bai giang gioi han ham so

CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG GIỚI HẠN HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm giới hạn hàm số + Nắm tính chất phép toán giới hạn hàm số  Kĩ + Biết cách tìm giới hạn hàm số điểm + Vận dụng quy tắc tìm giới hạn hàm số + Thực hành khử số hạng vơ định I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa giới hạn hàm số điểm Giới hạn hữu hạn điểm Định nghĩa Các giới hạn đặc biệt Cho khoảng  a; b  điểm x0 Hàm số y  f  x  +) lim C  C , với C số x  x0 xác định  a; b   a; b  \  x0  Ta nói +) f  x  hàm số quen thuộc (đa thức, phân hàm số f  x  có giới hạn số thực L x dần đến thức hữu tỉ, cân lượng giác) xác định  a; b  x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số  xn  chứa x lim f  x   f  x  0 tập hợp  a; b  \  x0  x  x0 mà lim xn  x0 ta có lim f  xn   L Khi ta viết lim f  x   L hay f  x   L x  x0 x  x0 Giới hạn vô cực Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn dương vô cực x dần tới x0 với dãy số  xn  cho xn  x0 f  xn    Kí hiệu lim f  x    x  x0 Tương tự ta có định nghĩa giới hạn âm vô cực lim f  x    x  x0 Giới hạn hàm số vô cực Định nghĩa   Các giới hạn đặc biệt Trang   C Giả sử hàm số y  f  x  xác định khoảng  lim C  C ; lim  với C số x  x  x  a;   Ta nói hàm số f  x  có giới hạn số  lim x k   với k nguyên dương; x  thực L x   với dãy số  xn  :  xn   a lim x k   với k số nguyên dương lẻ, x  xn   f  xn   L lim x k   với k nguyên dương chẵn x  Kí hiệu: lim f  x   L x  Các giới hạn lim f  x   L x  Các giới hạn lim f  x   ; lim f  x    x  x  lim f  x   L định nghĩa tương tự x  Một số định lí giới hạn hữu hạn Định lí Giả sử lim f  x   L, lim g  x   M Khi x  x0 x  x0 a) lim  f  x   g  x    L  M x  x0 b) lim  f  x  g  x    L.M x  x0 c) lim x  x0 f  x L   M  0 g  x M d) lim f  x   L x  x0 e) Nếu f  x   0, lim f  x   L lim x  x0 x  x0 f) lim x  x0 f  x  L f  x  L g) Nếu c số lim cf  x   cL x  x0 Quy tắc Cho lim f  x   ; lim g  x   L  Ta có: x  x0 x  x0 lim f  x  Dấu L     +     x  x0 lim  f  x  g  x   x  x0 Quy tắc TOANMATH.com Trang   Cho lim f  x   L; lim g  x   0; L  Ta có: x  x0 x  x0 f  x g  x Dấu L Dấu g  x  +    +     lim x  x0 Giới hạn bên Giới hạn hữu hạn Định nghĩa Giả sử hàm số f  x xác định khoảng  x0 ; b  ,  x0    Ta nói hàm số f  x  có giới hạn bên phải số thực L x cần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số  x0 ; b   xn  thuộc khoảng mà lim xn  x0 ta có lim f  xn   L Khi ta viết lim f  x   L f  x   L x  x0 x  x0 Định nghĩa Chú ý: Giả sử hàm số f  x xác định khoảng a) lim f  x   L  lim f  x   lim f  x   L x  x0  a; x0  ,  x0    Ta nói hàm số x  x0 x  x0 f  x  có giới b) Các định lí giới hạn hàm số hạn