Quan he vuong goc trong khong gian phep chieu vuong goc toan 11 canh dieu

 BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com CHƯƠNG VIII QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN PHÉP CHIẾU VNG GĨC Trong chương này, tìm hiểu vấn đề sau: hai đường thẳng vng góc; đường thẳng vng góc với mặt phẳng; góc đường thẳng mặt phẳng; góc nhị diện; hai mặt phẳng vng góc; khoảng cách khơng gian; số hình khối khơng gian BÀI HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Trong Hình 1, hai đường thẳng a, b gợi lên hình ảnh hai đường thẳng vng góc khơng gian Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với ? A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN Hoạt động Trong không gian cho đường thẳng a, b a) Nếu a cắt b điểm O (Hình 2) góc hai đường thẳng a, b xác định nào? b) Nếu a //b góc hai đường thẳng a, b độ? c) Nếu a trùng b góc hai đường thẳng a, b độ? Lời giải a) Nếu hai đường thẳng a b cắt điểm O , góc hai đường thẳng xác định góc tạo hai đường thẳng a b b) Nếu hai đường thẳng a b song song ( a / /b ) , tức chúng không cắt nhau, góc hai đường thẳng 0° c) Nếu hai đường thẳng a b trùng nhau, tức chúng hồn tồn trùng khơng có điểm cắt nào, góc hai đường thẳng khơng xác định Trong trường hợp này, ta thường nói hai đường thẳng đồng quy Dựa góc hai đường thẳng mặt phẳng, ta định nghĩa góc hai đường thẳng khơng gian sau: Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a′ b′ qua điểm O song song ( trùng) với a b Kí hiệu ( a, b ) ( a, b ) Nhận xét: Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU •  WEB: Toanthaycu.com Góc hai đường thẳng a, b khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (Hình 3) Thơng thường, ta tìm góc hai đường thẳng a, b , ta chọn O thuộc a chọn O thuộc b ( ) ( ) • Góc hai đường thẳng a, b góc hai đường thẳng b, a tức a, b = b, a • Góc hai đường thẳng khơng vượt q 90° • Nếu a //b a, c = b, c với đường thẳng c khơng gian ( ) ( ) Ví dụ 1: Cho hình hộp MNPQ.M ' N ' P 'Q ' có góc hai đường thẳng MN MQ 70° (Hình 4) a) Góc hai đường thẳng M ' N ' NP góc hai đường thẳng: A MN MP B MN MQ D NN ' NP C MP NP b) Tìm góc hai đường thẳng M ' N ' NP Lời giải a) Vì M ' N ' //MN , NP //MQ nên góc hai đường thẳng M ' N ' NP góc hai đường thẳng MN MQ Chọn phương án B b) Vì góc hai đường thẳng MN MQ 70° nên góc hai đường thẳng M ' N ' NP 70° Luyện tập Cho tứ diện ABCD có M , N , P trung điểm AB, BC , DA Biết tam giác MNP Tính góc hai đường thẳng AC BD Lời giải = Vì ∆MNP ⇒ NMP 600 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Xét ∆ABC có: M trung điểm AB; N trung điểm BC ⇒ MN đường trung bình tam giác ABC ⇒ MN / /AC Xét ∆ABD có: M trung điểm AB; P trung điểm AD ⇒ MP đường trung bình tam giác ABD ⇒ MN / /AC ( ) ( )  = ⇒  AC , BD = MN , MP = NMP 600 Vậy góc hai đường thẳng AC BD 600 II HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Hoạt động Trong Hình phần mở đầu, hai