Tài liệu gồm 383 trang, bao gồm lý thuyết, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa, các dạng bài tập tự luận và hệ thống bài tập trắc nghiệm chuyên đề giới hạn, hàm số liên tục trong chương trình SGK Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo (viết tắt: Toán 11 CTST), có đáp án và lời giải chi tiết.
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC III GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I LÝ THUYẾT GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn n dần tới dương vô cực, un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = hay lim un = hay un → n → +∞ n →+∞ Ta nói dãy số ( ) có giới hạn hữu hạn a (hay dần tới a ) n → +∞, lim ( − a ) = n →+∞ Kí hiệu: lim = a hay → a n → +∞ n →+∞ Từ định nghĩa ta có kết sau: ⇔ lim un = ; hay lim = ; a) lim un = n →+∞ n→+∞ n →+∞ 1 1 = ; lim = ; = ; lim k = 0, ( k > 0, k ∈ * ) ; lim n →+∞ n n →+∞ n n →+∞ n →+∞ n n b) lim c) lim q n = q < ; n →+∞ d) Cho hai dãy số ( un ) ( ) Nếu un ≤ với n lim = lim un = n →+∞ n →+∞ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ a) Nếu lim un = a lim = b c số Khi ta có : lim ( un + ) =a + b • lim ( un − ) =a − b lim ( un v n ) = a.b • lim un a = , (b ≠ 0) b a lim un = a lim ( c.un ) = c.a • lim un = Nếu un ≥ với n a ≥ lim un = a un lim= wn a, ( a ∈ ) b) Cho ba dãy số ( un ) , ( ) ( wn ) Nếu un ≤ ≤ wn , ( ∀n ) lim= lim = a (gọi định lí kẹp) c) Điều kiện để dãy số tăng dãy số giảm có giới hạn hữu hạn: Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn Kỹ sử dụng máy tính Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Tính lim un nhập un ấn phím CALC n = 1010 n →∞ TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN Cấp số nhân vơ hạn ( un ) có cơng bội q , với q < gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 1− q GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ • Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn +∞ n → +∞ , un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: limun = +∞ hay un → +∞ n → +∞ • Dãy số ( un ) có giới hạn −∞ n → +∞ , lim( −un ) = +∞ Kí hiệu: limun = −∞ hay un → −∞ n → +∞ Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim( −un ) = −∞ Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận kết sau a) lim n k = +∞ với k nguyên dương; b) lim q n = +∞ q > Quy tắc tính giới hạn vơ cực a) Nếu lim un = a và limvn = ±∞ lim un =0 b) Nếu lim un= a 0 > , limvn = > 0, ∀n > lim un = +∞ c) Nếu lim un = +∞ lim vn= a > limun = +∞ Quy tắc tìm giới hạn tích lim ( u n v n ) Nếu lim u n = L, lim v n = +∞ (hay − ∞) Khi lim ( u n v n ) lim u n = L lim v n lim ( u n v n ) + + − − +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Quy tắc tìm giới hạn thương lim un lim u n lim v n Dấu v n L ±∞ 0 0 Tùy ý + − + − L>0 L 1) a) Nếu lim un = +∞ lim =0 un b) Nếu lim un = a, lim = ±∞ lim un =0 c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim = un a • lim = b lim b) Nếu un ≥ 0, ∀n lim un= a a ≥ lim lim n = +∞ ; Định lí: n→+∞ n→+∞ Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: un +∞ = −∞ neáu a.vn > neáu a.vn < d) Nếu lim un = +∞, lim = a un = a lim un = +∞ a > lim = a < −∞ * Khi tính giới hạn có dạng vơ d) Nếu lim un = a lim un = a định: c) Nếu un ≤ ,∀n lim = Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 + u1q + u1q2 + … = u1 1− q ( q < 1) ∞ , , ∞ – ∞, 0.