bên trái số thực L x dần đến x0 (hoặc thay x  x0 x  x0 x  x0 điểm x0 ) với dãy  xn  thuộc khoảng  a; x0  mà lim xn  x0 ta có lim f  xn   L Khi ta viết lim f  x   L f  x   L x  x0 x  x0 Giới hạn vô cực a) Các định nghĩa lim f  x   , lim f  x    , x  x0 x  x0 lim f  x    lim f  x    phát biểu x  x0 x  x0 tương tự Định nghĩa định nghĩa b) Các ý thay L   TOANMATH.com Trang   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm giới hạn hàm số cách thay trực tiếp Phương pháp giải Nếu f  x  hàm số sơ cấp xác định x0 Ví dụ: Giới hạn lim  x  x   có giá trị bao x 1 lim f  x   f  x0  nhiêu? x  x0 Hướng dẫn giải Do hàm số f  x   x  x  xác định điểm x0  1 , nên giới hạn f  1  lim  x  x    x 1 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giới hạn lim x 2 x  3x  có giá trị bao nhiêu? 3x  Hướng dẫn giải Cách 1: lim x2 x  3x   3x  x  3x  , bấm CACL, nhập giá trị 3x  Cách 2: Nhập máy tính sau x  ta nhận đáp án tan x   sin x  x Ví dụ 2: Tìm giới hạn hàm số B  lim Hướng dẫn giải  tan  tan x  36 Ta có B  lim    sin x   x sin  6 f  x 1 x2 f  x   Ví dụ 3: Cho lim f  x   Tìm giới hạn A  lim x 2 Hướng dẫn giải Ta có A  lim x2 f  x   2.3    f  x   32  10 Ví dụ 4: Tìm giới hạn lim x 2 TOANMATH.com x3  x  x  1  x3   Trang   Hướng dẫn giải Ta có lim x 2 x3  x   x  1  x3   23  4.2 0  2.2  1  23   Ví dụ 5: Tìm giá trị tham số m để B  với B  lim  x3  x  2m  5m   x 1 Hướng dẫn giải Ta có B  lim  x3  x  2m  5m    2m  5m  x 1 Do B   2m  5m    m2 Bài tập tự luyện dạng x 1 x 1 x  x    Câu 1: Giá trị lim A  B Câu 2: Giá trị lim x 1 A  x  3x   x3  x  x 1 A 2 B  D  C D C D B Câu 3: Giá trị giới hạn lim C x5  1 Câu 4: Chọn kết kết sau lim x cos x  x 0 A Không tồn B C D  3x  m Để A  , giá trị m bao nhiêu? x 2 x  Câu 5: Cho A  lim A 14 B Câu 6: Cho hàm số f  x   A B không xác định x  TOANMATH.com D 10 x2  Giá trị lim f  x  x 2 x4  x2  Câu 7: Kết lim A  C B C 33 D  C 2 D không xác định sin x  cot x  2 Trang   Câu 8: Chọn kết kết sau lim x 1 A 1 B x3  x x 1 1 x D  C Câu 9: Nếu lim f  x   lim 13  f  x   bao nhiêu? x 2 x 2 B 1 A 17 D 7 C  x  x   x3  x   a a Câu 10: Cho lim    ( phân số tối giản; a, b số nguyên dương) x 1   b b x2    Tính tổng L  a  b A B 36 C D 37 1  x   3x   Câu 11: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  f  x    x  2; x   Giá trị xlim  2  x   2x 1  A B C D x2  x  f  x    f  x 1 Câu 12: Cho lim  1 , tính I  lim x 1 x 1 x4 x 1 A I   B I  C I  Dạng 2: Tìm giới hạn hàm số dạng vô định D I  5 0 Đây dạng tốn vơ quan trọng tìm giới hạn hàm số Việc tìm giới hạn dạng vơ định tốn tìm giới hạn hàm số dạng hữu tỉ L  lim x  x0 P  x Q  x0   P  x0   Q  x Phương pháp giải Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn Sử dụng