Bai giang gioi han va ham so lien tuc toan 11 ctst

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CS 1: Trung tâm MASTER EDUCATION- 25 THẠCH HÃN CS 2: Trung Tâm 133 Xuân 68 CS 3: Trung tâm 168 Mai Thúc Loan CS4: Trung Tâm THPT Nguyễn Trường Tộ GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ (Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời)  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com MỤC LỤC Chương 3: GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC .3 Bài Giới hạn dãy số A TÓM TẮT LÝ THUYẾT .3 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Giới hạn hữu tỉ .4 Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Dạng Dãy số chứa thức Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Dạng Tính giới hạn dãy số chứa hàm mũ .7 Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Dạng Tổng cấp số nhân lùi vô hạn .9 Phương pháp GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Các ví dụ rèn luyện kĩ Dạng 5: Phương pháp sai phân quy nạp tính giới hạn 10 Phương pháp 10 Các ví dụ rèn luyện kĩ 12 C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 14 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 17 BÀI GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 41 A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 41 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 43 Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn 43 Phương pháp 43 Các ví dụ rèn luyện kĩ 43 Dạng Giới hạn vô cực 44 Phương pháp 44 Các ví dụ rèn luyện kĩ 45 Dạng giới hạn bên 47 Phương pháp 47 Các ví dụ rèn luyện kĩ 47 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Dạng Dạng vô định  WEB: Toanthaycu.com 49 Phương pháp 49 Các ví dụ rèn luyện kĩ 49 Dạng Dạng vô định  56  Phương pháp 56 Các ví dụ rèn luyện kĩ 56 Dạng Dạng vô định  , 0. .60 Phương pháp 60 Các ví dụ rèn luyện kĩ 61 C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA .63 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 65 BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC 85 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT .85 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP .86 Dạng 1: Hàm số liên tục điểm 86 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Phương pháp 86 Các ví dụ rèn luyện kĩ 86 Dạng Hàm số liên tục tập xác định 88 Phương pháp 88 Các ví dụ rèn luyện kĩ 89 Dạng Số nghiệm phương trình khoảng 90 Phương pháp 90 Các ví dụ rèn luyện kĩ 90 C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 93 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 95 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III 107 PHẦN 1: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 107 BÀI TẬP TỰ LUẬN 108 BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG 113 PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM 113 PHẦN 2: TỰ LUẬN 131 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Chương 3: GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài Giới hạn dãy số A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Giới hạn hữu hạn dãy số Giới hạn dãy số Dãy số  un  có giới hạn n dần tới dương vô cực, un nhỏ số dương