Bài giảng giới hạn hàm số

BÀI GIẢNG GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Giới hạn hữu hạn điểm Định nghĩa 1: Cho ( a; b ) khoảng chứa điểm x0 hàm số y = f ( x ) xác định ( a; b ) f ( x ) = L  với dãy số xn  mà ( a; b ) \  x0  xlim →x xn  ( a; b ) \ x0  , xn → x0 ta có lim f ( xn ) = L Nhận xét: - Giới hạn hàm số định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn dãy số - Hàm số không thiết phải xác định x0 Định nghĩa (Giới hạn bên): Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( x0 ; b ) lim+ f ( x ) = L  với dãy số xn  mà x → x0 x0  xn  b, xn → x0 ta có lim f ( xn ) = L Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; x0 ) lim− f ( x ) = L  với dãy số xn  mà x → x0 a  xn  x0 , xn → x0 ta có lim f ( xn ) = L STUDY TIP x → x0+ nghĩa x → x0 x  x0 x → x0− nghĩa x → x0 x  x0 Định lí lim f ( x ) = L  lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L x → x0 x → x0 x → x0 Giới hạn vô cực điểm Định nghĩa Cho ( a; b ) khoảng chứa điểm x0 hàm số y = f ( x ) xác định ( a; b ) f ( x ) = +  ( a; b ) \  x0  xlim →x với dãy số xn  mà xn  ( a; b ) \ x0  , xn → x0 ta có f ( xn ) = + Lưu ý: Các định nghĩa lim f ( x ) = −; lim+ f ( x ) = +; lim+ f ( x ) = −; lim− f ( x ) = +; lim− f ( x ) = − x → x0 x → x0 x → x0 phát biểu hoàn toàn tương tự Lưu ý: a) f ( x ) không thiết phải xác định điểm x0 x → x0 x → x0 b) Ta xét giới hạn f ( x ) điểm x0 có khoảng ( a; b ) (dù nhỏ) chứa x0 mà f ( x ) xác định ( a; b ) ( a; b ) \ x0  Chẳng hạn, hàm số f ( x ) = x có tập xác định D = 0; +  ) Do ta khơng xét giới hạn hàm số điểm x0 = , khơng có khoảng ( a; b ) chứa điểm mà f ( x ) xác định Tương tự ta không xét giới hạn f ( x ) điểm x0  c) Ta xét giới hạn bên phải f ( x ) điểm x0 có khoảng ( x0 ; b ) (khoảng nằm bên phải x0 ) mà f ( x ) xác định Tương tự, ta xét giới hạn bên trái f ( x ) điểm x0 có khoảng ( a; x0 ) (khoảng nằm bên trái x0 ) mà f ( x ) xác định Chẳng hạn, với hàm số f ( x ) = x − , điểm x0 = , ta xét giới hạn bên phải Với hàm số g ( x ) = − x , điểm x0 = , ta xét giới hạn bên trái d) lim f ( x) = +  lim− f ( x) = lim+ f ( x) = + x →xo x →x x →x o o lim f ( x) = −  lim− f ( x) = lim+ f ( x) = − x →xo x →x o x →x o II ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Giới hạn hữu hạn vô cực Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; + ) lim f ( x ) = L  với dãy số ( xn ) x →+ , xn  a xn → + ta có lim f ( x ) = L LƯU Ý: Định nghĩa lim f ( x ) = L phát biểu hoàn toàn tương tự x →− Giới hạn vô cực vô cực Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; + ) lim f ( x ) = +  với dãy số (x ), x n n x →+  a xn → + ta có lim f ( x ) = + LƯU Ý: Các định nghĩa: lim f ( x ) = +, lim f ( x ) = −, lim f ( x ) = − phát biểu hoàn toàn tương x →− x →+ tự III MỘT SỐ GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT a) lim x = xo x → xo b) lim c = c; lim c = c ( c số ) x → xo x → c = ( c số, k nguyên dương ) x → x k c) lim x →− d) lim x k = + với k nguyên dương; lim x k = − k số nguyên lẻ; lim x k = + x →− x →+ x →− k số nguyên chẵn Nhận xét: lim f ( x ) = +  lim  − f ( x ) = − x →+ x →+ IV ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí Giả sử lim f ( x ) = L lim g( x ) = M Khi x → xo x → xo a) lim  f ( x)  g( x) = L  M x →xo b) lim  f ( x)g( x) = LM ; lim cf ( x) = cL với c x →xo x →xo f ( x) L = ( M  0) g( x ) M c) lim x → xo STUDY TIP: Giới hạn hữu hạn, giới hạn tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số điểm tổng, hiệu, tích, thương giới hạn chúng điểm (trong trường hợp thương, giới hạn mẫu phải khác khơng) Định lí Giả sử lim f ( x ) = L Khi x → xo a) lim f ( x ) = L x → xo b) lim f ( x ) = L x → xo