∞ phải tìm cách khử ∞ dạng vô định Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Phương pháp giải: Để chứng minh lim un = ta chứng minh với số a > nhỏ tùy ý tồn số no cho un < a ∀n > no Câu 1: Câu 2: Câu 3: Chứng minh lim =0 n +1 sin n =0 n+2 ( −1)n Chứng minh lim n +1 − n +1 = DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN BẰNG CỦA DÃY SỐ Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn giới hạn đặc biệt để giải toán Chứng minh lim n +1 Tính lim un n+2 với un = (−0,97) n Tính lim un Câu 4: Cho dãy số ( un ) với un = Câu 5: Cho dãy số ( un ) Câu 6: Cho dãy số ( un ) với un = Câu 7: Cho dãy số ( un ) với u= n Câu 8: Cho dãy số ( un ) với un = n + 2sin(n + 1) Tính lim un n3 n + 23 n n + − n Tính lim un −2n3 + 3n + Tính lim un n + 4n + n ( −1) = n 25 n +1 Câu 9: Cho dãy số ( un ) với un Câu 10: ( −5) + 4n Tính lim u Cho dãy số ( un ) với un = n n +1 ( −7 ) + 4n+1 35 n + Tính lim un n Câu 11: Cho dãy số ( un ) với un = Câu 12: Cho dãy số ( un ) với un = Câu 13: Cho dãy số ( un ) với un = Câu 14: Cho dãy số ( un ) n + n2 + Tính lim un n.3n n + − n Tính lim un 4n + − 2n Tính lim un n + 4n + − n + + + + + n với un = Tính lim un (1 + + 32 + 33 + + 3n ) ( n + 1) Câu 15: Cho dãy số ( un= ) với un 1 Tính lim ( un − 1) + + ⋅⋅⋅ + +2 +3 n n + + (n + 1) n Câu 16: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn tìm lim un với un Sưu tầm biên soạn ( −1) = n 3n + Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 17: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn tìm lim un với un = n! n + 2n 2n n + Tính lim un n + n −3 2n − với un= Tính lim un ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 2n Câu 18: Cho dãy số ( un ) với un = Câu 19: Cho dãy số ( un ) n Câu 20: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn tìm lim un với un = + cos n3 2n + n + n2 + Tính lim un n.3n 1.3.5.7 ( 2n − 1) với un = Tính lim un 2.4.6 n u1 = xác định bởi: Tính lim ( un − ) un , n ∈ * ) n ( un +1 =+ Câu 21: Cho dãy số ( un ) với un = Câu 22: Cho dãy số ( un ) Câu 23: Cho dãy số ( un ) DẠNG TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ( un ) có un = P (n) (trong P ( n ) , Q ( n ) đa thức Q (n) n) Phương pháp giải: Chia tử mẫu cho n k với n k lũy thừa có số mũ cao P ( n ) , Q ( n ) , sau áp dụng định lí giới hạn hữu hạn Câu 24: lim un , với un = 5n + 3n − bằng: n2 Câu 25: Tính giới hạn lim −4n + n + 2n + n + n4 Câu 26: Tính giới hạn lim ( n + 1)( + n ) ( n2 + 1) 2 Câu 27: Tính giới hạn lim ( 2n + 1) − n + 2n n + 3n − DẠNG TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ( u n ) có un = P (n) (trong P ( n ) Q ( n ) biểu Q (n) thức chứa n Phương pháp giải Đánh giá bậc tử và mẫu Sau đó, chia tử mẫy cho n k với k số mũ lớn P ( n ) Q ( n ) (hoặc rút n k lũy thừa lớn P ( n ) Q ( n ) làm nhân tử Áp dụng định lí giới hạn để tìm giới hạn Câu 28: Tìm lim 2n + n +1 Câu 29: Tìm lim 2n + − n n Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 30: Tìm lim Câu 31: Tìm lim Câu 32: Tìm lim Câu 33: Tìm lim Câu 34: Tìm lim Câu 35: Tìm lim Câu 36: Tìm lim n3 + n 3n + 2n + − n + 4n − 4n + − 2n + n + 2n + 3n 4n − n + − n 9n + 3n 2n + − n + 2n − 3n + n + 4n + − 2n + n( n + − 2n) n − + 8n + n − 16n + 4n − n + DẠNG NHÂN VỚI MỘT LƯỢNG LIÊN HỢP Phương pháp giải Sử dụng công thức nhân liên hợp a − b2 − = a b a+b 2 • a − b = ( a + b )( a − b ) → a − b2 a + b = a −b • a − b3 a + b3 a − b =2 a + b = • a + ab + b a − ab + b = • a −b = • a +b ( ( 3 )( ) ( ) a − b a + a b + b = a + a b + b )( ) ( ) a + b a − a b + b = a − a b + b ( a − b ) a ( a + b ) a + a b + b 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( a) a + b3 − a b + b ( b) − a b + b a3 + b = a − a b + b a − a b + = • a+ b ( a) a − b3 + a b + b a3 − b = a + a b + b a + a b + = • a− b Sưu tầm biên soạn ( b) 2 Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC ( = • 3a−3b • a+3b Câu 39: Câu 40: Câu 41: Câu 42: Câu 43: ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) a + b a − a.3 b + b = 2 a − a.3 b + b 2 ( ) ( ) a a −b + a.3 b + ( ) b ( a) a+b − a.3 b + ( b) ( n + 3n + − n ) Tìm lim ( 9n + 3n − − 3n + ) Tìm lim ( n + 3n − n ) Tìm lim ( 8n + 4n + − 2n + 3) Tìm lim ( n + 4n − n ) Tìm lim ( 4n + 3n + − 8n + 5n + ) Tìm lim ( n + n + − n + ) Câu 37: Tìm lim Câu 38: ( )( ) ( ) a − b a + a.3 b + b = 2 a + a.3 b + b 2 3 3 2 n2 + n − n Câu 44: Tìm lim Câu 45: Tìm lim 4n + 3n − 2n 2n − 4n + n n + 4n − n ( Tìm lim ( ) Câu 46: Tìm lim 2n − 9n + n + n + 2n Câu 47: DẠNG un = ) n − 2n + n − 8n3 + n + n P (n) (trong P ( n ) Q ( n ) biểu thức chứa hàm mũ a n , b n , c n , Q (n) Phương pháp giải: Chia tử mẫu cho a n a số lớn Câu 48: Tìm lim − 2n + 2n Câu 49: Tìm lim 4n 2.3n + 4n Câu 50: Tìm lim 2n + 4n 4n − 3n 3.2n − 5n Câu 51: Tìm lim n 5.4 + 6.5n Câu 52: Tìm lim 3n − 2.5n + 3.5n Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 53: Tìm lim 4.3n + n +1 2.5n + n Câu 54: Tìm lim 4n + + 6n +1 5n −1 + 2.6n +3 Câu 55: Tìm lim 2n − 3n + 4.5n + 2n +1 + 3n + + 5n +1 Câu 56: Tìm lim 2n − 3n + 5n + 2n +1 + 3n + + 5n +1 2n + 3n − 4n +3 Câu 57: Tìm lim n n +1 n −1 −3 + Câu 58: Tìm lim (−2) n − 4.5n +1 2.4n + 3.5n Câu 59: Tìm lim (−2) n + 3n (−2) n +1 + 3n +1 Câu 60: Tìm lim ( 5) n 5.2 + n − 2n +1 + ( 5) n +1 −3 π n + 3n + 22 n 3π n − 3n + 22 n + π n +1 + 3n + 2n Câu 62: Tìm lim 5.π n − 4.3n + 2n + Câu 61: Tìm lim Câu 63: ( −1) Tìm lim n 25 n +1 35 n + 1 1 1 Câu 64: Tìm lim + + + + n 5 5 n +1 1 1 −1) ( Câu 65: Tìm lim + − + + + 2 4 2n 1 1 + + + + n Câu 66: Tìm lim 1 1 + + + + n + + 22 + 23 + + 2n + + 32 + 33 + + 3n DẠNG 7: Dãy số ( u n ) u n tổng tích n số hạng (hoặc n thừa số) Câu 67: Tìm lim Phương pháp: Rút gọn u n tìm lim u n theo định lí dùng nguyên lí định lí kẹp để suy lim u n Cho hai dãy số ( un ) ( ) Nếu un ≤ , ∀n ∈ * với lim = lim un = Cho dãy số ( xn ) , ( yn ) , ( zn ) số thực L Nếu xn ≤ yn ≤ zn lim = xn lim = zn L lim yn = L Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC 1 Câu 68: Tính giới hạn lim 1.3 + 3.5 + + ( 2n − 1)( 2n + 1) Câu 69: Tính giới hạn lim 1 − 1 − 1 − n 1 Câu 70: Tính giới hạn lim + + + 4n + 4n + n 4n + Câu 71: Tính giới hạn lim Câu 72: Tính giới hạn lim Câu 73: lim sin ( n !) n2 + ( −1) lim n ( n + 1) 1.3.5.7 ( 2n − 1) 2.4.6 ( 2n ) 3sin n − cos n 2n + n Câu 74: DẠNG un cho công thức truy hồi Phương pháp giải: Tìm cơng thức số hạng tổng qt un sử dụng phương pháp tính giới hạn dãy số u1 = Câu 75: Tìm lim un biết ( un ) : = un +1 = , n 1, 2,3, − un u1 = Câu 76: Tìm lim un biết ( un ) : un + , 1, 2,3, u n = = n +1 Câu 77: Tìm lim u1 1,= u2 = un biết ( un ) : n un + 2= 2un +1 − un + 1, n= 1, 2,3, Câu 78: Tìm lim u1 1,= u2 = un biết ( un ) : n u u u , n 1, 2,3, = + = 3.2 + + n n n Câu 79: Tìm lim un biết ( un ) u1 = có giới hạn hữu hạn ( un ) : 2un + = u = , n 1, 2,3, n + un + u1 = Câu 80: Tìm lim un biết ( un ) có giới hạn hữu hạn ( un ) : , 1, 2,3, u u n = + = n +1 n ( 2un + 1) Câu 81: Cho dãy số ( un ) xác định với n ≥ Biết dãy số ( un ) có = u1 1,= un +1 un + giới hạn hữu hạn, lim un bằng: Câu 82: Cho số thập phân vơ hạn tuần hồn a = 2,151515 (chu kỳ 15 ), a biểu diễn dạng phân số tối giản, m, n số nguyên dương Tìm tổng m + n Sưu tầm biên soạn Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 83: Số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,32111 biểu diễn dạng phân số tối giản a, b số ngun dương Tính a − b a , b DẠNG 9: GIỚI HẠN CỦA DÃY CHỨA ĐA THỨC HOẶC CĂN THEO n Phương pháp: Rút bậc lớn đa thức làm nhân tử chung ( Tử riêng, mẫu riêng) Câu 84: Gía trị lim ( n − 2n + 3) Câu 85: Giá trị lim ( −2n + 3n − 1) Câu 86: Giá trị lim ( −2n + ) ) ( Câu 87: Giá trị lim 2n − n + 2n − Câu 88: Giá trị lim Câu 89: Giá trị lim Câu 90: Giá trị lim ( 2n − 3n + n3 + ( 2n − 1) ( 3n + ) −2n + 4n − 3n − 2n + 3n − 4n − 3n + ) Câu 91: lim n − n 4n + Câu 92: Cho dãy số ( u n ) xác định u1 = , u = , u n +1 = 2u n − u n −1 + với n ≥ Tìm giới hạn dãy số ( u n ) DẠNG 10: GIỚI HẠN CỦA DÃY CHỨA LŨY THỪA BẬC n Phương pháp: Rút số lớn đa thức làm nhân tử chung ( Tử riêng, mẫu riêng ) Câu 93: lim ( 5n − 2n ) Câu 94: lim ( 3.2n +1 − 5.3n + n ) Câu 95: Giá trị lim 9n − 3.4n 6.7 n + 8n Câu 96: Giá trị lim + 32 + 33 + + 3n + + 22 + + 2n BÀI TẬP TỰ LUẬN TỔNG HỢP Câu 97: Tìm giới hạn sau lim 2n − 2n + − 4n Câu 98: Tìm giới hạn sau lim n + 2n + n2 + Câu 99: Tìm giới hạn sau lim 3n +1 − 4n 4n −1 + Sưu tầm biên soạn Page 10 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC A y = 3x − x −3 B y = x +1 x+2 C y = 5x + x−4 Lời giải D y = x −1 x +1 có tập xác định \ {−2} nên liên tục khoảng ( −∞; −2 ) x+2 ( −2; +∞ ) Vậy hàm số liên tục khoảng ( 0;5) Hàm số y = Câu 83: Hàm số liên tục ? A y= x + cos x B y= x − tan x C y = + cot x D y = cos x D y = x x +1 Lời giải Hàm số y= x + cos x có tập xác định nên liên tục Câu 84: Hàm số hàm số không liên tục ? x A y = x + x + 20 B y = cos x C y = x +x+2 Lời giải Hàm số y = x không xác định điểm x = −1 nên không liên tục điểm x +1 Câu 85: Trong hàm số sau, hàm số liên tục ? A = y x3 − x B y = cot x C y = Lời giải Vì = y x − x đa thức nên liên tục 2x −1 x −1 D.= y x2 −1 Câu 86: Cho bốn hàm số f1 ( x ) = x3 − x + , f ( x ) = có hàm số liên tục tập ? A B 3x + , f3= ( x ) cos x + f ( x ) = log3 x Hỏi x−2 C D Lời giải * Ta có hai hàm số f ( x ) = 3x + f ( x ) = log x có tập xác định khơng phải tập nên x−2 không thỏa yêu cầu * Cả hai hàm số f1 ( x ) = x3 − x + f3= ( x ) cos x + có tập xác định đồng thời liên tục Câu 87: Trong hàm số sau, hàm số liên tục ? A f = ( x ) tan x + B f ( x ) = x2 + 5− x C f ( x= ) Lời giải x−6 D f ( x ) = x+5 x2 + Page 27 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Hàm số f ( x ) = liên tục x+5 x+5 hàm phân thức hữu tỉ có TXĐ D = hàm số f ( x ) = 2 x +4 x +4 − x + x + x ≥ Câu 88: Cho hàm số y = Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: x < 5 x + A Hàm số liên tục x0 = B Hàm số liên tục C Hàm số liên tục khoảng ( −∞; ) , ( 2; + ∞ ) D Hàm số gián đoạn x0 = Lời giải + Với x > , ta có f ( x ) =− x + x + hàm đa thức ⇒ hàm số f ( x ) liên tục khoảng ( 2; + ∞ ) + Với x < , ta có f ( x= ) x + hàm đa thức ⇒ hàm số f ( x ) liên tục khoảng ( −∞; ) + Tại x = lim+ f ( x= ) lim+ ( − x + x + 3=) x→2 x→2 lim− f = ) 12 ( x ) lim− ( x += x→2 x→2 ⇒ lim+ f ( x ) ≠ lim− f ( x ) ⇒ không tồn lim f ( x ) ⇒ hàm số gián đoạn x0 = x→2 x→2 x→2 ⇒ Hàm số không liên tục Câu 89: Hàm số sau liên tục ? A f ( x ) = x B f ( x= ) x4 − 4x2 C f ( x ) = x4 − x2 x4 − 4x2 D f ( x ) = x +1 x +1 Lời giải Vì hàm số f ( x= ) x − x có dạng đa thức với TXĐ: D = nên hàm số liên tục Câu 90: Hàm số hàm số không liên tục ? x A y = x B y = C y = sin x x +1 D y = x x +1 Lời giải Tập xác định hàm số y = x \ {1} x +1 Hàm số liên tục khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) nên hàm số không liên tục Page 28 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC sin x neu cos x ≥ Câu 91: Cho hàm số f ( x ) = Hỏi hàm số f có tất điểm gián đoạn 1 + cos x neu cos x < khoảng ( 0; 2018 ) ? B 1009 A 2018 C 642 Lời giải D 321 Vì f hàm lượng giác nên hàm số f gián đoạn hàm số f gián đoạn x làm cho cos x = ⇔ x = π + kπ ( k ∈ ) ∈ ( 0; 2018 ) ⇔ < 2018 ⇔− 18 ( m