đẳng thức để nhân liên hợp tử x2  x  x 1 2x  Ví dụ: Tính giới hạn lim mẫu đưa dạng Hướng dẫn giải Chú ý: Ta thấy thay x0  1 tốn có dạng  Nếu tam thức bậc hai ax  bx  c có hai nghiệm x1 , x2 ax  bx  c  a  x  x1  x  x2   a n  b n   a  b   a n 1  a n  2b   ab n   b n 1  Trường hợp L  lim x  x0 P  x Q  x , ta nhóm nhân tử chung  x  1 tử mẫu để triệt tiêu sau đưa dạng tốn để tìm kết  x  1 x2  x  Cách 1: lim  lim x 1 x 1  x  1 2x  với P  x0   Q  x0   P  x  , TOANMATH.com Trang   Q  x  biểu thức chứa bậc x 1  x 1  lim Sử dụng đẳng thức để nhân liên hợp tử mẫu đưa dạng Cách 2: Bấm máy tính sau: x2  x  CACL 2x  x  1  109 nhận đáp án Cách 3: Dùng chức lim máy Vinacal Chú ý: Ta MTCT để tìm giới hạn Sử dụng MTCT với chức phím CALC x2  x  x  x 1109 570ES Plus: lim Dùng chức lim máy Vinacal 570ES Plus Trường hợp L  lim x  x0 Ví dụ: Tìm giới hạn L  lim L  lim  m    u  x  a  a  n v  x Chú ý: Ta hồn tồn dùng cách đặt ẩn phụ Trong nhiều trường hợp việc phân tích không đến kết ta phải phân tích sau: u  x  m v  x   n   u  x  m  x  m v  x  m  x  4x 1  x  2x   Ta có A với toán bậc cao n 4x 1  x  2x    4x 1  x  3   lim  4   lim  A  B  x 7 x    x 7  2x   u  x0   n v  x0   a Ta phân tích P  x   x 7 Giả sử: P  x   m u  x   n v  x  với m x 7 P  x với P  x0   Q  x0   P  x  Hướng dẫn giải Q  x biểu thức chứa khơng đồng bậc  B m  x   c    4x 1  2x   4  2x    x  1   2x  2 4  33 4x 1     64 27 x  3 2x   2x   2    2x  2 x2 3 L  lim  A  B   x 7 4  8 64 8   27 27 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm giới hạn A  lim x 1 x3  3x  x2  4x  Hướng dẫn giải Ta có A  lim x 1  x  1  x  x   x3  3x  x2  x   lim  lim  x 1 x  x  x 1  x  1 x  3 x3 TOANMATH.com Trang   x4  5x2  x3  Ví dụ 2: Tìm giới hạn B  lim x2 Hướng dẫn giải Ta có B  lim x2  lim x 2  x  1 x2   x4  5x2   lim x 2 x3  x  23 x  1  x   x    x  2  x2  x  4  lim x  1  x   x  2x  x2 1  x   1  x  Ví dụ 3: Tìm giới hạn C  lim x x 0  Hướng dẫn giải 1  x   1  x  Ta có C  lim x x 0 1  x   lim x x 0 1 1  x   lim 1 x x 0 2 x 1  x   1  x   1 12 x  x  1 1  x   1      lim  lim x 0 x 0 x x 2  lim 1  x   1  x   1  lim12  x  1 1  x   1  39  x 0   x 0  Ví dụ 4: Tìm giới hạn D  lim x 0 1  x 1  x 1  3x   x Hướng dẫn giải Ta có D  lim x 0 1  x 1  x 1  3x    lim x3  11x  x  x Ví dụ 5: Tìm giới hạn A  lim x 1 x 0 x xn   m, n  *  xm 1 Hướng dẫn giải Ta có  x  1  x n1  x n 2   x  1 x n 1  x n    x  n  lim  A  lim x 1 x  x m 1  x m    x     x1 x m1  x m2   x  m Sau tìm số giới hạn liên quan đến biểu thức chứa dấu Nguyên tắc dạng tập nhân lượng liên hợp để đưa đa thức Ngồi cách chuyển đa thức thực đặt ẩn phụ tùy cụ thể: Ví dụ 6: Tìm giới hạn I  lim x 0 TOANMATH.com   3x   x Trang   A C 6 B D Hướng dẫn giải Ta có I  lim    lim 3x   x x 0 x 0 6x   3x    3x    lim x 0 x  3x 4x 1 1 Ví dụ 7: Tìm giới hạn K  lim x 0 Hướng dẫn giải Ta có K  lim  x  3   3 4x 1 1 x 0 Ví dụ 8: Giới hạn lim x 5 3x   có giá trị bao nhiêu? 