cho trước, kể từ số hạng trở đi, kí hiệu lim u n  hay un  n   Ta viết n  lim u n  Ta thừa nhận số giới hạn sau đây:    , với k nguyên dương nk lim q n  , với q số thực thỏa mãn q  lim Giới hạn hữu hạn dãy số Dãy số  un  có giới hạn hữu hạn số a ( hay un dần tới a ) n dần tiến tới dương vô cực, lim  un  a   Khi đó, ta viết lim un  a hay lim un  a hay un  a n   n  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Chú ý: Nếu un  c ( c số) lim un  lim c  c Các phép toán giới hạn hữu hạn dãy số Cho lim un  a,lim = b c số Khi đó: lim  un    a  b lim  un    a  b lim  c.un   c.a lim  un   a.b lim un a  b  0 b Nếu un  0, n  thì a  lim un  a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vơ hạn  un  có cơng bội q thỏa mãn q  gọi cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S  u1  u2   un   u1 1 q Giới hạn vô cực Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Ta nói dãy số  un  có giới hạn un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở đi, kí hiệu lim un   hay un   n  + Ta nói dãy số  un  có giới hạn  n   lim  un    , kí hiệu lim un   hay un   n  + Chú ý: Ta có kết sau: a) lim un   lim  un    ; b Nếu lim un   lim un   lim 0; un c) Nếu lim un  un  với n lim   un Nhận xét: a) lim nk    k  , k  1 ; b) lim q n    q  1 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Dạng Giới hạn hữu tỉ Phương pháp Để tính giới hạn dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức mẫu thức cho luỹ cao n k , với k bậc cao mẫu, áp dụng quy tắc tinh giới hạn Chú ý : Cho P n, Q n đa thức bậc m, k theo biến n: P  x  am n m  am1n m1    a1n  a0 am   0 Q n  bk n k  bk 1n k 1    b1n  b0 bk   0 Khi lim P n  Q n   lim am n m bk n k , viết tắt P n Q n   am n m bk n k , ta có trường hợp sau : Nếu « bậc tử »  « bậc mẫu ( m  k ) lim Nếu « bậc tử »  « bậc mẫu ( m  k ) lim Nếu « bậc tử »  « bậc mẫu ( m  k ) lim P n Q n P  n Q n   am bk P  n   am bk    Q  n    am bk  Để ý P n, Q n có chứa « » ta tính bậc Cụ thể m nk tì có bậc k n Ví dụ n có bậc , n có bậc , Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Trong sau ta dùng dấu hiệu để kết cách nhanh chóng ! Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Tính lim 3n3  5n2  2n3  6n2  4n  Giải  3n  5n  n n3 lim  lim  2n  6n  4n  2   n n n3 3 Ví dụ 2: Tính lim n  2n n  3n 1 Lời giải Ta có  n  2n n   lim  lim n n  3n 1 1  n n Giải nhanh : Dạng « bậc tử »  « bậc mẫu » nên kết Ví dụ 3: Tính lim n7  n n3  3n 1 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Lời giải lim n7  n2 n7   n   n3  3n 1 n3 Ví dụ 4: Cho dãy số un  với un  2n  b 5n  b tham số thực Để dãy số un  có giới hạn hữu hạn, giá trị b bào nhiêu Lời giải Ta có b 2 2n  b n   b    lim un  lim  lim 5n  5 n Giải nhanh : 2n  b 2n   5n  5n Ví dụ 5: Cho dãy số un  với un  với b   4n  n  Để dãy số cho có giới hạn , giá trị a an  Lời giải 4n  n  2  lim un  lim  lim an  Giải nhanh :  4  n n  a   0  a  a a n 4n  n  4n    a  an2  an a Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Ví dụ 6: Tính giới hạn L  lim  WEB: Toanthaycu.com n  2n 2n  14n  5 n  3n 13n  7 Lời giải      1  2     n  2n2n3 14n  5 1.2.4 n n n L  lim  lim      1.3 n  3n 13n  7 1  3    