Quan hệ vuông góc trong không gian

Khóa h ọ c Chuyên đ ề Hình h ọ c 1 1 - Th ầ yTr ầ n Vi ế t Kính Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - a a a a O A B D C S Phần 1: Quan hệ vuông góc Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA vuông góc với mp (ABCD) và SA = a; M là trung điểm cạnh SD. a) Mặt phẳng (α) đi qua OM và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) cắt hình chóp SABCD theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a. b) Gọi H là trung điểm của CM; I là điểm thay đổi trên SD. Chứng minh OH ⊥ (SCD); và hình chiếu của O trên CI thuộc đường tròn cố định. Giải: a. Kẻ MQ//SA => ( ) ( ) ( ) MQ ABCD MQO α ⊥ ⇒ ≡ Thiết diện là hình thang vuông MNPQ (MN//PQ) 2 ( ). 3 2 8 td MN PQ MQ a S + = = (đvdt) b. : / / , , AMC OH AM AM SD AM CD ∆ ⊥ ⊥ ( ) ( ) AM SCD OH SCD ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Gọi K là hình chiếu của O trên CI , ( ) OK CI OH CI CI OKH CI HK ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Trong mp(SCD) : H, K cố định, góc HKC vuông => K thuộc đường tròn đg kính HC. Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng: SB vuông góc SD. Giải: + Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC và BD 0 1 2 90 ABC ASC SO BO BD BSD SB SD + ∆ = ∆ ⇒ = = ⇒ ∠ = ⇔ ⊥ QUAN HỆ VUÔNG GÓC ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: TRẦN VIẾT KÍNH Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo Chuyên đề Quan hệ vuông góc thuộc khóa học Chuyên đề Hình học 11 – Thầy Trần Viết Kính tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong Chuyên đề Quan hệ vuông góc. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần làm trước bài tập sau đó so sánh với đáp án. O Q H P A D B C S I M N I Khóa h ọ c Chuyên đ ề Hình h ọ c 1 1 - Th ầ yTr ầ n Vi ế t Kính Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - O A B D C S H K I N K I O D A C B S M Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK). b. Gọi I là giao điểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI. Giải: a. Ta có: ( ) (1) AH SB AH SBC AH SC AH BC ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  ( ) (2) AK SD AK SDC AK SC AK DC ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Từ (1) và (2) ta suy ra ( ) SC AHK ⊥ b. Ta có: v v SAB SAD SH SK ∆ = ∆ ⇒ = / / SH SK HK BD SB SD ⇒ = ⇒ ( Định lý Ta lét đảo) ( ) BD AC BD SAC BD SA ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  / / ( ) ( ) HK BD HK SAC HK AI BD SAC  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. a. Chứng minh rằng: ( ) SO ABCD ⊥ b. I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD. c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P). Giải: a. Ta có: ( ) SO AC SO ABCD SO BD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  b. ( ) ( ) IK BD do AC BD IK SBD IK SD IK SO ⊥ ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  c. + Gọi M là giao điểm của SB với mặt phẳng (P), N là giao điểm của DB với mặt phẳng (P). / /( ), ( ) / / ( ) ( ) / / ( ) SO P SO SBD SO MN SBD P MN SO BD MN BD MN SO BD IK BD P BD MN ⊂  + ⇒  ∩ =  ⊥  + ⇒ ⊥   ⊥  + ⇒ ⊥  ⊥  Bài 5. Cho lặng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABC có AB = AD = a và góc 0 60 BAD∠ = , 3 AA' 2 a = . M, N lần lượt là