đường thẳng a, b gợi lên hình ảnh hai đường thẳng vng góc Góc a b độ? Lời giải Góc a b 90° Hai đường thẳng gọi vng góc với chúng 90° Khi hai đường thẳng a b vng góc với nhau, ta kí hiệu a ⊥ b Nhận xét: Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi Gọi M , N trung điểm cạnh SB SD (Hình 5) Chứng minh AC ⊥ MN Lời giải Vì M , N trung điểm SB SD nên MN // BD Do tứ giác ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD Từ kết trên, ta có AC ⊥ MN Luyện tập Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có H trực tâm tam giác ABC Chứng minh AH ⊥ B′C ′ Lời giải Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Vì AH trực tâm tam giác ABC ⇒ AH ⊥ BC Mặt khác BC / / B′C ′ Từ suy AH ⊥ B′C ′ B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tính góc hai đường thẳngHu Phương pháp  Lấy điểm O tùy ý ( ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng), qua vẽ đường thẳng song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng cho  Tính góc góc tạo hai đường thẳng cắt O  Nếu góc nhọn góc cần tìm, góc tù góc cần tính góc bù với góc tính Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I trung điểm BC Tính cơsin góc tạo hai đường thẳng DI AB Lời giải Đặt cạnh tứ diện có độ dài a Gọi J trung điểm AC  Ta có: IJ //AB   AB, DI    IJ , DI   DIJ Kẻ HD  IJ , H  IJ  a IH  4= 1= = = Ta có: cos DIJ DI a 3 Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Xác định Góc tạo hai đường thẳng BD CD’ Lời giải Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Do BA' // CD' nên góc BD CD’ góc BD BA’ Mà ∆A' BD tam giác nên góc BD BA’ 60o Vậy góc BD CD’ 60o Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC AD Cho biết AB = CD = 2a MN = a Xác định góc tạo hai đường thẳng AB CD Lời giải Gọi I trung điểm AC ta có: IM = IN = a Áp dụng định lí cơsin ∆IMN :  MN = IM + IN − 2IM.IN cos MIN  ⇒ cos MIN = − 3a = a + a − 2a.a cos MIN  Suy ra: MIN = 120°  AB,CD )= ( IM,IN )= 180° − 120°= 60° Vậy: ( Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, BC , C ′D′ Xác định góc hai đường thẳng MN AP Lời giải Dễ thấy MN đường trung bình tam giác ABC nên MN / / AC ⇒ ( MN ; AP ) = AC ; AP ) ( Lại có AC = a 2, CP = CC ′2 + C ′P = a Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU AP = A′P + AA′2 =  WEB: Toanthaycu.com A′D′2 + D′P + AA′2 = + AC − CP  AP = = Do cos CAP AP AC = 45°= ( ⇒ CAP MN ; CP ) 3a 2 Ví dụ Cho hình chóp S ABC có tất cạnh a Gọi I , J trung điểm SA, BC Tính số đo góc hợp IJ SB Lời giải Gọi M trung điểm AB MI , MJ đường trung bình tam giác ASB ABC a Ta có: MI = MJ = Mặt khác JA = JS = Khi IJ = a ⇒ tam giác JSA cân J ⇒ JI ⊥ SA SJ − SI = a ⇒ MI + MJ = IJ nên tam giác MIJ vuông cân M ⇒ ( IJ ; SB ) = IJ ; IM ) = 45° ( Dạng Chứng minh hai đường thẳng vng góc khơng gian Phương pháp  Cách 1: Dùng định nghĩa: a ⊥ b ⇔ ( a, b ) = 900  b / /c ⇒a⊥b Cách 2: Dùng định lí:  a ⊥ c Các ví dụ rèn luyện kĩ  = SAB  Chứng minh SA vng