3 x  Hướng dẫn giải Ta có lim x 5     x  1  16   x  3x    lim  x  x 5 9   x    x     lim  3  x  3x   x 5 Ví dụ 9: Tìm giới hạn lim x 2   18   x 1 1 x2 Hướng dẫn giải Ta có lim x 2 x 1 1  lim x 5 x2  x  2  lim x 5  x2  x  1   x 1 1 1   x  1  x   Bằng phương pháp tương tự ta làm số tốn mở rộng sau Ví dụ 10: Tìm giới hạn M  lim x 0 1 4x  1 6x x2 Hướng dẫn giải Ta có M  lim x 0  lim x 0 x    x  1  x   x  1  lim x 0 x x2 4  lim x   x  x 0 8 x  12 1  x    x  1  x   x  1  2   TOANMATH.com Trang   Ví dụ 11: Cho biết lim x  ax  bx   c , với c số nguyên a, b   x3  3x  Phương trình ax  2bx  c   có nhiều nghiệm  ? Hướng dẫn giải Ta có x  x    x  1  x  1 Suy phương trình   ax   bx    phải có nghiệm kép x    a  b  x  4bx   có nghiệm kép x  2     a  b  a  b       16b   a  b    a  b   b  a  b  3      2 1 a b b           b    4.b   2   2 Thử lại Vậy a  b  3 3  x  1 Khi lim x 2  3x   3x    3x  3x   lim x3  3x  x  x  1  x  1  lim1 x  3   x  x   x  1  2 Suy c  2 Vậy ta có phương trình 3 x  x   có nghiệm x  1 Sau làm số tốn mang tính tổng qt Ví dụ 12: Tìm giới hạn B  lim n x 0  ax  n  * , a    x Hướng dẫn giải Cách 1: Nhân liên hợp Ta có B  lim  n x 0 B  lim x 0 n   ax  x  n n 1  ax  1  ax  n 1 n 1  n 1  ax   n 1  ax  n2 n 1  n 1  ax  n2    n  ax     n  ax  a 1  ax  n2   n  ax   a n Cách 2: Đặt ẩn phụ TOANMATH.com Trang 10   Vì lim x 3 lim x 3 6x   x  x  3  x   27 x  54  x  lim x 3  lim  x  3  x   x 3   x  6  1 6x   x   1 ; 54 1  27 x  54   x 27 x  54  x   1 27 x   27 x  54 6x   x 27 x  54  x 1 1  lim  lim    2 3 x 3 x  x  x     x  3x  18  x  3  x    x  3  x   54 27 54 Suy lim Vậy a   3a  b  57 b 54 Dạng 3: Tìm giới hạn hàm số dạng vơ định   1-C 2-C 3-B 4-C 5-C 6-A 7-D 8-C 9-B 10 – B 11 - C 12 - B 13 - B 14 - C 15 - C 16 - D 17 - C 18 - A 19 - C 20 - C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Theo tính chất C sai b  hay g  x   Câu Ta có B  lim x  x  64 x  x  x  x4   4  lim x  1  64   x x x   1 x Câu  14 x14  x  Ta có lim 14  lim x  x  x  1  14 x Câu x2   lim Ta có C  lim x  x  x  x    x 2 9 x  x2  Câu Ta có lim f  x   lim x  x  TOANMATH.com x 2017 2  2020 x 2019  x 2017 Trang 39   Câu 1  x   3  3x x   lim Ta có lim  lim  x  x  x  2x  x5  x 1    3 x    5 2 x Câu 2  1 x2      x x 2x   x  x x   lim  lim Ta có D  lim x  x   1 1  x    x  x  x 1 x2        x x x   x  2  1    1  x x x  1 1 1   1    x x x x  Câu Ta có lim f  x   lim  x  1 x  x    1    x2  2x 1   x x   2  lim      x  x  x   x      x x   Câu Ta có lim x  x4  