bai giang gioi han day so

GIỚI HẠN BÀI GIẢNG GIỚI HẠN DÃY SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm giới hạn dãy số + Biết số định lí giới hạn dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn  Kĩ   + Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí giới hạn dãy số vào giải tập + Biết cách tính giới hạn dãy số + Biết cách tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Trang   I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa dãy số có giới hạn 1.1 Định nghĩa: Ta có nói dãy số  un  có giới Nhận xét: hạn (hay có giới hạn 0) với số dương a) Dãy số  un  có giới hạn dãy số nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ  u  có giới hạn số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối b) Dãy số không đổi  un  , với un  có giới hạn nhỏ số dương Khi ta viết: lim un  un  n (Kí hiệu “ lim un  ”, đọc dãy số  un  có giới n  hạn n dần đến vô cực) 1.2 Một số dãy số có giới hạn thường gặp Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh rằng: a) lim  0; n  0; n b) lim c) lim  0; n d) Dãy số khơng đổi  un  với un  có giới hạn e) Nếu q  lim q n  Định lí sau thường sử dụng để chứng minh số dãy số có giới hạn Cho hai dãy số  un    Nếu un  với n lim  lim un  Dãy số có giới hạn hữu hạn Nhận xét: 2.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn - Dãy số  un  có giới hạn số thực L, Định nghĩa: Ta nói dãy số  un  có giới hạn khoảng cách từ điểm un đến điểm L un  L số thực L lim  un  L   gần miễn chọn n đủ Khi ta viết lim un  L un  L lớn Tức biểu diễn số hạng trục số Tức lim un  L  lim  un  L   ta thấy n tăng điểm un tụ quanh 2.2 Các định lý giới hạn hàm số Định lí 1: Giả sử lim un  L Khi đó: TOANMATH.com điểm L - Có dãy số khơng có giới hạn hữu hạn Trang    lim un  L un  L Chẳng hạn dãy số  Nếu un  0, n  * L  lim un  L  1  , n tức dãy số: 1;1; 1;1; Định lí 2: Giả sử lim un  L;lim  M c - Nếu C số lim C  C số Khi  lim  un    L  M  lim  un    L  M  lim  un   L.M  lim  cun   cL  lim un L  (nếu M  ) M Định lí (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ba dãy số  un  ,   ,  wn  số thực L Nếu un   wn với n lim un  lim wn  L lim  L Định lí 4:  Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn  Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn 2.3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Khái niệm: Cấp số nhân gọi lùi vơ hạn có cơng bội q thỏa mãn điều kiện q  Tổng số hạng: S  u1  u2  u3   u1  u1q  u1q  u1q   u1 , 1 q  q  1 Dãy số có giới hạn vơ cực 3.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn vơ cực Định nghĩa: Nhận xét: Nếu lim un   lim  un    Chú ý:  Các dãy số có giới hạn    Ta nói dãy số  un  có giới hạn  với gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy dần đến vơ cực số, kể từ số hạng trở đi, lớn số  Dãy số có giới hạn số thực L gọi dãy dương số có giới hạn hữu hạn Khi ta viết lim un   un   Nhận xét:  Ta nói dãy số  un  có giới hạn  với Từ định nghĩa, ta có kết sau: a) lim n   số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, b) lim n   TOANMATH.com Trang   