Bai giang gioi han va ham so lien tuc toan 11 canh dieu

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CS 1: Trung tâm MASTER EDUCATION- 25 THẠCH HÃN CS 2: Trung Tâm 133 Xuân 68 CS 3: Trung tâm 168 Mai Thúc Loan CS4: Trung Tâm THPT Nguyễn Trường Tộ GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ-TP HUẾ (Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời)  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com MỤC LỤC CHƯƠNG : GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Giới hạn hữu tỉ Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Dạng Dãy số chứa thức Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ Dạng Tính giới hạn dãy số chứa hàm mũ Phương pháp Các ví dụ rèn luyện kĩ GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Dạng Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 10 Phương pháp 10 Các ví dụ rèn luyện kĩ 10 Dạng 5: Phương pháp sai phân quy nạp tính giới hạn 12 Phương pháp 12 Các ví dụ rèn luyện kĩ 13 C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 16 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 20 BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 43 A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 43 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 45 Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn 45 Phương pháp 45 Các ví dụ rèn luyện kĩ 45 Dạng Giới hạn vô cực 46 Phương pháp 46 Các ví dụ rèn luyện kĩ 46 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Dạng giới hạn bên 49 Phương pháp 49 Các ví dụ rèn luyện kĩ 49 Dạng Dạng vô định 51 Phương pháp 51 Các ví dụ rèn luyện kĩ 51 Dạng Dạng vô định  58  Phương pháp 58 Các ví dụ rèn luyện kĩ 58 Dạng Dạng vô định  , 0. 62 Phương pháp 62 Các ví dụ rèn luyện kĩ 63 C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 65 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 67 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC 86 A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 86 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 86 Dạng 1: Hàm số liên tục điểm 86 Phương pháp 86 Các ví dụ rèn luyện kĩ 87 Dạng Hàm số liên tục tập xác định 89 Phương pháp 89 Các ví dụ rèn luyện kĩ 89 Dạng Số nghiệm phương trình khoảng 90 Phương pháp 90 Các ví dụ rèn luyện kĩ 91 C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 93 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 96 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 109 PHẦN 1: GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 109 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG V 114 PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM 114 PHẦN 2: TỰ LUẬN 133 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com CHƯƠNG : GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa -Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn sau: Dãy số  un  có giới hạn n dần tới dương vơ cực un nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở đi, kí hiệu lim u n  n  Chú ý: Ngồi kí hiệu lim un  , ta sử dụng kí hiệu sau: limun  hay un  n  n   Ta có: lim  n Nhận xét: Nếu un ngày gần tới n ngày lớn limun  -Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn sau: Dãy số  un  có giới hạn hữu hạn a n dần tới dương vô cực lim  un  a   , kí hiệu n  lim un  a n  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Chú ý: Ngồi kí hiệu lim un  