x2  x 4x2  x2   lim x  2x2 3  1  x x  lim x x 1 x  5 4 2 4 x x Câu 10     x 1  x 1  1   1   x x  x x  x x x x x  8x x   Ta có lim  lim   lim    x  x  x  x  x  x  2  2 3 x 1     1     x  x   x x  x x   1   1  x x  x x Vì lim    lim x   x  x   2 1     x   x x Câu 11 Ta có E  lim x  x2  x   2x  lim x  x 1 1 1   x x  1 1 x Câu 12     1 x     1 x     1 x x   lim     Ta có F  lim  x  x    1 4 2 x   2 x x   TOANMATH.com Trang 40   1 1 x2 3  lim x   x  42 4 2 x  4 Vì lim x  Câu 13     2 x2   2 x x x   2x x x4    lim  lim 2 x  1 x  x3  x  x x  x    1   x x2 x4 x x x Ta có lim x  Câu 14  1  1 x   1   1    1   1  x x x x x x x x    lim Ta có M  lim  x  x  1   1 x 1   x x   Câu 15 Ta có N  lim x  3  x2    x     2 2 x2           x  x x     2  lim x  x2 2 2  8    23    x x x    Câu 16   x  16      x x x  16 x  x   x  Ta có H  lim  lim   x  x  3x  3x  4 16   lim  x    4 x x x 4 3 x Câu 17  1  3     x  3 x x x2  3x3   x  x   Ta có A  lim  lim  x  x  x4  x4 4 x 3  lim  x  1  2  3 x x x  3 2 4 x Câu 18 TOANMATH.com Trang 41    1  1 x2       1    x x x x x 1  2x 1 x x x      lim x   lim  Ta có B  lim 3 x  x  x      1 2x   x 2    2   x x  x x   Câu 19 2020 2020 1  2 1  2   x 2023    1      1   x  x x  x  Ta có A  lim  lim  4 2019 2019 x  x       2023  x     1     1 x  x  x  x  Câu 20   4 x     2 4  2 x x x x    lim Ta có B  lim  x  x    1 1 1  1  x     1 x x x x   Dạng 4: Tìm giới hạn hàm số vơ định    0. 1-B 2-A 3-D 4-B 5-C 6-B 11 - A 12 - D 13 - B 14 - D 15 - A 16 - B 7-A 8-D 9-A 10 - A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Ta có A  lim x  Vậy A  lim x    x  x   x  A  lim   x  3x   x  x  3 x   A x  3x   x 3 Câu   Ta có B  lim x  x  x   B  lim x    Vậy B  lim x  x  x   x  x  x 1 4x  x 1  2x B Câu Sử dụng công thức a n  b n   a  b   a n 1  a n  2b   ab n   b n 1  Ta có C  lim x  C  n x  a1  x  a2   x  an   x n   x  a1  x  a2   x  an   x   C  xlim n 1  n xa   x  a2   x  an    x n1 a1  a2   an n Câu TOANMATH.com Trang 42     Ta có D  lim x x  x x   x  lim  9x 1  x  Câu Ta có E  lim x x    2x2 x3    lim x  x    x x3   x 2  Câu     Ta có E  lim x   x3  lim x   3     x  x  x   Câu  Ta có G  lim x  x  3 x  G  lim x   x3  3x  x  x  G  lim 3   lim x  3x  16 x  x   x  2  x x  3x  x 3   x3  3x  x  lim x  x  x 2x x   x  x2  2x x    G  1   Câu Ta có H  lim x   H  lim x    16 x  x   x  lim x  x  x   3x   lim x    16 x  x  1  x 16 x  3x  1  x 4  lim 24 16 x  x   x x  2 2x  4x2   H  Câu Ta có I  lim x  x 1  x  2x 1  x  3 x  1  lim x  1   1  x x x x 3 3  2  x  Suy a  b  Câu 10 Ta có J  lim x    lim x   x  x   x3  x   x  lim x 1 x  x 1  x  lim x  x     x  x   x  lim x  x3  x  x   x2  x  x x3  x    x3  x  1     Suy a  b  Câu 11 Ta có K  