Giải nhanh: n  n n  n  2n2n3  14n  5 n 2n3 4n   n 3n n  3n 13n  7 Dạng Dãy số chứa thức Phương pháp Nếu biểu thức chứa thức cần nhân lượng liên hiệp để đưa dạng  AB lượng liên hiệp là: A  B A B lượng liên hiệp là: A  B A  B lượng liên hiệp là: A  B 3 A B lượng liên hiệp là:  A  B3 A  B2    3  2 A B lượng liên hiệp là:  A  B A  B    Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Tính lim  n2   n    GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  Giải n   n2  lim  n   n    lim  lim 0 2 2   n 7  n 5 n 7 n 5 Ví dụ Tính lim  n2  n   n Lời giải n2  n 1  n  n2  n    nhân lượng liên hợp : lim  1 n n  n   n  lim  lim  2 1 n  n 1  n 1   n n Giải nhanh : Ví dụ Tính lim  n2  n 1  n  n  n3  n 1  n   n  n  n 1  n  n  n n  Lời giải n2  n3  n  n3  n    nhân lượng liên hợp : Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO lim   n2 n  n3  n  lim Giải nhanh : 3 n  n   WEB: Toanthaycu.com  lim  n n  n3  n    1  1   n  n n2 n  n3  n  n n   n n n n 3  n2  n  n n  n 3 Ví dụ Tính lim  n  n   n    Lời giải n   n 1  n  n lim n    n   n  lim Giải nhanh : n   n  n    nhân n n 1  n  n 1  n  lượng liên hợp :  lim 1 n n 1  n 1 n   n  n n Dạng Tính giới hạn dãy số chứa hàm mũ Phương pháp Trong tính giới hạn lim un mà un ; hàm số mũ chia tử mẫu cho a n với a số GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 lớn Sau sử dụng công thức: lim q n  với q  Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tính lim 3n  2.5n 1 n 1  5n Lời giải Giải nhanh : 3n  2.5n 1 2.5n1 ~  10 2n 1  5n 5n n Cụ thể : lim 3n  2.5n1 n 1  5n 3    10  lim   n  10 2    5 3n  4.2n 1  Ví dụ 2: Tính lim 3.2n  n Lời giải n 3n  4.2 n 1  3n   Giải nhanh : ~ n      3.2 n  4n 4 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO n  WEB: Toanthaycu.com n n 3 1 1       n n 1    4.2  2     Cụ thể : lim  lim   n n n 3.2  1    2  1 lim Ví dụ 3: Tính n 5n 1 35n  Hướng dẫn giải Cách 1: Giải tự luận Ta có:  1 lim n 5n 1 n 22  lim  1    93 n 35n2 Cách 2: Mẹo giải nhanh  1 n 25n 1 35n 2 2   1   3 n Ví dụ 4: Tính lim 5n  3n  4.2n1  3.2n  4n Hướng dẫn giải Cách 1: Giải tự luận n n Suy lim 3n  4.2n 1  n 3.2  n  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 3 2    4.2    n n 1  4.2    n (chia tử mẫu cho n ) 4 Ta có:  n n n 3.2  2    4  Cách 2: Mẹo giải nhanh 3n  4.2n 1  3.2n  4n 3n n 3      n 4 Ví dụ 5: Có giá trị nguyên a thuộc 0;20 cho lim  an  1   n 2n số nguyên Lời giải Ta có    a  an 1  n  lim  lim a    n2 an 1    lim     a  n   n 2n  n         lim  lim     2n    a  0;20 , a   Ta có     a 3     a  1;6;13 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Dạng Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân vô hạn có cơng bội q   Tổng số hạng cấp số nhân lùi vô hạn (un) S  u1  u2   un   u1 1 q  Mọi số thập phân biểu diễn dạng luỹ thừa 10 a1 X  N,a1a2 a3 an  N   a2 10 102  a3 103   an 10n  Các ví dụ rèn luyện kĩ  1 1 Ví dụ 1: Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn 1,  , ,  , ,     2 n 1 , Lời giải Theo đề cho ta có: u1  1, q   S u1 1 q   1 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Ví dụ 2: Cho số thập phân vơ hạn tuần hồn a  0,212121 (chu kỳ 21) Tìm a dạng