Giới hạn hàm số phần 1 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh...
GiỚI HẠN HÀM SỐ Khái niệm giới hạn hàm số Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận x 0 ( có thể không xác định tại x 0 ). Nếu giá trị của f(x) rất gần với a khi x đủ gần x 0 thì a gọi là giới hạn của f tại x 0. Xem 2 VD số sau đây: sin 1 / ( ) , x f x x = khi x ≈ 0 0.1000 0.8415 0.01000 0.9588 0.001000 0.9816 0.0001000 0.9896 0.00001000 0.9935 x f(x) f(x) không xác định tại 0, nhưng khi x ≈ 0 thì f(x) ≈ 1 Đồ thị của hàm số sin ( ) , x f x x = không bị đứt tại x ≈ 0 Lúc này coi như f(0) ≈ 1 (giới hạn của f tại x = 0 là 1) 2 / ( ) sin ,f x x π = khi x ≈ 0 f(x) không xác định tại 0, nhưng khi x ≈ 0 thì f(x) ≈ 0 SAI vì 2 2 , 4 1 2 x k k Z k x π π π = ⇒ = + ∈ + ⇒ f(x) = 1 1 0 0.5 0 0.1 0 0.0001 0 0.000001 0 x f(x) Có vô số giá trị x gần 0 mà f(x) = 0, hoặc f(x)=1 ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ 0 lim ( ) x x f x a → = 0 0, 0 : ( )x x f x a ε δ δ ε ⇔ ∀ > ∃ > − < ⇒ − < X 0 a ε δ ( ) 0 &x D x x∈ ≠ (hữu hạn) x f(x) Hạn chế của đn: Phải chia nhiều trường hợp tùy thuộc vào giá trị của x o và a là vô hạn hay hữu hạn ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ QUA DÃY 0 lim n n x x →∞ = 0 lim ( ) x x f x a → = { } 0 & , n n x D x x⇔ ∀ ⊂ ≠ nếu thì lim ( ) n n f x a →∞ = Tiện ích của đn: 1.Áp dụng chung cho cả trường hợp a hay x o là ∞. 2.Các tính chất và phép toán của giới hạn dãy vẫn còn đúng cho giới hạn hàm số. 3.Dễ dàng trong việc chứng minh hàm số không có giới hạn. Giới hạn cho hàm mũ [ ] ( ) ( ) ( ) v x f x u x= 0 0 lim ( ) 0 lim ( ) x x x x u x a v x b → → = > = 0 lim ( ) b x x f x a → ⇒ = Xét hàm số có dạng: Chứng minh: [ ] 0 ( ) lim ( ) v x x x u x → 0 ( ) ln ( ) lim v x u x x x e × → = lnb a b e a × = = Phép biến đổi thường dùng Phương pháp chứng minh hàm không có giới hạn 0 lim lim lim ( ) lim ( ) n n n n n n n n x x x f x f x →∞ →∞ →∞ →∞ ′ = = ′ ≠ 1 ( )f x x = 1 1 n n x n x n = ′ = − Chọn 2 dãy {x n } và {x’ n } sao cho: Ví dụ: 1.Chứng minh không có gh khi x → 0 Chọn 0, 0, n →∞ ( ) n f x n= ( ) n f x n ′ = − n →∞ n →∞ n →∞ + ∞ −∞ lim ( ) lim ( ) n n n n f x f x →∞ →∞ ′ ⇒ ≠ 2.Chứng minh: ( ) sinf x x= Không có gh khi x → + ∞ Chọn n →∞ ( ) sin( ) 0 n f x n π = = ( ) sin 2 1 2 n f x n π π ′ = + = ÷ n →∞ n →∞ n →∞ 2 2 n n x n x n π π π = ′ = + (x o = + ∞) + ∞ + ∞ 0 1 lim ( ) lim ( ) n n n n f x f x →∞ →∞ ′ ⇒ ≠ GiỚI HẠN MỘT PHÍA x o 0 lim n x x= 0 lim ( ) x x f x a − → = { } 0 & , n n x D x x⇔ ∀ ⊂ < nếu thì lim ( ) n f x a= • Giới hạn trái tại x o : • Giới hạn phải tại x o : 0 lim ( ) x x f x a + → = (Xét x n >x o và x n → x o ) [...]