Đây là tài liệu giới hạn hàm số cho teen 11 có kiến thức căn bản để ôn thi đại học lớp 12 .Và đây là cơ sở để các bạn có kiến thức vũng chãi để giải quyết các bài khó về hàm số.Đã có rất nhiều bạn mất gốc vì khôn có tài liệu phù hợp.
1 KIẾN THỨC CƠ BẢN Giới hạn hàm số Kiến thức 1.1 Giới hạn hàm số điểm Giả sử x0 ∈ (a; b) f (x) xác định (a; b) trừ điểm x0 Nếu dãy (xn ) thuộc khoảng (a; b) mà lim xn = x0 ta có lim f (xn ) = L ta nói hàm số f (x) có giới hạn L x → x0 Khi ta viết lim f (x) = L x→x0 Ví dụ Tính giới hạn f (x) = x2 + x → Xét dãy (xn ) tùy ý mà xn → 2, ta có lim f (xn ) = lim(x2n + 1) = 22 + = Vậy lim (x2 + 1) = x→2 Chú ý rằng, cách làm xét dãy số (xn ) miễn xn → chẳng hạn xét cụ 2n2 − thể (xn ) có công thức xn = + n1 hay xn = hay dãy khác có giới hạn n +1 Nhận xét: • lim C = C với C số, lim x = x0 x→x0 x→x0 • Nếu f (x) hàm đa thức, phân thức xác định x0 giới hạn f (x) x0 f (x0 ) 1.2 Giới hạn hàm số vô cực Giả sử f (x) xác định (a; +∞) Nếu dãy (xn ) thuộc khoảng (a; +∞) mà lim xn = +∞ ta có lim f (xn ) = L ta nói hàm số f (x) có giới hạn L x → +∞ Khi ta viết lim f (x) = L x→+∞ √ 4x + Ví dụ Tính giới hạn hàm số f (x) = √ x → +∞ x+1 Ta có f (x) xác định [0; +∞) Xét dãy số (xn ) [0; +∞) mà xn → +∞ ta có: √ + x2n 4xn + lim f (xn ) = lim √ = lim =2 xn + 1 + √1xn √ 4x + Vậy hàm số f (x) = √ có giới hạn x → +∞ x+1 1.3 Giới hạn bên CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ Hoàn toàn tương tự, có định nghĩa giới hạn hàm số f (x) x → −∞ Giả sử f (x) xác định (−∞; a) Nếu dãy (xn ) thuộc khoảng (−∞; a) mà lim xn = −∞ ta có lim f (xn ) = L ta nói hàm số f (x) có giới hạn L x → −∞ Khi ta viết lim f (x) = L x→−∞ 1.3 Giới hạn bên Giới hạn trái: Giả sử f (x) xác định (a; x0 ) Nếu dãy (xn ) thuộc khoảng (a; x0 ), tức a < xn < x0 ∀n mà lim xn = x0 ta có lim f (xn ) = L ta nói hàm số f (x) có giới hạn trái L x → x0 Khi ta viết lim f (x) = L x→x− −2013x Ví dụ Tính giới hạn trái f (x) = √ x → 3−x √ √ Ta có lim (−2013x) = −6039 < 0, lim − x = − x > ∀x < x→3− x→3− −2013x Do lim √ = −∞ x→3− 3−x Giới hạn phải: Giả sử f (x) xác định (x0 ; b) Nếu dãy (xn ) thuộc khoảng (x0 ; b), tức b > xn > x0 ∀n mà lim xn = x0 ta có lim f (xn ) = L ta nói hàm số f (x) có giới hạn phải L x → x0 Khi ta viết lim f (x) = L x→x+ |1 − x| x = 6(x − 1) Ta có x > ⇔ − x < ⇒|1 − x| = x − 1, đó: Ví dụ Tính giới hạn phải f (x) = lim f (x) = lim x→1+ x→1+ x−1 = 6(x − 1) Chú ý: Hàm số f (x) có giới hạn x0 có giới hạn trái, giới hạn phải x0 hai giới hạn phải 2.1 Các dạng toán ví dụ Giới hạn Đối với giới hạn hữu hạn: i Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương tổng, hiệu, tích, thương giới hạn 2.1 Giới hạn CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ ii Nếu f (x) hàm đa thức, phân thức xác định x0 giới hạn f (x) x0 f (x0 ) Đối với giới hạn vô cực: lim f (x) lim f (x) lim g(x) x→x0 x→x0 lim (f (x)g(x)) lim