tham số) Tìm giá trị m để hàm số liên tục C 18 D Lời giải Khi x < = f ( x) 2mx − hàm sơ cấp nên liên tục ( −∞;3) Khi x > f ( x) = hàm nên liên tục ( +∞;3) Vậy hàm số f ( x) liên tục hàm số f ( x) liên tục x = hay f (3) ⇔ lim− f ( x) = f (3) lim f ( x) = lim+ f ( x) = x →3 x →3 x →3 ⇔ lim− ( 2mx − )= lim+ 5= 18m − x →3 x →3 Page 29 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC ⇔ m= ⇔ 18m − = ax + bx − x ≤ Câu 94: Biết hàm số f ( x ) = liên tục R Tìm giá trị biểu thức P= a − 3b x > 2ax − 2b A P = −4 B P = C P = D P = −5 Lời giải Ta có lim− ( ax + bx − ) = a + b − x →1 lim ( 2ax − 2b ) =2a − 2b x →1+ Để hàm số liên tục R hàm số liên tục điểm x = ⇔ lim− f ( x ) =lim+ f ( x ) ⇔ a + b − =2a − 2b ⇔ a − 3b =−4 x →1 x →1 x3 − x + , x ≠ vµ x ≠ x − x + Câu 95: = Biết hàm số f ( x ) = liên tục R Tính = P a + b2 2a, x b − 3, x = A P = 68 B P = 45 C P = 41 D P = 10 Lời giải Khi x ≠ vµ x ≠ hàm số f ( x) = x3 − x + x − 3x + liên tục tập xác định Xét = x 1,= x 2: Ta có: lim f ( x ) = lim x→1 x x→1 lim f ( x ) = lim x →2 x3 − x + x →2 − 3x + x3 − x + x − 3x + + 3) ( x − 1)( x − )( x = x→1 ( x − 1)( x − ) = lim + 3) ( x − 1)( x − )( x= x →2 ( x − 1)( x − ) = lim lim ( x + 3) = x→1 lim ( x + 3) = x →2 f (1) = 2a; f ( )= b − lim = f (1) a = 2a = x→1 ⇔ ⇒ Để hàm số liên tục R = f ( 2) b = b − = xlim →2 Vậy P = 22 + 82 = 68 x − x −1 ,x ≠1 Câu 96: Tìm m để hàm số y = x − liên tục mx + ,x = Page 30 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC 3 A m = − C m = B m = − +) Xét x ≠ , hàm số y = Lời giải D m = 3 x − x −1 liên tục khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) x −1 +) Xét x = , ta có y (1= ) m + 2 x − x −1 lim y =lim =lim x →1 x →1 x →1 x −1 ( ) x − − ( x − 1) x −1 =lim x →1 − = − =− 3 x2 + x + 1 Đề hàm số liên tục x = lim y =y (1) ⇔ m + =− ⇔ m =− x →1 3 Vậy với m = − hàm số liên tục 4x − Câu 97: Cho hàm số f ( x) = x − ax + A a = −1 , x≠2 Xác định a để hàm số liên tục , x= B a = C a = Lời giải D a = − Tập xác định hàm số D = Nếu x ≠ , ta có f ( x ) = ( −∞; ) ( 2; + ∞ ) 3 4x − 4x − Hàm số f ( x ) = xác định liên tục khoảng x−2 x−2 Tại x = , ta có: f ( 2= ) 2a + Page 31 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC lim f ( x ) = lim x→2 x→2 ( 4x − x−2 )( ) ( ) x − x + x + 4 = lim x→2 ( x − ) x + x + 4 = lim x→2 ( x − 2) ( x − ) ( x ) = lim x→2 = ( 4x ) + x + 4 + 4x + 4 Hàm số liên tục x = lim f ( x ) =f ( ) ⇔ 2a + = ⇔ a =− x→2 3 Vậy hàm số liên tục a = − x2 −1 x ≠ Câu 98: Cho hàm số f ( x ) = x − Tìm m để hàm số f ( x ) liên tục m − x = A m = B m = C m = D m = −4 Lời giải x −1 Do lim f ( = = lim ( x += x ) lim 1) nên hàm số liên tục x = x →1 x →1 x − x →1 lim f ( x ) = f (1) ⇔ m − = ⇔ m = Khi hàm số liên tục x →1 x + x − = y f= Câu 99: Tìm m để hàm số ( x) 5 x − 5m + m m 2;= m A.= x ≥ x < −2; m = −3 B m = liên tục ? m 1;= m C = −1; m = −6 D m = Lời giải TXĐ: + Xét ( 2; + ∞ ) f ( x ) =x + x − ( ) x0 + x0 − =f ( x0 ) ⇒ hàm số liên tục ( 2; + ∞ ) ∀x0 ∈ ( 2; + ∞ ) : lim x0 + x0 − = x → x0 + Xét ( −∞; ) f ( x ) = x − 5m + m hàm đa thức liên tục ⇒ hàm số liên tục ( −∞; ) + Xét x0 = , ta có: f ( ) = Page 32 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC ( ) lim f ( x ) = lim+ x + x − = 4; lim− f ( x ) = lim− ( x − 5m + m ) = m − 5m + 10 x → 2+ x→2 x→2 x→2 Để hàm số cho liên tục phải liên tục x0 = m = ⇔ lim+ f ( x ) =lim− f ( x ) =f ( ) ⇔ m − 5m + 10 =4 ⇔ m − 5m + =0 ⇔ x→2 x→2 m = x + a − x ≤ Câu 100: Cho hàm số f ( x ) = + x − Tìm tất giá trị thực a để hàm số cho liên x > x tục A a = B a = C a = D a = Lời giải Hàm số liên tục điểm x ≠ với a Với x = Ta có f ( )= a − 1; lim