... 0/0 x→ 1 x 1 xα lim = 0, ∀a > 1 x →+∞ a x u = x − x0 = x − 1 Đặt: A = lim u →0 lim ln p x 8 / lim = 0, ∀α > 0 x →+∞ x α x 2 1 = lim 5 (u +1) 2 1 3 u +1 1 (u +1) 2/5 1 u →0 (u +1) 1/3 1 (u + 1) 2/5 − 1 u = lim × u u →0 (u + 1) 1/3 − 1 1 x 1 / lim ( 1 + x ) = e x →0 ln (1 + x ) =1 x→ 0 x 2 / lim e x 1 3 / lim = 1, x →0 x 1 100 x 2 10 / lim x e x →0 a x 1 4 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − 1 5 / lim... →0 x GiỚI HẠN CƠ BẢN 1/ Các hàm log, mũ, lũy thừa: xem lại bài HÀM SỐ 1 x 2 / lim ( 1 + x ) = e x →0 ln (1 + x ) 3 / lim x →0 x = lim ln (1 + ex 1 4 / lim = 1, x →0 x vì với phép đặt : ex – 1 = u, ta có x →0 1 x)x = ln e = 1 ex 1 u 1 lim = lim = lim =1 x →0 u →0 ln(u + 1) 1) u → ln(u + 0 x u GiỚI HẠN CƠ BẢN ax − 1 e x ln a − 1 5 / lim = lim × ln a x →0 x x →0 x ln a α = ln a (1 + x ) − 1 eα ln (1+ x... = 0, ∀a > 1 x →+∞ a x lim (Dạng 1 ) 0 4 (4 x + 3) 2 x 1 2 x 1 4 1 + 4 = lim 2 x − 1 ÷ x →+∞ = e16 2 = e8 1 x 1 / lim ( 1 + x ) = e x →0 ln (1 + x ) 2 / lim =1 x→ 0 x e x 1 3 / lim = 1, x →0 x a x 1 4 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − 1 5 / lim =α x →0 x tanx sin x lim 6 / lim = 1, x →0 x = 1, x →0 x 1 − cos x 1 = 2 x →0 2 x arcsin x arctanx 7 / lim = 1, lim = 1, x →0 x... Dạng 1 , dùng gh (1+ x )1/ x → e 1 x 1 / lim ( 1 + x ) = e x →0 ln (1 + x ) =1 x→ 0 x 2 / lim e x 1 3 / lim = 1, x →0 x a x 1 4 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − 1 5 / lim =α x →0 x tanx sin x lim 6 / lim = 1, x →0 x = 1, x →0 x 1 − cos x 1 = 2 x →0 2 x arcsin x arctanx 7 / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x lim ln p x 8 / lim = 0, ∀α > 0 x →+∞ x α xα lim = 0, ∀a > 1 x →+∞ a x VÍ DỤ 1 − cos5 x 1 / lim x →0 1. .. x arctanx 7 / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x lim ln p x 8 / lim = 0, ∀α > 0 x →+∞ x α xα lim = 0, ∀a > 1 x →+∞ a x esin x − 1 sin x = lim × x → 0 sin x x = 1 1 = 1 Dạng 0/0 1 x 1 / lim ( 1 + x ) = e x →0 ln (1 + x ) =1 x→ 0 x 2 / lim e x 1 3 / lim = 1, x →0 x a x 1 4 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − 1 5 / lim =α x →0 x tanx sin x lim 6 / lim = 1, x →0 x = 1, x →0 x 1 − cos x 1 = 2 x →0 2 x arcsin... x 1 − cos x 1 = lim × = 1 2 x →0 x 2 x 1 / lim ( 1 + x ) x →0 1 x =e ln (1 + x ) 2 / lim =1 x→ 0 x e x 1 3 / lim = 1, x →0 x a x 1 4 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α 1 5 / lim =α x →0 x 4 x +3 2x + 3 6 / lim ÷ x →+∞ 2 x − 1 4 