Lời giải Khi thay đổi vị trí của điểm M thì góc giữa a'''' và b'''' không thay đổi Định nghĩa Góc giữa hai đường thẳng a , b trong không gian, kí hiệu a b , là góc giữa hai đường thẳng , a′ v
BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO WEB: Toanthaycu.com CHƯƠNG VIII: QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN BÀI HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Ta biết cách xác định góc hai đường thẳng thuộc mặt phẳng Có góc hai đường thẳng chéo khơng? Nếu có, làm để xác định? Lời giải Có góc đường thẳng chéo Cách xác định góc đường thẳng chéo a b : Kẻ đường thẳng c song song với b thuộc mặt phẳng chứa a Góc a b góc a c Góc hai đường thẳng không gian Cho hai đường thẳng chéo a b không gian Qua điểm M tuỳ ý vẽ a′//a vẽ b′//b Khi thay đổi vị trí điểm M , có nhận xét góc a′ b′ ? GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Lời giải Khi thay đổi vị trí điểm M góc a ' b ' không thay đổi Định nghĩa Góc hai đường thẳng a , b khơng gian, kí hiệu ( a, b ) , góc hai đường thẳng a′ b′ qua điểm song song trùng với a b Chú ý: a) Để xác định góc hai đường thẳng a , b ta lấy điểm O nằm hai đường thẳng vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cịn lại b) Góc hai đường thẳng nhận giá trị từ 0° đến 90° Ví dụ Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có mặt hình vng M , N , E , F trung điểm cạnh BC , BA , AA′ , A′D′ Tính góc cặp đường thẳng: a) A′C ′ BC ; b) MN EF Lời giải Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO a) Ta có AC //A′C ′ , suy ( A′C ′, BC= ) ( AC , BC=) b) Ta có AC // MN , AD′ // EF , suy ( MN , EF = ) WEB: Toanthaycu.com ACB= 45° (tam giác ABC vuông cân B ) ( AC , AD′=) =′ 60° ( tam giác ACD′ có ba CAD cạnh nhau) Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có mặt hình vuông M , N , E , F trung điểm GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 cạnh BC , BA , AA′ , A′D′ Tính góc cặp đường thẳng: a) MN DD′ ; b) MN CD′ ; c) EF CC ′ Lời giải a) Trong tam giác ABC có MN đường trung bình nên MN / /AC Mà AA' // DD' Nên góc MN DD' góc AC Và AA′ b) Vì MN//AC nên góc MN CD góc AC CD′ c) Trong tam giác AA′D′ có EF đường trung bình nên EF / / AD′ Mà CC'//AA' Nên góc EF CC ′ góc AA′ AD′ Khung mái nhà ghép gỗ Hình Cho biết tam giác OMN vng cân O Tính góc hai gỗ a b Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO WEB: Toanthaycu.com Lời giải Vì a / / OM nên góc a b góc MN OM o Mà tam giác OMN vuông cân nên góc a b 45 Hai đường thẳng vng góc khơng gian Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có mặt hình vng Nêu nhận xét góc cặp đường thẳng: a) AB BB′ ; b) AB DD′ Lời giải GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 o a) ABB′A′ hình vng nên góc AB BB ' 90 o b) Vì DD '/ / AA ' nên góc AB DD ' góc AB AA ' 90 Định nghĩa Hai đường thẳng a , b gọi vng góc với góc chúng 90° Hai đường thẳng a , b vng góc kí hiệu a ⊥ b b ⊥ a Ví dụ Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có mặt hình vng Chứng minh AB ⊥ CC ′ , AC ⊥ B′D′ Lời giải Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO WEB: Toanthaycu.com Ta có CC ′ // BB′ , suy ( AB, CC ′= ) ABB=′ 