c) Nếu f ( x )  với J \  xo  , J khoảng chứa xo , L  lim x → xo f ( x) = L LƯU Ý: Định lí định lí thay x → xo x → x − o , x → x + o V QUY TẮC VỀ GIỚI HẠN VƠ CỰC Các định lí quy tắc áp dụng cho trường hợp: x → xo , x → x −o , x → x +o , x → + x →− Tuyên nhiên, gọn, ta phát biểu cho trường hợp x → xo Quy tắc (Quy tắc tìm giới hạn tích) L = lim f ( x ) x → xo L0 L0 STUDY TIP: Giới hạn tích hai hàm số lim g( x ) x → xo + − + − lim  f ( x)g( x) x →xo + − − + - Tích hàm số có giới hạn hữu hạn khác với hàm số có giới hạn vơ cực hàm số có giới hạn vô cực - Dấu giới hạn theo quy tắc dấu phép nhân hai số Quy tắc (Quy tắc tìm giới hạn thương) L = lim f ( x ) x → xo L L0 lim g( x ) x → xo Dấu g( x ) lim x → xo  Tùy ý + + L0 (Dấu g ( x ) xét khoảng K tính giới hạn, với x  xo ) f ( x) g( x ) + − − + STUDY TIP: Giới hạn thương hai hàm số Tử thức có giới hạn hữu hạn khác 0: - Mẫu thức tang (dần đến vơ cực) phân thức nhỏ (dần đến 0) - Mẫu thức nhỏ (dần đến 0) phân thức có giá trị tuyệt đối lớn (dần đến vô cực) - Dấu giới hạn theo quy tắc dấu phép chia hai số VI CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH: GỒM  , ,0. VÀ  −   B CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG 1: TÌM GIỚI HẠN XÁC ĐỊNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CÁC ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÍ VÀ QUY TẮC Phương pháp: - Xác định dạng toán: giới hạn điểm hay giới hạn vô cực? giới hạn xác định hay vô định? - với giới hạn hàm số điểm ta cần lưu ý: Cho f ( x ) hàm số sơ cấp xác định khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 Khi đó, lim f ( x ) = f ( xo ) x → xo - Với giới hạn hàm số vô cực ta “xử lí” tương tự giới hạn dãy số - Với giới hạn xác định, ta áp dụng trực tiếp định nghĩa giới hạn hàm số, định lí giới hạn hữu hạn quy tắc giới hạn vô cực STUDY TIP: Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y = f ( x) giới hạn x → x0 - Chọn hai dãy số khác ( an ) ( bn ) thỏa mãn an bn thuộc tập xác định hàm số y = f ( x) khác x0 ; an → x0 ; bn → x0 - Chứng minh lim f ( an )  lim f ( bn ) chứng minh hai giới hạn không tồn f ( x ) không tồn TH x → x0 x →  chứng minh tương tự - Từ suy xlim →x o Ví dụ 1: Chọn khẳng định khẳng định sau: B lim sin x = −1 A lim sin x = C lim sin x = x →+ x →+ x →+ D lim sin x không tồn x →+ Đáp án D Lời giải Xét dãy số ( xn ) với xn =  + 2n   Ta có xn → + limsin xn = limsin  + 2n  = 2  Lại xét dãy số ( yn ) với yn = −  (1) + 2n    Ta có yn → + limsin yn = limsin  − + 2n  = −1   ( 2) Từ (1) ( 2) suy lim sin x không tồn Vậy chọn đáp án D x →+ Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) = x2 + , lim f ( x) bằng: x →3 x A + B C D STUDY TIP: Giới hạn điểm Nếu f ( x ) xác định x0 tồn khoảng ( a; b ) thuộc tập xác định f ( x ) chứa x0 lim f ( x ) = f ( xo ) x → xo - Việc sử dụng hay khơng sử dụng MTCT để tính f ( xo ) tùy thuộc vào mức độ phức tạp f ( xo ) khả tính toán độc giả Đáp án C Lời giải Hàm số cho xác định ( 0;+ ) Cách (sử dụng định nghĩa): Giải sử ( xn ) dãy số bất kỳ, thỏa mãn xn  0, xn  xn → n → + Ta có xn2 + 32 + lim f ( xn ) = lim = = ( áp dụng quy tắc giới hạn hữu hạn dãy số) Do xn lim f ( x) = x →3 Cách (sử dụng định lí giới hạn hữu hạn): Theo định lí ta có: x + lim1 lim x.lim x + lim1 3.3 + ( x2 + 1) lim x + lim x →3 x →3 x →3 x →3 lim f ( x ) = lim = = = x→3 x→3 = = x →3 x →3 x lim 2.lim x lim lim x lim x x →3 x →3 x →2 x →3 x →3 ( ) Tuy nhiên thực hành, câu hỏi trắc nghiệm nên ta làm sau Cách 3: Vì f ( x ) hàm số sơ cấp xác định lim f ( x ) = f ( 3) = x →3 ( 0;+ ) chứa điểm x0 = nên 10 = 3 Do sử dụng MTCT ta làm cách Cách 4: Nhập biểu thức vào hình Bấm phím CALC, máy hỏi X ? nhập = Máy hiển thị kết hình: Do chọn đáp án C Ví dụ 3: Chọn khẳng định khẳng định ? x+2 = x−2 A lim x+2 =1 x−2 B lim C lim x+2 = −1 x−2 D Hàm số f ( x ) = x →3 x →3 x →3 x+2 khơng có giới hạn x → x−2 Đáp án B Lời giải Hàm số f ( x ) = x+2 xác định khoảng ( −;2) ( 2;+ ) Ta có  ( 2; + ) x−2 Cách : lim f ( x ) = f ( 3) = x →3 3+ = 3− x+2 hình MTCT Bấm phím CALC , máy x−2 hỏi X? nhâp = Máy hiển thị kết hình: Cách : Nhập biểu thức hàm số f ( x ) = Vậy lim x →3 Ví dụ 4: x+2 = x−2 lim ( −2 x + x ) bằng: x →− A −2 C + B D − Đáp án C Lời giải Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị f ( x ) = −2x3 + 5x điểm có giá trị âm nhỏ (do ta xét giới hạn hàm số x →− ), chẳng hạn −1020 Máy hiển thị kết hình: Đó giá trị dương lớn Vậy chọn đáp án C , tức lim ( −2 x3 + x ) = + x →− 5  Cách 2: Ta có −2 x3 + 5x = x3  −2 +  x   5 5   Vì lim x3 = − lim  −2 +  = −2  nên lim x3  −2 +  = + x →− x →− x →− x  x    5  Vậy theo Quy tắc 1, lim −2 x3 + 5x = lim x3  −2 +  = + Do chọn C x →− x →− x   ( ) Lưu ý 1: 5  - Để hiểu lim x3 = − lim  −2 +  = −2 xin xem lại phần giới hạn đặc biệt x →− x →− x   - Bài tốn thuộc dạng tính giới hạn hàm số x dần tới vô cực, x →− Do khơng thể áp dụng kết biết giới hạn dãy số, giới hạn dãy số xét n → + Ta áp dụng kĩ thuật biết giới hạn dãy số Lưu ý 2: Có thể dễ dàng chứng minh kết sau : Cho hàm số f ( x ) = ak xk + ak −1xk −1 + + a1x + a0 (ak  0) đa thức bậc k x x → + k ak Giới hạn f ( x ) ak  + ak  − ak  + ak  − ak  − Tùy ý k chẵn x →− k lẻ ak  + a a a  Thật vậy, ta có f ( x ) = x k  ak + k −1 + + k1−1 + 0k x x x     a a  a  Vì lim  ak + k −1 + + k1−1 + 0k  = ak lim x k = + với k tùy ý, lim x k = + k chẵn, x →+ x →− x → x x x   lim x k = − k lẻ nên ta dễ dàng suy bảng kết x →− Ví dụ 5: lim ( 3x − x + 1) bằng: x →− A + B − C D Đáp án A Lời giải Cách 1: Theo nhận xét lim ( 3x − x + 1) = + ( x → −, k chẵn ak  ) Thật x →−   vậy, ta có 3x − x + = x  − +  x x   1  Vì lim x = + lim  − +  =  nên lim ( 3x − x + 1) = + x →− x →− x → x x   STUDY TIP - Giới hạn vô cực hàm đa thức vô cực, phụ thuộc vào số hạng chứa lũy thừa bậc cao - Giới hạn hàm đa thức + phụ thuộc vào hệ số lũy thừa bậc cao (Giống với giới hạn dãy số dạng đa thức) - Giới hạn hàm đa thức − phụ thuộc vào bậc hệ số lũy thừa bậc cao Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số f ( x ) = 3x4 − x2 + x = −1020 , ta kết hình : Kết số dương lớn Do chọn đáp án A, Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x ) = x − x + Khẳng định ? A lim f ( x ) = − B lim f ( x ) = + C lim f ( x ) = D lim f ( x ) không tồn x →− x →− x →− x →− Đáp án B Lời giải Hàm số f ( x ) = x − x + xác định Có thể giải nhanh sau : Vì x − x + hàm đa thức x nên có giới hạn vơ cực Mà x2 − x +  với x nên giới hạn f ( x ) = x − x + − chắn + Thật vậy, ta có   x − x + = x 1 − +  = x − + x x  x x  Vì lim x = + lim − + =  nên lim x2 − x + = + x →− x →− x →− x x Hoặc ta sử dụng MTCT để tính giá trị f ( x ) giá trị âm nhỏ x , chẳng hạn x = −1020 ta kết hình: Kết số dương lớn Do ta chọn đáp án B (Dễ thâý kết hiển thị máy tính kết gần khả tính tốn hạn chế MTCT Tuy nhiên kết giúp ta lựa chọn đáp án xác) STUDY TIP Ta có lim x = + x → Khi x →− x  Với x  ta có x2 = − x Cần đặc biệt lưu ý điều tính giới hạn − hàm chứa thức Ví dụ 7: Giới hạn hàm số f ( x ) = x − x − x + x →− bằng: A − B + C −1 Đáp án A Lời giải Cách 1: Ta có:  1  1  x − x − x + = x 1 −  − x  +  = x − − x + x  x x  x   1  = x  − − +  x x    1 Mà lim x = + lim  − − +  x →− x → x x    = − = −1   D Vậy lim x →− (   1 x − x − x + = lim  x  − − + x →− x x   )    = −   Lưu ý: - Độc giả nên đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa thức để hiểu lại có định