Đáp án - Bài 5 giới hạn dãy số

CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ §5 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa Dãy số (un ) có giới hạn n dần tới dương vô cực |un | nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = hay lim un = n→+∞ Ví dụ 1 = n→+∞ n2 lim Định nghĩa Dãy số (un ) có giới hạn a |un − a| có giới hạn Nghĩa là: lim un = a ⇔ lim (un − a) = n→+∞ n→+∞ HDedu - Page CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Ví dụ 2 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 2n + = n→+∞ n + lim CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí • lim 1 = 0; lim k = với k số nguyên dương n n • lim q n = |q| < Định lí Å un • Nếu lim un = a lim = b lim (un ± ) = a ± b, lim (un ) = a.b, lim b 6= 0) √ √ • Nếu un ≥ với n lim un = a a ≥ lim un = a ã = a (nếu b TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN Định nghĩa Cấp số nhân vơ hạn (un ) có cơng bội q thoả mãn |q| < gọi cấp số nhân lùi vô hạn Định lí Cho cấp số nhân lùi vơ hạn (un ), ta có tổng cấp số nhân lùi vơ hạn S = u1 + u2 + u3 + + un + = u1 , (|q| < 1) 1−q GIỚI HẠN VÔ CỰC Định nghĩa • Ta nói dãy số (un ) có giới hạn +∞ n → +∞, un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = +∞ • Ta nói dãy số (un ) có giới hạn −∞ n → +∞, lim(−un ) = +∞ Kí hiệu: lim un = −∞ Định lí un = un b) Nếu lim un = a > 0, lim = > với n lim = +∞ c) Nếu lim un = +∞ lim = a > lim un = +∞ a) Nếu lim un = a lim = ±∞ lim HDedu - Page CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN B GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CÁC DẠNG TOÁN | Dạng Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn Để chứng minh lim un = L ta chứng minh lim (un − L) = ccc BÀI TẬP DẠNG ccc Ví dụ Chứng minh −n3 a lim n3 + Å n2 + 3n + b lim 2n2 + n ã Å = −1 ã = Lời giải ã Å ã −n3 < , ∀n ∈ N∗ a Ta có lim − (−1) = lim Vì ≤ 3 3 n +1 n ã +1 n Å + n Å ã 1 −n Mà lim = nên suy lim = Do lim = −1 3+1 nÅ n + n ã n2 + 3n + 5n + b Ta có lim − = lim 2n +n 2 (2n2 + n) Å ã 5n + 5n + 5 5 ∗ Vì < < = , ∀n ∈ N Mà lim = lim = 2 (2n + n) 2n (n + 1) n Å n n ã 5n + n2 + 3n + Nên suy lim = Do lim = (2n2 + n) 2n2 + n Å  Ví dụ Chứng minh 3.3n − sin 3n a lim 3n Å ã =3 b lim Ä√ ä n2 + n − n = Lời giải ã Å ã 3.3n − sin 3n − sin 3n a Ta có lim − = lim n n Å 3ãn − sin 3n |− sin 3n| 1 = Vì ≤ ≤ n = , ∀n ∈ N∗ n n 3 3 Å ãn Å ã Å n ã − sin 3n 3.3 − sin 3n Mà lim = nên suy lim = Do lim = n 3√ 3n Å ã √ n2 + n − (2n + 1) −1 ä b Ta có lim n +n−n− = lim = lim Ä √ 2 2 n2 + n + (2n + 1) Å −1 1 ä ≤ Ä √ ä ≤ Ä √ ä Vì ≤ Ä √ 2 2 n2 + 2n 2 n + n + (2n + 1) 2 n + n + (2n + 1) = 1 , ∀n ∈ N∗ n 1 1 −1 ä = Mà lim = lim = nên suy lim Ä √ n n 2 n2 + n + (2n + 1) Ä√ ä Do lim n2 + n − n = HDedu - Page CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Chứng minh 7n − 