a , ta sử dụng kí hiệu sau: limu n  a hay un  a n  n   Chú ý: -Một dãy số có giới hạn giới hạn -Khơng phải dãy số có giới hạn, chẳng hạn dãy số  un  với un  (1) n Một số giới hạn Ta chứng tỏ giới hạn sau: 1 a) lim  0;lim k  với k số nguyên dương cho trước; n n c c b) lim  0;lim k  với c số, k số nguyên dương cho trước; n n c) Nếu q  limq n  ; n  1 d) Dãy số  un  với un     có giới hạn số vơ tỉ gọi giới hạn e ,  n  1 e  lim     n n Một giá trị gần e 2,718281828459045 II ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Ta có định lí giới hạn hữu hạn tổng, hiệu, tích, thương thức sau: a) Nếu limun  a , limvn  b thì: lim  un    a  b; lim  un    a  b lim  un   a.b; lim un a    0, b   b b) Nếu un  với n limu n  a a  lim un  a III TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Trong trường hợp tổng quát, ta có: Cấp số nhân vơ hạn u1 , u1q,, u1q n1 , có cơng bội q thoả mãn q  gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn cho là: S  u1  u1q  u1q    u1 1 q IV GIỚI HẠN VÔ CỰC -Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn vơ cực sau: GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Ta nói dãy số  un  có giới hạn  n   , un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu : lim un   hay limun   hay u n   n   n  -Ta nói dãy số  un  có giới hạn  n   lim  un    n  Kí hiệu lim un   hay limun   hay u n   n   n  Nhận xét limn k   với k số nguyên dương cho trước limq n   với q  số thực cho trước Nếu limu n  a limvn   (hoặc limvn    lim un 0 Nếu limun  a , a  limvn  0,  với n lim un   limun    lim  un    Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Giới hạn hữu tỉ Phương pháp Để tính giới hạn dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức mẫu thức cho luỹ cao nk , với k bậc cao mẫu, áp dụng quy tắc tinh giới hạn Chú ý : Cho P n, Q n đa thức bậc m, k theo biến n: P  x  am n m  am1n m1    a1n  a0 am   0 Q n  bk n k  bk 1n k 1    b1n  b0 bk   0 Khi lim P n  Q n   lim am n m bk n k , viết tắt P n Q n   am n m bk n k , ta có trường hợp sau : Nếu « bậc tử »  « bậc mẫu ( m  k ) lim Nếu « bậc tử »  « bậc mẫu ( m  k ) lim Nếu « bậc tử »  « bậc mẫu ( m  k ) lim P n Q n P  n Q n   am bk P  n  am bk     Q  n    am bk  Để ý P n, Q n có chứa « » ta tính bậc m k n nk tì có bậc Ví dụ n có bậc , n có bậc GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Cụ thể , Trong sau ta dùng dấu hiệu để kết cách nhanh chóng ! Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Tính lim 3n3  5n2  2n3  6n2  4n  Giải  3n  5n  n n3 lim  lim  2n  6n  4n  2   n n n3 3 Ví dụ 2: Tính lim n  2n n  3n 1 Lời giải Ta có  n  2n n   lim  lim n n  3n 1 1  n n Giải nhanh : Dạng « bậc tử »  « bậc mẫu » nên kết Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU Ví dụ 3: Tính lim  WEB: Toanthaycu.com n7  n n3  3n 1 Lời giải lim n7  n2 n7   n   n3  3n 1 n3 Ví dụ 4: Cho dãy số un  với un  2n  b 5n  b tham số thực Để dãy số un  có giới hạn hữu hạn, giá trị b bào nhiêu Lời giải b 2 2n  b n   b    lim un  lim  lim 5n  5 n Ta có Giải nhanh : 2n  b 2n   5n  5n Ví dụ 5: Cho dãy số un  với un  với b   4n  n  Để dãy số cho có giới hạn , giá trị a an  Lời giải 4n  n  2  lim un  lim  lim an  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Giải nhanh :  4  n n  a   0  a  a a n 4n  n  4n    a  an2  an a Ví dụ 6: Tính giới hạn L  lim n  2n 2n  14n  5 n  3n 13n  7 Lời giải