phân số Lời giải Cách 1: Giải tự luận Ta có: a  0,212121  0,21  0,0021  0,000021    1  21     10 10  10  Tổng S  10  10  10  tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có u1  10 ,q 102 S u1 1  10  Do A  21  1 q 99 99 33 1 10 Cách 3: Giải nhanh máy tính Nhập vào hình 0,  21 ấn phím  ta kết 33 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO c) lim  WEB: Toanthaycu.com  n  1 2n  1  3n   n  3 Lời giải 3   3n  4n  n n    lim a) lim 2n  3n  2  n n 1 n3  n  lim  b) lim 5n  n  5  n n 1         n  1 2n  1  lim  n  n   1.2  c) lim    3.1   3n   n  3    1   n  n   Câu 58: Tính giới hạn sau n2  n  n2  8n  n  n  n n   2n  b) lim c) lim n 1 3n  3n  n  a) lim Lời giải b) lim 8n  n  2n   lim 3n  8 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 1 n2  n  n2  1  1 2 n  n  n 1 n n    n  lim  lim a) lim 1 n 1 1 1 n n 1 2 2 n n    3 3 n n n   2n  1   2 n n   2n  n n    n  lim  lim c) lim 2 1 3n  n  3n  n  3  2 n n n Câu 59: Tính giới hạn sau a) lim n  2n  1 3n    6n  1 b) lim  2n  1 n    n n3  n Lời giải  2   3   n  2n  1 3n   n  n  2.3 a) lim  lim    3 36 1  6n  1  6   n  Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 132  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com 1          2n  1 n    n  lim n  n  n  n  b) lim n3  n 1 n Câu 60: Tính giới hạn sau a) lim 4n  n  3n n2  b) lim 9n  n  3n  n2  Lời giải  3 4n2  n  3n n n a) lim  lim  3 n2  1 n    2 9n  n  3n  n n n n  b) lim  lim n2  1 n Câu 61: Tính giới hạn sau a)  n  1  2n2  n   n2  lim  n  1  n2    3n3 b)  3n lim    n  3  n 2n3  a) lim b)  n  1  2n2  n   n2   n  1  n    3n3  3n lim    n  3  n 2n  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Lời giải 1 1   1        1.2 n  n n n  lim    1 2 1.1    1       n  n        1    n  n  n  lim   1 n Câu 62: Tính giới hạn sau a) lim  4n  4n b) lim 2n  5.3n 3n  c) lim 3n  4n 3n  4n Lời giải 1  4n 1 4n  lim   1 a) lim n 1 1 4n n 2   5 n n  5.3 b) lim n  lim    5 1 1 n Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com n 3   1 n n 4 c) lim n  lim  n  1 n 4 3   1 4 Câu 63: Tính giới hạn sau a) lim   n3  3n  n b) lim   n3   n  Lời giải a) lim   n3  3n  n3 n3  3n  n  lim n  3n 2    lim  n  n n3  3n 2 3  3 1      n  n   2 3 Khi n   thì: lim   lim    lim            n n n n   Do đó, lim b) lim    n3  3n2  n  3  n3   n   lim    n3   n  lim n  n   GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 n3   n3  lim n 3  3  n  n n3   lim n2  n2  n  n2   lim n  lim  3  n  n n3  n  n2  2   Khi n   thì: lim   n3  3  n  n n3    ; lim n  n        Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 134  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  lim  lim  WEB: Toanthaycu.com  Do đó, lim n n 2  n3  3  n2  n n3    n3   n   Câu 64: Tính giới hạn sau   a) lim n   n  n b) lim n2  n  n 4n  3n  2n Lời giải  a) lim n   n  n   n  1  lim  n2  n  lim n 1 n  n 1 n 1 n   n  n  1  lim 1 n 1  1 n n  Do đó, lim n   n  n    2 n n n n nn 4n  3n  2n n b) lim  lim  lim  4n  3n  4n 3 4n  3n  2n n2  n  n 1 1 n 2 n2  n  n Do đó, lim  4n  3n  2n 4 2 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Câu 65: Tính giới hạn sau a) lim   4n  n  2n  8n3 b) lim 2n  