f ( x ) = lim− ( x + a − 1) = a − ; x → 0− x →0 1+ 2x −1 2x lim f ( x ) lim 1; = = lim+ = lim = + x → 0+ x → 0+ x x → → x 1+ 2x +1 x 1+ 2x +1 ( ) Hàm số liên tục hàm số liên tục x = ⇔ a − = ⇔ a = x3 − 3x + x x ( x − ) ≠ x x−2 ) ( = a x liên tục Tính T= a + b Câu 101: Cho biết hàm số f ( x ) = b x=2 A T = B T = 122 C T = 101 D T = 145 Lời giải Vì hàm số f ( x ) liên tục suy hàm số liên tục x = x = Do x ( x − 1)( x − ) ( x − 1)( x − ) = x3 − 3x + x lim f ( x ) lim = = lim= f ( ) ⇔ lim a ⇔a= −1 x →0 x →0 x →0 x →0 x ( x − 2) x ( x − 2) x−2 x ( x − 1) x ( x − 1)( x − ) x3 − 3x + x lim f ( x ) lim = = lim= f ( ) ⇔ lim = b ⇔ b = x→2 x→2 x→2 x→2 x ( x − 2) x ( x − 2) x Vậy T = a + b = + = m x x ≤ Câu 102: Có giá trị thực tham số m để hàm số f ( x ) = liên tục (1 − m ) x x > ? A B C D Lời giải Ta có hàm số ln liên tục ∀x ≠ Page 33 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC lim− (1 − m ) x =− Tại x = , ta có lim+ f ( x ) = (1 m ) ; x →2 x →2 = lim− f ( x ) lim = ( m x ) 4m ; f ( ) = 4m − x →2 x →2 Hàm số liên tục x = lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( ) ⇔ 4m = (1 − m ) ⇔ 4m + 2m − = (1) x →2+ x →2 Phương trình ln có hai nghiệm thực phân biệt Vậy có hai giá trị m x − m x ≥ Câu 103: Cho hàm số f ( x ) = Tìm tất giá trị m để f ( x ) liên tục mx + x < A m = B m = C m = −1 D m = −2 Lời giải Hàm số f ( x ) liên tục ⇔ f ( x ) liên tục x = lim f ( x ) = lim+ x → 0+ x →0 ( ) x −m = −m ; lim− f= + 1) ; f ( ) = −m ( x ) lim− ( mx= x →0 x →0 f ( x ) liên tục x = ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( ) ⇔ − m = ⇔ m = −1 x →0 x →0 x2 − x + x > Câu 104: Tìm P để hàm số y = x − liên tục x ≤ 6 Px − 1 A P = B P = C P = 6 Lời giải D P = Hàm số y = f ( x ) liên tục ⇒ y = f ( x ) liên tục x = ⇒ lim = f ( x ) lim = f ( x ) f (1) + − x →1 x →1 x2 − x + = −2 lim f ( x ) = lim lim ( x − 3) = x →1+ x →1+ x →1+ x −1 lim f ( x ) = lim− ( Px − 3) = P − x →1− x →1 f (1= ) 6P − Do lim = f ( x ) lim = f ( x ) f (1) ⇔ P − =−2 ⇔ P = x →1+ x →1− ax + b + 1, x > Câu 105: Hàm số f ( x) = liên tục a cos x + b sin x, x ≤ A a − b = B a − b =−1 C a + b = D a + b = 1 Lời giải Page 34 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Khi x < = f ( x ) a cos x + b sin x liên tục với x < Khi x > f ( x ) = ax + b + liên tục với x > Tại x = ta có f ( ) = a lim f= ( x ) lim+ ( ax + b + 1)= b + x → 0+ x →0 = lim− f ( x ) lim− ( a cos x + b sin x ) = a x →0 x →0 Để hàm số liên tục x = lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( ) ⇔ a = b + ⇔ a − b = x →0 x →0 3 x + x ≥ −1 Câu 106: Cho hàm số y = , m tham số Tìm m để hàm số liên tục x + m x < −1 B m = −1 C m = D m = −3 A m = Lời giải Ta có hàm số liên tục khoảng ( −∞; − 1) ( −1; + ∞ ) Xét tính liên tục hàm số x = −1 Có y ( −1) =−2 =lim+ y lim− y =−1 + m x →−1 x →−1 Để hàm số liên tục y ( −1) = lim+ y = lim− y ⇔ −2 = −1 + m ⇔ m = −1 x →−1 x →−1 x +1 −1 x > liên tục Câu 107: Tìm tất giá trị thực m để hàm số f ( x) = x x + − m x ≤ A m = B m = C m = −2 D m = − 2 Lời giải Khi x > ta có: f ( x) = x +1 −1 liên tục khoảng ( 0; +∞ ) x Khi x < ta có: f ( x= ) x + − m liên tục khoảng ( −∞;0 ) Hàm số liên tục hàm số liên tục x = x +1 −1 1 Ta có: = = = lim+ f ( x) lim lim + + x →0 x →0 x →0 x x +1 +1 lim f ( x) = lim− x → 0− x →0 ( ) x2 + − m = − m = f ( 0) Do hàm số liên tục x = 1 =1 − m ⇔ m = 2 x + 16 − x ≠ Câu 108: Cho hàm số Tập giá trị a để hàm số cho liên = y f= ( x ) x − a x = tục là: Page 35 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC 2 A 5 1 B 5 C {0} 3 D 5 Lời giải: Tập xác định D = Khi x ≠ f ( x ) = x + 16 − xác định liên tục khoảng ( −∞;3) ( 3; +∞ ) x −3 Khi x = f ( 3) = a lim f ( x ) = lim x →3 x →3 x+3 x + 16 − = lim = x →3 x −3 x + 16 + 5 Hàm số cho liên tục liên tục điểm x = ⇔ a = x − 16 Câu 109: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số f ( x ) = x − mx + 7 A m = m = − B m = 4 7 C m = − D m = −8 m = 4 x > liên tục x ≤ Lời giải *) Với x > f ( x ) = tục ( 4; +∞ ) x − 16 hàm phân thức nên liên tục TXĐ ⇒ f ( x ) liên x−4 *) Với x < f ( x= ) mx + hàm đa thức nên liên tục ⇒ f ( x ) liên tục ( −∞; ) Do hàm số f ( x ) liên tục khoảng ( 4; +∞ ) , ( −∞; ) Suy ra: Hàm số f ( x ) liên tục ⇔ f ( x ) liên tục x = ⇔ lim+ f ( x )= lim− f ( x )= f ( ) ⇔ lim+ x→4 x→4 ⇔ 4m + = ⇔ m = x→4 x − 16 = lim− ( mx + 1)= 4m + ⇔ lim+ ( x + )= 4m + x→4 x→4 x−4 x + ax + b x < −5 − ≤ x ≤ 10 liên tục a + b Câu 110: Nếu hàm số f ( x ) = x + 17 ax + b + 10 x > 10 A −1 B C Lời giải D Page 36 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Với x < −5 ta có f ( x ) = x + ax + b , hàm đa thức nên liên tục ( −∞; −5 ) Với −5 < x < 10 ta có f ( x )= x + , hàm đa thức nên liên tục ( −5;10 ) Với x > 10 ta có f ( x ) = ax + b + 10 , hàm đa thức nên liên tục (10; +∞ ) Để hàm số liên tục hàm số phải liên tục x = −5 x = 10 Ta có: f ( −5 ) = 12 ; f (10 ) = 17 lim f = ( x) x →−5− lim f ( x= ) x →−5+ lim f ( x= ) x →10− lim f ( x )= x →10+ lim ( x + ax + b ) =−5a + b + 25 x →−5− lim ( x + 17= ) 12 x →−5+ lim ( x + 17= ) 27 x →10− lim ( ax + b + 10 )= 10a + b + 10 x →10+ Hàm số liên tục x = −5 x = 10 12 5a + b + 25 = a = −5a + b =−13 ⇔ ⇔ ⇒ a + b =−1 27 17 10a + b + 10 = b = −3 10a + b = DẠNG CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM Câu 111: Cho hàm số f ( x ) = x − x − x + 14 x + x − 10 Số nghiệm phương trình f ( x ) = là: A B C Lời giải D Hàm số f ( x ) = x − x − x + 14 x + x − 10 hàm đa thức có tập xác định nên liên tục 3 Do hàm số liên tục khoảng −2; − , 2 f Ta có: f f f − ;0 , ( 0;1) , (1; ) , ( 2;5 ) ( −2 ) =−26 3 37 ⇒ f ( −2 ) f − < Suy phương trình có nghiệm thuộc − = 32 3 −2; − 2 37 − = 3 32 ⇒ f − f ( ) < Suy phương trình có nghiệm thuộc − ;0 2 ( ) = −10 Page 37 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC f ( ) = −10 ⇒ f ( ) f (1) < Suy phương trình có nghiệm thuộc ( 0;1) f (1) = f (1) = ⇒ f (1) f ( ) < Suy phương trình có nghiệm thuộc (1; ) f ( ) = −10 f ( ) = −10 ⇒ f ( ) f ( ) < Suy phương trình có nghiệm thuộc ( 2;5 ) f ( ) = 485 Như phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( −2;5 ) Tuy nhiên f ( x ) = phương trình bậc có nhiều nghiệm Vậy phương trình f ( x ) = có nghiệm (1) Chọn khẳng định khẳng định sau? Câu 112: Cho phương trình x − x + = A Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng ( −2;3) B Phương trình (1) có nghiệm khoảng ( −2;3) C Phương trình (1) vơ nghiệm D Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng ( −2;0 ) Lời giải Ta có hàm số f ( x ) = x3 − x + = liên tục Suy hàm số liên [ −2;3] −18 f ( −2 ) = Ta có: ⇒ f ( x) = có nghiệm thuộc ( −2;0 ) f ( ) = f ( ) = ⇒ f ( x) = có nghiệm thuộc ( 0; ) f ( ) = −2 Do phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng ( −2;3) Câu 113: Cho phương trình x − x + x + =0 (1) Chọn khẳng định khẳng định sau A Phương trình (1) có nghiệm khoảng ( −2;1) B Phương trình (1) vơ nghiệm C Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng ( 0; ) D Phương trình (1) vơ nghiệm khoảng ( −1;1) Lời giải Page 38 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC f (0) = Vì ta có: f (1) = −1 f (2) = 15 Câu 114: Phương trình có nghiệm khoảng ( 0;1) A x − x + = B ( x − 1) − x − = C x − x + = D x 2017 − x + = Lời giải Xét hàm số f ( x= ) 3x 