góc với BC Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có AB = AC , SAC Lời giải Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com  = SAB  nên ∆SAC = Vì AB = AC , SAC ∆SAB , suy SB = SC , nên hai tam giác ABC SBC tam  AH ⊥ BC giác cân Gọi H trung điểm BC , ta có  SH ⊥ BC ⇒ ( SAH ) ⊥ BC nên SA ⊥ BC ⇒ ( SA , BC ) = 90° Vậy SA ⊥ BC Ví dụ Cho hình hộp ABCD.MNPQ có sáu mặt hình vng Gọi E , F trung điểm AB BC a)Chứng minh: EF ⊥ BD , EF ⊥ AM b) Tính góc EF AQ Lời giải a)Chứng minh: EF ⊥ BD , EF ⊥ AM Ta thấy: EF đường trung bình ∆ABC ⇒ EF // AC  AC ⊥ BD Mà:   AC ⊥ AA ' nên EF ⊥ BD , EF ⊥ AM b) Tính góc EF AQ  Ta có: EF // AC ⇒ ( EF , AQ ) = ( AC , AQ ) = CAQ Nhận thấy: AC = AQ = CQ = a = 60° ⇒ ∆ACQ CAQ = ⇒ ( EF , AQ ) = CAQ 60°   BSC   CSA  Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC ASB Chứng minh SA  BC , SB  AC SC  AB Lời giải Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU •  WEB: Toanthaycu.com Qua O vẽ đường thẳng song song với CD cắt BC E cắt BD F •   AO , CD Ta cần chứng minh AO  EF Ta có AOE  • Vì EF / /CD nên BEF tam giác nên BE  BF OE  OF 1 • Xét hai tam giác ABE ABF , ta có  AB chung  BE  BF nên ABE  ABF c  g  c Suy AE  AF 2     ABF   ABE  • Từ 1 2 , suy tam giác AEF cân A có AO trung tuyến nên đường cao •   900 Vậy AO  CD Do AOE C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Hình gợi nên hình ảnh cặp đường thẳng vng góc Hãy cặp đường thẳng Lời giải Trong hình có cặp đường thẳng vng góc là: a ⊥ c, c ⊥ b, c ⊥ d , a ⊥ b, b ⊥ d Bài Trong hình cho ABB′A′ , BCC ′B′ , ACC ′A′ hình chữ nhật Chứng minh AC ⊥ CC ′ , AA′ ⊥ BC Lời giải Ta có AB   ⊥ BB ' , mặt khác BB ' / / CC ' ⇒ AA ' ⊥ BC Ta có: BB′ ⊥ BC mà BB′ / /AA′ ⇒ AA′ ⊥ BC Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com  Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành SAB = 100° (Hình 8) Tính góc hai đường thẳng: a) SA AB ; b) SA CD Lời giải  a) ( SA, AB= = 100° ) SAB b) Vì ABCD hình bình hành nên AB / / CD = ⇒ ( SA, CD ) = SA, AB ) = SAB 100° ( Bài Bạn Hoa nói rằng: “Nếu hai đường thẳng phân biệt a b vuông góc với đường thẳng c a b vng góc với nhau” Bạn Hoa nói hay sai? Vì sao? Lời giải Bạn Hoa nói sai Nếu hai đường thẳng phân biệt a b vng góc với đường thẳng c a b song song với D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với B Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng lại C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Lời giải Chọn D Câu 2: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt phẳng  P  , a   P  Mệnh đề sau sai? A Nếu b   P  b//a B Nếu b// P  b  a C Nếu b//a b   P  D Nếu b  a b// P  Lời giải Chọn D Vì b nằm mặt phẳng  P  Câu 3:   Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB EG ? Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU A 900  WEB: Toanthaycu.com B 600 C 450 D 120 Lời giải Chọn C H G F E D C B A         450 ( ABCD hình vng) Vì EG  AC ( AEGC hình chữ nhật) nên  AB, EG    AB, AC   BAC Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' Góc AC DA ' là: A 450 B 900 C 600 D 120 Lời giải Chọn C D' A' C' B' D A C B Gọi a độ dài cạnh hình lập phương Khi đó, tam giác AB ' C ( AB '  B ' C  CA  a ) B ' CA  60 '  60 Lại có, DA ' song song CB ' nên  AC , DA '   AC ,CB '  ACB Câu 5: Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Giả sử tam giác AB ' C A ' DC ' có ba góc nhọn Góc hai đường thẳng AC A ' D góc sau đây?  'C A AB  ' C ' B DA  ' D C BB ' D BDB Lời giải Chọn B Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 10  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU A a  WEB: Toanthaycu.com B a a C D a Lời giải Chọn C Ta có: d ( BB′; = AC ) d ( BB′; ( ACC '= A′ ) ) Câu 51: a = DB 2 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh Khoảng cách AA ' BD ' bằng: A B 2 C D Lời giải Chọn B ′ ) d ( AA′; ( DBB′= Ta có: d ( AA′; BD = D′ ) ) Câu 52: = AC 2 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A′B′C ′D′ có cạnh đáy a Gọi M , N , P trung điểm AD , DC , A ' D ' Tính khoảng cách hai mặt phẳng ( MNP ) ( ACC ') A a B a C a D a Lời giải Chọn D Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133 34  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com a d ( P; ( ACA′ ) ) = OD′ = Ta có: ( MNP ) // ( ACA′ ) ⇒ d ( ( MNP ) ; ( ACA′ ) ) = B TỰ LUẬN Câu 1: Cho tứ diện ABCD có BD vng góc với AB CD Gọi P Q trung điểm CD AB thỏa mãn BD : CD : PQ : AB = : : : Gọi ϕ góc hai đường thẳng AB CD Tính cos ϕ Lời giải Q B Q' D A x P C  BD =  CD = Do BD : CD : PQ : AB = : : : nên ta chọn   PQ =  AB = Dựng Dx / / AB ⇒ Dx ⊥ BD ⇔ BD ⊥ ( CDx ) Gọi Q ' hình chiếu Q lên Dx ⇒ QQ ' ⊥ PQ ' = ⇒ϕ ; CD ) ( Dx; DC ) ( AB= Ta có PQ ' = PQ − QQ '2 = 52 − 32 = DP + DQ '2 − PQ '2 22 + 32 − 42  Xét ∆DPQ ' : cos PDQ ' = = = − DP.DQ ' 2.2.3 ( ) ' = ' = cos 180o − PDQ ⇒ cos ϕ = − cos PDQ Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 35  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU Câu 2:  WEB: Toanthaycu.com Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có AB = a AA′ = a Tính góc hai đường thẳng AB′ BC ′ Lời giải Gọi E điểm đối xứng A′ qua B′ ′E a suy ABEB′ hình bình hành Ta có AB / / B′E AB = B= ′ AB′, BC ′ ) =( BE , BC ′ ) =EBC ⇒ AB′ / / BE ⇒ ( Xét tam giác BB′E có BB′ ⊥ B′E ⇒ ∆BB′E vuông B′ ⇒ BE= BB′2 + B′E 2= 2a + a 2= a Xét tam giác BB′C ′ có BB′ ⊥ B′C ′ ⇒ ∆BB′C ′ vuông B′ ⇒ BC=′ BB′2 + B′C ′2= 2a + a 2= a ′B′ A= ′B′ B= ′E Xét tam giác A′C ′E có C= ⇒ ∆A′C ′E vng C ′ ⇒ C ′E= A′E A′E − A′C ′2= 4a − a 2= a ′E BC = C= =′ a ⇒ ∆BEC ′ tam giác Suy tam giác BEC ′ có BE ′ = AB′, BC ′ ) = 60° ⇒ EBC 60° ⇒ ( Vậy góc đường thẳng AB′ BC ′ 60° Câu 3: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B với trọng tâm G , cạnh bên SA tạo với đáy ( ABC ) góc 300 Biết hai mặt phẳng ( SBG ) ( SCG ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính cơsin góc hai đường thẳng SA