n3  n n2  n  n Lời giải a) lim  lim  lim    4n2  n  2n  8n3  lim 4n  n  n 4n  n  n n 4n  n  2n   lim     n     2n  8n3  2n  n  8n  8n  lim  2n 2  8n   n  n n  8n 2n  lim   4n  n  2n  lim  2n 2    8n3   4n  2n 8n3   1  4n    1       lim   1     1   4n   4n     Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 135  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com    lim        n    Khi n   thì: lim      n    3  3  lim   4n  1    4n  1   2          lim     n   Do đó, lim b) lim     1      lim   1     1    4n   4n      4n  n  2n  8n3   2n  n3  n n2  n  n  lim 2n  n3  n3 n2  n  n n  n  n 2n  n3  n  n 2n  n     n  n 1  n  n    lim   1  lim 2  2  n   1  n  n n3   1 n  n  1 n 2  3   1    n n  1  lim 1 n 3  Do đó, lim 2    1    n n  2n  n  n n2  n  n GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133    lim    1      1       n  n   Khi n   thì: lim     n    lim    1  n    1 Câu 66: Tìm giới hạn sau a) lim x2 x  3x  x2 x3  3x  c) lim x 1 x  x  x2  x x  2 x  x  b) lim x3  x  x  d) lim x 1  x  x  Lời giải a) lim x2  x  1 x   x  3x   lim  lim  x  1  x 2 x2 x2 x2 x  x  2 x  x  2 x2  x x  lim  lim  lim  1 x  2 x  x  x  2 x  x  x  2  x  1 x   x  2  x  1   b) lim Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 136  BÀI GIẢNG TỐN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com  x  1  x   x3  x   x2   lim  lim c) lim    x 1 x  x  x 1  x  1  x  x  3 x1  x  x   2  x  1  x  1  x  1 x  1 x3  x2  x   lim  lim 0 d) lim x 1  x  x  x 1   x  1 x   x 1 x2 Câu 67: Tìm giới hạn hàm số sau: a) lim x 3 c) lim x 1 x  x  72 x2  2x  x  5x2  x6 1  x  b) lim x3  x  3x  x4  8x2  d) lim x4  a xa x 3 xa Lời giải  x  3  x  3x  x  24  x  x  72 x  x  x  24 51 a) lim  lim  lim  x 3 x  x  x 3 x 3 x 1  x  1 x  3  x  3  x  x  3 x3  x  3x  x2  x   lim  lim 0 b) lim x 3 x 3 x4  8x2   x    x  x  x   x 3 x  x  x  c) GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 lim x 1 x  x2  x6 1  x   x  1  x5  x  x3  x  x  x5  x  x3  x  x  lim  lim  x 1 x 1  x  1 1  x   x  a   x3  ax  a x  a3  x4  a  lim  lim  x3  ax  a x  a3   4a3 d) lim x a x  a xa xa xa Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 137  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Câu 68: Tính giới hạn sau a) lim x 4 x  16 x  x  20  x2 x 2 x  b) lim x  3x  x 2 x  x  c) lim Lời giải a) lim x4  x   x   x  16 x4  lim  lim  x  x  20 x 4  x   x   x  x    x   x   x2 2 x  lim  lim  x 2 x  x 2  x    x  x   x2 x  x  b) lim  x  1 x   x  3x  x 1  lim  lim  x 2 x  x  x 2  x   x   x 2 x  c) lim Câu 69: Tính giới hạn sau x  x  30 x 5 x  x  a) lim b) lim1 x 2 x2  5x  x2  x  3x  x 1  x  x  c) lim Lời giải  x  5 x    lim x   x  x  30  lim x 5 x  x  x 5  x   x  1 x 5 x  a) lim 2 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  x  1 x   x2  5x  x2 b) lim1  lim  lim1  2x  2x  4x    x x  x x   x  1 x  1 x  3x  x  1  lim  lim  x 1  x  x  x 1  x  1  x  x 1  x c) lim Câu 70: Tính giới hạn sau a) lim x 1 x3  3x  x3  x  x  b) lim  x 1 x3  x  x  x  3x  c) x  x  27 x 3 x  x  x  lim Lời giải  x  1  x   x3  3x  x2 a) lim  lim  lim  x 1 x  x  x  x 1 x 1 x   x  1  x  1  x  1  x  x   x3  x  x  x2  x  b) lim   lim  lim  x 