kể từ số hạn trở đi, nhỏ số âm c) lim n   d) lim n k    k   Khi ta viết lim un   un   e) lim q n    q  1  Định lí: Nếu lim un   lim  un 3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc  Nếu lim un  ;lim   lim  un     Nếu lim un  ;lim   lim  un     Nếu lim un  ;lim   lim  un     Nếu lim un  ;lim   lim  un    Quy tắc  Nếu lim un  ;lim  L   L  lim  un     L   Nếu lim un  ;lim  L   L  lim  un     L  Quy tắc Nếu lim un  L  , lim   Khi lim un  L   lim un   0, n    0, n  Khi lim un  L   lim un   0, n    0, n 3.3 Một số kết a) lim Mở rộng: n qn   lim n  , với q  q n Ta có lim b) Cho hai dãy số  un    , qn nk    , với q  k lim qn nk số nguyên dương  Nếu un  với n lim un   lim    Nếu lim un  L   lim   lim TOANMATH.com un  Trang    Nếu lim un   (hoặc  ) lim un  L   lim  un     (hoặc ) SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Định nghĩa Dãy số  un  có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đơi nhỏ số dương lim Trường hợp   k  0 nk lim q n  với q  thường gặp Cho hai dãy số  un     un   lim un   lim  TOANMATH.com Trang   Dãy số có giới hạn Định nghĩa hữu hạn Dãy số  un  có giới hạn số thực L lim  un  L   lim  un    L  M lim  un   L.M Phép tính giới hạn lim  cun   cL lim Các định lí un L   M  0 M Cho ba dãy số  un  ,   ,  wn  Nguyên lí kẹp un   wn Nếu  lim un  lim wn  L Thì lim  L Tổng cấp số nhân lùi vô hạn TOANMATH.com S  u1  u1q  u1q  q1q   u1  q  1 1 q Trang   Dãy số có giới hạn vơ cực Dãy số  un  có giới hạn  với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Định nghĩa Dãy số  un  có giới hạn  với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm lim un  , lim    lim  un    lim un  , lim    lim  un    lim un  , lim    lim  un    lim un  , lim    lim  un    Định nghĩa lim un     L    lim  un    lim  L    L  lim un     L    lim  un    lim  L    L  lim un  L   lim un   0, n    0, n lim un  L   lim un   0, n    0, n lim un  L  lim  TOANMATH.com Trang   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn định nghĩa Bài toán Chứng minh dãy số có giới hạn định nghĩa Phương pháp giải Ví dụ: Chứng minh dãy số  un  sau có Cách 1: Áp dụng định nghĩa Cách 2: Sử dụng định lí sau: giới hạn  Nếu k số thực dương lim k  n a) un  Với hai dãy số  un     1  n 3n  b) un  sin 4n n3 hướng dẫn giải un  với n lim  lim un   Nếu q  lim q n  a) Với số dương  tùy ý cho trước, ta có un   1 n 3n   1   3n  3n 1   n     3  1 Đặt n0     n0  * un   , n  n0  3  Vậy lim un  b) Ta có n  * sin 4n   un  sin 4n 1    n3 n3 n n Áp dụng cho định lí “Nếu k số thực dương cho trước lim 1  ” ta lim  k n n Từ suy lim un  Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh dãy số  un  sau có giới hạn  sin n a) un  4n  b) un  1  n n 1  5n 1 hướng dẫn giải a) Ta có n  * sin n   un  TOANMATH.com  sin n 2    4n  4n  4n 2n Trang   Áp dụng định lí “Nếu k số thực dương cho trước lim 1  ” ta lim  Từ suy k n n lim un  b) Ta có un   1 n  n 1 1 1 1  n 1  n 1  n 1  n 1  n , n   n 1 5 2 n Vì lim 1  lim    n 2 Từ suy lim un  Bài toán Giới hạn dãy số có số hạng tổng quát dạng phân thức