BC Lời giải Vì hai mặt phẳng ( SBG ) ( SCG ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) nên SG ⊥ ( ABC )  nên SAG  = 300 góc SA tạo với đáy ( ABC ) góc SAG Gọi D cho ABCD hình bình hành ∆ABC vng cân B nên ABCD hình vng Khi góc SA BC góc SA AD Giả sử hình vng ABCD có cạnh a Vì G trọng tâm tam giác ABC nên 2 a 2a ;= Tam giác SAG vuông AG = CG = CM = CB + AM = DG = DB 3 3 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 36  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU G có SG AG tan 300 = = SD = SG + GD =  WEB: Toanthaycu.com AG 2a 15 a 15 SA = Tam giác SGD vuông G ta có = 9 cos 30 29  SA2 + AD − SD có cos SAD = = a Tam giác SAD SA AD 27    SA , BC  cos = SAD Vậy cos  =   Câu 4: 15 10 15 10 Cho hình chóp tứ giác đều, biết hai mặt bên đối diện diện tạo với góc 60° , tính góc mặt bên mặt đáy hình chóp Lời giải S 60° A K B H O D C Gọi ∆ đường thẳng qua điểm S song song AD BC ⇒ ( SAD ) ∩ ( SBC ) = ∆ Gọi H K trung điểm cạnh BC AD , ∆SBC ∆SAD cân đỉnh S nên: ) ( SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ ∆    60 ( SBC ) , ( SAD ) =°  ⇒ HSK = SK ⊥ AD ⇒ SK ⊥ ∆  Mặt khác: ∆SBC = SH ∆SAD ⇒ SK = ( ) = SKH = 60° ⇒ ( Từ ⇒ ∆SHK ⇒ SHK SBC ) , ( ABCD ) = 60° Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh 12a , đáy ABCD hình vng Gọi M , N trung điểm SA, SB G trọng tâm tam giác SCD Tính diện tích thiết diện hình chóp bị cắt mặt phẳng ( MNG ) Lời giải Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 37  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC , SD Q , P Thiết diện hình chóp bị cắt mặt phẳng ( MNG ) hình thang cân NMPQ MN Ta có = PQ = CD 8a = AB 6a, = NQ = 13a NH = NQ − QH = Vậy S = NMPQ Câu 6: 51a NM + PQ ×= NH 51a Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy a , cạnh bên a Gọi M trung điểm AB Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ cho mặt phẳng ( A ' C ' M ) Lời giải A' C' B' A C M B N Vì ABC A ' B ' C ' lăng trụ nên AA ' ⊥ ( ABC ) ∆ABC cạnh a Gọi N trung điểm BC suy MN //AC //A′C ′ = MN 1 AC a = 2 Vì MN //A′C ′ nên A ', C ', M , N đồng phẳng thiết diện cắt lăng trụ cho mặt phẳng ( A ' C ' M ) hình thang cân NMA ' C ' Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 38  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Lại có C ' N = A ' M = A ' A2 + AM = a nên đường cao hình thang cân NMA ' C ' 2 35  A ' C '− MN  h= A'M −  a  =   Do diện tích thiết diện S = Câu 7: 35 a ( A ' C '+ MN ) h = 16 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B có AB = a , AC = 2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a Gọi ϕ góc tạo hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBC ) Tính cos ϕ Lời giải S H C A B +) Có BC= AC − AB 2= 4a − a 2= a +) Kẻ BH ⊥ AC H ⇒ BH ⊥ ( SAC ) CB 3a +) Trong tam giác ABC có CH CA = CB ⇒ CH = = CA 2 +) ⇒ S ∆SHC= 1 3a 3a SA.CH= 2a = 2 2   SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC +) Theo giả thiết  ⇒ BC ⊥ SB   BC ⊥ BA 1 a 15 ⇒ S ∆SBC= SB.BC = a 5.a = 2 +) ∆SHC hình chiếu ∆SBC mặt phẳng ( SAC ) ⇒ S ∆SHC = S ∆SBC cos ϕ (ϕ = ( ( SAC ) ; ( SBC ) )) S ⇒ cos ϕ = ∆SHC S ∆SBC 3a 3 15 =22 = = = a 15 15 Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 39  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU Câu 8:  WEB: Toanthaycu.com Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có AB = 3, BB′ = Gọi M , N , P tương ứng trung điểm A′B′, A′C ′ BC Nếu gọi α độ lớn góc hai mặt phẳng ( MNP ) ( ACC ′ ) cosα bao nhiêu? Lời giải Dễ thấy ( MNP ) ( MNCB ) ( ACC ′ ) ( ACC ′A′ ) ; giao tuyến ( MNP ) ( ACC ′A′) ( CP ) Dễ chứng minh theo định lý Talet AA′, MB, NC đồng quy điểm S  sin α = Hạ ME ⊥ SC , MH ⊥ ( ACC ′A′ ) α = MEH MH ME Gọi AB = a; AA′ = b Có MH = d ( M ; ( ACC ′= A′ ) ) 1 1a a 3 d ( B′; ( ACC ′= A′ ) ) BN = = = 2 2 Có SM = + B′M SN = MB = BB = '2 K trung điểm MN SK = a2 = b + SM − MK = ; MN= 7− Xét tam giác SMN ME.SN = SK MN nên= ME Vậy sin = α Câu 9: 21 : = = 14 BC a = = 2 3 = 5 21 = 14 21 hay cos α = 5 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy cạnh bên 2 Gọi α góc mặt phẳng ( SAC ) mặt phẳng ( SAB ) Tính cos α Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133 40  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Lời giải S I D A O B C Gọi O tâm hình vng ABCD SA = ( SAC ) ∩ ( SAB ) , BO ⊥ ( SAC ) = ⊥ SA ⇒ α Kẻ OI OA = OB = OI = Câu 10: BD 2 = = 2 SO.OA = SA α Vậy cos= = ( SAC ) , ( SAB ) ) ( OI = BI = 2  BIO ; SO = SA2 − OA2 = 8−2 = ; BI = OB + OI = 2+ = 14 = 14 21 Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC = AD = BC = BD = a , CD = x Tìm giá trị x để hai mặt phẳng ( ABC ) ( ABD ) vng góc Lời giải A I C J D B Gọi I , J trung điểm AB , CD Vì J trung điểm CD AC = AD nên AJ ⊥ CD Do ( ACD) ⊥ ( BCD) ⇒ AJ ⊥ ( BCD) AJ Ta thấy ∆AJD vuông J nên = a2 − x2 = AD = BC = BD = a nên ∆AJB vuông cân J Mặt khác AC Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133 41  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU Suy ra:= = AB AJ  WEB: Toanthaycu.com 2(a − x ) Do IA = IB , ∆AJB vuông J nên= IJ 1 = AB 2(a − x ) 2 = 90° Vì CI DI vng góc với AB nên ( ABC ) ⊥ ( ABD) suy CID Ta có IJ= Câu 11: 1 a 2(a − x 2= ) 2x ⇔ = CD ⇔ x 2 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB = a , O trung điểm AC SO = b Gọi ( ∆ ) đường thẳng qua C , ( ∆ ) chứa mặt phẳng ( ABCD ) khoảng cách từ O đến ( ∆ ) a 14 Giá trị lượng giác cos ( ( SA ) , ( ∆ ) ) bao nhiêu? Lời giải Gọi ( ∆′ ) đường thẳng qua A song song với ( ∆ ) Hạ OH ⊥ ( ∆ ') ( H ∈ ( ∆ ') ) Do O trung điểm AC ( ∆ ) // ( ∆ ') nên d ( O, ( ∆ '= ) ) d ( O, ( ∆ ) ) hay OH = a 14 Do S ABCD hình chóp tứ giác nên đáy ABCD hình vng SO ⊥ ( ABCD ) Do AH ⊥ OH AH ⊥ SO nên, suy AH ⊥ SH Do ABCD hình vuông cạnh a nên AC = a , suy OA = a 2 = OH + AH , suy Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vng AHO ta có OA AH = 2 OA − OH =  a   a 14  a   −   =     Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133 42  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com = OA2 + SO , suy Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vng SAO ta có SA SA = 2 OA + SO= a 2   + b=   2a + 4b AH 2a = SA 2a + 4b = Do ( ∆ ) // ( ∆ ') nên cos ( ( SA ) , ( ∆ )= ) cos ( ( SA) , ( ∆′)=) cos SAH Câu 12: Cho hình chóp S ABCD , cạnh đáy a , góc mặt bên mặt đáy 60° Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SCD ) Lời giải * Ta có: d ( B; ( SCD ) ) BD = = ⇒ d ( B; ( SCD ) )= 2.d ( O; ( SCD ) )= 2OH Trong H hình d ( O; ( SCD ) ) OD chiếu vng góc O lên ( SCD ) S H A D 60 O B I C * Gọi I trung điểm CD ta có: CD ( SCD ) ∩ ( ABCD ) =  ⇒ ( ( SCD ) ; ( ABCD ) ) = S IO = 60° ( OI ; SI ) =  SI ⊥ CD OI ⊥ CD  có: SO OI Xét tam giác SOI vuông O ta = = tan 60° Xét ∆SOI , ta có ⇒ OH = Câu 13: a 1 4 16 = 2+ = 2+ = 2 OH OI OS a 3a 3a a a ⇒ d ( B; ( SCD ) ) = Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SD Tính khoảng cách d đường thẳng SB mặt phẳng ( ACM ) Lời giải Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 43  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Gọi O tâm hình vng Ta có: MO / / SB ⇒ SB / /( ACM ) ⇒ d ( SB, ( ACM )) =d ( B, ( ACM )) =d ( D, ( ACM ))  MI / / SA ⇒ MI ⊥ ( ABCD) Gọi I trung điểm AD ⇒  d ( D, ( ACM )) = 2d ( I , ( ACM )) Trong ( ABCD) kẻ IK ⊥ AC K Trong ( MIK ) kẻ IH ⊥ MK H Ta có: AC ⊥ MI , AC ⊥ IK ⇒ AC ⊥ ( MIK ) ⇒ AC ⊥ IH (2) Từ (1) & (2) ⇒ IH ⊥ ( ACM ) ⇒ d ( I , ( ACM )) = IH Trong tam giác MIK ta có: IH= Biết MI = IM +IK SA OD BD a = a, IK = = = ⇒ IH = 2 4 Vậy: d ( SB, ( ACM )) = Câu 14: IM.IK a =a a2 a2 + a⋅ 2a Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB = BC = a, AD = 2a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H AD SH = khoảng cách d từ B đến mặt phẳng ( SCD ) a Tính Lời giải Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 44  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Gọi M trung điểm CD , K hình chiếu H lên SM Tam giác HCD vng H có CD = a HM = a 2 Ta có BH / / CD ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) = HK = Tam giác SHM vuông H có HK Vậy d ( B, ( SCD ) ) = Câu 15: HM HS a = HM + HS a  = 60o , SA = a SA vng góc với Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , BAD mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ B đến ( SCD ) bằng? Lời giải S A H D B C M Ta có AB / / CD ⇒ d ( B; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) ) Kẽ MA ⊥ CD ( M ∈ CD ) ,kẽ AH ⊥ SM ⇒ SH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = SH SA = a ;= AM S ACD S ABCD a 1 = + ⇒ SM = = = 2 SA AM CD CD SH 21 a Bản word đề lời giải vui lịng lh Zalo: 0834332133 45  BÀI GIẢNG TỐN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 46  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 47  BÀI GIẢNG TOÁN 11-CÁNH DIỀU  WEB: Toanthaycu.com Bản word đề lời giải vui lòng lh Zalo: 0834332133 48