L  lim n  2n2n3 14n  5 n  3n 13n  7  lim     1  2         n  n  n    1  3   2  n3 n  n   1.2.4  1.3 n  2n2n3  14n  5 n 2n3 4n Giải nhanh:   n 3n n  3n 13n  7 Dạng Dãy số chứa thức Phương pháp  Nếu biểu thức chứa thức cần nhân lượng liên hiệp để đưa dạng Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com AB lượng liên hiệp là: A  B A B lượng liên hiệp là: A  B A  B lượng liên hiệp là: A  B 3 A B lượng liên hiệp là:  A  B3 A  B2    3  2 A B lượng liên hiệp là:  A  B A  B    Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Tính lim  n2   n     Giải n   n2  lim  n   n    lim  lim 0 2 2   n 7  n 5 n 7 n 5 Ví dụ Tính lim  n2  n   n Lời giải n2  n 1  n  n2  n    nhân lượng liên hợp : lim 1 n n  n   n  lim  lim  2 1 n  n 1  n 1   n n  Ví dụ Tính lim  n  n2  n 1  n  n  n3  n n  n 1  n  n GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Giải nhanh : 1  n    n n  Lời giải n2  n3  n  n3  n    nhân lượng liên hợp : lim   n2 n  n3  n  lim Giải nhanh : 3 n n   lim n n n  n 3    1  1   n  n 2 n2 n  n3  n  n  n    n n  n3  n  n2  n  n n  n 3 Ví dụ Tính lim  n  n   n    Lời giải n   n 1  n  n lim n    n   n  lim Giải nhanh : n   n  n    nhân n n 1  n  n 1  n   lim lượng liên hợp : 1 1 1 n n n 1  n   n  n n Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Dạng Tính giới hạn dãy số chứa hàm mũ Phương pháp Trong tính giới hạn lim un mà un ; hàm số mũ chia tử mẫu cho a n với a số lớn Sau sử dụng công thức: lim q n  với q  Các ví dụ rèn luyện kĩ 3n  2.5n 1 Ví dụ 1: Tính lim n 1 n 5 Lời giải 3n  2.5n 1 2.5n1 Giải nhanh : n 1 n ~  10 5 5n n 3n  2.5n1 Cụ thể : lim n 1 n 5 Ví dụ 2: Tính lim 3    10  lim   n  10 2    5 3n  4.2n 1  3.2n  n GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Lời giải n 3n  4.2 n 1  3n   Giải nhanh : ~ n      3.2 n  4n 4 n n n 3 1 1       n n 1    4.2  2     Cụ thể : lim  lim   n n n 3.2  1    2 Ví dụ 3: Tính  1 lim n 5n 1 35n  Hướng dẫn giải Cách 1: Giải tự luận Ta có:  1 lim n 5n 1 35n2 n n 22  lim  1    93 Cách 2: Mẹo giải nhanh  1 n 25n 1 35n 2 n 2   1   3 Ví dụ 4: Tính lim 5n  3n  4.2n1  3.2n  4n Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com 1          2n  1 n    n  lim n  n  n  n  b) lim n3  n 1 n Câu 60: Tính giới hạn sau a) lim 4n  n  3n n2  b) lim 9n  n  3n  n2  Lời giải  3 4n2  n  3n n n a) lim  lim  3 n2  1 n    2 9n  n  3n  n n n n  b) lim  lim n2  1 n Câu 61: Tính giới hạn sau a)  n  1  2n2  n   n2  lim  n  1  n2    3n3 b)  3n lim    n  3  n 2n3  a) lim b)  n  1  2n2  n   n2   n  1  n    3n3  3n lim    n  3  n 2n  GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Lời giải 1 1   1        1.2 n  n n n  lim    1 2 1.1    1       n  n        1    n  n  n  lim   1 n Câu 62: Tính giới hạn sau a) lim  4n  4n b) lim 2n  5.3n 3n  c) lim 3n  4n 3n  4n Lời giải 1  4n 1 4n  lim   1 a) lim n 1 1 4n n 2   5 n n  5.3 b) lim n  lim    5 1 1 n Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 135  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com n 3   1 n n 4 c) lim n  lim  n  1 n 4 3   1 4 Câu 63: Tính giới hạn sau a) lim   n3  3n  n b) lim   n3   n  Lời giải a) lim   n3  3n  n3 n3  3n  n  lim n  3n 2    lim  n  n n3  3n 2 3  3 1      n  n   2 3 Khi n   thì: lim   lim    lim            n n n n   Do đó, lim b) lim    n3  3n2  n  3  n3   n   lim    n3   n  lim n  n   GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 