc cao hơn β(x), ký hiệu: α(x) = o(β(x )) . 2. K≠ 0,∞ : α(x) và β(x) đồng bậc. K= 1: α(x) và β(x) tương. x x + = 0 1 x→ → ( ) ln(cos ) 2 / ( ) x x x x α β =   =  là 2 VCB khi x → 0 ( ) ( ) x x α β ( ) ( ( )) x o x α β ⇒ = ln(cos )x x = ln(1 cos 1)x x + − = 0 1 ( 1 / 2) 0 0 x→ → × − × = 2 ln(1 cos 1) cos. GiỚI HẠN HÀM SỐ (phần 2) Vô cùng bé – vô cùng lớn ĐỊNH NGHĨA • α(x) là vô cùng bé khi x → x o nếu giá trị của α(x) rất bé khi x gần x o . 0 lim ( ) 0 x x x α → ⇔ = • α(x) là vô cùng lớn