Phương pháp giải Để tính giới hạn dãy số có số hạng tổng quát dạng phân thức: lim un Ví dụ: Chứng minh rằng: lim  n 1 Hướng dẫn giải 1  lim  n 1 n n  Nếu un ; hàm đa thức theo biến n chia Ta có  tử số mẫu số cho n p , p số mũ lớn Sau áp dụng: lim k  (với k  ) n Từ suy điều cần chứng minh  Nếu un ; hàm số mũ chia tử mẫu cho a n với a số lớn Sau sử dụng cơng thức: lim q n  với q  Chú ý: Thông thường, ta biến đổi dãy số tổng quát dãy số có giới hạn quen thuộc Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Chứng minh dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn a) un    2n   2n b) un    n2  n2 Hướng dẫn giải a) Ta có  2n   2n  2n   2n  Mà    2n   2n  2n    2n  3 2n   2n 3 3     lim n n 2n   2n 2n  2n 2 n Từ suy điều cần chứng minh TOANMATH.com Trang   b) Ta có  n2  n2  n2  n2  Mà   n   n    n  2   n  2  4 n2  n2 2  lim  n2  n2 n2 n2 Từ suy điều cần chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn cos n a) un  n4  1  b) un  n n n d) un  n 1, 01 sin n cos n n 1 c) un cos Hướng dẫn giải a) Ta có b) Ta có cos n 1   lim  Từ suy điều cần chứng minh n4 n4 n n  1 n cos n cos n 1    lim  n 1 n 1 n 1 n n Từ suy điều cần chứng minh n n n     lim    (do  )     4n 4n   4 cos c) Ta có Từ suy điều cần chứng minh n n n     d) Ta có    lim  1, 01   n n   1, 01 1, 01  1, 01  sin Từ suy điều cần chứng minh Ví dụ 3: Chứng minh dãy số sau có giới hạn a) lim 2n  3n  4n b) lim an  n! hướng dẫn giải n n 2n  3n 2 3  lim    lim      (do   ) a) Ta có lim n 4 4 4 Từ suy điều cần chứng minh b) Gọi m số tự nhiên thỏa m   a Khi với n  m  TOANMATH.com Trang 10   Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: lim n  4n n  4n  Hướng dẫn giải  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau bấm CALC  Nhập x  9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: Vậy giới hạn dãy số Ví dụ 2: Tính giới hạn sau lim   4n  5n  2n Hướng dẫn giải  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau bấm CACL  Nhập: x  9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: TOANMATH.com Trang 23   Kết quả: Vậy giới hạn dãy số 1, 25   NHẬN XÉT: Qua ví dụ trên, phần bạn đọc hiểu cách sử dụng MTCT để tính tốn tốn liên quan đến giới hạn dãy số (giới hạn số thực) Tuy nhiên, MTCT không công cụ vạn để giải toán phức tạp hay toán hay khó Vì vậy, cần phải hiểu sâu chất vấn đề rèn luyện nhiều dạng tập để thao tác nhanh tập cách xửl lí gặp tốn lạ hay khơng sử dụng MTCT Chúng ta sang tập rèn luyện Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giới hạn lim 2n  n2 A B Câu 2: Giới hạn lim B A B C D C D C D C D   9n  2n  8n3  6n   n A  B n  Câu 6: Giới hạn lim A 64 Câu 7: Giới hạn lim TOANMATH.com n n2   B  n  n3   n n Câu 5: Giới hạn D n2  2n  A Câu 4: Giới hạn lim C  n 1 n2  A Câu 3: Giới hạn lim   n2   n  n2  n5 B 32  C 16 D 128  4n  4n Trang 24   B 1 A Câu 8: Giới hạn lim C D  C D 6 4.3n  n 1 2.5n  n A B   1 Câu 9: Giới hạn lim      2n  2n     2.4 4.6 A B  C D   1 Câu 10: Giới hạn lim      n n    n  1 n  1  2  A 2 B C D  Câu 11: Tổng S   88  888   888  n chữ số A 10n 