n3   n3  lim n 3  3  n  n n3   lim n2  n2  2 n n 2  lim n  lim  3  n  n n3  n  n2  2   Khi n   thì: lim   n  3  n  n n3    ; lim n  n        Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 136  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  lim  WEB: Toanthaycu.com  lim  Do đó, lim n n 2  n3  3  n2  n n3    n3   n   Câu 64: Tính giới hạn sau   a) lim n   n  n b) lim n2  n  n 4n  3n  2n Lời giải  a) lim n   n  n   n  1  lim  n2  n  lim n 1 n  n 1 n 1 n   n  n  1  lim 1 n 1  1 n n  Do đó, lim n   n  n    2 n n n n nn 4n  3n  2n n b) lim  lim  lim  4n  3n  4n 3 4n  3n  2n n2  n  n 1 1 n 2 n2  n  n Do đó, lim  4n  3n  2n 4 2 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Câu 65: Tính giới hạn sau a) lim   4n  n  2n  8n3 b) lim 2n  n3  n n2  n  n Lời giải a) lim  lim  lim    4n2  n  2n  8n3  lim 4n  n  n 4n  n  n n 4n  n  2n   lim     n     2n  8n3  2n  n  8n  8n  lim  2n 2  8n   n  n n  8n 2n  lim   4n  n  2n  lim  2n 2    8n3   4n  2n 8n3   1  4n    1       lim   1     1   4n   4n     Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 137  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com    lim        n    Khi n   thì: lim      n    3  3  lim   4n  1    4n  1   2          lim     n   Do đó, lim b) lim     1      lim   1     1    4n   4n      4n  n  2n  8n3   2n  n3  n n2  n  n  lim 2n  n3  n3 n2  n  n n  n  n 2n  n3  n  n 2n  n     n  n 1  n  n    lim   1  lim 2  2  n   1  n  n n3   1 n  n  1 n 2  3   1    n n  1  lim 1 n 3  Do đó, lim 2    1    n n  2n  n  n n2  n  n GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133    lim    1      1       n  n   Khi n   thì: lim     n    lim    1  n    1 Câu 66: Tìm giới hạn sau a) lim x2 x  3x  x2 x3  3x  c) lim x 1 x  x  x2  x x  2 x  x  b) lim x3  x  x  d) lim x 1  x  x  Lời giải a) lim x2  x  1 x   x  3x   lim  lim  x  1  x 2 x2 x2 x2 x  x  2 x  x  2 x2  x x  lim  lim  lim  1 x  2 x  x  x  2 x  x  x  2  x  1 x   x  2  x  1   b) lim Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 138  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com  x  1  x   x3  x   x2   lim  lim c) lim    x 1 x  x  x 1  x  1  x  x  3 x1  x  x   2  x  1  x  1  x  1 x  1 x3  x2  x   lim  lim 0 d) lim x 1  x  x  x 1   x  1 x   x 1 x2 Câu 67: Tìm giới hạn hàm số sau: a) lim x 3 c) lim x 1 x  x  72 x2  2x  x  5x2  x6 1  x  b) lim x3  x  3x  x4  8x2  d) lim x4  a xa x 3 xa Lời giải  x  3  x  3x  x  24  x  x  72 x  x  x  24 51 a) lim  lim  lim  x 3 x  x  x 3 x 3 x 1  x  1 x  3  x  3  x  x  3 x3  x  3x  x2  x   lim  lim 0 b) lim x 3 x 3 x4  8x2   x    x  x  x   x 3 x  x  x  c) GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 lim x 1 x  x2  x6 1  x   x  1  x5  x  x3  x  x  x5  x  x3  x  x  lim  lim  x 1 x 1  x  1 1  x   x  a   x3  ax  a x  a3  x4  a  lim  lim  x3  ax  a x  a3   4a3 d) lim x a x  a xa xa xa Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 139  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Câu 68: Tính giới hạn sau a) lim x 4 x  16 x  x  20  x2 x 2 x  b) lim x  3x  x 2 x  x  c) lim Lời giải a) lim x4  x   x   x  16 x4  lim  lim  x  x  20 x 4  x   x   x  x    x   x   x2 2 x  lim  lim  x 2 x  x 2  x    x  x   x2 x  x  b) lim  x  1 x   x  3x  x 1  lim  lim  x 2 x  x  x 2  x   x   x 2 x  c) lim Câu 69: Tính giới hạn sau x  x  30 x 5 x  x  a) lim b) lim1 x 2 x2  5x  x2  x  3x  x 1  x  