trung điểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng: ' ( ). AC BDMN ⊥ Khóa h ọ c Chuyên đ ề Hình h ọ c 1 1 - Th ầ yTr ầ n Vi ế t Kính Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Giải: + Gọi S BN DM = ∩ ⇒ M là trung điểm SD, N là trung điểm SB, A’ là trung điểm SA. + Gọi O = AC ∩ BD + ∆ BAD đều 3 2 3 , ' 2 a AO AC AO a SA CC AO ⇒ = ⇒ = = = = + Hai ∆ vuông SOA và ACC’ bằng nhau AS ' O CAC ⇒ ∠ = ∠ . Mà 0 0 AS 90 ' 90 ' O SOA CAC SOA AC SO ∠ + ∠ = ⇒ ∠ + ∠ = ⇒ ⊥ + ' ' ( ) ' AC BD AC BDMN AC SO ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Bài 6. Tứ diện SABC có ( ) . SA mp ABC ⊥ Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( ) ( ) SAC BHK ⊥ b. Chứng minh ( ) HK SBC ⊥ và ( ) ( ) . SBC BHK ⊥ Giải: a. Vì H là trực tâm tam giác ABC BH AC ∆ ⇒ ⊥ , theo giả thiết ( ) SA mp ABC BH SA ⊥ ⇒ ⊥ . Nên ( ) BH mp SAC SC BH ⊥ ⇒ ⊥ Do K là trực tâm SBC BK SC ∆ ⇒ ⊥ Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) SC mp BHK mp BHK mp SAC ⊥ ⇒ ⊥ (đpcm) b. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được: ( ) SB mp CHK SB HK ⊥ ⇒ ⊥ Mà ( ) SC mp BHK SC HK ⊥ ⇒ ⊥ . Do đó: ( ) ( ) ( ) HK mp SBC mp SBC mp BHK ⊥ ⇒ ⊥ Bài 7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng BM vuông góc với B’C. Giải: Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ nên I là trung điểm của B’C. M là trung điểm AA’ nên MC=MB’ suy ra tam giác MB’C cân tại M B S C A H K Khóa h ọ c Chuyên đ ề Hình h ọ c 1 1 - Th ầ yTr ầ n Vi ế t Kính Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - N M D S A B C K ' ; ' ' ' . B C MI B C BC B C MB ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ Phần 2: Góc Bài 1: Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. Tính góc giữa AC và SD Giải: Ta có : AB = 2 5 , Gọi M là trung điểm của BC ,ta có : DM = 1 SD = 2 2 30 SA AD+ = , SC = 2 2 29 SA AC+ = SM = 2 2 33 SC CM+ = Ta có : 2 2 2 30 1 33 1 cos 2 . 2 30 30 SD MD SM SDM SD MD + − + − ∠ = = = − (*) Góc ϕ giữa hai đường thẳng AC và SD là góc giữa hai đường thẳng DM và SD hay ϕ bù với góc ∠ SDM . Do đó : cos ϕ = 1 30 Vậy ϕ = arcos 1 30 Bài 2: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết AB = CD = 2a, MN = 3 a . Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD Giải: Gọi P là trung điểm AC. Khi đó MP // AB, NP // CD và MP = NP = a ( , ) ( , ) AB CD MP NP ⇒ ∠ = ∠ Trong tam giác MPN ta có: 2 2 2 2 2 0 2 3 1 os MPN= 2 . 2 . 2 120 MP NP MN a a c MP NP a a MPN + − − ∠ = = − ⇒ ∠ = Vậy 0 0 ( , ) 60 ( , ) 60 MP NP AB CD∠ = ⇒ ∠ = Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=a, AB=2a. SA vuông góc với AB và AD, SA= 2 3 3 a . Tính góc giữa 2 đường thẳng: a, DC và SB A A’ B B’ C C’ M I Khóa h ọ c Chuyên đ ề Hình h ọ c 1 1 - Th ầ yTr ầ n Vi ế t Kính Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - b, SD và BC Giải: a. Do / / ( , ) ( , )DC AB DC SB AB SB α ⇒ ∠ = ∠ = Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó 0 2 3 3 3 tan 30 2 3 a SA AB a α α = = = ⇒ = Vậy 0 ( , ) 30 DC SB∠ = b. Gọi I là trung điểm AB, khi đó AI=a. Tứ giác ADCI là hình bình hành, lại có AI=AD=a nên là hình thoi, mà góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a 2 DI a ⇒ = Tứ giác BIDC là hình bình hành nên BC // DI Khi đó ( , ) ( , )SD BC SD DI β ∠ = ∠ = Tam giác SAI vuông tại A nên 2 2 2 2 7 3 a SI SA AI= + = Tam giác SAD vuông tại A nên 2 2 2 2 7 3 a SD SA AD= + = Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác SDI: 2 2 2 2 2 3 os 2 . 