1  10  36n C B 10n 1  10  54n 10n1  10  9n  81 Câu 12: Tổng S     D 10n1  10  72n  81 1   5 A 25  5 B 25  C 25  D 53 Dạng 3: Dãy số có giới hạn vô cực Phương pháp giải Đề tỉm giới hạn vô cực dãy số, ta biến đổi Ví dụ: Tìm giới hạn sau: dãy số cho tích thương dãy số biết giới hạn, dựa theo quy tắc để tìm giới hạn vô cực dãy số a) lim n5  n  n  4n  6n  b) lim  n  n3  5n  n  12 Hướng dẫn giải  1 2 n5      n n n2 n n n  a) lim  lim  9 4n  6n  3 n 4   n n   TOANMATH.com Trang 25    1   n  n  n5 lim n    4  n n        1   n  n  n5 Mà lim n   lim   4  n n  Nên lim b) lim    0   n5  n  n    n  6n   n  n3  5n  n  12   n3 n5 n  12  n 1   n  n   lim  lim  n  1   n3 n5 n 12 1 n Mà lim  n    lim Nên lim 1   n3 n5 n    12 1 n  n  n  5n    n  12 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: a) lim   2n   n  b) lim n  1  2n  3 n4  n2  Hướng dẫn giải a) lim   1 2n   n   lim n      n n    1 Do lim n   lim         n n  Nên lim   2n   n    TOANMATH.com Trang 26    3       n  1  2n  3  lim  n  n  b) lim 1 n4  n2    n2 n4 n6  3 1  Do lim 1      1.2   0;lim    n n n n  n  Nên lim n  1  2n  3 n4  n2  1 1    n2 n n6   Chú ý: Khi tính giới hạn phân thức, ta ý số trường hợp sau đây:  Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn  Nếu bậc tử bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số lũy thừa cao tử mẫu số Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn  hệ số cao tử mẫu dấu kết  hệ số cao tử mẫu trái dấu Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau:  3  6n n 1  3  5n1 n a) lim  5n  3n 1  b) lim Hướng dẫn giải a) lim   n n 1 n  3    lim 1  3.     n n  3  Do lim   lim 1       3.0   nên lim  5n  3n 1        n n  3  6n n 1  3  5n 1 n b) lim  1    1  2  lim n n  1 5 3       2 6 n n n   n    n  1 5 5  Do lim     1  1  0;lim 3                 2 6           3  6n   Nên lim n 1  3  5n 1 n Ví dụ 3: Tìm giới hạn sau: a) lim   n4   n  1  b) lim  n3  2sin 2n   3  Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 27   a) lim    1  n   n   lim n      n n n    1  Do lim n   lim        nên lim n n n     n   n    1   2sin 2n    b) lim  n3  2sin 2n    lim n3   n3 n  3  3  2sin 2n  Mà lim n3   lim          n n  3 3 (do 2sin 2n 2 2sin 2n  , n;lim   lim  0) n n n n3 1  Nên lim  n3  2sin 2n       MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH Quy ước: Trong máy tính khơng có biến n nên ta ghi x thay cho n Ví dụ: Tính giới hạn sau: lim 4n  n   2n  1  n   n2  1 Ghi nhớ cách nhập giá trị x Hướng dẫn giải  x   ta nhập x  9999999999 (10 số 9) Cách bấm máy:  x   ta nhập x  9999999999 (10 số 9)  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Đề yêu cầu tính lim  un  ta hiểu rằng, biến n    Gặp số c.10 (trong  số ngun âm, thơng thường   10;   12, )  Sau bấm CALC Ghi nhớ cách hiển thị kết  Nhập: x  9999999999 , sau bấm “=”, ta Ví dụ: 15.1012 đọc kết quả:  Gặp số c.1010 c.1020 , đọc (dấu c) nhân vô cực c số (chú ý lớn 10) Ví dụ: 5.1010 đọc âm vô cực, ghi  ; 5.1010 đọc dương vô cực, ghi  TOANMATH.com Kết quả: Vậy giới hạn dãy số 2 Trang 28    Kết số