1 x  x  x4 x  3x   x  1 x   x  3 x   x  3  x  3   x  x  27 36  lim  lim  c) lim 2 x 3 x  x  x  x 3  x  1  x  3 x3 x  Câu 71: Tính giới hạn sau a) lim x 1 x3  3x  x4  x  x  x  18 x2 x3  b) lim c) lim x 3 x  x  72 x2  2x  Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 138  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Lời giải  x  1  x   x3  x  x2  lim  lim   a) lim 2 x 1 x  x  x 1  x  1  x  x  3 x1 x  x   x   x   x  x  18 4x  17  lim  lim  x2 x2 x 8  x    x  x   x2 x  x  12 b) lim x    x  3 x  3 x    x  3 51   x  x  72 c) lim  lim  lim  x 3 x  x  x 3 x 3 x 1  x  1 x  3 Câu 72: Tính giới hạn sau x5  x5  b) lim x 1 x  x 1 x  a) lim c) lim x 3 x3  x  3x  x4  8x2  Lời giải  x  1  x  x3  x  x  1 x5  x  x3  x2  x  a) lim  lim  lim  x 1 x  x 1 x 1 x2  x   x  1  x  x  1  x  1  x  x3  x  x  1 x5  x4  x3  x2  x  b) lim  lim  lim  x 1 x  x 1 x 1 x2  x   x  1  x  x  1 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  x  3  x  x  3 x3  x  3x  x2  x   lim  lim 0 c) lim x 3 x 3 x  8x   x2  1  x  3 x  3 x3  x2  1  x  3 Câu 73: Tính giới hạn sau    a) lim   x 1 x  x 1     b) lim   x 1  x  x3   c)   lim    x 2 x  x 4  Lời giải    x  1     1 x   1    lim  a) lim    lim     lim   x 1 x  x  x  x  x 1   x 1  x 1  x 1   b) lim   x 1  x  x3   x2   lim  x 1  x  x   1  x  x      x  1 x          lim  lim  x 1   1  x  1  x  x   x 1  1  x  1  x  x      1   x24   1    lim   c) lim    xlim  x 2 x  x   x2 x 4    x   x    Câu 74: Tìm giới hạn hàm số sau Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 139  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO x3 2 49  x a) lim x 7  WEB: Toanthaycu.com 2 x2 x  3x  b) lim x2 c) lim x 1 2x   x  x2  3 Lời giải x3 2  lim x 7 49  x a) lim x 7 b) lim x2   x3 2  x3 2   lim  x     x   x   x 7       7  x x3 2   56 2 x2 2 x2 2 x2 1  lim  lim  x  x  x  3x   x  1 x    x   x  1  x    c) lim x 1  2x   2x   2x    lim  lim  2 x  x  x  4x   x  1  x  3x  3 x    x  3x  3 x   15     Câu 75: Tìm giới hạn hàm số sau  x2  x 1  x  x  a) lim 4x   x2  b) lim x 2 c) lim x 2 x x2 x3  Lời giải       3x   x   x2  x 1 a) lim  lim  lim  x 1  x  x  x 1   3x   x  1 x   x1  3x   x       x2  4x     GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  4x   4x   4x    lim  lim x 2 x2   x   x   x   x2  x   b) lim   c) lim x2    x x2 x2 x2 x x2 x 1  lim  lim  x2 x 8  x    x  x   x  x  x2  x  x   x  x  16     Câu 76: Tìm giới hạn hàm số sau 1 1 x b) lim x 0 x  x x 1 a) lim x 1 x  x  3 c) lim x 2 x  12  x x2  2x d) lim x 1 x 1 x  x2  Lời giải    x  x  x  x 1  lim  lim a) lim x 1 x  x  x 1 x 1 3 x  x  x  x      x  3     x  x  Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1 140  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com b) 1  3   x   x  1  x  1 1 x  lim x 0 x  x x 0 x  x     x  1  x  lim  x  12  x  lim x 2 x2  2x c) lim x 2  x 2 x  x  2   x 1   x  1  x  1  x  x    x  1  x 2   x 1   (2 x  12)  x x  12  x x    x 1    x 1 x 1  x  1  x  x 1 x 1  lim x  x  12  lim   x  1  x  1  x 1  lim d) lim x 1 x  x  x 1  x  1  x  x    lim  x  2 (2 x  12)  x x  12  x (2 x  12)  x x  12  x x 0 x  x  2  1  x  12  x    x  12   x x  12  x   x    x  x  12   