2.8n = −2 8nn+ 3nn 2.3 + d lim n = + 3n 2n2 + n a lim =2 n +4 6n + b lim =6 n+5 c lim Bài Chứng minh √ Ä√ ä 4n2 + 4n − 2n = √ n + sinn n b lim √ =1 n+1 a lim n2 + 2n − n =0 Ä√ n ä d lim n3 + 2n − n = c lim Bài Chứng minh a lim 6n cos 3n + 5n =0 2n + 2.7n 4n sinn 2n + cosn 2n b lim =0 4n2 + 8n | Dạng Tính giới hạn dãy số dạng phân thức Tính giới hạn lim f (n) f (n) g (n) đa thức bậc n g (n) • Bước 1: Đặt nk , ni với k số mũ cao đa thức f (n) i số mũ cao đa thức g (n) làm nhân tử chung • Đơn giản Sau áp dụng kết lim k = n ccc BÀI TẬP DẠNG ccc | Dạng Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa an • Bước 1: Đưa biểu thức số mũ n • Bước 2: Chia tử mẫu số cho an a số có trị tuyệt đối lớn • Bước 3: Áp dụng kết "Nếu |q| < lim q n = 1" ccc BÀI TẬP DẠNG ccc Ví dụ Tính lim n2 − 4n3 2n3 + 5n − Lời giải n2 − 4n3 = lim Ta có: lim 2n + 5n − 1 − 4) −4 n n = lim = − = −2 5 2 n3 (2 + − ) 2+ − n n n n n3 (  HDedu - Page CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Ví dụ Tính lim GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ n3 − 7n − 2n2 Lời giải 7 n3 (1 − ) 1− n3 − 7n n = lim(n n ) = +∞ Ta có: lim = lim 1 + 2n2 n2 ( + 2) +2 n n2 1− n ) = > 0; lim n = +∞ Vì lim( +2 n Ví dụ Tính lim n2  n+2 +n+1 Lời giải n+3 Ta có: lim = lim n +n+2 Ví dụ Tính lim n(1 + n2 (1 ) n + + 2) n n = lim n 1+ n 1+ + n n =  5n+1 − 4n + 2.5n − 6n Lời giải Å ãn Å ãn Å ãn 5n+1 − 4n + − + n+1 n −4 +1 6 6n Å ãn Ta có : lim = lim = lim = n n n n 2.5 − 2.5 − −1 6n BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho dạng) Bài Tính giới hạn a) lim 3n + 2n + b) lim 4n2 − 2n2 + n Bài Tính giới hạn √ n2 + 2n − a) lim n+2 √ b) lim √ 4n4 + 2n − 3n2 Bài Tính giới hạn lim √ n3 + 2n − n n2 + 2n − n − √ n2 + n + n Bài Tính giới hạn 7.5n − 2.7n 5n − 5.7n 4.3n + 7n+1 b) lim 2.5n + 7n a) lim c) lim 4n+1 + 6n+2 5n + 8n HDedu - Page  CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài Tính giới hạn a) lim sin 10n + cos 10n n2 + b) lim − sin nπ n+1 Bài Tính ï giới hạn ị 1 a) A = lim + + + (2n − 1)(2n + 1) ï1.3 3.5 ò 1 √ + √ √ + + √ b) B = lim √ √ (n + 1) n + n n + 1+1 2+2 Bài Cho dãy số (un ) xác định    u1 =   un+1 = un , ∀n ≥ (2n + 1) un + Tìm số hạng tổng quát un dãy Tính lim un Bài Cho dãy số (an ) thỏa mãn:    a1 = 32 ; ∀n ≥ 1, n ∈ N (n + 2) n2   = − (n + 1) an+1 an Tìm lim an   u1 = Bài Cho dãy số (un ) xác định sau: Tìm lim un  un+1 = un −  u = un Bài 10 Cho dãy số (un ) xác định sau: Tìm lim u un+1 n+1 = un + n   x1 = 2017 Bài 11 Cho dãy số (xn ) xác định  xn+1 = xn + với n ≥ Å ã n P Với số nguyên dương n đặt yn = + xi + i=1 xi + Chứng minh dãy số (yn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn | Dạng Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ • lim nk = +∞, k > • lim k = 0, k > n • lim an = 0, −1 < a < • lim an = +∞, a > • Nếu (un ) CSN lùi vô hạn với công bội q, u1 ta có S = u1 + u2 + · · · + un = 1−q ccc BÀI TẬP DẠNG ccc ! • lim un = +∞, lim = a > ⇒ lim un = +∞; • lim un = +∞, lim = a < ⇒ lim un = −∞; HDedu - Page CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN ! GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ • lim un = −∞, lim = a > ⇒ lim un = −∞; • lim un = −∞, lim = a < ⇒ lim un = +∞ Ví dụ Tìm giới hạn sau a) lim(2n + 3n ); b) lim [−4n + (−2)n ] Lời giải ïÅ ãn ò a) lim(2 + ) = lim + = +∞ ï Å ãn ò −2 n n n b) lim [−4 + (−2) ] = lim −1 + = −∞ n n n  Ví dụ Tìm giới hạn sau ã + 3n a) lim ; · 3n + 2n ã · 3n − 2n b) lim ; · 5n + 4n Å Å ã 7n + c) lim −2 · 3n − · 6n Å Lời giải Ö è Å + n ã 1+3 3n a) lim = lim = n · 3n + 2n 3+ n 3n Ö è 2n Å ã · − · 3n − 2n 5n 5n b) lim = lim = n n 4n 3·5 +4 2+ n Ö è Å ã 1+ n 7n + c) lim = lim = −∞ 3n 6n −2 · 3n − · 6n −2 · n − · n 7  BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho dạng) Bài Tìm giới hạn sau a) lim 23n + 32n+1 ; · 9n + 4n b) lim(2 · 3n − 4n+1 + 7) Bài Tính giới hạn sau lim(2 · 3n − n + 1) Å ã2 Å ãn 1 1+ + + ··· + 3 Bài Tìm giới hạn sau lim Å ã2 Å ãn 2 1+ + + ··· + 5 Bài Tìm giới hạn sau lim + + 32 + · · · + 3n · 3n+1 + 2n Bài Cho dãy số (un ) xác định u1 = 1, un+1 = un − un + , ∀n ≥ Tính giới hạn lim un + un + HDedu - Page CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài Cho dãy số (un ) xác định u1 = 3, un+1 = un + , ∀n ≥ Tính giới hạn lim un | Dạng Giới hạn dãy số chứa thức Ta thường gặp hai dạng sau: Dạng Sử dụng tính chất giới hạn để tính Dạng Dạng vô định, cần nhân lượng liên hợp thêm bớt hạng tử ccc BÀI TẬP DẠNG ccc Ví dụ Tìm giới hạn … lim 8n + 2n − Lời giải Ta có Œ … lim … n = + = 2−0 2− n 8+ 8n + = lim 2n −  … Ví dụ Tính giới hạn dãy số sau: un = 2n + , n ∈ N∗ n+2 Lời giải Œ … Ta có:lim 2n + = lim n→+∞ n+2 … n = = √2 1+ n 2+ Ví dụ Tính giới hạn: lim Ä√ 4n2 + 3n + − 2n  ä Lời giải Ä√ ä 4n2 + 3n + − 4n2 4n2 + 3n + − 2n = lim √ (∗) 4n2 + 3n + + 2n Å ã n 3+ 3n + n = lim √ = lim   Å ã 4n2 + 3n + + 2n n + + + 2n n n Å ã 1 n 3+ 3+ n n å = lim … = lim Ç… = 3 4+ + +2 n 4+ + +2 n n n n lim HDedu - Page CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Nhận xét • Ở bước (∗) ta nhân biểu thức liên hợp Ä√ ä 4n2 + 3n + − 2n để khử dạng vô định ∞ − ∞ a • Giới hạn lim k = 0, với a = const lại lần sử dụng n  Ví dụ √ Tính giới hạn sau 4n2 + + 2n − a) lim √ n2 + 4n + + n √ n2 + − n6 b) lim √ n4 + + n2 Lời giải … 1 √ √ + + − 2 4n + + 2n − 4+2 n n a) lim √ = lim … =√ = 2 n + 4n + + n 1+1 1+ + +1 n n … √ √ 1+ −1 n2 + − n6 + −1 n b) lim √ = lim … = √ = n4 + + n2 1+1 1+ +1 n Ví dụ Tính giới hạn: √ lim  √ 4n2 + − 9n2 + 2−n Lời giải Å ã   Å ã 2 √ √ 4+ − n 9+ n n 4n2 + − 9n2 + Å ã lim = lim 2−n n −1 n Ç… å … … … 2 n 4+ − 9+ 4+ − 9+ n n n n = Å ã = lim = lim 2 −1 n −1 n n   n2 Nhận xét • Trong ví dụ này, ta rút nk (ở tử mẫu) làm nhân tử chung với k bậc cao n tử số mẫu số a • Cần ý giới hạn quan trọng lim k = 0, với a = const n  Ví dụ Tính giới hạn: lim Ä√ n+3− √ ä n−5 n HDedu - Page CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Lời giải lim Ä√ ä √ n+3− n−5 n (n + − n + 5)n √ = lim √ n+3+ n−5 8n Ç… å = lim … √ n 1+ + 1− n n √ … = lim n … 1+ + 1− n n Ü = + ∞ ê √ 8 … lim n = +∞ lim … = = = const 1+ + 1− n n Nhận xét Cần ý giới hạn sau: ( ( un −→ +∞ +∞ (nếu c > 0) Nếu lim un = −→ c = const 6= −∞ (nếu c < 0)  BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho dạng) Bài Tính giới hạn dãy số sau: √ a) un =  n2 + 1, n ∈ N∗ ; n2 + 2n + b) = , n ≥ 2n − Bài Tính giới hạn: lim Ä√ 3n − Bài Tìm giới hạn lim Bài Tìm giới hạn lim Bài Ä√ √ ä 3n2 − 2n − ä n2 + 2n − n Ä√ ä n3 + 2n − n2 √ lim( n2 + 3n + − n + 1) HDedu - Page 10 CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Bài GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ √ lim( n2 + 2n + − n) Bài lim √ Bài √ n+1− n+3 √ √ lim( n2 + 3n − − n + 1) Bài Tìm giới hạn dãy (un ), với ( u1 = un+1 = √ √ n2 + − n + Bài 10 Tính lim 3n + p u3n + √ √ n2 + − 2n2 + 4n − Bài 11 Tính giới hạn dãy số sau un = , n ∈ N∗ 3n + 15 √ Bài 12 Tính giới hạn dãy số (un ) với un = ( n2 − n + − n) √ n3 + 3n2 − 2n + Bài 13 Tính lim n−1 Bài 14 Tính giới hạn sau Ä√ ä a) lim n2 + 2n − n − √ 4n2 + − 2n − b) lim √ n2 + 4n + − n √ Bài 15 Tính giới hạn lim( n2 + 2n + − + n) √ Bài 16 Tính giới hạn lim n a với a > Bài 17 Tính giới hạn √ √ lim( n3 − − n2 + n − 2) 1 √ + √ √ + + √ Bài 18 Tìm lim un biết un = √ √ (n + 1) n + n n + 1+1 2+2 Å ã 1 Bài 19 Tính giới hạn lim √ +√ + + √ n2 + n n2 + n + n2 + 2n Bài  20 Cho dãy số un thỏa: u1 = 3, u2 = ∀n ∈ N∗ , n ≥ 2u = u n n−1 + un+1 − 2; √ n + − un √ Biết un có cơng thức, tính: lim n→+∞ n + − un + 3n −  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 266/2299 GeoGebra HDedu ‡ - Page 11 CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ã − 2n Bài 21 Tính giới hạn L = lim √ n→∞ n2 + √ + + + n − n Bài 22 Tính giới hạn B = lim √ + 22 + + n2 + 2n Å HDedu - Page 12 ... n tử số mẫu số a • Cần ý giới hạn quan trọng lim k = 0, với a = const n  Ví dụ Tính giới hạn: lim Ä√ n+3− √ ä n? ?5 n HDedu - Page CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Lời... n + 1) HDedu - Page 10 CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Bài GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ √ lim( n2 + 2n + − n) Bài lim √ Bài √ n+1− n+3 √ √ lim( n2 + 3n − − n + 1) Bài Tìm giới hạn dãy (un ), với... ‡ - Page 11 CHƯƠNG DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ã − 2n Bài 21 Tính giới hạn L = lim √ n→∞ n2 + √ + + + n − n Bài 22 Tính giới hạn B = lim √ + 22 + + n2 + 2n Å HDedu -