hướng giải (mà khơng nhân chia với biểu thức liên hợp) x2 − x = +; lim x2 + = + - Có thể thấy sau: Vì lim x→− x→− Mà hệ số x x + lớn hệ số x x − x nên suy lim x →− ( ) x − x − x + = − Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x = −1010 ta kết hình Vậy chọn đáp án A Ví dụ 8: 2017 bằng: x →+ x − x lim A 2017 B − C + D Đáp án D Lời giải Cách 1: Vì lim ( x3 − x5 ) = − nên theo quy tắc 2, lim x →+ x →+ 2017 =0 3x3 − x5 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x = 1010 ta kết hình Đó kết gần Do chọn đáp án D STUDY TIP Khi hàm số khơng xác định x0 ta thử áp dụng quy tắc giới hạn vơ cực Đó quy tắc áp dụng cho dạng L. ; - Dạng L : giới hạn  L L ; Lưu ý cách xác định dấu giới hạn   − x   Câu 42: Cho hàm số f ( x ) =  x − x − Với giá trị m hàm số f ( x ) có giới hạn mx + x  điểm x = A B -1 C D k − ) hữu hạn Câu 43: Tìm tất giá trị tham số thực k cho giới hạn lim( x →1 x − x −1 A k = B k  C k  D k  Câu 44: Trong giới hạn sau đây, giới hạn −1 ? A lim ( x2 + x − x) B lim ( x2 + x + x) C lim( x + x + x) D lim ( x2 + x − x) x→− x→− x→+ x →+ Câu 45: Giới hạn lim ( x2 − 3x + 5+ax) = + x →− B a  A a  C a  D a  Câu 46: Cho a b số thực khác Biết lim (ax − x2 + bx + 2) = , tổng a + b x→+ B −6 A C D −5 Câu 47: Cho a b số thực khác Biết lim (ax+b- x2 − x + 2) = số lớn hai số x→+ a b số số đây? A B C Câu 48: Trong giới hạn đây, giới hạn vô cực? D A lim ( x2 + x − x2 + 3) B lim ( x2 + x + + x) C lim ( x2 + 3x + + 5x) D lim ( 3x2 + − 3x2 + 5x ) x→− x →− x→− x →− m m phân số tối giản, m n x →− n n số nguyên dương Tìm bội số chung nhỏ m n A 135 B 136 C 138 D 140 Câu 49: Biết lim ( x + x + 27 x3 + x + 5) = − Câu 50: Cho a b số nguyên dương Biết lim ( x + ax + 27 x3 + bx + 5) = x →− thỏa mãn hệ thức đây? A a + 2b = 33 B a + 2b = 34 C a + 2b = 35 , hỏi a b 27 D a + 2b = 36 D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT DẠNG BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ CÁC QUI TẮC Câu Đáp án B ( ) 2 Cách 1: Ta có B = lim x + 3x + m − 2m = m − 2m + x → −1 Do B   m − 2m +   m  −1 hay m  Cách 2: Sử dụng MTCT tính B m = m = Khi m = B = 12  , xét A B Khi m = B =  , A sai B Câu Đáp án D Cách 1: Ta có lim− f ( x) = lim− x→−1 ( ) x→−1 x2 +1 1− x Vì lim − x + = 2; lim − (1 − x ) = − x  0; x  x →−1 x →−1 nên theo quy tắc 2: lim− f ( x) = lim− x→−1 x→−1 Cách 2: Ta có lim− f ( x) = lim− x→−1 x→−1 x2 +1 = + 1− x x2 +1 1− x Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x = 0,99999999 ta kết 199999998 Vậy chọn D Câu Đáp án A Vì lim x − = , x −  0, x  nên lim f ( x) = lim x →1 x →1 x →1 = + x −1 Giải thích thêm: xác định khoảng (1;+ ) nên không tồn giới hạn bên trái x = x −1 , khơng tồn giới hạn x = + Hàm số g ( x) = xác định khoảng (− ;1) nên không tồn giới hạn bên phải 1− x x = , khơng tồn giới hạn x = + Hàm số h( x) = + Vì lim (x − 1) = , x −  0, x  , x −  0, x  x →1 1 = − , lim t( x) = lim = + x→1− x − x→1+ x→1+− x − nên lim t( x) = lim x→1− Vậy lim t( x)  lim t( x) nên không tồn lim t( x) x→1− x→1+ x→1 Câu Đáp án D Xét dãy số (xn ) với xn = 1 Ta có xn → lim cos = lim cos(2n + 1)  = −1 (1) xn (2n + 1) Lại xét dãy số ( yn ) với x n = Từ (1) (2) suy lim cos x →0 1 Ta có yn → lim cos = lim cos(2n ) = (2) n yn không tồn x Câu Đáp án C Cách 1: Ta có lim (5 x − x + x + 1) = + , lim (2 x + 3x + 1) = + ; x→ + x → − lim (4 x − x + 2) = − ; lim (3x − x + 2) = + x → − x→ + Cách 2: Sử dụng MTCT tính giới hạn tìm giới hạn −  Câu Đáp án D Cách 1: Ta có + lim ( 4x + lim ( 4x x→ + x→ + 2 ) + x + + x = + , lim x → − ( 4x ) + x + − x = + )   + x + − x = lim x + + − 1 = + x→ + x x   ) ( Do lim x − x + x + = − x→ + Cách 2: Sử dụng MTCT tính giới hạn tìm giới hạn −  