thực cụ thể, giới hạn mà ta cần tìm Chú ý: Thơng thường, để tính giới hạn dãy số (là số thực L), ta cho x   , tức nhập vào máy tính x  9999999999 (10 số 9) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: lim 9n  n  4n  Hướng dẫn giải Cách bấm máy: Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau bấm CALC  Nhập: x  9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: Vậy giới hạn dãy số 0, 75  Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: lim n   n 1 Hướng dẫn giải Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau: TOANMATH.com Trang 29    Sau bấm CALC  Nhập x  9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: Vậy giới hạn dãy số  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giới hạn lim  2n  n  1 A  B C 2 D  C D  Câu 2: Giá trị lim   n3  2n   A  B 3 Câu 3: Giới hạn lim 2n  3n  A 2 B D  C 1 D  C 1 D  C 5 D  C 3 D  C Câu 4: Giá trị lim  2n  n3 A  B Câu 5: Giá trị lim n n  A  B Câu 6: Giới hạn lim  2n  5n  3n  2n  A  B Câu 7: Giới hạn lim A  Câu 8: Giới hạn lim TOANMATH.com 3n n  B 2n  3n  n 1 Trang 30   A  B C 3 D  C 1 D   Câu 9: Giá trị lim n  n  n  n  n    B  A  Câu 10: Giá trị lim n A    n  2n   n  n3 B Câu 11: Giới hạn lim n 2n  n  2n A  C 2 D  C D  C D  C 1 D  C 2 D  C D  B Câu 12: Giới hạn lim n  n  5n  n2 A  B 7 Câu 13: Giới hạn lim  n  cos 3n   A  B n cos Câu 14: Giới hạn lim A  n n 1 B  sin n  Câu 15: Giới hạn lim     n  A  B 5 Đáp án lời giải Dạng Dãy số có giới hạn 1–C 2–D 3–A 4–D 5–A 6–B 7–C 8–C 9–C 10 – C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu n Ta có    nên lim    2  2  Câu Ta có   1 cos 5n 3n TOANMATH.com cos 5n 1   n  3n 3 n  1 cos 5n  1 mà lim    nên lim 3n 3 n Trang 31   Câu Ta có  sin n sin n    mà lim  nên lim 2 2 3n  3n  3n 3n  3n Câu  1  1  1  n  n  n mà lim n  nên lim n Ta có  n 3 5 5 5 3 5 n 1  1 n 1 n Câu n   1 Ta có    n2  n n   1 mà  1  , n lim  2   n n2 n n2  n   1 Suy lim   n2  n     1      lim      n2         Câu  3 3 n 1    1  1  n n3 n n   Ta có   n n mà lim  0;lim n n  2 n  2n n 1 n 3 1 n 1   n n  n  Suy lim n2  n   n  2n Câu Dễ dàng nhận thấy các phương án (1); (2); (3); (5) có giới hạn 0, bạn đọc tự chứng minh Ta xét phương án: 2  n     22 1 n 2 n 2 n   n , mà lim n     (4): 1  n  n  1 n  2 1 n 1    n n  n  2 Vậy phương án (4) không thỏa mãn Câu Dễ dàng chứng minh đáp án A, B D có giới hạn 0, bạn đọc tự chứng minh Ta xét phương án C: 1  n2   1 2n  1 n      , mà lim      Vậy phương án C không thỏa mãn n n n n  Câu n 1  nên lim    Dễ dàng nhận thấy phương án (1) hồn tồn xác do: 3 TOANMATH.com Trang 32   Phương án (2) sai, lim  k số nguyên dương  k     Vậy phương án (2) sai nk Câu 10 Ta có 2n un 1  2n.un   un 1  un  2n Chứng minh: un  21 n (bằng quy nạp) * Với n  ta có u1  m   20 * Giả sử uk  21 k (với k  ) * Cần chứng minh: uk 1  2 k Ta có uk 1  uk  2 k  21 k  2 k  2 k Suy điều phải chứng minh Từ suy un  2 n  với n  un 1  un  2n 1 1 Ta có u2  u1  ; u3  u2  ; u4  u3  ; ; un  un 1  n 1 2 2  1 1  un  u1       n 1   2 2 1 1   Công thức tổng quát un  m    2 1  lim un   lim  m  1  