g(x) x→x0 x→x0 x→x0 L>0 +∞ +∞ L>0 −∞ −∞ L ∀x +∞ L>0 limx→x0 g(x)=0, g(x) < ∀x −∞ L ∀x −∞ L 0, lim (x + 1) = x + > ∀x > −1 + x→−1+ x→−1 x − lim lim −5x2 = +∞ limx→2− (−5x2 ) = −20 < 0, limx→2− (x − 2)3 = (x − 2)3 < ∀x < (x − 2)3 lim −5x2 = −∞ lim (−5x2 ) = −20 < 0, lim (x − 2)2 = (x − 2)2 < ∀x < (x − 2)2 x→2− x→2− x→2− x→2− 10 lim x→(−2)− |3x + 6| = −3 , x+2 lim (x3 + x − x→+∞ √ lim x→(−2)+ x + 1) = lim |3x + 6| =3 x+2 x→+∞ x3 (1 + 1 − 2√ + ) x x x x = +∞ 2.2 Các dạng giới hạn vô định 2.2 CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ Các dạng giới hạn vô định Khi tính giới hạn lim x→x0 2.2.1 Dạng P (x) thường gặp dạng sau: Q(x) 0 Phương pháp: - Phân tích P (x) Q(x) thành nhân tử giản ước - Nhân chia với biểu thức liên hợp tử, mẫu tử mẫu - Tách thành giới hạn dạng vô định 0 đơn giản (Phương pháp gọi số vắng đặt ẩn phụ) Bài Tính giới hạn sau: (x − 3)(x2 − x + 1) x2 − x + x3 − 4x2 + 4x − = lim = lim = x→3 x→3 x→3 x − 3x x(x − 3) x lim (2x − 1)(4x2 + 2x + 1) 4x2 + 2x + 8x3 − = lim = lim =6 (2x − 1)(3x − 1) 3x − x→1/2 x→1/2 x→1/2 6x2 − 5x + lim (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − x(6x2 + 11x + 6) = lim = lim (6x2 + 11x + 6) = x→0 x→0 x→0 x x lim 2x4 − 5x3 + 3x2 + x − (x − 1)3 (2x + 1) 2x + = lim = lim = 3 x→1 x→1 (x − 1) (3x + 1) x→1 3x + 3x − 8x + 6x − 4 lim (x + 1)20 (x − 2)20 (x + 1)20 320 310 (x2 − x − 2)20 = lim = lim = = x→2 (x − 2)20 (x + 4)10 x→2 (x + 4)10 x→2 (x3 − 12x + 16)10 610 210 lim √ x2 − 3x + (1 − x)(2 − x) √ √ = lim = lim (1 − x) − x = x→2− x→2− x→2− 2−x 2−x √ √ √ √ x−x x(5 − x) 5− x = lim √ √ = lim √ =√ lim √ √ √ x→0+ 2x + x x→0+ x( + x) x→0+ + x lim |x2 − 4| |x2 − 4| |x2 − 4| không tồn lim = lim x→2 x − x→2+ x − x→2− x − lim Bài Tính giới hạn sau: √ √ + x2 − ( + x2 )2 − x lim = lim √ = lim √ =0 x→0 x→0 x( + x + 1) x→0 x + x2 + √ √ ( 3x2 + 1)2 − (2x)2 −1 − x 3x2 + − 2x √ lim = lim = lim √ =− 2 x→1 x→1 x→1 x−1 (x − 1)( 3x + + 2x) 3x + + 2x x2 − √ = = −4 x→−1 2x + 3x2 + √ x+1−1 √ lim =− x→0 − 2x + lim 2.2 Các dạng giới hạn vô định CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ √ 10 √ 2x − − x lim = x→1 x−1 √ √ x + − 2x √ lim √ =− x→2 x−1− 3−x √ x3 − 3x − (x − 1)(x5 + x4 + x3 + x2 + x − 2) √ = = lim = lim x→1 x→1 x−1 (x − 1)(x + 3x − 2) √ − 12x + lim = = −1 x→0 4x √ 4x − lim = = x→2 x − √ x−1 = = lim √ x→1 x−2+1 Bài Tính giới hạn sau: √ √ x + + x + 16 − 7 lim = x→0 x 24 √ √ √ √ − x3 − x2 + − x3 − x2 + − = lim − lim 2 x→1 x→1 x −1 x −1 x2 − √ √ √ √ − x3 − x2 + − − x3 − x2 + −11 Vì lim = − , lim = nên lim = x→1 x→1 x2 − x→1 x2 − 12 x2 − 24 √ √ √ √ 3 x+7− x+3 x+7−2+2− x+3 lim = lim = = 2 x→1 x→1 x − 3x + x − 3x + [ĐHQG √ √ 97A] √ √ 1+x− 38−x 1+x−2+2− 38−x 13 lim = lim = = x→0 x→0 x x 12 √ √ √ √ 3 8x + 11 − x + 8x + 11 − + − x + 7 lim = lim = = 2 x→2 x→2 x − 3x + x − 3x + 54 √ √ x + x2 + x + ( x + 1) + (x2 + x) lim = lim = = − x→−1 x→−1 x+1 x+1 [ĐH √ Thủy Lợi 2001] √ √ √ + 2x − + 3x + 2x − (1 + x) + (1 + x) − + 3x = lim = = lim x→0 x→0 x2 x2 2.2.2 Dạng ∞ ∞ Phương pháp: Chia P (x) Q(x) cho x với số mũ cao Q(x) sử dụng 1 , , √ x xk x dãy có giới hạn x → ∞ Bài Tính giới hạn sau: (a) Chú ý cách trình bày, viết lim(A ± B) = lim A ± lim B lim A lim B tồn hữu hạn 2.2 Các dạng giới hạn vô định CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ + x4 − x12 + x13 2x3 + 4x2 − x + = lim = 10 x→+∞ x→+∞ 5x + x + 10 5 + x2 + x3 x5 (2 + x1 )3 (−1 + x1 )2 (2 + x1 )3 (−1 + x1 )2 (2x + 1)3 (−x + 1)2 = lim = lim = 5 4 x→+∞ x→+∞ x→+∞ x(2x + 5) x (2 + x ) (2 + x ) lim lim lim x→+∞ √ √ x + √1x x+ x √ = lim = lim √ x→+∞ x→+∞ x+1 x + x1 1+ 1+ √1 x =1 x 3x4 + x2 − x + x3 − x5 = lim = =0 1 x→−∞ x + x − x→−∞ + − x x lim √ √1 + 12 x2 ( √1x + x12 ) x x+1 x x lim = lim = lim 2 =0 x→+∞ x + 2x + x→+∞ x (1 + x→+∞ + x + x2 ) x + x2 + x12 x4 (1 + x12 ) x4 + x2 = lim x = lim x→−∞ x→−∞ 2x3 + x + x→−∞ x3 (2 + 12 + 13 ) + x12 + x x + x12 Vì lim x = −∞ lim = >0 1 x→−∞ x→−∞ + + x x lim x3 (1 + x13 ) x3 + + x3 = lim lim = lim x x→−∞ x(1 + ) x→−∞ x + x→−∞ + x1 x + x13 Vì lim x2 = +∞ lim =1>0 x→−∞ x→−∞ + x = −∞ x3 = +∞ x3 (−1 + x2 − x13 ) −1 + x2 − x13 −x3 + 2x2 − = lim = lim x x→−∞ 2x2 + x + x→−∞ x2 (2 + + 12 ) x→−∞ + x1 + x12 x x −1 + x2 − x13 Vì lim x = −∞ lim = −1 < x→−∞ x→−∞ + + 12 x x lim = +∞ Dạng vô định ∞ − ∞ 2.2.3 Phương pháp: Đưa dạng ∞ ∞ cách nhân liên hợp Bài √ √ lim ( x + x − x) = lim x→+∞ lim ( x→+∞ x→+∞ x2 √ x−x √ √ = lim √ x + x + x x→+∞ x( x+ √ x 1+ √1 x + 1) x2 − − x2 −1 − − x) = lim √ = lim √ = lim 2 x→+∞ x→+∞ x −1+x x − + x x→+∞ √ √ x+1−x lim ( x + − x) = lim √ √ = lim √ √ =0 x→+∞ x→+∞ x + + x x→+∞ x + + x x2 + x + − (x2 − x − 1) √ x2 − x − 1) = lim √ x→+∞ x2 + x + + x2 − x − 2x(1 + x1 ) =1 + x12 + − x1 − x12 ) lim ( x2 + x + − x→+∞ = lim x→+∞ x( 1+ x = −1 x 1− x2 = +1 =0 2.2 Các dạng giới hạn vô định lim ( x→+∞ = lim x→+∞ = lim x→+∞ x3 + 3x2 − x2 − x + 1) = lim x→+∞ ( CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ x3 + 3x2 − x) + (x − x2 − x + 1) x3 + 3x2 − x3 x2 − (x2 − x + 1) √ √ + ( x3 + 3x2 )2 + x x3 + 3x2 + x2 x + x2 − x + 3x2 x−1 √ √ √ = = + = + 3 2 2 2 ( x + 3x ) + x x + 3x + x x+ x −x+1 √ Dạng vô định 0.∞ 2.2.4 Phương pháp: Đưa dạng ∞ ∞ 0 Bài x(x2 + − x) √ = lim x→+∞ x→+∞ x2 + + x x( x lim x( x2 + − x) = lim x→+∞ lim (x − 2) x→+∞ x+1 = lim x3 − x x→+∞ x−1 √ x + = lim x→+∞ x3 + x→+∞ lim = lim x→−1+ = lim x→4+ x (x + 2)(x − 1)2 = lim x→+∞ x3 + x3 (1 + x1 )(1 − x2 )2 =1 x3 (1 − x12 ) (1 + x2 )(1 − x1 )2 x3 x3 (1 + x53 ) =0 x2 x x = lim (x − 4)(x + 4) + − 64 x→4 (x − 4)(x + 4x + 16) √ x x − 4(x + 4) = 0.8 =0 x2 + 4x + 16 12 lim (x2 − 16) x→4+ (x + 1)(x − 2)2 = lim x→+∞ x3 − x + 1) x x = lim (x + 1)(x2 − x + 1) + − x→−1 (x − 1)(x + 1) √ x x + 1(x2 − x + 1) = 0.1 =0 x−1 lim (x3 + 1) x→−1+ 1+ = x2 x3 Xuân Trường, ngày 19/01/2014 Break All Rules