Câu Đáp án C ( ) Cách 1: Ta có lim + − x = −3  ; lim + (9 + 3x ) = + 3x  0, x  −3 x → −3 Vậy theo quy tắc 2, lim+ x→−3 Tương tự: lim − x→ −1 x →−3 − x2 = − + 3x − 2x − 3x 2x3 − = − ; lim = + lim = − ; x →−2 ( x + )2 x → −1 ( x + 1)2 + 5x Do đáp án C ( Thật ta cần tính đến C chọn đáp án đúng) Cách 2: Sử dụng MTCT tính giới hạn tìm giới hạn +  Câu Đáp án B Cách 1: Các hàm số A, C, D xác định điểm điểm tính giới hạn Do đáp án B Thật vậy, ta tính MTCT: lim x → −2 Câu (x x3 + 2x 2 − x−6 ) = + Cách 2: Sử dụng MTCT tính giới hạn tìm giới hạn vơ cực Đáp án C Cách 1: Ta có lim − ( x + x + − − x ) = −  ; x →( −1) lim ( x + x) = ; ( x + x) = x( x + 1)  0, x  −1 x → ( −1) − x2 + x + − − x = − x4 + x Vậy lim − x →( −1) Bổ sung: + lim ( x + x + + x) = lim x(− + x →− x →− −3 = + + 4) = − nên lim x →− x x 5x + x + + x ( x − 2) + x − x + 12x − + + lim = lim = lim ( x − x + 12) = 12 x →0 x →0 x x →0 x = x →− x → − x − x + Cách 2: Sử dụng MTCT tính giới hạn tìm giới hạn vơ cực Câu 10 Đáp án A + lim (4 x − x + 2) = −  lim Cách 1: Sử dụng MTCT tính tốn m = −3 ta kết lim (−3x + x − 3x + 1) = − x → + Vậy ta xét đáp án A D Lại sử dụng MTCT tính tốn m = −1 ta kết lim (− x + x − 3x + 1) = + Vậy x→+ loại đáp án D Do đáp án A Cách 2: lim f ( x) = lim (mx + x − 3x + 1) x→+ x→+ + Nếu m  lim f ( x) = lim (mx + x − 3x + 1) = + x→+ x→+  + Nếu m  lim  mx + 9x2 − 3x +  = lim x  m + − +  x x2 x→+   x→+   Ta thấy m  −3 lim  m + − + x x2 x→+        lim (mx + x − 3x + 1) =  x→+  Ngược lại m = −3 lim (−3x + x − 3x + 1) = − Vậy đáp án A x → + DẠNG GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG Câu 11 Đáp án D 3x + 3x + − 3(x + 2) 3(x + 2) Ta có lim + = lim − = lim + = −3 = lim − x →( −2 ) x →( −2 ) x →( −2 ) x →( −2 ) x+2 x+2 x+2 x+2 3x + 3x + 3x + Vậy lim − nên lim không tồn  lim + x →−2 x + x →( −2 ) x →( −2 ) x+2 x+2 Câu 12 Đáp án D x4 − a ( x − a)(x + x a + xa + a ) Cách 1: Ta có lim = lim = lim ( x + xa + x a + a ) = 4a x→a x − a x→a x→a x−a Cách 2: Cho a giá trị cụ thể tính giới hạn máy tính cầm tay Chẳng han với a = ta có lim x →a x − 24 = 32 = 4.23 Do chọn đáp án D x−2 Câu 13 Đáp án B x − mx + m − ( x − 1)(x − m + 1) x − m +1 − m = lim = lim = x →1 x →1 x →1 ( x − 1)(x + 1) x +1 x −1 Vậy C =  m = −2 Cách 2: Thay giá trị m vào, tìm C gặp kết C = dừng lại Câu 14 Đáp án C g ( x) Đặt g ( x) = x + ax + b Rõ ràng g(2)  lim khơng thể hữu hạn Do điều x →2 x − kiện g(2) =  2a + b = −4 b g ( x) b b = lim ( x − ) = − Khi g ( x) = ( x − 2)( x − ) lim x →2 x − x →2 2 g ( x) b =  − =  b = −8  a =  a + b = −6 Vậy lim x →2 x − 2 Câu 15 Đáp án B − ax + 1 − ax + bx Cách 1: lim = lim( ) x sin bx b x→0 sin bx x→0 − ax + −a bx − ax + b − a = nên lim Mà lim = ; lim = ; x →0 sin bx x →0 sin bx 2b x→0 sin bx Cách 2: Cho a b giá trị cụ thể, thay vào tính giới han Chẳng hạn với a = b = , sử 1− x +1 = Từ chọn đáp án B dụng MTCT ta tính lim x →0 sin x Câu 16 Đáp án D tan ax tan ax x = a Cách 1: ax + bx − + cx + bx − + cx tan ax sin ax = lim( ) =1 Lại có lim x →0 x → ax ax cosax + bx − + cx − b c 3b − 2c + bx − + cx = lim( − )= − = lim x →0 x →0 x x x tan ax 6a = Vậy lim x →0 + bx − + cx 3b − 2c 6a a =  = Do hệ thức liên hệ a, b, c 3b − 2c 3b − 2c 12 Cách 2: Sử dụng MTCT Với đáp án, chọn giá trị cụ thể a, b, c thỏa mãn hệ thức thay vào để tính giới hạn Nếu giới hạn tìm đáp án Chẳng hạn, với đáp án A, chọn a = 1; b = 4; c = , sử dụng MTCT tính tan x lim = x →0 + x − + x Cách 1: C = lim Vậy A đáp án Tương tự B C đáp án Vậy đáp án D Câu 17 Đáp án C si n( x − 1) s in(x-1) x −1 = = m m n x −x x −1 x − xn xm − xn si n( x − 1) si n( x − 1) = = nên lim m = m − n ; lim Mà lim n x →1 x − x x →1 x →1 x −1 m−n x −1 