x  c) lim Lời giải  x  5 x    lim x   x  x  30  lim x 5 x  x  x 5  x   x  1 x 5 x  a) lim 2 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  x  1 x   x2  5x  x2 b) lim1  lim  lim1  2x  2x  4x    x x  x x   x  1 x  1 x  3x  x  1  lim  lim  x 1  x  x  x 1  x  1  x  x 1  x c) lim Câu 70: Tính giới hạn sau a) lim x 1 x3  3x  x3  x  x  b) lim  x 1 x3  x  x  x  3x  c) x  x  27 x 3 x  x  x  lim Lời giải  x  1  x   x3  3x  x2 a) lim  lim  lim  x 1 x  x  x  x 1 x 1 x   x  1  x  1  x  1  x  x   x3  x  x  x2  x  b) lim   lim  lim  x 1 x  x  x4 x  3x   x  1 x   x  3 x   x  3  x  3   x  x  27 36  lim  lim  c) lim 2 x 3 x  x  x  x 3  x  1  x  3 x3 x  Câu 71: Tính giới hạn sau a) lim x 1 x3  3x  x4  x  x  x  18 x2 x3  b) lim c) lim x 3 x  x  72 x2  2x  Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 140  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Lời giải  x  1  x   x3  x  x2  lim  lim   a) lim 2 x 1 x  x  x 1  x  1  x  x  3 x1 x  x   x   x   x  x  18 4x  17  lim  lim  x2 x2 x 8  x    x  x   x2 x  x  12 b) lim x    x  3 x  3 x    x  3 51   x  x  72 c) lim  lim  lim  x 3 x  x  x 3 x 3 x 1  x  1 x  3 Câu 72: Tính giới hạn sau x5  x5  b) lim x 1 x  x 1 x  a) lim c) lim x 3 x3  x  3x  x4  8x2  Lời giải  x  1  x  x3  x  x  1 x5  x  x3  x2  x  a) lim  lim  lim  x 1 x  x 1 x 1 x2  x   x  1  x  x  1  x  1  x  x3  x  x  1 x5  x4  x3  x2  x  b) lim  lim  lim  x 1 x  x 1 x 1 x2  x   x  1  x  x  1 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  x  3  x  x  3 x3  x  3x  x2  x   lim  lim 0 c) lim x 3 x 3 x  8x   x2  1  x  3 x  3 x3  x2  1  x  3 Câu 73: Tính giới hạn sau    a) lim   x 1 x  x 1     b) lim   x 1  x  x3   c)   lim    x 2 x  x 4  Lời giải    x  1     1 x   1    lim  a) lim    lim     lim   x 1 x  x  x  x  x 1   x 1  x 1  x 1   b) lim   x 1  x  x3   x2   lim  x 1  x  x   1  x  x      x  1 x          lim  lim  x 1   1  x  1  x  x   x 1  1  x  1  x  x      1   x24   1    lim   c) lim    xlim  x 2 x  x   x2 x 4    x   x    Câu 74: Tìm giới hạn hàm số sau Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 141  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU x3 2 49  x a) lim x 7  WEB: Toanthaycu.com 2 x2 x  3x  b) lim x2 c) lim x 1 2x   x  x2  3 Lời giải x3 2  lim x 7 49  x a) lim x 7 b) lim x2   x3 2  x3 2   lim  x     x   x   x 7       7  x x3 2   56 2 x2 2 x2 2 x2 1  lim  lim  x  x  x  3x   x  1 x    x   x  1  x    c) lim x 1  2x   2x   2x    lim  lim  2 x  x  x  4x   x  1  x  3x  3 x    x  3x  3 x   15     Câu 75: Tìm giới hạn hàm số sau  x2  x 1  x  x  a) lim 4x   x2  b) lim x 2 c) lim x 2 x x2 x3  Lời giải       4x   4x   4x    lim  lim x 2 x2   x   x   x   x2  x   b) lim x2    4x     c) lim x2    x x2 x2 x2 x x2 x 1  lim  lim  x2 x 8  x    x  x   x  x  x2  x  x   x  x  16     Câu 76: Tìm giới hạn hàm số sau 1 1 x b) lim x 0 x  x x 1 a) lim x 1 x  x  3 c) lim x 2 x  12  x x2  2x d) lim x 1 x 1 x  x2  Lời giải    x  x  x  x 1  lim  lim a) lim x 1 x  x  x 1 x 1 3 x  x  x  x      x  3     x  x  Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133 1 142 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133      3x   x   x2  x 1 a) lim  lim  lim  x 1  x  x  x 1   3x   x  1 x   x1  3x   x    BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com b) 1  3   x   x  1  x  1 1 x  lim x 0 x  x x 0 x  x     x  1  x  lim  x  12  x  lim x 2 x2  