Bai giang gioi han ham so lien tuc toan 11 ket noi tri thuc voi cuoc song

Chương GIỚI HẠN, HÀM SỐ LIÊN TỤC §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TĨM TẮT LÍ LUYẾT Giới hạn hữu hạn dãy số Định nghĩa 1.1 Ta nói dãy số (un ) có giới hạn n dần tới dương vô cực, |un | nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở đi, kí hiệu lim un = hay n→+∞ un → n → +∞ Ví dụ Xét dãy số un = Giải thích dãy số có giới hạn n2 b Lời giải Dãy số có giới hạn 0, |un | = nhỏ số dương bé tuỳ ý n đủ lớn n Chẳng hạn, để |un | < 0, 0001 tức < 10−4 , ta cần n2 > 10000 hay n > 100 Như vậy, số n hạng dãy, kể từ số hạng thứ 101 có giá trị tuyệt đối nhỏ 0,0001  o Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có kết sau: ○ ○ = với k số nguyên dương; n→+∞ nk lim lim qn = |q| < 1; n→+∞ ○ Nếu |un | ≤ với n ≥ lim = lim un = n→+∞ n→+∞ Định nghĩa 1.2 Ta nói dãy số (un ) có giới hạn số thực a n dần tới dương vô cực lim (un − a) = 0, n→+∞ kí hiệu lim un = a hay un → a n → +∞ n→+∞ Ví dụ Xét dãy số (un ) với un = 2n + Chứng minh lim un = n→+∞ n LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 Trang GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ b Lời giải 2n + (2n + 1) − 2n Ta có un − = −2 = = → n → +∞ Do lim un = n→+∞ n n n ○ Nếu un = c (c số) lim un = c o  n→+∞ ○ lim un = a lim (un − a) = n→+∞ n→+∞ Định lí giới hạn hữu hạn dãy số Tính chất 1.1 Các quy tắc tính giới hạn a) Nếu lim un = a lim = b n→+∞ ○ ○ n→+∞ lim (un + ) = a + b ○ lim (un − ) = a − b ○ n→+∞ n→+∞ lim (un · ) = a · b n→+∞ un a = (nếu b 6= 0) n→+∞ b lim b) Nếu un ≥ với n lim un = a a ≥ lim n→+∞ n→+∞ √ un = √ a Ví dụ n2 + n + n→+∞ 2n2 − Tìm lim b Lời giải Để tính giới hạn dãy số dạng phân thức, ta chia tử thức mẫu thức cho luỹ thừa cao n, áp dụng quy tắc tính giới hạn Áp dụng quy tắc tính giới hạn, ta ã Å 1 1 lim + + 1+ + n2 + n + 1 n→+∞ n n n n Å ã = lim = lim = 1 n→+∞ 2n − n→+∞ 2− lim − n→+∞ n n  Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn (un ) có cơng bội q với |q| < gọi cấp số nhân lùi vô
hạn Cho cấp số n u1 − q nhân lùi vô hạn (un ) với công bội q Khi Sn = u1 + u2 + + un = 1−q Vì |q| < nên qn → n → +∞ Do đó, ta có ï lim Sn = lim n→+∞ n→+∞ Å ã ò u1 u1 u1 − qn = 1−q 1−q 1−q Giới hạn gọi tổng cấp số nhân lùi vơ hạn (un ), kí hiệu S = u1 + u2 + + un + Như u1 S= (|q| < 1) 1−q LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 Trang Chương GIỚI HẠN, HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ Å ã n −1 1 + Tính tổng S = − + − + + − b Lời giải u1 = Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = q = − Do S = 1−q  Å ã= 1− − Ví dụ Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 2,222 dạng