lim x x   TOANMATH.com  x  x  x  x  lim x x     x  x  x   lim x x   x3  x x   Trang 43   x  lim x  x   x  1 x   lim x  3x  x  x  1   x  1 x3  3x   x3  3x  2 1   1  2 Suy a  b  Câu 12 Ta có L  lim x  Suy    ax  12 a  4 x  ax  12  x x  ax  12  x  lim x  a   a  20 Câu 13 Ta có lim x   x  ax  x3  bx   lim  ax  lim x  ax  x x  Ta có    x  ax  x  lim x   bx   lim x  x  8 x  bx    x x3  bx   x 2 x3  bx   x   a b  12 a b a b 16     ab  12 12 Câu 14 Ta có lim x    3 x  x  x   x  lim x  3x   x x   Suy a  b  Câu 15 lim x 0  ax   1   bx  ax    bx  lim    x 0 x x x      lim  x 0 x        ax  1  ax   x   bx   ax   bx    a b  ab  lim  x 0  3   bx    ax  1  ax    Theo ta có a b    2a  3b  12 Từ giả thiết a  3b  suy a  3; b  , A sai Câu 16 Ta có lim x   ax  bx  cx TOANMATH.com  a  c  lim x  x  bx ax  bx  cx Trang 44   a  c    2  b  2 ax  bx  cx   a c a  c  x lim Để giới hạn x   bx  a  c  a    (nếu c  3 Theo đầu ta có hệ a  c  18  c   b b  12    2  a  c a  c  ) Suy P  a  b  5c   12  15  12 Dạng 5: Tìm giới hạn bên giới hạn vô 1-C 2-C 3-D 4-A 5-B 6-A 7-A 8-B 9-D 10 - D 11 - A 12 - A 13 - A 14 - D 15 - C 16 - C 17 - A 18 - D 19 - B 20 - A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Cách 1:  2 Ta có lim     lim  lim   x 0  x x  x  0 x  x x Cách 2: (Sử dụng MTCT)  2 Nhập hàm số f  x      x  x Vì x  0 nên nhập CALC x   1011 Câu Cách 1: Ta có lim x 1 x3  x  lim x    x x 1 x x 1 x  lim  x    x x1  x  Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f  x   x3  x x 1 1  x Vì x  1 nên nhập CALC x   1011 Câu Cách 1: TOANMATH.com Trang 45   x2  x    x2  Ta có lim x 1 Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f  x   x2  x  x2 1 Vì x  1 nên nhập CALC x   1011 Câu Cách 1: x3 x 3  lim  x  x3 x 3 Ta có lim x 3 Mặt khác lim x 3 Do lim x 3 x 3 x 3  lim x 3 3 x  1 x 3 x 3 x 3  lim Nên không tồn giới hạn x  x 3 x  Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f  x   x 3 x 3 Vì x  3 nên nhập CALC x   1011 Vì x  3 nên nhập CALC x   1011 Hai giá trị không gần nên không tồn giới hạn Câu Cách 1: Ta có lim x    x  x   x  lim x  3 x  x  x2  x   x  lim x  1 3   x x   1    x x3 x x Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f  x     x2  x   x Vì x   nên nhập CALC x  1010 Câu Cách 1: TOANMATH.com Trang 46   1   x x3 x    lim Ta có B  lim x  x  x   lim x  x  x  x  x  x     x3 x x x8   4  4 x  x  x  Cách 2: (Sử dụng MTCT)   Nhập hàm số f  x   x  x  x  Vì x   nên nhập CALC x  1010 Câu Cách 1:   2     lim  1  lim   Ta có lim    x 1  x  x   x 1 x   x  x   x 1 3( x  1) Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f  x   1  x 1 x 1 Vì x  1 nên nhập CALC x   1010 Câu Cách 1: Ta có B  lim x x    x   x  lim x  x2  lim   x   