Cách 2: Cho m n giá trị cụ thể, thay vào sử dụng MTCT tính giới hạn Chẳng hạn với si n( x − 1) 1 = = m = 3; n = ta tính lim x →1 x −x m−n Cách 1: Ta có Vậy đáp án C Câu 18 Đáp án A 5x − − 2x − − ; lim có hữu hạn hay khơng x → x −1 x −1 5x − − 2x − 2x − − 5x − − − lim nên chưa thể viết được: lim = lim x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 Do lời giải mắc lỗi sai bước Ta sửa lại sau: 5x − − 2x − 5x − − 2x − − = lim( − ) Bước 1: Ta có lim x →1 x → x −1 x −1 x −1 Câu 19 Đáp án A x +7 −3 8x + 11 − x+7 8x + 11 − = − Ta có x − 3x + x − 3x + x − 3x + x−2 x−2 = − ( x − 2)( x − 1)( (8x + 11) + + 11 + 9) ( x − 2)( x − 1)( x + + 3) Vì ta chưa thể biết giới hạn lim x →1 = − ( x − 1)( x + + 3) ( x − 1)( (8x + 11) + 3 + 11 + 9) 8 1 = = Ta có lim ; lim x →2 ( x − 1)( (8x + 11)2 + 3 + 11 + 9) 27 x→2 ( x − 1)( x + + 3) 8x + 11 − x+7 = − = x − 3x + 27 54 Vậy m = 7; n = 54 2m + n = 68 Câu 20 Đáp án C 6x − − 27x-54 6x − − 27x-54 = Ta có ( x − 3)2 ( x + 6) ( x − 3)( x + 3x-18) Sử dụng MTCT ta tính được: 6x − − 27x-54 1 lim = ; lim = x → x →3 x+6 ( x − 3) Do lim x →2 6x − − 27x-54 = Vậy 3m + n = 57 nên lim x →3 ( x − 3)( x + 3x-18) 54 Giải tự luận: Đặt t = x − lim t = x →3 6x − − 27x-54 6t + − (t + 3) (t + 3) − 27t + 27 6t + − 27t+27 = + = ( x − 3)2 t2 t2 t2 = t2 = ( ( −t2 6t + + t + −1 6t + + t + ( Ta có lim t →0 ) ) + + t + 9t2 t2 ( t + ) + ( t + ) 27t + 27 + (27t + 27 )2    t +9 ( t + )2 + ( t + ) 27t + 27 + (27t + 27)2 −1 t +9 = − ; lim = t→0 t + + t + 3 27t + 27 + (27t + 27)2 6t + + t + ( ) ( ) ) 6x − − 27 x − 54 Vậy lim ( x − )2 x→3 = −1 1 + = 6 6x − − 27 x − 54 1 = nên lim = x →3 x + 54 x→3 x − x2 + 3x − 18 ( ) Mặt khác lim ( ) Lưu ý: Nếu sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x = 3, 00000001 x = 2, 99999999 ta thu kết máy báo lỗi ( tùy theo loại máy) Điều vượt khả tính tốn máy Ta thay đổi tính giá trị hàm số x = 2, 99999 ta kết sau Kết hiển thị máy khó để ta tìm giới hạn xác hàm số Tuy nhiên phân tích kĩ chút biến đổi lời giải ta tìm đáp án MTCT Câu 21 Đáp án A Bài tập có dạng tương tự tập Bằng MTCT, khơng khó để tìm đáp án A Tuy nhiên giải tự luận có số vấn đề cần bàn Đặt t = x −1 x = t + 1, lim = x→1+ 3x − − 5x − ( x − 1)2 = t2 ( 3t 3t + + ) + = 3t + − 5t + t2 = 3t + − 1 − 5t + + t2 t2 5t  2 t2  + 5t + + ( 5t + 1)    (  2  + 5t + + ( 5t + 1)  − 3t + +  =   2 t 3t + +  + 5t + + ( 5t + 1)    ( ) ) ( )  2  + 5t + + ( 5t + 1)  − 3t + +  = − Ta có lim =  +   t →0 t 3t + +  + 5t + + ( 5t + 1)    ( ) 3x − − 5x − Vậy lim ( x − 1) x→1+ = − Ta thấy sau đổi biến cho gọn, ta thêm bớt tử với hàng số tách thành hai phân thức nhân chia liên hợp mà không thêm bớt đa thức Vậy thêm bớt số, thêm bớt với đa thức? Quý độc giả nghiên cứu kĩ hai tập tự rút nhận xét Câu 22 Đáp án D Ta có ( lim x→−2 x2 − x − ) x3 + 2x2 2 x − 3) ( x + 2) x − 3) ( x + 2) ( ( = lim = lim = x→−2 x→−2 x2 ( x + ) x2 Câu 23 Đáp án C lim x2 + 3x + x→( −1) − = − lim x2 + 2x + x→( −1) − = lim x→( −1) x2 + 3x + − ( x + 1)2 ( x + 1)( x + 2) x2 + 3x + = lim = lim − − x +1 ( x + 1) x→( −1) x→( −1) ( x + 2) = −1  Câu 24 Đáp án C Ta có lim x→0− Vậy lim x→0− 3x2 + x4 3x2 + x4 −x + x2 x + x2 3 lim = lim = lim =− = + − + 2x 2x 2x 2x 2 x→0 x→0 x→0 3x2 + x4 3x2 + x4 nên lim  lim 2x 2x x→0+ x→0 Câu 25 Đáp án B lim x→3+ x2 − x + x2 − 6x + ( x − 1)( x − ) = lim x − = + x→3+ x→3+ x − ( x − )2 = lim DẠNG GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG   Câu 26 Đáp án B x2 − x3 − x2 + = −; + lim = −1; x→+ x2 − x x→− x + + lim 3x2 + x4 không tồn 2x 2x + + lim x→− x2 − 5x x2 + x − = 0; + lim x + x2 x→+ = 2; Câu 27 Đáp án C (2x + 1)(2x + x) = + lim = −5 + lim x ( x − 1) (2x + x) ( x + 1) ( x + 