Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Hàm số, giới hạn và sự liên tục. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: định nghĩa và các phép tính trên hàm số; giới hạn hàm một biến và các tính chất, phép tính về giới hạn; sự liên tục của hàm một biến;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Chƣơng HÀM SỐ,GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC Hàm số 1.1 Định nghĩa Cho tập 𝐷 ⊂ ℝ, hàm 𝑓 từ 𝐷 vào ℝ qui tắc đặt tƣơng ứng giá trị 𝑥 ∈ 𝐷 với giá trị 𝑦 ∈ ℝ theo đẳng thức: 𝑦 = 𝑓(𝑥) • D: tập xác định 𝑓 • 𝑓 𝐷 = {𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐷}: Tập giá trị hàm số • Tập cặp điểm {(𝑥, 𝑓 𝑥 ): 𝑥 ∈ 𝐷} hệ tọa độ Oxy gọi đồ thị hàm số 1.2 Các phép tính hàm số a Cộng, trừ, nhân, chia b Hàm hợp Cho hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ 𝑋 TGT 𝑌 Hàm số 𝑧 = 𝑔(𝑦) với TXĐ 𝑌1 TGT 𝑍 Nếu 𝑌 ⊂ 𝑌1 ta xác định hàm số từ 𝑋 vào 𝑍 nhƣ sau 𝑧 = 𝑔 𝑓 𝑥 ≔ (𝑥) Hàm số gọi hàm số hợp 𝑔 𝑓 Kí hiệu = 𝑔 ∘ 𝑓 Ví dụ 1: Cho 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 4, 𝑔(𝑦) = tan 𝑦 ta có hàm số hợp 𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔 𝑓 𝑥 = tan(𝑥 − 2𝑥 + 4) c Hàm ngƣợc Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ 𝐷 tập giá trị 𝑌 Nếu phƣơng trình 𝑦 = 𝑓 𝑥 có nghiệm 𝑥 ∈ 𝐷 ta xác định hàm số 𝑥 = 𝑔 𝑦 ,𝑦 ∈ 𝑌 Thỏa mãn 𝑓 𝑔 𝑦 = 𝑦, ∀𝑦 ∈ 𝑌, hàm g xác định nhƣ gọi hàm số ngƣợc hàm 𝑓, ký hiệu 𝑔 = 𝑓 −1 Ví dụ 2: Tìm hàm ngƣợc hàm số 𝑦 = 𝑥 , với 𝑥 ∈ [−4,0] 1.3 Các hàm số sơ cấp a Hàm lũy thừa: 𝑦 = 𝑥 𝛼 b Hàm mũ: 𝑦 = 𝑎 𝑥 , (𝛼 − ằ𝑛𝑔 𝑠ố) (0 < 𝑎 ≠ 1) c Hàm lôgarit: 𝑦 = log 𝑎 𝑥 , d Các hàm lƣợng giác sin 𝑥; cos 𝑥; (0 < 𝑎 ≠ 1) tan 𝑥; e Các hàm lƣợng giác ngƣợc: cot 𝑥 1) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝑥 = sin 𝑦 𝜋 𝑦 = arcsin 𝑥 ⇔ −𝜋 ≤𝑦≤ 2 𝑦 tính theo đơn vị rad Ví dụ −1 − − 2 arcsin 𝑥 − 𝜋 − 𝜋 − 𝜋 − 𝜋 𝑥 -1 𝜋 Tính chất Tập xác định [-1; 1] Hàm arcsin 𝑥 đồng biến [-1; 1] −𝜋 𝜋 Tập giá trị [ ; ] 2 2 𝜋 𝜋 𝜋 2) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝑥 = cos 𝑦 𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 𝑦 tính theo đơn vị rad Ví dụ: -1 𝑥 −1 − − 2 arccos 𝑥 𝜋 5𝜋 3𝜋 2𝜋 𝜋 31 2 𝜋 𝜋 𝜋 Tính chất Tập xác định [-1; 1] Hàm arccos 𝑥 nghịch biến [-1; 1] Tập giá trị [0 ; 𝜋] 3) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝑥 = tan 𝑦 𝜋 𝑦 = arctan 𝑥 ⇔ −𝜋 cho f(x) xác định (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 ] (hoặc [𝑥0 , 𝑥0 + 𝛿)) - lim𝑥→𝑥 0− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) (hoặc lim𝑥→𝑥 0+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) ) 3.4 Hệ Hàm f(x) liên tục điểm 𝑥0 vừa liên tục phải, vừa liên tục trái 𝑥0 Nghĩa là: 𝑓 𝑥0+ = 𝑓 𝑥0− = 𝑓(𝑥0 ) Ví dụ 1: Xét liên tục hàm số sau 𝑥 + 𝑥 𝑘𝑖 𝑥 ≥ 𝑓 𝑥 = cos − 𝑥 𝑘𝑖 𝑥 < Tại điểm x = Ví dụ 2: Xét liên tục hàm số sau 𝑥 + 𝑘𝑖 𝑥 ≥ 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑎 𝑘𝑖 𝑥 < Trong a tham số ... lim−