x x     x4 x6 x2 x  x  1 3 Cách 2: (Sử dụng MTCT) Nhập hàm số f  x   x   4x2   x Vì x   nên nhập CALC x  1010 Câu 2 x  3, x   Với f  x   5, x  Ta có lim  f  x   lim   x  1  7 x  2  x  2   3 x  1, x  Câu 10  x2  , x  x2   Với hàm số f  x     x Khi lim f  x   lim   x 1 x 1  x  x  2, x   TOANMATH.com Trang 47   Câu 11   x ,   x   Với hàm số f  x    x  Khi lim f  x   lim  x  x 2 x 2 , x    x2 Câu 12    lim f  x   lim x      x  2 Ta có  x 2 f  x   lim  ax  1  2a   xlim  2 x 2 Vậy để tồn lim f  x  lim f  x   lim f  x  x2 x 2 x2   2a   a 2 Câu 13    lim f  x   lim  x   2  x 1 x 1  Ta có  lim f  x   lim  m  3  m  x 1  x 1  f 1  2m  13  Để tồn lim f  x  lim f  x   lim f  x   f 1  2  m   2m  13 x 1 x 1 x 1 Vậy không tồn m Câu 14  x2  1   lim f  x   lim x 3 x x6 Ta có  x 3  lim f  x   lim b   b   x 3 x 3   Vậy để tồn lim f  x  lim f  x   lim f  x   x 3 x 3 x 3 b  b   3 Câu 15  lim f  x   lim  mx  x  m   m  m  x 1  x 1 Ta có   x3    lim f  x   lim   x2  x  1    xlim x 1 x 1 1 x     Vậy để tồn lim f  x  lim f  x   lim f  x  x 1 x 1 x 1  m  m    m  1; m  2 Câu 16 TOANMATH.com Trang 48      3  x  x    lim f  x   lim  x  lim  4 x 3 Ta có  x 3 x 3 x   x 3  lim f x  lim m  m   x3  x 3 Vậy để tồn lim f  x  lim f  x   lim f  x   m  4 x 3 x 3 x 3 Câu 17  3x   f x lim   lim    xlim   2 x2 x 2 x2   x  2 Ta có   1   lim f  x   lim  ax    2a  x2  4  x 2  3 x  2  3x    3x     Vậy để tồn lim f  x  lim f  x   lim f  x  x2  2a  x 2 x2 1   a 0 4 Câu 18  lim f  x   lim   a  x   2a  x x Ta có  2  lim f  x   lim a x  2a x  x Để tồn lim f  x  lim f  x   lim f  x  x x x   2a  2a a    a  2 Vậy tổng giá trị S 1 Câu 19  lim f  x   lim f  x   2a  b   x 2 x 2  Vì hàm số có giới hạn x  x  nên ta có  6a  b  10 f  x   lim f  x    xlim  6 x 6 Câu 20 Để hàm số có giới hạn x  2 x   x2      2a  b   4 1 lim ax b lim    x 2 x 2 x  Từ (1) (2) ta có   lim x    x  lim ax  b   b   13      x 0 x  0 x 12 TOANMATH.com 61  2a  b  3 a    24   13 25   b  b  12  12 Trang 49   Dạng 6: Tìm giới hạn hàm lượng giác 1-D 2-A 3-B 4-C 5-C 11 - B 12 - C 13 - C 14 - D 15 - A 6-C 7-C 8-D 9-B 10 - B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu tan  x  1  x 1 x 1 Ta có B  lim Câu Ta có C  lim x 0 tan x 5sin x  10 2x 5x Câu Ta có D  lim x 0 sin x  cos x  1   lim x 0 x3 cos x x x  sin   x sin   lim  x   x  x cos x x  2    2sin x.sin Câu 7x x 7x sin sin cos x  cos x 2  lim  Ta có A  lim  lim x  cos x  cos x x 0 11x 11x 11 x x 0 sin sin sin 2 sin Câu   2sin x 2sin x  lim  x 0 x  sin x sin x   2sin x  1  2sin x  Ta có B  lim   Câu sin 2 x sin x x2  lim Ta có C  lim ; x 0 cos x  cos x x 0 cos x  1  cos x  x2 x2 x 2sin  cos x  cos x  lim  lim  lim  ; 0 x 0 x  x  2 x x  cos x  cos