2017 − x + Hàm số liên tục đoạn [ 0;1] f ( ) f (1= ) ( −1) = −4 ⇒ f ( ) f (1) < có nghiệm khoảng ( 0;1) Vậy phương trình x 2017 − x + = (1) Mệnh đề đúng? Câu 115: Cho phương trình x + x − x − = A Phương trình (1) vơ nghiệm khoảng ( −1;1) B Phương trình (1) có nghiệm khoảng ( −1;1) C Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng ( −1;1) D Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng ( −1;1) Lời giải Xét f ( x )= x + x − x − 3= khoảng [ −1;1] Ta có f ( x ) liên tục đoạn [ −1;1] f ( −1) = , f ( ) = −3 , f (1) = ⇒ f ( −1) f ( ) < , f (1) f ( ) < Như phương trình f ( x ) = có hai nghiệm khoảng ( −1;1) Mặt khác f ′ ( x ) = x3 + x − Ta có f ′ ( −1) = −11 , f ′ (1) = ⇒ f ′ ( −1) f ′ (1) < Do phương trình f ′ ( x ) = có nghiệm khoảng ( −1;1) f ′′ ( x= ) 18 x + > với ∀x ∈ ( −1;1) nên f ′ ( x ) hàm số đồng biến khoảng ( −1;1) ⇒ phương trình f ′ ( x ) = có nghiệm khoảng ( −1;1) Do f ( x ) = có tối đa hai nghiệm khoảng ( −1;1) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm khoảng ( −1;1) có nghiệm thuộc khoảng sau đây? Câu 116: Phương trình x5 + x3 + 10 = B ( −10; −2 ) A ( −2; −1) Đặt f ( x ) = x + x + 10 C ( 0;1) D ( −1;0 ) Lời giải f ( x ) liên tục nên f ( x ) liên tục [ −2; −1] (1) Page 39 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC −126 f ( −2 ) = Ta có: f ( −1) = Suy f ( −2 ) f ( −1) = −126.2 = −252 < ( ) Từ (1) ( ) suy f ( x ) = có nghiệm thuộc khoảng ( −2; −1) Câu 117: Cho phương trình x − x − =0 (1) Khẳng định sai? A Phương trình khơng có nghiệm lớn B Phương trình có nghiệm phân biệt C Phương trình có nghiệm lớn D Phương trình có nghiệm khoảng ( −5; −1) Lời giải Hàm số f ( x ) = x − x − liên tục Do f ( −5 ) = −211, f ( −1) = > 0, f ( ) =−1 < 0, f ( 3= ) 29 > nên phương trình có nghiệm ( −5; −1) , ( −1; ) , ( 2;3) Mà phương trình bậc ba có tối đa nghiệm nên phương trình có nghiệm Do C sai Câu 118: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] thỏa mãn f ( a ) = b , f ( b ) = a với a, b > , a ≠ b Khi phương trình sau có nghiệm khoảng ( a; b ) A f ( x ) = B f ( x ) = x C f ( x ) = − x D f ( x ) = a Lời giải Hàm = số y f ( x ) − x liên tục đoạn [ a; b ] − (a − b) < f ( a ) − a f ( b ) − b = ( b − a )( a − b ) = Suy ra: phương trình f ( x ) = x có nghiệm khoảng ( a; b ) −8 + 4a − 2b + c > Câu 119: Cho số thực a , b , c thỏa mãn Số giao điểm đồ thị hàm số 8 + 4a + 2b + c < y = x3 + ax + bx + c trục Ox A B C Lời giải D f ( ) = + 4a + 2b + c < Đặt f ( x ) = x3 + ax + bx + c Khi f ( −2 ) =−8 + 4a − 2b + c > f ( x ) hàm đa thức liên tục f ( ) < ⇒ f ( −2 ) f ( ) < ⇒ đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Ox điểm f ( −2 ) > khoảng ( −2; ) f ( ) < ⇒ đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Ox điểm khoảng f ( x ) = +∞ xlim →+∞ ( 2; + ∞ ) Page 40 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC f ( −2 ) > ⇒ đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Ox điểm khoảng f ( x ) = −∞ xlim →−∞ ( −∞ ; − ) Mà hàm số f ( x ) hàm bậc ba nên đồ thị cắt trục Ox tối đa điểm Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục Ox điểm a + c > b + Câu 120: Cho số thực a , b , c thỏa mãn Tìm số giao điểm đồ thị hàm số a + b + c + < y = x3 + ax + bx + c trục Ox B A C Lời giải D Vì hàm số cho hàm đa thức bậc ba nên đồ thị hàm số liên tục số giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox nhiều Theo đề ta có lim y = −∞ , lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ y ( −1) = a + c − b − > , y (1) = a + b + c + < , Do hàm số cho có nghiệm khoảng ( −∞; −1) , ( −1;1) , (1; +∞ ) Từ suy số giao điểm cần tìm Page 41 Sưu tầm biên soạn