phân số b Lời giải Ta có 2,222 = + 0,2 + 0,02 + 0,002 + = + · 10−1 + · 10−2 + · 10−3 + Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 2, q = 10−1 nên 2,222 = u1 = 1−q 1− 10 = 20  Giới hạn vô cực dãy số Định nghĩa 1.3 ○ Dãy số (un ) gọi có giới hạn +∞ n → +∞ un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở đi, kí hiệu lim un = +∞ hay un → +∞ n → +∞ n→+∞ ○ Dãy số (un ) gọi có giới hạn −∞ n → +∞ lim (−un ) = +∞, kí hiệu n→+∞ lim un = −∞ hay un → −∞ n → +∞ n→+∞ Theo định nghĩa trên, ta có ○ ○ lim nk = +∞, với k số nguyên dương; n→+∞ lim qn = +∞, với q > n→+∞ Liên quan đến giới hạn vô cực dãy số, ta có số quy tắc sau đây: un = n→+∞ ○ Nếu lim un = a lim = +∞ (hoặc lim = −∞ ) lim n→+∞ n→+∞ n→+∞ un = +∞ n→+∞ ○ Nếu lim un = a > 0, lim = > với n lim n→+∞ n→+∞ ○ Nếu lim un = +∞ lim = a > lim un = +∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ Ví dụ Tinh lim n→+∞
n2 − 2n LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 Trang GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ b Lời giải Å ã Å ã 2 2 Ta có n − 2n = n − Hơn lim n = +∞ lim − = n→+∞ n→+∞ n n
Do đó, lim n2 − 2n = +∞ n→+∞ B  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Phương pháp đặt thừa số chung (lim hữu hạn) Ví dụ 2n3 − 2n + Tìm giới hạn sau lim − 4n3 b Lời giải 2− + 2n3 − 2n + n n = −1 lim = lim − 4n −4 n  Ví dụ √ Tìm giới hạn sau lim n4 + 2n + n2 + b Lời giải … 2 √ 1+ + n4 + 2n + n n = = lim lim n2 + 1+ n  Ví dụ Tìm giới hạn sau lim 3n +1 − 4n 4n −1 + b Lời giải 3n +1 − 4n · 3n −1 − · 4n −1 lim n−1 = lim +3 4n −1 + Å ãn −1 9· −4 = lim Å ãn−1 = −4 1+3·  Ví dụ Tìm giới hạn sau lim + + 22 + · · · + 2n + + 32 + · · · + 3n b Lời giải LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 Trang Chương GIỚI HẠN, HÀM SỐ LIÊN TỤC − 2n +1
− 2n +1 · + + 22 + · · · + n − = lim lim = lim = lim + + 32 + · · · + n − 3n +1 − 3n +1 −2 ÇÅ ãn+1 Å ãn+1 å ·2 − 3 = Å ãn +1 −1  Dạng Phương pháp lượng liên hợp (lim hữu hạn) Nếu giới hạn dãy số dạng vơ định ta sử dụng phép biến đổi để đưa dạng Một số phép biến đổi liên hợp: ( f (n))2 − (g(n))2 f (n) + g(n) » » f (n) − g(n) p f (n) − g(n) = p f (n) + g(n) » f (n) − (g(n))2 f (n) − g(n) = p f (n) + g(n) » » f (n) − g(n) p f (n) − g(n) = p p ( f (n))2 + f (n)g(n) + (g(n))2 f (n) − g(n) = Ví dụ Tính giới hạn I = lim Ä√ ä n2 − 2n + − n b Lời giải Ta có I = lim Äp n2 − 2n + − n ä n2 − 2n + − n2 = lim √ n2 − 2n + + n −2n + = lim √ n2 − 2n + + n −2 + n3 = lim » − n2 + n32 + −2 =√ = −1 1+1 Ví dụ Tính giới hạn I = lim  Ä√ n2 + − √ ä n2 + b Lời giải LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 Trang GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Ta có I = lim Äp