lim   2 n 1 1  m 1    2 n 1 n 1 0  lim  m  1   m  Dạng Dãy số có giới hạn hữu hạn 1–A 2–C 11 – C 12 – A 3–B 4–D 5–C 6–B 7–B 8–C 9–D 10 – B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1 2 2n  n   Ta có lim  lim n2 1 n Câu 1  n 1  lim n n   Ta có lim 2 n 2 1 n TOANMATH.com Trang 33   Câu 1 n2  n   Ta có lim  lim 2n  2 2 n Câu Ta có lim n  n3   n n n n2   1  lim 1   n n n   1 1  n n Câu Ta có lim   9n  2n  8n3  6n   n  lim   9n  2n  3n  lim   1 8n3  6n   2n    3 Câu n  Ta có lim   n2   n  n2  n  5     1     1    n   n   lim   25  32 Câu n 1    1  4n Ta có lim  lim  n   1 n 1 1   1 4 Câu n Ta có lim 4.3n  n 1 2.5n  n 3    7  lim   n   5    7 Câu Ta có   1 11 1 1  11  lim        lim         lim    2.4 4.6 n n  2 4 n n  2 n          Câu 10 Ta có k k    k  1 k 1     k  k  1 k k    k  1 k k k 1 Suy un  1   lim un  1 n 1 Câu 11 TOANMATH.com Trang 34     8 8 Ta viết lại S    99  999   99   10   100    100  1       9   n soá  n soá   S   n   10n 1  10    8  10 10     10  100   100 00  10 n 1  10  9n      n  n S n           10   9   81 n soá       Câu 12 Ta có S     1    5 1  5 1 25  5  Dạng Dãy số có giới hạn vơ cực 1–D 2–A 3–D 4–A 5–D 11 – D 12 – D 13 – D 14 – B 15 – B 6–A 7–A 8–D 9–D 10 – D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu  1  Ta có lim 2n2  n   lim n2       n n     Câu  2 Ta có lim  n3  2n2   lim n3  1      n n     Câu 3 Ta có lim 2n2  3n   lim n     n n Câu 1     n3 n Ta có lim  2n  n3  lim Câu  1 Ta có lim n n   lim n n       n   Câu   n   5 n n n Ta có lim 2n  5n  lim n  2     lim   lim         3  n           Nên lim 2n2  5n 3n  2n   Câu TOANMATH.com Trang 35   3n3  lim n2  Ta có lim 3n 1   lim n2 3n  lim  3n    1 Câu 2  2n2  3n  n n Do lim      lim     mà   Ta có lim  lim     1 n 1 n n2  n n2  n n   n n   2  n   n  Nên lim    1  n n Câu   Ta có lim n  n  n  n  n     Câu 10 Ta có lim n   lim  n  2n   n  n  n  n3 Vậy lim n      2n  n  lim   lim      n2  n n  n3   n  2n   n        n  n3      n2  2n   n  n3   Câu 11 Ta có L  lim n 2n    2 n Do lim    1 n  n  2n n2   lim  n  2n  n2    n      lim    n2 n  2  n  lim 3 n2  n2    lim      n 2 n2 1 n2 2           nên L   n2 n6 Câu 12 Ta có L  lim n  7n  5n   lim n2 TOANMATH.com  n6  7n3  5n  8  3 1 n        n6 n3 n5 n6  lim  n n3 n n   lim   n2 n2 1   n   Trang 36      1    n n n   lim n   Ta có lim    1   n   Từ suy L   Câu 13   Ta có lim n2  cos3n    Câu 14 n cos Ta có   n cos n  n lim n  nên lim n  2 2 n 1 n 1 n 1 n 1 Câu 15  sin n  Ta có lim     5  n  TOANMATH.com Trang 37 ... 9   n so? ?  n so? ?   S   n   10n 1  10    8  10 10     10  100   100 00  10 n 1  10  9n      n  n S n           10   9   81 n so? ?  ... hạn sau lim  Nếu ta nhập n 2n   1 n n 2n  , sau CALC máy báo: MATH ERROR hàm số mũ tăng nhanh nên không tính máy tính Trong trường hợp ta xử lý sau: Hướng dẫn giải Cách bấm máy:  Nhập... tạp hay toán hay khó Vì vậy, cần phải hiểu sâu chất vấn đề rèn luyện nhiều dạng tập để thao tác nhanh tập cách xửl lí gặp tốn lạ hay khơng sử dụng MTCT Chúng ta sang tập rèn luyện Bài tập tự luyện