90° Vậy AB ⊥ CC ′ Ta có 90° (hai đường chéo hình vng ln vng góc ( AB, BB′=) B′D′ // BD , suy ( AC , B′D′= ) ( AC , BD=) với nhau) Vậy AC ⊥ B′D′ Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có mặt hình vng a) Tìm đường thẳng qua hai đỉnh hình lập phương vng góc với AC b) Trong đường thẳng tìm câu a , tìm đường thẳng chéo với AC Lời giải GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 a) Các đường thẳng qua hai đỉnh hình hộp vng góc với AC là: BD, B ' D ', AA ', CC ', BB ', DD ' b) Trong đường thẳng trên, đường thẳng chéo với AC B ' D ' Chú ý: a) Hai đường thẳng vng góc cắt chéo b) Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng vng góc với đường vng góc với đường c) Trong khơng gian, có hai đường thẳng phân biệt a , b vng góc với đường thẳng thứ ba c ta chưa kết luận a // b hình học phẳng Hình bên mơ tả người thợ ốp gạch vào tường có sử dụng thước laser để kẻ vạch Tìm đường thẳng vng góc với đường thẳng a Hình Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO WEB: Toanthaycu.com Lời giải Các đường thẳng vng góc với a là: chân tường, mép viên gạch ốp, B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tính góc hai đường thẳngHu Phương pháp Lấy điểm O tùy ý ( ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng), qua vẽ đường thẳng song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng cho Tính góc góc tạo hai đường thẳng cắt O Nếu góc nhọn góc cần tìm, góc tù góc cần tính góc bù với góc tính Các ví dụ rèn luyện kĩ GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I trung điểm BC Tính cơsin góc tạo hai đường thẳng DI AB Lời giải Đặt cạnh tứ diện có độ dài a Gọi J trung điểm AC Ta có: IJ //AB AB, DI IJ , DI DIJ Kẻ HD IJ , H IJ a IH 4= 1= = = Ta có: cos DIJ DI a 3 Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Xác định Góc tạo hai đường thẳng BD CD’ Lời giải Do BA' // CD' nên góc BD CD’ góc BD BA’ Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO WEB: Toanthaycu.com Mà ∆A' BD tam giác nên góc BD BA’ 60o Vậy góc BD CD’ 60o Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC AD Cho biết AB = CD = 2a MN = a Xác định góc tạo hai đường thẳng AB CD Lời giải Gọi I trung điểm AC ta có: IM = IN = a Áp dụng định lí cơsin ∆IMN : MN = IM + IN − 2IM.IN cos MIN ⇒ cos MIN = − 3a = a + a − 2a.a cos MIN Suy ra: MIN = 120° AB,CD )= ( IM,IN )= 180° − 120°= 60° Vậy: ( Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, BC , C ′D′ Xác định góc hai đường thẳng MN AP Lời giải GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Dễ thấy MN đường trung bình tam giác ABC nên MN / / AC ⇒ ( MN ; AP ) = AC ; AP ) ( Lại có AC = a 2, CP = AP = A′P + AA′2 = CC ′2 + C ′P = a A′D′2 + D′P + AA′2 = AP + AC − CP = Do cos CAP = AP AC = 45°= ( ⇒ CAP MN ; CP ) 3a 2 Ví dụ Cho hình chóp S ABC có tất cạnh a Gọi I , J trung điểm SA, BC Tính số đo góc hợp IJ SB Lời giải Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO WEB: Toanthaycu.com Gọi M trung điểm AB MI , MJ đường trung bình tam giác ASB ABC a = MJ = Ta có: MI = JS = Mặt khác JA Khi IJ = a ⇒ tam giác JSA cân J ⇒ JI ⊥ SA SJ − SI = a ⇒ MI + MJ = IJ nên tam giác MIJ vuông cân M ⇒ ( IJ ; SB ) = IJ ; IM ) = 45° ( Dạng Chứng minh hai đường thẳng vng góc khơng gian Phương pháp Cách 1: Dùng định nghĩa: a ⊥ b ⇔ ( a, b ) = 900 GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 b / /c ⇒a⊥b Cách 2: Dùng định lí: a ⊥ c Các ví dụ rèn luyện kĩ Chứng minh SA vng góc với BC = SAB Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có AB = AC , SAC Lời giải = SAB nên ∆SAC = ∆SAB , suy SB = SC , nên hai tam giác ABC SBC tam Vì AB = AC , SAC AH ⊥ BC giác cân Gọi H trung điểm BC , ta có SH ⊥ BC ⇒ ( SAH ) ⊥ BC nên SA ⊥ BC ⇒ ( SA , BC ) = 90° Vậy SA ⊥ BC Ví dụ Cho hình hộp ABCD.MNPQ có sáu mặt hình vng Gọi E , F trung điểm AB BC a) Chứng minh: EF ⊥ BD , EF ⊥ AM Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO WEB: Toanthaycu.com b) Tính góc EF AQ Lời giải a) Chứng minh: EF ⊥ BD , EF ⊥ AM Ta thấy: EF đường trung bình ∆ABC ⇒ EF // AC AC ⊥ BD Mà: AC ⊥ AA ' nên EF ⊥ BD , EF ⊥ AM b) Tính góc EF AQ Ta có: EF // AC ⇒ ( EF , AQ ) = ( AC , AQ ) = CAQ = AQ = CQ = a Nhận thấy: AC GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 = 60° ⇒ ∆ACQ CAQ = ⇒ ( EF , AQ ) = CAQ 60° BSC CSA Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC ASB Chứng minh SA BC , SB AC SC AB Lời giải • Qua O vẽ đường thẳng song song với CD cắt BC E cắt BD F • AO , CD Ta cần chứng minh AO EF Ta có AOE • Vì EF / /CD nên BEF tam giác nên BE BF OE OF 1 • Xét hai tam giác ABE ABF , ta có AB chung BE BF nên ABE ABF c g c Suy AE AF 2 ABF ABE • Từ 1 2 , suy tam giác AEF cân A có AO trung tuyến nên đường cao • 900 Vậy AO CD Do AOE C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi ABCD cạnh a Cho biết SA = a , SA ⊥ AB SA ⊥ AD Tính góc SB CD , SD CB Lời giải Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO WEB: Toanthaycu.com Do CD / / AB nên góc SB CD góc AB SB ABS Do CB / / AD nên góc SD CB góc SD AD ADS ABS = tan ADS = Ta có: tan a = a GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 π = = ABS ADS Suy Bài Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB ⊥ CD Lời giải Gọi M , N , P trung điểm AC , BC , AD Gọi a độ dài cạnh tứ diện ABCD MP Tam giác ACD MP đường trung bình nên= 1 = CD a, MP / / CD 2 MN Tam giác ABC MN đường trung bình nên= 1 = AB a; MN / / AB 2 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 BÀI GIẢNG TỐN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Tam giác ABD có BP trung tuyến nên BP = WEB: Toanthaycu.com a Tam giác ACD A có CP trung tuyến nên CP = a Suy tam giác BCP cân P có PN trung tuyến nên PN ⊥ BC NP = 2 CP − CN = 2 a − a = 2 a NP 2 nên tam giác MNP vng M Tam giác MNP có: MN + MP = Do MN / / AB, MP / / CD nên góc AB CD góc MN MP 90° Vậy AB ⊥ CD = CSA = 60° , BSC = 90° Cho I J Bài Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = a , BSA trung điểm SA BC Chứng minh IJ ⊥ SA IJ ⊥ BC Lời giải GV: TRẦN ĐÌNH CƯ – 0834332133 Tam giác SAB có SA= Tam giác SAC có SA= SB= SC= = 60° nên tam giác SAB cạnh a Suy IB = a a; BSA = 60° nên tam giác SAC cạnh a Suy IC = a a; CSA Suy tam giác IBC cân I có IJ trung tuyến nên IJ ⊥ BC Tam giác SBC vuông cân S nên BC = 2a; SJ= a Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 10