21 42 . . 2 3 SD DI SI a c SDI SD DI a a a + − ∠ = = = >0 Suy ra SDI ∠ là góc nhọn và SDI ∠ =arccos 3 42 Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' ' ABC A B C có 1, ' ( 0). AB CC m m = = > Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng ' AB và ' BC bằng 0 60 . Giải: - Kẻ / / ' ( ' ') BD AB D A B ∈ 0 ( ', ') ( , ') 60 AB BC BD BC⇒ = = 0 ' 60 DBC⇒ ∠ = hoặc 0 ' 120 . DBC∠ = - Nếu 0 ' 60 DBC∠ = Vì lăng trụ đều nên ' ( ' ' '). BB A B C ⊥ Áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta có 2 ' 1 BD BC m = = + và ' 3. DC = Kết hợp 0 ' 60 DBC∠ = ta suy ra ' BDC ∆ đều. Do đó 2 1 3 2. m m+ = ⇔ = - Nếu 0 ' 120 DBC∠ = Áp dụng định lý cosin cho ' BDC ∆ suy ra 0 m = (loại). Vậy 2. m = Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 3 a , SD= 7 a và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD). Giải: a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. Khóa h ọ c Chuyên đ ề Hình h ọ c 1 1 - Th ầ yTr ầ n Vi ế t Kính Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - ( ) SA AB SA ABCD SA AD ⊥  ⊥ ⇒ ⇒  ⊥  các tam giác SAB, SAD vuông tại A Tương tự : BC AB BC SB SBC BC SA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ∆  ⊥  vuông tại B CD AD CD SD SDC CD SA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ∆  ⊥  vuông tại D b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD). ( ) ( ) SCD ABCD CD ∩ = ( ), AD ABCD AD CD ⊂ ⊥ , ( ), SD SCD SD CD ⊂ ⊥ Suy ra: ( ) ( ) 3 21 ( ),( ) ; cos 7 7 21 ( ),( ) ar cos 7 AD a SCD ABCD SDA SDA SD a SCD ABCD SDA = ∠ ∠ = = = ⇒ = ∠ = Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI) Giải: Do SA = SB = SC ⇒ AB = BC = CA ⇒ tam giác ABC đều Trong tam giác ABC, gọi H là giao của SJ và CI. Khi đó H vừa là trọng tâm vừa là trọng tâm của tam giác ABC Ta có ( AJ) ( ) S SCI SH ∩ = , do đó, để xác định góc giữa 2 mp (SAJ) và (SCI), trước tiên ta xác định mp vuông góc với SH Ta có : AH ⊥ BC (1) do tam giác ABC đều Lại có SA, SB, SC đôi một vuông góc nên SA ⊥ (SBC) ⇒ SA ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) ta được BC ⊥ (SAH) suy ra BC ⊥ SH (*) Tương tự ta cũng có ( ) ( ) AB CH AB CH AB SCH SC SAB AB SC ⊥ ⊥   ⇒ ⇒ ⊥   ⊥ ⊥   Hay AB ⊥ SH (**) Từ (*) và (**) suy ra SH ⊥ (ABC) Mà ( ) ( AJ) AJ (( AJ),( )) (AJ, ) ( ) ( ) ABC S S SCI CI ABC SCI CI ∩ =  ⇒ ∠ = ∠  ∩ =  Do tam giác ABC đều nên 0 0 0 0 90 90 30 60 CHJ HCJ∠ = −∠ = − = Vậy 0 (( AJ),( )) (AJ, ) 60 S SCI CI CHJ∠ = ∠ = ∠ = Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng 3 SA a = và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa các mp sau: a. (SAB) và (ABC) b. (SBD) và (ABD) Khóa h ọ c Chuyên đ ề Hình h ọ c 1 1 - Th ầ yTr ầ n Vi ế t Kính Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 - c. (SAB) và (SCD) Giải: a. Gọi O là giao điểm của AC và BD Suy ra: 2 2 a AO AC= = Khi đó ( ) ( ) SAB ABC AB ∩ = Ta có : ( ) AB SA AB SAD AB AD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Mặt khác 0 ( ) ( ) (( ),( )) ( , ) 90 ( ) ( ) SAD SAB SA SAB ABC SA AD SAD SAD ABC AD ∩ =  ⇒ ∠ = ∠ = ∠ =  ∩ =  b. ( ) ( ) SBD