2x c) lim x 2  x 2 x  x  2   x 1   x  1  x  1  x  x    x  1  x 2   x 1   (2 x  12)  x x  12  x x    x 1    x 1 x 1  x  1  x  x 1 x 1  lim x  x  12  lim   x  1  x  1  x 1  lim d) lim x 1 x  x  x 1  x  1  x  x    lim  x  2 (2 x  12)  x x  12  x (2 x  12)  x x  12  x x 0 x  x  2  1  x  12  x    x  12   x x  12  x   x    x  x  12   lim   lim x  x  2    x 1 x 1  12 Câu 77: Tính giới hạn sau 2x   x  x3  x  a) lim x 1 b) lim x 1 x3  3x  x2  x   x3  3x x 1 c) lim x 1 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Lời giải 2x    x  4 2x   x  a) Ta có lim  lim x 1 x 1 x  x2   x  x  x  3 x   x    lim x 1  lim x 1  x  10 x  x x 2x   x     x  1   2x   x    x  x  1  x   x  1  x   x  1   x   x    1  1  3.2     15     x  1   x3  1 x  x  1  3  lim x   x 1  x  1 x  1  x3  x    1 x3  1   x  1  x  1 x  1  x3  x  lim x 1   x   x3  3x x6  3x  x6   3x   lim  lim x 1 x2   x2  1 x3  3x  x1  x  1 x  1 x3  3x  x 1 x 1   x  1  9 x b) lim  lim   1 x  x  1   x  1  x3  3x    1  11   1  2.3  3   2.2 1  11  1 x    x3  3x  x   x3  3x x2   x6  x4  x2 c) lim  lim  lim x 1 x 1 x 1  x  1 x   x3  3x x1  x  1 x   x3  3x    Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  143  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  lim x 1  lim x 1  x6  x4  8x   x  1  x x   x3  3x   1  x  x  3  x  1  x   x3  3x   WEB: Toanthaycu.com  lim  x6  x  x  x   3x  x  1  x 1  lim x 1 x   x3  3x   x  1   x  x  3 1  1 1   3  x   x3  3x   1  Câu 78: Tính giới hạn sau x2  x   x  x 2x 1 x  x  a) lim x x 1 x  x  x  b) lim c) lim Lời giải 2 2x 1 x  20   lim a) lim x  x  x  1 1 x x 1 x2      lim b) lim x   x  x x     3.0  x x 1 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 1  x x 1 00 x c) lim  lim x  0 x  x  x  x  1 1  1  x x Câu 79: Tính giới hạn sau a) lim x  3x  x  1 3x3  x  x  x  x  b) lim  x  1  x  x  3x3  x  x  2 x  x  c) lim Lời giải x2 a) lim  lim x   x  1  x  x  x   1    x   6 x  x  1 2  x   3.0    1  2.0    3x  x  x  3.0  2.0   b) lim  lim x x x  x  x  x   3.0  2.0 4  x x 3x3  x  c) lim  lim x  2 x  x  x  2  x x   2.0  2.0   2  2.0  2   x x 3 Câu 80: Tính giới hạn sau a) lim x  x  3x  x 3x  b) lim x  x  x   3x  4x    x c) lim x  x x3 x2  Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 144  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Lời giải a) Đặt x  t Với x    t   Khi lim x  x  3x  x t  3t  2t  lim   lim t  t  3x  3t  x  x   3x  4x2    x x   3 x x x 4 1   1 x x 1 b) lim 2  3.0  t     3  t 1  lim x  Đặt x  t Với x    t   Khi 1    x  x   3x  t  t   3t  t t t  lim  lim  t  t  1 x2    x 4t    t   1 t t lim x   x x3 x x2  lim  c) lim x  x  x  1 x  3.0 0 1 a) lim x2 x2  x2 b) lim x 2 2 x 2 x  5x  c) lim x 2 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Câu 81: Tính giới hạn sau 2x 2 x  5x  Lời giải x2   lim a) lim x 2 x 2 x2 b) lim x2 c) lim x2 2 x 2 x  5x  2x 2x  5x  x2   x2  lim x2 1  lim  x  2x   x   x  1  lim 2 x 1  lim   x   x  1 x2 x  x2 x2 Câu 82: Xét tính liên tục hàm số điểm : a) x3 x   f  x   x 1 (tại x  ) 1 x   x32 x   x  b) f  x    1 x   (tại x  ) Lời giải Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 145  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU a  Ta có: f  1   WEB: Toanthaycu.com 1   1 1  x3  1  f  1  hàm số liên tục x  1 x 1 x  lim f  x   lim x 1 b  Ta có : f 1  lim f  x   lim x 1 x 1  x3 2  x  1   lim  x 1 x3 2  x  1   x3 2 x3 2    