x x  cos x  cos x     1  cos x   cos x  lim  ; x 0 x 0 x x  cos x  cos x  lim    sin 2 x  x 0 x2  lim TOANMATH.com Trang 50   Vậy C   96 1   Câu sin x sin x 16 Ta có D  lim  lim x4  x 0 sin x x  sin x 81 x Câu    sin  cos x  2  sin  tan x  tan x Ta có E  lim 1 mà lim x 0 x  sin  tan x  tan x tan x    sin  cos x    Lại có lim x 0 tan x x   sin   2sin      cos  1  cos x          lim  lim x 0 x 0 tan x tan x x   sin   sin     sin x    x x   lim x x 0 tan x x  sin   2 Do E  Câu Ta có  cos 2    x cos  x mà lim x  nên lim x cos  x  x  0 nx nx nx Câu 10 x  5sin x  cos x x  10sin x  cos x   lim x  x  x 2 2x2  Ta có lim  lim x  Vì 10sin x  cos x  10 6x  10sin x  cos x 10sin x  cos x  lim  lim 2 x  x  2x  2x  2x2   12  sin 2 x  cos 2 x   101 nên  10sin x  cos x 101  2x  2x  101 10sin x  cos x 0  suy lim x  x  x  x2  Lại có lim Câu 11 TOANMATH.com Trang 51     sin   x  cos x    1  lim Ta có L  lim   x   x x x 2 Câu 12 H  lim m x 0  lim x 0  lim x 0 m cos ax  m cos bx cos ax    m cos bx  lim x 0 sin x sin x cos ax     m cos ax  m 1   m  m cos bx  m 1   m x 0     m cos bx  cos bx  m bx b 22 b x  lim bx 2sin    cos ax m2 m 1   m   1 sin x    1 sin x  cos bx   lim   x 0  m  cos bx m 1   cos bx  sin x   1  x  lim   x 0  lim x 0 cos bx 2sin  m cos ax  m 1      m cos ax  m  ax cos ax  m2   1 sin x  m2   1 sin x  ax a 22 a x sin m2 m m 1   sin m cos ax  m2 sin x   1  x b2  a2 2m Câu 13  n cos ax  lim x 0 x 0  x2  Ta có M  lim  lim x 0    n cos ax   cos ax  n cos ax  a2 ax sin 2 n 1   n cos ax  n2 n 1   n cos ax a2 x2   1   n2    1 x  a2 2n Câu 14 3 x    x  1   x  1  x  3x   x  x x2 Ta có M  lim  lim x 0 x 0  cos x 2sin x x2 x2 3x   x  x 1 2x 1 x x2  lim  lim x 0 x 0 2sin x 2sin x x2 x2 TOANMATH.com Trang 52    lim x  x 0    x3  3x 2 x    x  1 x    x  1 2sin x x2 x2   lim x  x   2x  x 0  2sin x x2 1 1     a  1; b   a  b  4 Câu 15 1 x   x 1 x     x 1 x  2 8 x  lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 x 0 sin 3x sin x sin x sin x Ta có lim x 2x  23  x   x 1   x  lim  lim x 0 sin x x 0 sin x 3x 3x 3x 3x   2  23  x   x 1   x  lim  lim x 0 x 0 sin x sin x 3 3x 3x   1 13 a      a  b  49 36 36 b TOANMATH.com Trang 53 ... x   3, x  tồn lim f  x  Câu 12: Giá trị thực tham số a để hàm số f  x    x 2 x  ax  1, A B C D m  x   Câu 13: Giá trị thực tham số m để hàm số f  x   2m  13 x  tồn lim... Tìm giá trị thực tham số b để hàm số f  x    x  x  có giới hạn  x  b  3, x  TOANMATH.com Trang 28   A B  3 C 3 D  3  x3  , x  1  Câu 15: Các giá trị thực tham số m để hàm số... Giá trị thực tham số m để hàm số f  x    x   có giới hạn lim f  x  bao x 3 m x   nhiêu? A m  1 B m  C m  4 D m   3x   x   x  Câu 17: Các giá trị thực tham số a để hàm