lim   lim x  x  2    x 1 x 1  12 Câu 77: Tính giới hạn sau 2x   x  x3  x  a) lim x 1 b) lim x 1 x3  3x  x2  x   x3  3x x 1 c) lim x 1 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Lời giải 2x    x  4 2x   x  a) Ta có lim  lim x 1 x 1 x  x2   x  x  x  3 x   x    lim x 1  lim x 1  x  10 x  x x 2x   x     x  1   2x   x    x  x  1  x   x  1  x   x  1   x   x    1  1  3.2     15     x  1   x3  1 x  x  1  3  lim x   x 1  x  1 x  1  x3  x    1 x3  1   x  1  x  1 x  1  x3  x  lim x 1   x   x3  3x x6  3x  x6   3x   lim  lim x 1 x2   x2  1 x3  3x  x1  x  1 x  1 x3  3x  x 1 x 1   x  1  9 x b) lim  lim   1 x  x  1   x  1  x3  3x    1  11   1  2.3  3   2.2 1  11  1 x    x3  3x  x   x3  3x x2   x6  x4  x2 c) lim  lim  lim x 1 x 1 x 1  x  1 x   x3  3x x1  x  1 x   x3  3x    Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133  141  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  lim x 1  lim x 1  x6  x4  8x   x  1  x x   x3  3x   1  x  x  3  x  1  x   x3  3x   lim  x6  x  x  x   3x  x  1  x 1  lim x 1  WEB: Toanthaycu.com x   x3  3x   x  1   x  x  3 1  1 1   3  x   x3  3x   1  Câu 78: Tính giới hạn sau x2  x   x  x 2x 1 x  x  a) lim x x 1 x  x  x  b) lim c) lim Lời giải 2 2x 1 x  20   lim a) lim x  x  x  1 1 x x 1 x2      lim b) lim x   x  x x     3.0  x x 1 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 1  x x 1 00 x c) lim  lim x  0 x  x  x  x  1 1  1  x x Câu 79: Tính giới hạn sau a) lim x  3x  x  1 3x3  x  x  x  x  b) lim  x  1  x  x  3x3  x  x  2 x  x  c) lim Lời giải x2 a) lim  lim x   x  1  x  x  x   1    x   6 x  x  1 2  x   3.0    1  2.0    3x  x  x  3.0  2.0   b) lim  lim x x x  x  x  x   3.0  2.0 4  x x 3x3  x  c) lim  lim x  2 x  x  x  2  x x   2.0  2.0   2  2.0  2   x x 3 Câu 80: Tính giới hạn sau a) lim x  x  3x  x 3x  b) lim x  x  x   3x  4x    x c) lim x  x x3 x2  Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 142  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Lời giải a) Đặt x  t Với x    t   Khi lim x  x  3x  x t  3t  2t  lim   lim t  t  3x  3t  x  x   3x  4x2    x x   3 x x x 4 1   1 x x 1 b) lim 2  3.0  t     3  t 1  lim x  Đặt x  t Với x    t   Khi 1    x  x   3x  t  t   3t  t t t  lim  lim  t  t  1 x2    x 4t    t   1 t t lim x   x x3 x x2  lim  c) lim x  x  x  1 x  3.0 0 1 Câu 81: Tính giới hạn sau x2 x2  x2 b) lim x 2 2 x 2 x  5x  c) lim x 2 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 a) lim 2x 2 x  5x  Lời giải x2   lim a) lim x 2 x 2 x2 b) lim x2 c) lim x2 2 x 2 x  5x  2x 2x  5x  x2   x2  lim x2 1  lim  x  2x   x   x  1  lim 2 x 1  lim   x   x  1 x2 x  x2 x2 Câu 82: Xét tính liên tục hàm số điểm : a) x3 x   f  x   x 1 (tại x  ) 1 x   x32 x   x  b) f  x    1 x   (tại x  ) Lời giải Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 143  BÀI GIẢNG TỐN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO a  Ta có: f  1   WEB: Toanthaycu.com 1   1 1  x3  1  f  1  hàm số liên tục x  1 x 1 x  lim f  x   lim x 1 b  Ta có : f 1  lim f  x   lim x 1 x 1  x3 2  x  1   lim  x 1 x3 2  x  1   x3 2 x3 2    lim x 1  f 1 x32 Vậy hàm số liên tục x  Câu 83: Xét tính liên tục hàm số điểm ra:   x  x  x3 x   a) f  