Tài liệu được biên soạn rất chi tiết dựa trên khung chương trình THPT dùng cho cả học sinh lớp 11 và lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia. Tài liệu được phân làm 4 phần chính Kiến thức cần nhớ Ví dụ minh họa kèm bình luận Bài tập tự luyện Phiếu bài tập tổng hợp Đây là tài liệu tốt dành cho các em học sinh cũng như giáo viên sử dụng trong học tập và giảng dạy. Thân ái
PHẦN LỚP TỐN THẦY QUANG - 0337.820.847 QUAN HỆ VNG GĨC QUAN HỆ VNG GĨC Chủ đề ĐƯỜNG ĐƯỜNG VNG THẲNG GĨCVNG VỚI MẶT GĨC VỚI MẶT THẲNG PHẲNG PHẲNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định Định nghĩa nghĩa d b a ǥ Định nghĩa 1.1 Đường thẳng a gọi vng góc với mặt phẳng (P ) góc tạo đường thẳng a mặt phẳng (P ) 90◦ , ký hiệu a ⊥ (P ) Định Định lý lý Định lý 1.1 Nếu đường thẳng a vng góc với hai đường b c nằm mặt phẳng (P ) a vng góc với (P ) a ⊥ b ⊂ (P ) a ⊥ c ⊂ (P ) ⇒ a ⊥ (P ) b∩c=M Định lý 1.2 Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường nằm mặt phẳng a ⊥ (P ) ⇒ a ⊥ b b ⊂ (P ) ii fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Toán Thầy Quang Ƅ Phần Quan hệ vng góc Chú ý Trong khơng gian đường thẳng vng góc khơng thiết phải cắt Trong khơng gian yếu tố vng góc khơng bảo toàn Phương Phương pháp pháp chứng chứng minh minh đường đường vng vng gócgóc vớivới mặt mặt Để chứng minh d ⊥ (P ) ta cần chứng minh d vng góc với hai đường nằm (P ) Ta thường gặp trường hợp sau Có sẵn d ⊥ a ⊂ (P ) Cần chứng minh d ⊥ b ⊂ (P ) Chú ý Để chứng minh d ⊥ b ta chứng minh ngược b ⊥ d cách chứng minh b ⊥ (Q) ⊃ d B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ ǥ Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), BC, AH ⊥ SE Chứng minh AH ⊥ (SBC) ? ABC không vuông B C Vẽ AE ⊥ Lời giải Ta có sẵn AH ⊥ SE (gt) (1) Ta cần chứng minh AH ⊥ BC cách chứng minh ngược BC ⊥ AE BC ⊥ (SAE) ⊃ (AH) Ta có BC ⊥ (SA) Do BC ⊥ (SAE) ⇒ BC ⊥ AH (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ (SBC) S H A C E B Ví dụ ǥ Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AH ⊥ (SBC) Lớp Tốn thầy Quang - ĐT: 0337.820.847 ABC vng B, vẽ AH ⊥ SB Chứng minh ii "Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng" GV Phạm Đình Quang - ĐT: 0337.820.847 Long Biên - Hà Nội 100 Ngô Gia Tự - Đức Giang fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Toán Thầy Quang Ƅ Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Lời giải Ta có sẵn AH ⊥ SB (1) Ta cần chứng minh AH ⊥ (BC) cách chứng minh ngược BC ⊥ AB BC ⊥ (SAB) ⊃ AH Ta có BC ⊥ SA Do BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ (SBC) S H A C B Ví dụ ǥ Chóp S.ABCD, SA ⊥ (ABCD), ABCD hình vng, vẽ AK ⊥ SD Chứng minh AK ⊥ (SCD) ? Lời giải Ta có sẵn AK ⊥ SD (1) Ta cần chứng minh AK ⊥ CD cách chứng minh ngược CD ⊥ (SAD) ⊃ AK CD ⊥ AD Ta có ⇒ CD ⊥ (SAD) CD ⊥ SA Do CD ⊥ AK (2) Từ (1) (2) suy AK ⊥ (SCD) S K A B D C Ví dụ ǥ Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), vẽ BH ⊥ AC, BK ⊥ SC Chứng minh SC ⊥ (BHK) ? Lời giải Lớp Toán thầy Quang - ĐT: 0337.820.847 Long Biên - Hà Nội 100 Ngô Gia Tự - Đức Giang iii GV Phạm Đình Quang - ĐT: 0337.820.847 "Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng" iii fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Toán Thầy Quang iv Ƅ Phần Quan hệ vng góc Ta có sẵn SC ⊥ BK (1) Ta cần chứng minh (SC ⊥ BH) cách chứng minh ngược BH ⊥ (SAC) ⊃ SC BH ⊥ AC Ta có ⇒ BH ⊥ (SAC) BH ⊥ SA Do BH ⊥ SC (2) Từ (1) (2) suy SC ⊥ (BHK) S K H A C B Ví dụ ǥ Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Vẽ BO ⊥ AC, AH ⊥ SO Chứng minh AH ⊥ (SBO) Lời giải Ta có sẵn AH ⊥ SO (1) Ta cần chứng minh AH ⊥ BO cách chứng minh ngược BO ⊥ (SAC) ⊃ AH BO ⊥ AC Ta có ⇒ BO ⊥ (SAC) BO ⊥ SA Do BO ⊥ AK (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ (SBO) S H O A C B C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, cạnh bên SA vng góc với đáy Chứng minh BC ⊥ (SAB) Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A có SA ⊥ (ABC) Gọi D điểm đối xứng B qua trung điểm M cạnh AC Chứng minh CD ⊥ (SAC) Câu Cho tứ diện SABC có H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) Gọi Lớp Toán thầy Quang - ĐT: 0337.820.847 iv "Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng" GV Phạm Đình Quang - ĐT: 0337.820.847 Long Biên - Hà Nội 100 Ngô Gia Tự - Đức Giang fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Toán Thầy Quang Ƅ Đường thẳng vng góc với mặt phẳng G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCA Chứng minh SH ⊥ (G1 G2 G3 ) Lớp Toán thầy Quang - ĐT: 0337.820.847 Long Biên - Hà Nội 100 Ngô Gia Tự - Đức Giang v GV Phạm Đình Quang - ĐT: 0337.820.847 "Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng" v vi fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Toán Thầy Quang Ƅ Phần Quan hệ vng góc Chủ đề ĐƯỜNG ĐƯỜNG VNG THẲNG GĨCVNG VỚI ĐƯỜNG GĨC VỚI ĐƯỜNG THẲNG THẲNG THẲNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định Định nghĩa nghĩa ǥ Định nghĩa 2.1 Đường thẳng a gọi vng góc với b góc a b 90◦ , ký hiệu a ⊥ b Phương Phương pháp pháp chứng chứng minh minh đường đường thẳng thẳng vuông vng góc góc vớivới đường đường thẳng thẳng Bài tốn Cho đường thẳng a b không gian Chứng minh a ⊥ b Phương pháp: Ta vào phương pháp 1) Phương pháp mặt phẳng: a cắt b Nếu hai đường thẳng a b nằm mặt phẳng ta sử dụng tính chất hình học phẳng học để chứng minh a ⊥ b Định lý Pytago đảo Từ song song đến vuông góc Đường trung tuyến, phân giác tam giác cân, tam giác 2) Phương pháp không gian: a chéo b Để chứng minh a ⊥ b ta đổi thành chứng minh a ⊥ (P ) ⊃ b Ta đưa tốn chứng minh vng góc với mặt phẳng B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ ǥ Tứ diện OABC đơi vng góc Vẽ OE ⊥ BC, OH ⊥ AE Chứng minh OH ⊥ AB Lời giải Lớp Toán thầy Quang - ĐT: 0337.820.847 vi "Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng" GV Phạm Đình Quang - ĐT: 0337.820.847 Long Biên - Hà Nội 100 Ngô Gia Tự - Đức Giang fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Toán Thầy Quang Ƅ Đường thẳng vng góc với đường thẳng A H O C E B Để chứng minh OH ⊥ AB ta đổi thành chứng minh OH ⊥ (ABC) ⊃ AB Ta có sẵn OH ⊥ AE (1) Ta cần chứng minh OH ⊥ BC cách chứng minh BC ⊥ (AOE) ⊃ OH BC ⊥ OE Ta có ⇒ BC ⊥ (AOE) BC ⊥ AO Do BC ⊥ OH (2) Từ (1) (2) suy OH ⊥ (ABC) suy OH ⊥ AB Ví dụ ǥ Cho hình chóp S.ABCD có O tâm đáy M , N trung điểm AD BC Vẽ M H ⊥ SN Chứng minh M H ⊥ SC Lời giải Hình chóp hình chóp Có đáy đa giác Các cạnh bên Chú ý Hình chóp có hình chiếu vng góc từ đỉnh trùng với tâm đáy S H A D M O N B C Để chứng minh M H ⊥ SC ta đổi thành chứng minh M H ⊥ (SBC) ⊃ SC Ta có sẵn M H ⊥ SN (1) Cần chứng minh thêm M H ⊥ BC cách chứng minh BC ⊥ (SM N ) BC ⊥ M N Ta có ⇒ BC ⊥ (SM N ) BC ⊥ SO (SO ⊥ (ABCD)) Do BC ⊥ M H (2) Từ (1) (2) suy M H ⊥ (SBC) suy M H ⊥ SC Ví dụ ǥ Cho hình lăng trụ ABC.A B C có M trung điểm AB, vẽ AH ⊥ A M Chứng minh AH ⊥ A C Lời giải Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Chú