n2 + − p n2 + ä n2 + − (n2 + 5) √ = lim √ n2 + + n2 + √ = lim √ n + + n2 + =0 Ví dụ Tính giới hạn I = lim  Ä√ n2 + 2n − √ ä n2 − 2n b Lời giải Ta có I = lim Äp n2 + 2n − p n2 − 2n ä n2 + 2n − (n2 − 2n) √ = lim √ n2 + 2n + n2 − 2n 4n √ = lim √ n2 + 2n + n2 − 2n » = lim » + n2 + − n2 √ =2 =√ 1+ Ví dụ Tính giới hạn I = lim  Ä√ 2n2 − n + − √ ä 2n2 − 3n + b Lời giải Ta có I = lim p Äp ä 2n2 − n + − 2n2 − 3n + 2n2 − n + − (2n2 − 3n + 2) √ = lim √ 2n2 − n + + 2n2 − 3n + 2n − √ = lim √ 2n2 − n + + 2n2 − 3n + 2 − n1 » = lim » − n1 + n12 + − n3 + n22 √ =√ =√ 2+ 2  LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 Trang Chương GIỚI HẠN, HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ Ä ä √ Tính giới hạn I = lim n − n3 + 3n2 + b Lời giải Ta có p Ä ä I = lim n − n3 + 3n2 + = lim n3 − (n3 + 3n2 + 1) » √
2 3 n2 + n3 + 3n2 + + n3 + 3n2 + = lim −3n2 − » √
2 3 n3 + 3n2 + n2 + n3 + 3n2 + + −3 − = lim 1+ = » 1+ n + n3 + n … Ä 1+ n + ä n3 −3 √ √ = −1 1+ 1+  Giới hạn vô cực Dạng ○ ○ ○ lim √ n→+∞ n = +∞ ; lim nk = +∞ với k số nguyên dương; n→+∞ lim qn = +∞ q > n→+∞ Định lý: ○ Nếu lim un = a > lim = với > lim un = +∞; ○ Nếu lim un = +∞ lim = a > lim un = +∞ Ví dụ Tìm giới hạn a) lim(n3 + n2 + n + 1)
√ b) lim n2 − n n + b Lời giải Å ã 1 a) + n + 1) = + + + = +∞ n n n Å ã
√ 1 2 b) lim n − n n + = lim n − √ + = +∞ n n lim(n3 + n2 lim n3  LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 Trang GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Ví dụ Tìm giới hạn √ n5 + n4 − n − a) lim 4n3 + 6n2 + b) lim n6 − 7n3 − 5n + n + 12 Ä ä √ c) lim n + n2 − n + b Lời giải n2 + n − n12 − n23 n5 + n4 − n − n2 + n a) lim = +∞ = lim = lim 4n3 + 6n2 + + n6 + n93 » » √ 1− − + 3 n n − n73 − n55 + n − 7n − 5n + n3 n5 n6 b) lim = lim = lim n + 12 n + 12 + 12 n » Ä ä ä Ä √ c) lim n + n2 − n + = n + − n1 + n12 = lim 2n = +∞ n6 = +∞  Ví dụ Tìm giới hạn a) lim Ä ä √ b) lim n + n3 − 2n + 13 + 23 + + n3 √ n2 + 3n n + c) lim n3 − 3n 2n + 15 b Lời giải 2 + 1)2 13 + 23 + + n3 n (n √ (n + 1) √ = lim (n + 1)2 = +∞ a) lim = lim = lim n + 3n n + n + 3n n + + √ + n2 n » Ä ä Ä √ b) lim n + n3 − 2n + = n + − c) lim n2 + n3 ä = lim 2n = +∞ n3 − 3n n2 − = lim = +∞ 2n + 15 + 15 n  Dạng Tính tổng dãy cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn u1 , u1 q, , u1 qn−1 , có cơng bội q thỏa mãn |q| < gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn cho S = u1 + u1 q + u1 q2 + = Ví dụ 1 Cho cấp số nhân (un ), với u1 = công bội q = a) So sánh |q| với b) Tính Sn = u1 + u2 + · · · + un từ tính lim Sn LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 u1 1−q Trang 10 Chương GIỚI HẠN, HÀM SỐ LIÊN TỤC b Lời giải Trang 101 