lim x 1  f 1 x32 Vậy hàm số liên tục x  Câu 83: Xét tính liên tục hàm số điểm ra:   x  x  x3 x   a) f  x    x  3x  (tại x  ) 1 x    x 5 x   b) f  x    x   (tại x  )  x  2  x   Lời giải a  Ta có: f    x2 Vậy hàm số liên tục x  2 b  Ta có: f         Lại có lim f  x   lim  x  5  3    x 5 x 5 Và lim f  x   lim x 5 x 5 x5  lim x   x 5   x  5  2x 1  2x 1    2x 1    lim x 5 2x 1  3 Từ f  5  lim f  x   hàm số liên tục x  x 5 Câu 84: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng : a)  x3  x  x  1  f  x   x 1 4 x  1   x  3x  x   x  b) f  x   5 2 x  x   Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133 146 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  x     x  3x  1  x  x  x3  x  3x   lim  lim   f  2 x2 x2 x2 x  3x   x   x  1  x  1 Mà lim f  x   lim  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Lời giải x3    x  1 x3  x    lim f  x   lim  lim  lim 1   3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x  x 1  a Do đó, hàm số liên tục x  1 b  lim  x  x   =2; lim  x  1  x2 x2 Mà f  x   x  nên  lim f  x   lim f  x   lim f  x  x 2 x 2 x 2 Do đó, hàm số cho liên tục x  Câu 85: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng :  x2   f  x   x  4  a) x  2 x  2  x2   b) f  x    x  2  x  x  Lời giải a  Hàm số f  x  liên tục với x  2 1 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133  x   x    lim x   2   4 x2  lim f  x   lim  lim   x 2 x 2 x  x 2 x 2 x2 f  2   4  lim f  x   f  2   f  x  liên tục x  2   x 2 Từ 1   ta có f  x  liên tục  b  Hàm số f  x  liên tục với x  lim f  x   lim x f  2  x  1   x x x2   lim  lim x     2 x x  x x 2  lim f  x   f x     f  x  liên tục x    2 Từ 1   ta có f  x  liên tục  Câu 86: Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x3  3x   b) x   x  Lời giải a  Dễ thấy hàm f  x   x3  3x  liên tục R Ta có: Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133 147  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com  f  2   1  f  2  f  1   tồn số a1   2; 1 : f  a1   1   f  1   f     f   f 1   tồn số a2   0;1 : f  a2       f 1  1  f 1  1  f 1 f     tồn số a3  1;  : f  a3    3   f    Do ba khoảng  2; 1 ,  0;1 1;  đôi không giao nên phương trình x3  3x   có nghiệm phân biệt Mà phương trình bậc có tối đa nghiệm nên x3  3x   có nghiệm phân biệt b  Đặt  x  t  x   t  2t  6t   Xét hàm số f  t   2t  6t  liên tục R  f  2  f  1  3.5   Ta có:  f   f 1   3   tồn số t1 , t2 t3 thuộc khoảng đôi   f 1 f    3.5  không giao  2; 1 ,  0;1 1;  cho f  t1   f  t2   f  t3   Ứng với giá trị t1 , t2 t3 ta tìm giá trị x thỏa mãn x   t hiển nhiên giá trị khác nên PT ban đầu có nghiệm phân biệt Câu 87: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x  3x   b) x  x3  3x  x   Lời giải a  Xét f  x   x5  3x  lim f  x     tồn số x1  cho f  x1   x  lim f  x     tồn số x2  cho f  x2   x  Từ f  x1  f  x2    tồn số x0   x2 ; x1  : f  x0   nên phương trình x5  3x   ln có nghiệm b  Xét f  x   x  x3  3x  x  liên tục R Ta có: f  1  3  lim f  x     tồn số a  cho f  a   x  Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 148 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 phương trình bậc nên f  t   có nghiệm phân biệt  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com  x  x   nên tồn số x0   0; a  thỏa mãn f  x0   nên phương trình x  x3  3x  x   ln có nghiệm GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 149