ABD BD ∩ = Ta có ( ) BD SA BD SAC BD AC ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Mặt khác ( ) ( ) (( ),( )) ( , ) ( ) ( ) SAC SBD SA SBD ABD SO AO SOA SAC ABD AO ∩ =  ⇒ ∠ = ∠ = ∠  ∩ =  Trong tam giác vuông SOA ta có: 3 tan 6 (( ),( )) arctan 6 2 2 SA a SOA SBD ABD AO a ∠ = = = ⇒ ∠ = c. ( ) ( ) / / / / SAB SCD Sx AB CD ∩ = Mà ( ) ( ) AB SAD Sx SAD ⊥ ⇒ ⊥ Do ( ) ( ) (( ),( )) ( , ) ( ) ( ) SAD SAB SA SAB SCD SA SD ASD SAD SCD SD ∩ =  ⇒ ∠ = ∠ = ∠  ∩ =  Trong tam giác vuông ASD: 0 0 1 tan 30 (( ),( )) 30 3 3 AD a ASD ASD SAB SCD SA a ∠ = = = ⇒ ∠ = ⇒ ∠ = Bài 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và SA ⊥ (ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD. a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD). b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC). c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD). Giải: a. Vì ( ) , ( ) SA ABCD SA BC BC AB BC SAB ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ( ) , ( ) SA ABCD SA CD CD AD CD SAD ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ b. ( ), SA ABCD SA a ⊥ = , các tam giác SAB, SAD vuông cân ⇒ FE là đường trung bình tam giác SBD FE BD ⇒  , ( ) BD AC FE AC SA ABCD BD SA FE SA ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ( ), ( ) ( ) ( ) FE SAC FE AEF SAC AEF ⊥ ⊂ ⇒ ⊥ c. ( ) SA ABCD ⊥ nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) SCA ϕ ⇒ = ∠ Khóa h ọ c Chuyên đ ề Hình h ọ c 1 1 - Th ầ yTr ầ n Vi ế t Kính Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 8 - 0 1 tan 45 2 2 SA a AC a ϕ ϕ ⇒ = = = ⇒ = Bài 9 : Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SA = a 6 . Gọi AH, AK lần lượt là đường cao của các tam giác SAB và SAD. 1) Chứng minh : ∆ SAD ; ∆ SDC là những tam giác vuông. 2) Chứng minh: AK ⊥ (SDC) ; HK ⊥ (SAC) 3) Tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC). Giải: 1). C/m: ∆ SAD là tam giác vuông. Ta có : SA ⊥ (ABCD) ; AD ⊂ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AD ⇒ ∆ SAD vuông tại A. C/m: ∆ SDC là tam giác vuông. Ta có : SA ⊥ (ABCD) ; DC⊂(ABCD) ⇒ DC ⊥ SA DC ⊥ AD (do ABCD vuông) ⇒ DC ⊥ (SAD) SD ⊂ (SAD) ⇒ DC ⊥ SD ⇒ ∆ SDC vuông tại D. 2). C/m: AK ⊥ (SDC) Ta có: DC ⊥ (SAD) ; AK ⊂ (SAD) ⇒ AK ⊥ DC AK ⊥ SD (giả thiết) ⇒ AK ⊥ (SDC) (đpcm) C/m: HK ⊥ (SAC) Ta có : ∆ SAB = ∆ SAD (c-g-c) ⇒SB=SD Mà H, K là hình chiếu của A lên SB, SD ⇒ SH SK SB SD = ⇒ HK // BD (1) Xét tam giác cân SBD OB=OD (O là tâm hvuông ABCD) ⇒SO ⊥ BD (2) Từ (1),(2) ⇒ HK ⊥ SO (*) Mặt khác: AO ⊥ BD (3) Từ (1),(3) ⇒ HK ⊥ AO (**) Từ (*),(**) HK ⊥ (SAO) Hay HK ⊥ (SAC) (đpcm) 3). Tính góc giữa SD và mp (SAC). Ta có: SO ⊥ OD ⇒ SO là hình chiếu của SD trên mp (SAC) S B C D A H K o Khóa h ọ c Chuyên đ ề Hình h ọ c 1 1 - Th ầ yTr ầ n Vi ế t Kính Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 9 - ⇒ góc giữa SD và mp (SAC) là góc hợp bởi SD và SO. DO= 2 2 a , SD= 7 a ⇒Sin DSO ∠ = 2 1 2 7 14 a DO SD a = = Vậy DSO ∠ = arcsin 1 14 Bài 10: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng a và có tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA;BC.Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 60 0 .Tính MN, SO, góc giữa MN và mặt phẳng (SAO) Giải: Gọi P là trung điểm AO. Khi đó MP // SO và SO ⊥ (ABCD). Do đó (MN;(ABCD)) = ∠ MNP = 60 0 Trong ∆ NCP , theo định lý hàm số Cosin ta có: 2 2 2 2 0 5 2 . . os45 2 a NP CN CP CN CP c= + − = Trong tam giác vuông MNP ta có 0 5 os60 2 PN MN a c = = và 0 15 15 .tan 60 2 8 2 PM PN a SO MP a= = ⇒ = = Gọi H là trung điểm OC. Suy ra NH // BD mà BD ⊥ (SAC), do đó (MN;(SAC)) = ∠ NMH. Ta có 1 2 5 , 2 4 2 a NH OB MN a= = = . Suy ra trong tam giác vuông MNH ta có 1 sin 2 5 NH NHM MN ∠ = = Vậy góc giữa MN và mặt phẳng (SAC) là 1 góc có giá trị α thỏa mãn 1 sin ;0 2 2 5 π α α = ≤ ≤ Bài 11: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là trung điểm AB. CMR: SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD) Giải: Sử dụng tính chất 2 mp vuông góc ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) SI SAB SAB ABCD AB SI ABCD SI AB ⊂   ∩ = → ⊥   ⊥  Khi đó, I là hình chiếu của S lên (ABCD) suy ra SC có hình chiếu lên (ABCD) là IC ( ,( )) ( , ) SC ABCD SC IC SCI ⇒ ∠ = ∠ = ∠ ( do tam giác SIC vuông tại I nên góc SCI là góc nhọn) SI là đường cao của tam giác đều ABC nên 3 2 a SI = Trong tam giác vuông ICB: Khóa h ọ c Chuyên đ ề Hình h ọ c 1 1 - Th ầ yTr ầ n Vi ế t Kính Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - 45 I B C A D S E H SCD A B I 2 2 2 2 5 4 2 3 15 2 tan 2 5 2 a a IC IB BC a a SI SCI CI a = + = + = ⇒ ∠ = = = Vậy 15 ( ,( )) arctan( ) 2 SC ABCD SCI∠ = ∠ = Phần 3: Khoảng cách Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( ) ( ) SAB ABCD ⊥ , SA = SB, góc giữa SC và (ABCD) bằng 45 0 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD). Giải: Gọi I là trung điểm của AB, vì tam giác SAB cân tại S SI AB ⇒ ⊥ ( ) ( ) ( ) ( ), SAB ABCD SI ABCD SI SAB SI AB ⊥  ⇒ ⊥  ⊂ ⊥  0 45 SCI⇒ ∠ = Vì / /( ) ( ,( )) ( ,( )) BA SCD d B SCD d I SCD ⇒ = Gọi J là trung điểm của CD, ta có: ( ) CD IE CD SIE CD SI ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  mà ( ) ( ) ( ) CD SCD SIE SCD ⊂ ⇒ ⊥ theo giao tuyến SE. Do đó trong mặt phẳng (SIE) kẻ ( ) ( ) IH SE H SE IH SCD ⊥ ∈ ⇒ ⊥ ( ,( )) IH d I SCD ⇒ = Ta có: 2 2 2 1 1 1 IS IH IE = + Mà IE = a, 2 2 2 2 5 2 2 a a SI IC BI BC a   = = + = + =     ( ∆ SIC vuông cân nên SI = IC) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 9 5 5 5 2 IH a a a a a ⇒ = + = + =       2 2 5 5 9 3 a a IH IH⇒ = ⇒ = Vậy 5 ( ,( )) 3 a d B SCD = . Bài 2. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( ) SA ACBD ⊥ , góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD) bằng 60 0 , G là trọng tâm tam giác SAD. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC). Giải : Ta có : 0 60 SBA∠ = [...]... Khóa học Chuyên đề Hình học 11 - ThầyTrần Viết Kính hay d ( A, ( SED ) = Quan hệ vuông góc 2 a 2 Đề thi Đại học khối D năm 2007 đã có một bài “Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang ABC = BAD = 90 0 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mp(SCD).” Gợi ý giải: S a 2 J H I... Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 16 - Khóa học Chuyên đề Hình học 11 - ThầyTrần Viết Kính Hay d (G , ( SBC )) = Quan hệ vuông góc a 2 6 Ví dụ 2 Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a 3 O là tâm hình vuông ABCD a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC); b Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC); c G1 là trọng tâm ∆SAC Từ G1 kẻ... Chuyên đề Hình học 11 - ThầyTrần Viết Kính Quan hệ vuông góc AK AM BC AM a 3 = ⇒ AK = = BC CM CM 31 AH là đường cao của tam giác vuông SAK nên: 1 1 1 31 1 34 a 3 = + = 2 + 2 = 2 ⇒ AH = 2 2 2 AH AK a AS 3a 3a 34 Vậy d ( B, ( SCM )) = 2a 3 34 Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S, góc SBC bằng 600, mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách... = AH Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 D a C - Trang | 23 - Khóa học Chuyên đề Hình học 11 - ThầyTrần Viết Kính Quan hệ vuông góc SAK và EAD là các tam giác vuông tại A Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 1 1 1 1 1 = + = 2 + 2 2 2 AH AS AK 3a AK 2 1 1 1 1 1 = + = 2 + 2 2 2 2 AK AE AD a a Suy ra 1 1 1 1 21 = 2 + 2 + 2 hay AH = a 2 AH 3a a a 7 Vậy... chiếu vuông góc của I trên SA, IK = Tính khoảng cách từ 2 D đến mặt phẳng (SBC) Giải: ( SAD ) ⊥ ( SBC ) theo giao tuyến SI, nên kẻ DH ⊥ SI ( H ∈ DI ) ⇒ DH ⊥ ( SBC ) ⇒ DH = d ( D, ( SCB )) Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Khóa học Chuyên đề Hình học 11 - ThầyTrần Viết Kính Ta có: Quan hệ vuông góc 1 1 1 = + 2 2 2 DH DS DI S a 3 2 Ta có ∆ vuông. .. 6 Cho hình chóp SABCD ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và (SAB) vuông góc với mp(ABCD) Gọi I là trung điểm của cạnh AB, E là trung điểm của cạnh BC a Chứng minh mp(SIC) ⊥ mp(SED); Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 20 - Khóa học Chuyên đề Hình học 11 - ThầyTrần Viết Kính Quan hệ vuông góc b Tính khoảng cách từ điểm I đến... ThầyTrần Viết Kính Quan hệ vuông góc Gọi O là tâm của đáy ABCD Vì SO là một trung tuyến của tam giác SAC S nên trọng tâm G của tam giác SAC nằm trên SO là có SG 2 = SO 3 Gọi M là trung điểm của CD Ta có OM ⊥ DC ⇒ SM ⊥ DC (định lí ba đường vuông góc) ⇒ DC ⊥ ( SOM ) ⇒ ( SDC ) ⊥ ( SOM ) K G H Lại có: ( SOM ) ∩ ( SDC ) = SM nên nếu C B kẻ OH ⊥ SM ( H ∈ SM ) thì OH ⊥ ( SDC ) ⇒ d (O;( SCD )) = OH O Trong tam giác... SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a a Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) b Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) c Gọi I là trung điểm của AB Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC); Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 15 - Khóa học Chuyên đề Hình học 11 - ThầyTrần Viết Kính Quan hệ vuông góc d Gọi J là trung... vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 18 - Khóa học Chuyên đề Hình học 11 - ThầyTrần Viết Kính Lúc đó d ( J , ( BDD ' B ')) = Vậy d ( J , ( BDD ' B ' )) = Quan hệ vuông góc 1 d ( K , ( BDD ' B ')) 2 a 2 12 Ví dụ 4 Cho tam giác ABC đều cạnh a Trên đường thẳng Ax vuông góc với mp(ABC), lấy điểm S sao cho SA = a 3 , K là trung điểm của BC a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC); b Gọi M là điểm đối xứng với A qua... Lời giải a Xét 2 ∆ vuông SAB và SAC : SB = SA 2 + AB 2 = 2a H SC = SA 2 + AC 2 = 2a G suy ra SB = SC hay ∆SBC cân tại S Trong ∆SBC có SK là đường trung tuyến đồng thời A là đường cao khi đó BC ⊥ SK mà BC ⊥ SA( do SA ⊥ (ABC)) nên BC⊥ (SAK), suy ra SAK) ⊥ (SBC) B Ta có (SAK) ∩ (SBC) ≡ SK Từ A kẻ AH ⊥ SK tại H Khi đó d(A,(SBC)) = AH Xét ∆SAK vuông taị A, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: I C