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V b Lời giải 1 1 + ) = lim [ lim ( + ] x →2 (x − 1)(x − 2) x →2 x − 3x + (x − 2)(x − 3) x − 5x + x−3+x−1 = lim = −2 = lim x →2 (x − 1)(x − 3) x →2 (x − 1)(x − 2)(x − 3) Chọn đáp án A Câu 23 √ Tính lim x →−∞ x2 + 5x + + x 3x + A B √ Ta có lim x →−∞ C − x2 + 5x + + x = lim x →−∞ 3x + b Lời giải » − x + 5x + x12 + x 3x +  D = lim x →−∞ » − + 5x + 3+ x2 +1 x Chọn đáp án A =  Câu 24 x3 − x 6= liên tục R? Với giá trị a hàm số f (x) = x−2  5x + a x =   A a = B a = C a = −1 D a = −2 b Lời giải Với x 6= f (x) = x3 −8 hàm số xác định liên tục khoảng (−∞; 2) (2; +∞) x−2 Với x = 2, ta có: f (2) = 10 + a (1) x3 − = lim (x2 + 2x + 4) = 12 (2) lim f (x) = lim x →2 x →2 x →2 x − Để hàm số f (x) liên tục R ⇔ f (x) liên tục x = ⇔ 10 + a = 12 ⇔ a = Chọn đáp án A Câu 25 Với giá trị a hàm số f (x) =      A a = −20 B a = x2 − x > liên tục x = 2? x+2−2 a + 2x x ≤ √ C a = 12 D a = 10 b Lời giải x2 −4 hàm số xác định liên tục (2; +∞) x+2−2 Với x < f (x) = a + 2x hàm đa thức nên liên tục (−∞; 2) Xét x = 2, ta có: f (2) = + a (1) Ä√ ä x2 − lim f (x) = lim √ = lim (x + 2) x + + = 16 (2) x →2+ x →2+ x →2+ x+2−2 Với x > f (x) = √ LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131  Trang 102 Chương GIỚI HẠN, HÀM SỐ LIÊN TỤC lim f (x) = lim (a + 2x) = a + (3) x →2− x →2− Để hàm số f (x) liên tục x = ⇔ + a = 16 ⇔ a = 12 Chọn đáp án C  Câu 26 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Phương trình 2x3 − 10x − = có nghiệm √ B Phương trình 2x + − x = có nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−4; 7) C Phương trình x5 − 5x3 + 4x − = có nghiệm thuộc khoảng (−2; 3) √ D Phương trình cos2 x − x = vô nghiệm b Lời giải √ Xét hàm số f (x) = cos2 x − x có tập xác định D = [0; +∞) » π f (0) = f ( ) = − π2 Suy f (0) f ( π2 ) < mà hàm số liên tục [0; π2 ] Nên phương trình √ f (x) = ⇔ cos2 x − x = có nghiệm (0; π2 ) Phân tích phương án: Đáp án A: Xét f (x) = 2x3 − 10x − hàm đa thức có f (0) = −7, f (−1) = √ Đáp án B: 2x + − x = ⇔ (2x − 3)3 − 216(x − 1) = Xét hàm số f (x) = (2x − 3)3 − 216(x − 1) hàm đa thức nên liên tục R có f (−4) = −251, f (0) = 189, f (1) = −1, f (7) = 35 Suy f (−4) f (0) < 0, f (0) f (1) < 0, f (1) f (7) < Nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng (−4; 7) mà f (x) đa thức bậc nên f (x) có nghiệm (có thể dùng máy tính để kiểm tra) Đáp án C: Xét f (x) = x5 − 5x3 + 4x − hàm đa thức nên liên tục R; tính giá trị sau f (−2), f (− 32 ), f (−1), f ( 12 ), f (1), f (3) Từ kết luận phương trình có nghiệm (có thể dùng máy tính để kiểm tra) Chọn đáp án D  Câu 27 Cho dãy số (un ) xác định A    u1 = Å ãn Tìm lim un   u n +1 = u n + , n ∈ N∗ B C D −2 b Lời giải Ta có: Å ãn −1 u n − u n −1 = ; Å ãn −2 u n −1 − u n −2 = ; ; u2 − u1 = Å ã2 Å ãn −1 1 Cộng vế theo vế, ta được: un − u1 = + + + 2 Å ãn −1 Vì u1 = ⇒ un = − ⇒ lim un = 2 Å ãn −1 Å ãn −1 1− 1 = = 1− 2 1− LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 Trang 103 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V Chọn đáp án A  Câu 28 Có giá trị tham số m ∈ R thỏa mãn √ √ x+m+ x−m = lim x →0 x A B √ x+m+ x √ C D b Lời giải x−m 2 = √ √ √ x →0 m2 x + m − x + m x − m +√3 x − m 27 Thay vào ta phương trình √ = ⇔ m2 = ⇔m=± m Ta có : lim = lim √ x →0 √ Chọn đáp án D  Câu 29 √ √ √ √ √ x2 + − x √ = a + b + c + d(a, b, c, d ∈ Q) Tính ab − cd Cho lim √ x →−∞ x2 + − x A B C D b Lời giải √ √ √ x2 + − x 1√ 1√ 1+ 1√ √ =− √ = Tính lim √ 2+ 3+ − nên ab − cd = x →−∞ 2 2 1+ x2 + − x Chọn đáp án A  Câu 30 √ √ − x3 − x2 + lim có giá trị bao nhiêu? 2017x2 − 2017 x →1 11 11 A − B 48408 48408 C − 11 48409 b Lời giải √ √ √ √ 3 − x3 − x2 + − x3 − x2 + − lim = − lim ]= [lim 2017 x→1 x2 − 2017(x2 − 1) x2 − x →1 x →1 D − 2017 (− 11 46391 11 ) = − 48408 − 12 Chọn đáp án A  Câu 31 √ lim ( x100 − 2017.x50 + 32 − x50 ) có giá trị bao nhiêu? x →+∞ A B − C − b Lời giải LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 2017 D +∞ Trang 104 Chương GIỚI HẠN, HÀM SỐ LIÊN TỤC −2017 + −2017.x50 + 32 lim ( x100 − 2017.x50 + 32 − x50 ) = lim √ = lim … x →+∞ x →+∞ x 100 − 2017.x50 + 32 + x50 x →+∞ 2017 − 50 + x −2017 = Chọn đáp án C √ 32 x50 32 +1 x100  Câu 32 Từ hình vng có diện tích 1m2 Gọi A, B, C, D trung điểm bốn cạnh hình vng, bạn Hùng dùng bút chì vẽ theo hình vng ABCD để hình vng thứ hai Bạn Hùng lại tiếp tục vẽ theo bốn trung điểm cạnh hình vng ABCD để hình vng thứ ba, tiếp tục Tính tổng diện tích tất hình vng có A B C D b Lời giải Đặt a = độ dài cạnh hình vng, S1 = diện tích hình vng ban đầu Do M, N√ trung điểm hai cạnh hình vng nên a2 S a ⇒ S2 = MN = = = MN = 2 2 Lại lấy trung điểm cạnh hình vng MNPQ để tiếp tục, đó, hình vng sinh có diện Ç √ å2 S MN MN = = tích S3 = = 2 4 Vậy hình vng sinh có diện tích 1, 1 , , , n , Vậy tổng diện tích hình vng tạo thành S = 1· = − 12 D C A B Chọn đáp án B Câu 33  √ √ x2 − − + 5x a a Cho lim = , với tối giản Tìm giá trị tổng a2 + b2 x →3 x−3 b b A 4709 B 6005 C 1145 D 449 b Lời giải Ta có √ lim x →3 Chọn đáp án C √ √ √ x2 − − + 5x x2 − − 2 − + 5x 11 = lim + lim = − = x →3 x →3 x−3 x−3 x−3 12 32 32  LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 Trang 105 B BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V TỰ LUẬN Bài Cho dãy số (un ) có tính chất |un − 1| < Có kết luận giới hạn dãy số này? n b Lời giải    | u n − 1| < n ⇒ lim |u − 1| = ⇒ lim u = Ta có n n n→+∞ n→+∞   lim =0 n→+∞ n  Bài Tìm giới hạn dãy số sau n2 a) un = ; 3n + 7n − n 3k + 5k b) = ∑ ; 6k k =0 c) wn = sin n 4n b Lời giải a) n2 = lim n→+∞ 3n2 + 7n − n→+∞ lim un = lim n→+∞ 1 = 3+ − n n Å ãk Å ãk n n 3k + 5k b) lim = lim ∑ + = = lim lim ∑ ∑ n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ 6k k =0 k =0 k =0 n sin n ≤ , mà lim = Suy lim wn = c) Ta có wn = n→+∞ 4n n→+∞ 4n 4n  Bài Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số a) 1,(01); b) 5,(132) b Lời giải a) 1,(01); Ta có 1,(01) = 1,010101 = + 0,01 + 0,0001 + 0,000001 + = + 10−2 + 10−4 + 10−6 + Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, q = 10−2 nên 1,(01) = LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 u1 = 1−q 1− 100 = 100 99 Trang 106 Chương GIỚI HẠN, HÀM SỐ LIÊN TỤC b) 5,(132) Ta có 5,(132) = 5,132132132 = 132 + 0,132 + 0,000132 + 0,000000132 + − 127 = 132 + 132 · 10−3 + 132 · 10−6 + 132 · 10−9 + − 127 Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 132, q = 10−3 trừ 127 nên 5,(132) = u1 − 127 = 1−q 132 1709 − 127 = 333 1− 1000  Bài Tính giới hạn sau: √ x+2−3 a) lim ; x →7 x−7 x3 − ; x →1 x − b) lim 2−x ; x →1 (1 − x)2 d) lim √ c) lim x →−∞ x+2 4x2 + b Lời giải a) Ta có √ lim x →7 Ä√ ä2 x + − 32 x+2−3 x−7 Ä√ ä = lim Ä√ ä = lim x →7 (x − 7) x →7 (x − 7) x−7 x+2+3 x+2+3 = lim √ x →7 1 = x+2+3 b) Ta có x3 − (x − 1)(x2 + x + 1) = lim (x − 1)(x + 1) x →1 x − x →1 x +x+1 = = lim x+1 x →1 lim 2−x = +∞ x →1 (1 − x)2 c) Ta có lim (2 − x) = 1; lim (1 − x)2 = 0; (1 − x)2 > 0, ∀ x 6= nên lim x →1 x →1 d) Ta có Å ã x 1+ x+2 x+2 x … … lim √ = lim = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ 1 4x2 + |x| + −x + x x 1+ … x = lim =− x →−∞ − 4+ x  LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 Trang 107 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V Bài Tính giới hạn bên: a) lim x →3+ x2 − | x − 3| b) lim √ x →1− x 1−x b Lời giải a) Ta có x → 3+ ⇒ x > ⇒ x − > Vậy lim x →3+ b) Ta có lim x = 1; lim x →1− √ x →1− x2 − = | x − 3| = − x = √ (x − 3)(x + 3) x−3 lim (x + 3) = lim x →3+ x →3+ − x > 0, ∀ x < nên lim √ x →1− x = +∞ 1−x  Bài |x| không tồn x →0 x Chứng minh giới hạn lim b Lời giải ○ lim |x| −x = lim = lim (−1) = −1 x x →0− x x → 0− ○ lim |x| x = lim = lim = x x →0+ x x →0+ x →0− x →0+ Vậy lim x →0− |x| |x| |x| 6= lim nên giới hạn lim không tồn + x →0 x x x x →0 Bài Giải thích hàm số sau gián đoạn điểm cho  ®  x 6= + x x < a) f (x) = x điểm x = 0; b) g(x) = điểm x =  − x x ≥ 1 x = b Lời giải a) Ta có ○ f (0) = 1 không tồn x →0 x ○ Xét lim f (x) = lim x →0 Vậy hàm số gián đoạn x = b) Ta có LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131