x +3 1 + 4 = lim ÷ x →+∞ 2x − 1 tanx sin x lim 6 / lim = 1, x →0 x = 1, x →0 x 1 − cos x 1 lim = 2 x →0 2 x arcsin x arctanx 7 / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0...GiỚI HẠN MỘT PHÍA lim+ f ( x ) = a x → x0 lim− f ( x ) = a ⇔ lim f ( x ) = a x → x0 x → x0 1 , VD: x ≥ 1, 1 / f (x) = x 2 x − 1 , x < 1, 1 lim f ( x ) = lim x 1+ x 1+ x ⇒ lim f ( x ) = 1 x 1 =1 Xét gh của f(x) tại xo = 1 = lim (2 x − 1) = lim f ( x ) − − x 1 x 1 1 2 / f ( x ) = , Xét gh của f(x) tại xo = 0 x 1 lim+ f ( x ) = lim+ = +∞, x →0 x →0 x 1 lim− f ( x ) = lim−... lim x →0 1 − cos 2 x 1 − cos5 x 2 (5 x ) = lim x → 0 1 − cos 2 x (2 x ) 2 1 / 2 25 = × 1/ 2 4 Dạng 0/0 (5 x ) 2 × (2 x ) 2 25 = 4 1 / lim ( 1 + x ) x →0 1 x =e ln (1 + x ) =1 x→ 0 x 2 / lim e x 1 3 / lim = 1, x →0 x x a 1 = ln a x →0 x 4 / lim (1 + x )α 1 5 / lim =α x →0 x tanx sin x lim 6 / lim =1, x →0 x = 1, x→ 0 x 1 − cos x 1 = x→ 0 2 x2 arcsin x arctanx 7 / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x lim... →0 1 x =e ln (1 + x ) 2 / lim =1 x→ 0 x e x 1 3 / lim = 1, x →0 x a x 1 4 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α 1 5 / lim =α x →0 x tanx sin x lim 6 / lim = 1, x →0 x = 1, x →0 x 1 − cos x 1 = 2 x →0 2 x arcsin x arctanx 7 / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x lim ln p x 8 / lim = 0, ∀α > 0 x →+∞ x α xα lim = 0, ∀a > 1 x →+∞ a x tan x − sin x Dạng 0/0 5 / lim x →0 x3 tan x (1 − cos x ) = lim x →0 x3 tan x 1 −... lim = 0, ∀a > 1 x →+∞ a x cos x 2 / lim =A π π − 2x x→ 2 Đặt: Dạng 0/0 π u = x − x0 = x − 2 π + u cos ÷ 2 A = lim x →0 −2u sin u = lim u → 0 2u 1 = 2 1 x 1 / lim ( 1 + x ) = e x →0 ln (1 + x ) =1 x→ 0 x 2 / lim esin x − 1 3 / lim x →0 x e x 1 3 / lim = 1, x →0 x a x 1 4 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − 1 5 / lim =α x →0 x tanx sin x lim 6 / lim = 1, x →0 x = 1, x →0 x 1 − cos x 1 = 2 x →0 2 . ∞. 2.Các tính chất và phép toán của giới hạn dãy vẫn còn đúng cho giới hạn hàm số. 3.Dễ dàng trong việc chứng minh hàm số không có giới hạn. Giới hạn cho hàm mũ [ ] ( ) ( ) ( ) v x f x u x= 0 0 lim. GiỚI HẠN HÀM SỐ Khái niệm giới hạn hàm số Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận x 0 ( có thể không xác định tại x 0 ). Nếu giá trị của f(x) rất gần với a khi x đủ gần x 0 thì a gọi là giới. X 0 a ε δ ( ) 0 &x D x x∈ ≠ (hữu hạn) x f(x) Hạn chế của đn: Phải chia nhiều trường hợp tùy thuộc vào giá trị của x o và a là vô hạn hay hữu hạn ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ QUA DÃY 0 lim n n x x →∞ = 0 lim