ý Hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Lớp Toán thầy Quang - ĐT: 0337.820.847 Long Biên - Hà Nội 100 Ngô Gia Tự - Đức Giang vii GV Phạm Đình Quang - ĐT: 0337.820.847 "Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng" vii fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Toán Thầy Quang viii Ƅ Phần Quan hệ vng góc A C B H A C | M Để chứng minh AH ⊥ A C ta đổi thành chứng minh AH ⊥ (A M C) Ta có sẵn AH ⊥ A M (1) Ta cần chứng minh AH ⊥ M C cách chứng minh ngược M C ⊥ (ABB A ) ⊃ AH BC ⊥ AB Ta có ⇒ M C ⊥ (ABB A ) M C ⊥ AA (AA ⊥ (ABC)) Do M C ⊥ AH (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ (A M C) suy AH ⊥ A C | B Ví dụ ǥ Chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), ABCD lục giác có AB = BC = CD = a Vẽ AH ⊥ SC Chứng minh AH ⊥ SD Lời giải Lục giác hình có cạnh F E Chú ý Lục giác có tất góc 120◦ O A D Các đường chéo lần cạnh Nửa lục giác ABCD hình thang có đáy BC ∥ AD, AB = BC = CD = a ⇒ AD = 2a AD Tam giác ACD có OC trung tuyến, có OC = suy tam giác ACD vuông C S H 2a A D a a B a C B C Để chứng minh AH ⊥ SD ta đổi thành chứng minh AH ⊥ (SCD) ⊃ (SD) Ta có sẵn AH ⊥ SC (1) Ta cần chứng minh AH ⊥ CD cách chứng minh ngược CD ⊥ (SAC) ⊃ AH CD ⊥ SA Ta có ⇒ CD ⊥ (SAC) CD ⊥ AC Do CD ⊥ AH (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ (SCD) suy AH ⊥ SD Ví dụ ǥ Chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), ABCD hình thang vng A, D Có AD = DC = AB = a Vẽ AH ⊥ SC Chứng minh AH ⊥ SB Lớp Toán thầy Quang - ĐT: 0337.820.847 viii "Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng" GV Phạm Đình Quang - ĐT: 0337.820.847 Long Biên - Hà Nội 100 Ngơ Gia Tự - Đức Giang fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Tốn Thầy Quang Ƅ Đường thẳng vng góc với đường thẳng Lời giải S H 2a A B a a D C a Để chứng minh AH ⊥ SB ta đổi thành chứng minh AH ⊥ (SBC) ⊃ SB Ta có sẵn AH ⊥ SC (1) Ta cần chứng minh AH ⊥ BC cách chứng minh ngược Bc ⊥ (SAC) ⊃ AH BC ⊥ SA Ta có ⇒ BC ⊥ (SAC) BC ⊥ AC Do BC ⊥ AH (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ (SBC) suy AH ⊥ SB C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho tứ diện ABCD có AB = AC, DB = DC Chứng minh AD ⊥ BC Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có SA ⊥ (ABCD) Chứng minh SC ⊥ BD Câu Hình lập phương ABCD.A B C D có AB = a M , N , P trung điểm BB , A B , CD Chứng minh M N ⊥ M P Câu Chóp S.ABC có tất cạnh a H tâm đáy O trung điểm SH Chứng minh OA ⊥ OB Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A có SA ⊥ (ABCD) Chứng minh AC ⊥ SB Lớp Toán thầy Quang - ĐT: 0337.820.847 Long Biên - Hà Nội 100 Ngô Gia Tự - Đức Giang ix GV Phạm Đình Quang - ĐT: 0337.820.847 "Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng" ix x fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Toán Thầy Quang Ƅ Phần Quan hệ vng góc Chủ đề HAI MẶT VNG PHẲNG GĨCVNG GĨC 3HAI MẶT PHẲNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định Định nghĩa nghĩa ǥ Định nghĩa 3.1 Hai mặt phẳng (P ) (Q) gọi vng góc với góc hai mặt phẳng 90◦ , ký hiệu (P ) ⊥ (Q) Định Định lý lý Định lý 3.1 Nếu đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt mặt cịn lại hai mặt phẳng vng góc với d ⊂ (P ) ⇒ (P ) ⊥ (Q) d ⊥ (Q) Định lý 3.2 Hai mặt phẳng (P ) (Q) vng góc với theo giao tuyến a Đường thẳng d nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng lại (P ) ⊥ (Q) = a ⇒ d ⊥ (Q) d ⊂ (P ), d ⊥ a Định lý 3.3 Hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến, đồng thời vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng (P ) ∩ (Q) = d ⇒ d ⊥ (α) (P ) ⊥ (α), (Q) ⊥ (α) Phương Phương pháp pháp chứng chứng minh minh hai hai mặtmặt phẳng phẳng vng vng góc góc Để chứng minh (P ) ⊥ (Q) ta áp dụng định lí 1, chứng minh d ⊥ (Q) với d ⊂ (P ) Nhận xét Để chứng minh tốn mặt vng góc với mặt ta đưa chứng minh đường vng góc với mặt Lớp Tốn thầy Quang - ĐT: 0337.820.847 x "Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng" GV Phạm Đình Quang - ĐT: 0337.820.847 Long Biên - Hà Nội 100 Ngô Gia Tự - Đức Giang fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Toán Thầy Quang Ƅ Hai mặt phẳng vng góc B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ ǥ Cho hình chóp S.ABC, H tâm đáy, E trung điểm BC Vẽ HK ⊥ SE Chứng minh (CHK) ⊥ (SBC) Lời giải Ví dụ ǥ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, SA vng góc với đáy Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (AHK) Lời giải Ví dụ ǥ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng C, SAC tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC) Lời giải Ví dụ ǥ Hình lập phương ABCD.A B C D vẽ AH ⊥ A B Chứng minh (A BC) ⊥ (AHC) Lời giải Ví dụ ǥ Chóp S.ABC, (SAC) ⊥ (ABC), Chứng minh: SAC đều, a) (SAC) ⊥ (SBC) ABC vuông C, M trung điểm SC b) (SBC) ⊥ (ABM ) Lời giải Ví dụ ǥ Cho hai mặt phẳng (P ) ⊥ (Q) = d, A, B ∈ d; C ∈ (P ); D ∈ (Q) cho CA ⊥ d, BD ⊥ d ’ = CBD ’ = 90◦ Chứng minh CAD Lời giải Lớp Toán thầy Quang - ĐT: 0337.820.847 Long Biên - Hà Nội 100 Ngơ Gia Tự - Đức Giang xi GV Phạm Đình Quang - ĐT: 0337.820.847 "Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng" xi xii fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Toán Thầy Quang Ƅ Phần Quan hệ vng góc Ví dụ ǥ Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ (ABC), ABC vuông B a) Vẽ AH ⊥ SB Chứng minh AH ⊥ (SBC) b) (P ) chứa AH vng góc với (SAC) (P ) cắt SC K Chứng minh SC ⊥ HK Lời giải C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho hình chóp S.ABCD, H tâm đáy Vẽ HE ⊥ BC; HK ⊥ SE, M ∈ CD Chứng minh (M HK) ⊥ (SBC) Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng canh a, măt bên SAB tam giác đều, măt bên SCD tam giác vuông cân tai S Gọi I, J trung điểm AB, CD Chứng minh (SIJ) ⊥ (SCD) Câu Cho hình lăng trụ ABC · A B C có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên AA = a vng góc với đáy Gọi I, K, M trung điểm A B , BB , BC Chứng minh (BIC ) ⊥ (AKM ) Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D Mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) Lớp Toán thầy Quang - ĐT: 0337.820.847 xii "Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng" GV Phạm Đình Quang - ĐT: 0337.820.847 Long Biên - Hà Nội 100 Ngô Gia Tự - Đức Giang ...ii fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Toán Thầy Quang Ƅ Phần Quan hệ vng góc Chú ý Trong khơng gian đường thẳng vng góc khơng thiết phải cắt Trong khơng gian yếu tố vng góc khơng bảo toàn Phương... Tự - Đức Giang v GV Phạm Đình Quang - ĐT: 0337.820.847 "Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng" v vi fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Toán Thầy Quang Ƅ Phần Quan hệ vng góc Chủ... - Đức Giang fb.com/QH1304 Ʌ toanthayquang.com Toán Thầy Quang Ƅ Đường thẳng vng góc với mặt phẳng G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCA Chứng minh SH ⊥ (G1 G2 G3 ) Lớp Toán thầy Quang