1)(2x − x + 4) = + lim (3x + 1)(2 − x ) = − + lim x ( 3x + 1) (2x + x) ( x + 1) ( x + 1) ( − 2x − 5x3 ) x→+ 2 x→− x→− 2 x→− Câu 28 Đáp án B −2x2 + x − 3x2 + x + = − = + + lim 3+ x x→− x→− + 2x + lim − x + x2 + lim + x − x2 Câu 29 Đáp án C = + + lim x2 − x4 + − x − x2 x→− x→+ = + 2 + 3x 1+ + −1 + x x lim = lim = lim = =− x→− x2 + − x + x→− − x + − x + x→− + − + −2 − x x2 x2 Câu 30 Đáp án C −x + x2 + 2x + 3x ax − b 9x + = lim cx + x→− x→− ax + bx + Ta có lim cx + x2 = lim x→− a+b 9+ x2 = a + 3b c c+ x ax − b 9x2 + a + 3b =5 = cx + c x→− Do lim Câu 31 Đáp án A  x2 + 3x +   11  lim  − ( ax + b ) = lim ( x + ) + − ( ax + b ) x +2 x +2 x→    x→    x2 + 3x +  Do lim  − ( ax + b ) =  a = 4; b = −5  a − b = x+2 x→    Câu 32 Đáp án D + lim x4 − x − x→− + lim x2 + x + x5 + x − 11 x2 + x + Câu 33 Đáp án D x→+ x2 − 5x + x2 − 5x + = lim = + x→− + x x→− − 2x = + + lim = + + lim x→ 3 x + 2x2 + 1 − 2x = − + lim x→− x +2 x3 − − x3 + x6 = − Ta có 3 x3 − = lim x→− 2x − x2 2x − x2 1 lim = lim =3− =− 2 x→− x − x + x→− x − x + x x + lim x→− x2 − x+2 = x +3 + lim x→+ x + x+5 = lim x→+ x +3 x 1+ + x x2 = Câu 34 Đáp án B + lim 2 x − − x ( )( ) 3 3x − x + x→+ + lim (2x − 1) + lim x→− x −3 −2 x (2x − 1) x x − 5x2 x→− =3 x +1 − x = lim x − 5x2 x→− −2 x = lim x→− 1− x 1+ x2 x2 = = −x Câu 35 Đáp án A x2 − x + 2x + lim = lim 3−4 x x→− x→− + lim (1 − x ) x→− x x3 − 1 + 2x x = 3+4 x −x − = lim x→− (1 − 2x )2 x = (do − 2x  0, x  x3 − 3x4 + x5 + 2 = x→+ 9x5 + 5x4 + + lim DẠNG GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG 0. Câu 36 Đáp án D 1 1 a−x −1 Cách 1: Ta có  −  = = ax ( x − a )2 ax ( x − a )  x a  ( x − a )2 1 1 −1 Do lim  −  = lim = +; x→a−  x a  ( x − a )2 x→a− ax ( x − a )  1 −1 lim  −  = lim = −; x→a+  x a  ( x − a )2 x→a+ ax ( x − a ) )  1 1 1 1 1 Vậy lim  −  nên lim  −  không tồn  lim  −  x →a  x a  x − a x→a−  x a  ( x − a )2 x→a+  x a  ( x − a )2 ( ) Cách 2: Cho a giá trị cụ thể, chẳng hạn a = 1, thay vào hàm số sử dụng MTCT để tính giới hạn Từ ta tìm đáp án D Câu 37 Đáp án C + lim ( x + 1) x→+ + lim ( x + 1) x→+ ) ( + lim x2 + x→+ 2x4 + x2 + x→+ x ( x + 1) = + 3x x2 − x3 + x x→+ = lim 2x4 + x2 + x −1 + lim ( x + ) x3 ( x + 1) x3 = lim x2 − x→+ ( x + )2 ( x − 1) = = lim x3 + x x→+ x 2x + x2 + = + ) ( x x2 + = lim x→+ 2x4 + x2 + = + Câu 38 Đáp án B + lim ( x + 1) x→− 2x + x3 + x + 3x − 11 + lim (1 − x ) x2 + x→+ (2x + 1)( x + 1)2 = lim x3 + x + x→+ = lim ( 3x − 11)(1 − 2x )2 x2 + x→+ = − = −2 + ( lim x3 − x→+ ) + lim (2 − 3x ) x→− x x −1 x→+ x +1 ) ( = lim x2 + x + ( x − 1) 5x + 2x + = lim x→− x x −1 x +1 ( x + 1)(2 − 3x ) = 3 5x + 2x + 5 ( = lim x2 + x + x→+ ) ( x − 1) Câu 39 Đáp án A Cách 1: Sử dụng MTCT 1 Cách 2: Đặt t = x = , lim t = t x→+ x + 2t − ( t + 1) ( t + 1) − + 3t x+2 x+3  + 2t − + 3t x  − = + =  x x  t2 t2 t2  2 = −1 + 2t + ( t + 1) + t+3 ( t + 1)2 + ( t + 1) + 3t + (1 + 3t )2 Do   x+2 x+3  −1 t+3   lim x  − +  = lim    x x  t→0 + 2t + ( t + 1) x→+ 3 + 3t    t + + t + 1 + t + ( ) ( ) ( )   Câu 40 Đáp án C 2 x x +1 = Cách 1: Sử dụng MTCT π π Cách 2: Đặt t = − x x = − t , lim t = π 4 x→ π  π  π  tan 2x tan  − x  = tan  − t  tan t = tan  − 2t  tan t 4  4  2  cos 2t sin t 2t sin t cos 2t = cot 2t tan t = = sin 2t cos t sin 2t t cos t π  2t sin t cos 2t = Do đó: lim tan 2x tan  − x  = lim π t cos t t →0 sin 2t   x→ DẠNG DẠNG VÔ ĐỊNH − Câu 41 Đáp án B Cách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn với giá trị cụ thể n rooif so sánh với đáp án   − Chẳng hạn n = ta có lim   = 1− x  x→1  − x ( ) n − + x + x2 + + xn−1 1 − x + − x2 + + − xn−1 − = = Cách 2: − xn − x − xn − xn n = ) ( + (1 + x ) + + x + x2 + + + x + x2 + + xn−2 + x + x2 + + xn−1  n  n −1 − Do lim  = x→1  − xn − x   n  n −1 − Lưu ý: lim  = x→1  − xn − x  Câu 42 Đáp án B   3   − = lim  − Theo câu 41, ta có lim f ( x ) = lim    = x→1+ x→1+  x − x3 −  x→1+  x3 − x −  Lại có lim f ( x ) = lim ( mx + ) = m + Để f ( x ) có giới hạn điểm x = x→1− x→1− lim f ( x ) = lim f ( x )  m + =  m = −1 x→1− x→1+ Câu 43 Đáp án A k x +1− k Ta có − = Mà lim ( x + − k ) = − k; lim x2 − = nên để 2 x −1 x −1 x→1 x→1 x −1 ( )  k  lim  −  hữu hạn điều kiện cần − k =  k = 2 x→1  x − x −  Thật vậy, k = 2,  k  1 x −1 − = − = = Nên lim   = lim 2 x→1  x − x −  x→1 x + x −1 x −1 x −1 x +1  k  − Lưu ý: lim   hữu hạn  k = n n x→1  x − x −  Câu 44 Đáp án B Cách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn Đến ý B ta giới hạn −1 Vậy đáp án B Cách 2: Ta thấy A C giới hạn vô cực, B D dạng vô định − Ta xét giới hạn ý B 2x lim  x2 + 2x − x  = = −1 Vậy đáp án B x→−   −x + − x Bổ sung: + lim  x2 + 2x − x  = + + lim  x2 + 2x + x  = + x→−  x→+    2x + lim  x2 + 2x − x  = lim = lim = x→+   x→+ x2 + 2x + x x→+ 1+ +1 x Câu 45 Đáp án D Cách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn a = va` a = , ta lim  x2 − 3x + + x  = ; lim x2 − 3x + = + Từ suy đáp án D x→−   x→−  Cách 2: lim  x2 − 3x + + ax  = lim x  a − − + x x2 x→−   x→−     Vì lim = − nên để lim  x2 − 3x + + ax  = + a −   a  x→− x→−   Câu 46 Đáp án D  b Ta có lim  ax − x2 + bx +  = lim x  a − + + x x2 x→+   x→+     Do a  lim  ax − x2 + bx +  =  Vậy a = Khi x→+   −bx − b lim  x − x2 + bx +  = lim =− x→+   x→+ x + x2 + bx + b Vậy: − =  b = −6 Do a + b = −5 Câu 47 Đáp án C  lim  ax + b − x2 − 6x +  = lim x  a − − +  x x2 x→+   x→+    + b  Do a  lim  ax + b − x2 − 6x +  =  Vậy a = Khi ta có x→+   6x − lim  x + b − x2 − 6x +  = lim + b = + b = b + x→+   x→+ x + x2 − 6x + Vậy: −b + =  b = DO số lớn hai số a b số Chọn đáp án C Câu 48 Đáp án C Cả bốn giới hạn có dạng  −  , nhiên có giới hạn ý C, hệ số hai số hạng khác nhau.Theo kết biết giới hạn ý C chắn − Do đáp án C, Thật vậy: x−3 x−3 + lim  2x2 + x − 2x2 +  = lim = lim =− =− x→−   x→− 2x2 + x + 2x2 + x→−  2 3 −x  + + +   x x   x +1 x +1 + lim  x2 + x + + 2x  = lim = lim =−  x→−   x→− x2 + x + − 2x x→−  1 −x  + + + 2   x x2     + lim  9x2 + 3x + + 5x  = lim x  − + + +  = −  x x2 x→−   x→−   − 5x − 5x 5 + lim  3x2 + − 3x2 + 5x  = lim = lim = = x→−   x→− 3x2 + + 3x2 + 5x x→−  5 −x  + + 3+   x  x2  Câu 49 Đáp án A Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x = −1010 ta kết Áp dụng kĩ thuật tìm dạng phân số số thập phân vơ hạn tuần hồn ta có 0, (185 ) = Vậy 27 m = n 27 Từ chọn đáp án A Cách 2: = 3 9x2 + 2x + 27 x3 + 4x2 + =  9x2 + 2x + 3x  +  27 x3 + 4x2 + − 3x      2x 9x + 2x − 3x x2 + − (27x + x2 + ) + 3x 27 x3 + x2 + + 9x2 Suy lim  9x2 + 2x + 27 x3 + 4x2 +  = + =− 27 x→−   −6 + + Từ chọn đáp án A Câu 50 Đáp án B −a b 2b − 9a Làm tương tự câu 49, ta có: lim  9x2 + ax + 27 x3 + bx2 +  = + = 54 x→−   27 Do 2b − 9a = 14 Suy a số chẵn Vậy a + 2b số chẵn Từ loại đáp án A C a + 2b = 34 Giải hệ  2b − 9a = 14 a = 2; b = 16 a + 2b = 36 11 Giải hệ  a = (loại) 2b − 9a = 14 Vậy B đáp án _ TOANMATH.com _ ... → xo - Với giới hạn hàm số vô cực ta “xử lí” tương tự giới hạn dãy số - Với giới hạn xác định, ta áp dụng trực tiếp định nghĩa giới hạn hàm số, định lí giới hạn hữu hạn quy tắc giới hạn vô cực... STUDY TIP: Giới hạn tích hai hàm số lim g( x ) x → xo + − + − lim  f ( x)g( x) x →xo + − − + - Tích hàm số có giới hạn hữu hạn khác với hàm số có giới hạn vơ cực hàm số có giới hạn vơ... xin xem lại phần giới hạn đặc biệt x →− x →− x   - Bài tốn thuộc dạng tính giới hạn hàm số x dần tới vô cực, x →− Do khơng thể áp dụng kết biết giới hạn dãy số, giới hạn dãy số xét n → +