Về vấn đề giới hạn hàm số, dạng vô định cách khử dạng vô định – quy tắc L’hospitale GV Ngơ An Hòa Kỳ I/- NĨI VỀ CÁC DẠNG VƠ ĐỊNH Có tất dạng vơ định, mô tả sau: (∞ - ∞) lim x lim f f (1∞) có dạng vơ định ( ) khi: g có dạng vơ định 00 khi: f g có dạng vơ định ∞0 khi: x0 lim x f g có dạng vơ định 1∞ khi: x0 f g 0 g x0 g x0 g f x x0 x x0 g f g nh Vi II/- QUY TẮC L’HOSPITALE g f x f x Zo lim x0 x0 x x0 f x g x0 x (∞0) f lim lim có dạng vơ định ( ) khi: g x0 x (00) f x om ) có dạng vô định (0 ∞) khi: g f;g C x x0 x0 lim ( f en f;g x x0 x ( ) có dạng vơ định (∞ - ∞) khi: g ne (0 ∞) f Quy tắc L’hospitale áp dụng trực tiếp trường hợp vô định: (0/0) (∞/∞) Khi gặp hai dạng vô định trên, ta biến đổi tương đương sau: lim x0 f f' ~ lim g x x0 tiếp tục biến đổi tương đương đến khử g' Si x triệt để dạng vô định xác định giới hạn Tuy nhiên, định lý L’hospitale ĐIỀU KIỆN CẦN để xác định giới hạn (f/g), trường hợp trình biến đổi nảy sinh hàm tương đương, mà hàm không tồn giới hạn (!!!) Ta chưa thể kết luận tồn giới hạn (f/g)! Trong trường hợp dạng vô định khác, ta không trực tiếp áp dụng quy tắc L’hospitale để khử Như vậy, ta cần biến đổi để chuyển dạng vô định khác dạng nêu, cụ thể sau: 2.1 (∞ - ∞) Ta dùng biến đổi đại số bình thường, nhân lượng liên hiệp 2.2 (0 ∞) = 1/ (dạng 0/0) = (dạng ∞/∞) 1/ III/- BỔ TÚC MỘT CHÚT XÍU VỀ ĐẠO HÀM A/- Một số đạo hàm hàm sơ cấp – tối đáng nhớ (Cxn)’ = nCx(n-1) Từ suy diễn: 1.1 (C)’ = (Cx0)’ = 0.Cx-1 = 1.2 ( n x 1/n )’ = (x )’ = ( x 1) n = n n n x (n 1) Hàm số lượng giác 2.1 (Sinx)’ = Cosx 2.2 (Cosx)’ = -Sinx 2.3 (tgx)’ = (cotgx)’ 2.4 x om Cos = Sin x (ax)’ = axLna 3.2 (logax)’ = (→ (ex)’ = ex) ne 3.1 C Hàm số mũ Logarit (→ (Lnx)’ = ) x xLna Zo B/- Một số quy tắc tính chất đạo hàm Đạo hàm tổng tích hàm (u ± v)’ = u’ ± v’ 1.2 (u.v)’ = u’v + v’u → (u.v.w)’ = u’vw + uv’w + uvw’ nh Vi en 1.1 u 1.3 = u'v v 'u v v 2 Đạo hàm hàm số hợp: [f(g(x))]’ = f’(g).g’(x) Si IV/- ỨNG DỤNG QUY TẮC L’HOSPITALE TÍNH GIỚI HẠN x lim x lim Sinx lim x x x x (x lim x x 1)( x x 1 (x lim x 1) x (x 1)' 2x lim 1)' x 1) 1 (dùng L’hospitale khử DVĐ 0/0) Với x ) → Cosx < x Sinx < Sinx (0; lim x Dễ dàng chứng minh được: Sinx < x < tgx → < x lim ( x x Sinx