x    x  3x  (tại x  ) 1 x    x 5 x   b) f  x    x   (tại x  )  x  2  x   Lời giải a  Ta có: f    GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  x     x  3x  1  x  x  x3  x  3x   lim  lim   f  2 x2 x2 x2 x  3x   x   x  1  x  1 Mà lim f  x   lim x2 Vậy hàm số liên tục x  2 b  Ta có: f         Lại có lim f  x   lim  x  5  3    x 5 x 5 Và lim f  x   lim x 5 x 5 x5  lim x   x 5   x  5  2x 1  2x 1    2x 1    lim x 5 2x 1  3 Từ f  5  lim f  x   hàm số liên tục x  x 5 Câu 84: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng : a)  x3  x  x  1  f  x   x 1 4 x  1   x  3x  x   x  b) f  x   5 2 x  x   Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 144  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com Lời giải x3    x  1 x3  x    lim f  x   lim  lim  lim 1   3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x  x 1  a Do đó, hàm số liên tục x  1 b  lim  x  x   =2; lim  x  1  x2 x2 Mà f  x   x  nên  lim f  x   lim f  x   lim f  x  x 2 x 2 x 2 Do đó, hàm số cho liên tục x  Câu 85: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng :  x2   f  x   x  4  a) x  2 x  2  x2   b) f  x    x  2  x  x  Lời giải a  Hàm số f  x  liên tục với x  2 1 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  x   x    lim x   2   4 x2  lim f  x   lim  lim   x 2 x 2 x  x 2 x 2 x2 f  2   4  lim f  x   f  2   f  x  liên tục x  2   x 2 Từ 1   ta có f  x  liên tục  b  Hàm số f  x  liên tục với x  lim f  x   lim x f  2  x  1   x x x2   lim  lim x     2 x x  x x 2  lim f  x   f x     f  x  liên tục x    2 Từ 1   ta có f  x  liên tục  Câu 86: Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x3  3x   b) x   x  Lời giải a  Dễ thấy hàm f  x   x3  3x  liên tục R Ta có: Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 145  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  WEB: Toanthaycu.com  f  2   1  f  2  f  1   tồn số a1   2; 1 : f  a1   1   f  1   f     f   f 1   tồn số a2   0;1 : f  a2       f 1  1  f 1  1  f 1 f     tồn số a3  1;  : f  a3    3   f    Do ba khoảng  2; 1 ,  0;1 1;  đôi không giao nên phương trình x3  3x   có nghiệm phân biệt Mà phương trình bậc có tối đa nghiệm nên x3  3x   có nghiệm phân biệt b  Đặt  x  t  x   t  2t  6t   Xét hàm số f  t   2t  6t  liên tục R  f  2  f  1  3.5   Ta có:  f   f 1   3   tồn số t1 , t2 t3 thuộc khoảng đôi   f 1 f    3.5  không giao  2; 1 ,  0;1 1;  cho f  t1   f  t2   f  t3   GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 phương trình bậc nên f  t   có nghiệm phân biệt Ứng với giá trị t1 , t2 t3 ta tìm giá trị x thỏa mãn x   t hiển nhiên giá trị khác nên PT ban đầu có nghiệm phân biệt Câu 87: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x  3x   b) x  x3  3x  x   Lời giải a  Xét f  x   x5  3x  lim f  x     tồn số x1  cho f  x1   x  lim f  x     tồn số x2  cho f  x2   x  Từ f  x1  f  x2    tồn số x0   x2 ; x1  : f  x0   nên phương trình x5  3x   ln có nghiệm b  Xét f  x   x  x3  3x  x  liên tục R Ta có: f  1  3  lim f  x     tồn số a  cho f  a   x   x  x   nên tồn số x0   0; a  thỏa mãn f  x0   nên phương trình x  x3  3x  x   ln có nghiệm Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 146