Đề tài quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian

0" " ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN Môn: Rèn Luyện Nghiệp Vụ Sư Phạm 3 Đề tài: QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN N g ư Người thực hiện: Hoàng Thị Ái Nhi Huế, 11/2013 0" " MỤC LỤC QUAN HỆ SONG SONG 2 A.HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 2 I.Định nghĩa 2 II.Định lý và các tính chất 2 III.Chứng minh hai đường thẳng song song 4 IV. Bài tập rèn luyện. 6 B.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 8 I.Định nghĩa 8 II.Định lý và các tính chất 8 III.Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 9 IV.Bài tập rèn luyện. 13 C.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 14 I.Định nghĩa 14 II.Định lý 14 III.Chứng minh hai mặt phẳng song song 15 IV. Bài tập rèn luyện 18 QUAN HỆ VUÔNG GÓC 19 A.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 19 I.Định nghĩa 19 II.Định lý 19 III.Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 20 IV.Bài tập rèn luyện. 22 B.HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 24 I.Định nghĩa 24 II.Định lý 24 0" " III.Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc 25 IV.Bài tập rèn luyện 27 C.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 28 I.Định nghĩa 28 II.Định lý 28 III.Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 29 IV. Bài tập rèn luyện 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 1" " LỜI NÓI ĐẦU Nội dung tôi muốn giới thiệu đến các bạn trong đề tài này là các vấn đề cơ bản trong phần hình học không gian lớp 11, cụ thể là quan hệ song song và quan hệ vuông góc. Tôi xin giới thiệu đến các bạn sáu dạng chứng minh cơ bản trong hai loại quan hệ song song và vuông góc sau: 1. Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau; 2. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng; 3. Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau. 4. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau; 5. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; 6. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Mục tiêu của đề tài nhằm định hướng cách chứng minh một số bài toán trong quan hệ song song và quan hệ vuông góc, giúp các bạn hệ thống lại các kiến thức liên quan trong phần này. Ngoài ra còn cung cấp mộ t số bài tập để rèn luyện kỹ năng chứng minh, trình bày bài toán không gian. Tôi xin trân trọng gởi đến các bạn đề tài này như một tài liệu học tập bổ ích, mong các bạn sử dụng có hiệu quả. Tác giả Hoàng Thị Ái Nhi 2" " QUAN HỆ SONG SONG A.HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I.Định nghĩa Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. II.Định lý và các tính chất 1. Nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau. 𝑎 ⫽ 𝑏 𝑎 ⫽ 𝑐 ⇒ b⫽c 2. Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. 𝑎⏊(𝑃) 𝑏⏊(𝑃) ⇒ a⫽b 3. Trong một mặt phẳng, nếu hai đườ ng thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau. 3" " 𝑎⏊𝑐 𝑏⏊𝑐 𝑎, 𝑏, 𝑐! ⊂ (𝑃) ⇒ a⫽b 4. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳ ng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó). 𝑎 ⊂ 𝑃 , 𝑏 ⊂ (𝑄) 𝑃 ∩ 𝑄 = 𝑐 𝑎 ⫽ 𝑏 ⇒ c⫽a⫽b 5. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng(nếu có) song song với đường thẳng đó. 𝑎 ⫽ (𝑃) 𝑎 ⫽ (𝑄) 𝑃 ∩ 𝑄 = 𝑏 ⇒a⫽b 4" " III.Chứng minh hai đường thẳng song song Phương Pháp: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể sử dụng một trong những cách sau: 1. Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba. 2. Dùng tính chất: Hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng ấy. 3. Dùng định lý giao tuyến của ba mặt phẳng: nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc song song với nhau. 4. Chứng minh chúng đồng phẳng và sử dụng phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong hình học phẳng. Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh IJ song song với CD. Gọi M là trung điểm của AB Trong mặt phẳng (MCD), xét ∆MCD có: MI= ! ! MC (do I là trọng tâm của ∆ABC) 5" " MJ= ! ! MD ( do J là trọng tâm của ∆ABD) Theo Định lý Talet ta có IJ⫽CD (đpcm). Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AC, BF lần lượt lấy M,N sao cho AM= ! ! AC, BN= ! ! BF. Chứng minh MN⫽DE. Trong (ABCD) gọi G là giao điểm của DM và AB Ta có ∆AMG ∾ ∆CMD suy ra 𝐴𝐺 𝐶𝐷 = 𝐴𝑀 𝐶𝑀 = 1 2 ⇒ G là trung điểm của AB Trong (ABEF) gọi H là giao điểm của AB và EN Ta có ∆BNH ∾ ∆FNE suy ra 6" " 𝐵𝐻 𝐸𝐹 = 𝐵𝑁 𝑁𝐹 = 1 2 ⇒ H là trung điểm của AB ⇒ H≡G ⇒ DM∩EN=G Trong mặt phẳng (GDE) xét ∆GED có 𝑀𝐺 𝑀𝐷 = 𝑁𝐺 𝑁𝐸 = 1 2 ⇒ MN⫽DE (đpcm). IV. Bài tập rèn luyện. Bài 1. Cho hình chóp SABCD đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của ∆SAB và ∆SAD. E là trung điểm của BC. a. Chứng minh MN⫽BD. b. Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng (MNE) và SB, SD. Chứng minh LH⫽BD. Bài 2. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC. Từ ba đỉnh của tam giác này kẻ ra ngoài (P) các nữa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz.Trên Ax lấy A’ sao cho AA’=a, trên By lấy B’ sao cho BB’=b, trên Cz lấy C’ sao cho CC’=c. Gọi G,G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh GG’⫽ AA’. Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của AB’ và A’B. Chứng minh hai đường thẳng GI và CG’ song song với nhau. 7" " Bài 4. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại B, đoạn thẳng DA vuông góc voi (P) tại A. Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với BD lần lư ợt cắt BD và CD tạ i H và K. Chứng minh HK vuông góc với BC. Câu 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA bằng a và vuông góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, SD tại B’, D’. Chứng minh B’D’ song song với BD. [...]... trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia 𝑎 ⊂ (𝑄) ⇒a⫽(P) 𝑃 ⫽ (𝑄) 3.Nếu một đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng song song với (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) 𝑎 ⊄ (𝑃) 𝑎 ⫽ 𝑏 ⇒a⫽(P) 𝑏 ⫽ (𝑃) 8     4.Nếu một đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một mặt phẳng song song với (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng... B.HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa 1 .Góc giữa đường thẳng a, b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a, b 2.Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 a⏊b ⇔ (𝑎, 𝑏)=900 II.Định lý ! 𝑎′ = 𝐶ℎ(!) 1 𝑏 ⊂ (𝑃) ⇒ a⏊b 𝑏⏊𝑎′ 2.Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng... hoặc a song song với mặt phẳng (Q) nào đó mà (Q) song song với (P) 4 Chứng minh a vuông góc với đường thẳng b nào đó ma b vuông góc với (P) hoặc chứng minh a vuông góc với mặt phẳng (Q) nào đó mà (Q) vuông góc với (P) Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD.Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BAD Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng (ABC) và (BDC) Gọi E là trung điểm của AD Trong mặt phẳng... thẳng a được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu a vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong (P) II.Định lý 1.Nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) 𝑏, 𝑐 ⊂ (𝑃) 𝑎⏊𝑏, 𝑎⏊𝑐 ⇒a⏊(P) 𝑏 ∩ 𝑐   ≠  ∅ 2.Cho đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước, một đường thẳng a song song với b thì vuông góc với mặt phẳng (P)... THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa Đường thẳng a được gọi là song song với mặt phẳng (P) nếu giữa chúng không có điểm chung II.Định lý và các tính chất 1.Nếu một đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b chứa trong (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) a ⊄ (P) 𝑏 ⊂ (𝑃) ⇒a⫽(P) 𝑎⫽ 𝑏 2.Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng trong. .. song song với mặt phẳng Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) ta sử dụng các cách sau: 1 Thông thường ta chứng minh đường thẳng a song song với một đường thẳng chứa trong mặt phẳng (P) 9     2 Chứng minh đường thẳng a nằm trong một mặt phẳng nào đó song song với mặt phẳng (P) 3 Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b nào đó mà b song song với (P) hoặc a song. .. PHẲNG SONG SONG I.Định nghĩa Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung II.Định lý 𝑎, 𝑏 ⊂ (𝑃) 1 𝑎 ⫽ 𝑄 , 𝑏 ⫽ (𝑄) ⇒(P)⫽(Q) 𝑎∩ 𝑏≠∅ 2.Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau 𝑃 ⫽ (𝑅) ⇒(P)⫽(Q) 𝑅 ⫽ (𝑄) 3.Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng nằm ngoài mặt phẳng kia thì song song với nhau (𝑃)⏊𝑎 ⇒(P)⫽(Q) 𝑄 ⏊𝑎 14     4.Hai mặt phẳng cùng vuông góc. .. 3.Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thi vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong (P) 𝑎⏊(𝑃) ⇒ a⏊b 𝑏 ⊂ (𝑃) 24     4.Một đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) cho trước Nếu một đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) thì cũng vuông góc với đường thẳng a 𝑎 ⫽ (𝑃) ⇒ a⏊b 𝑏⏊(𝑃) III.Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau ta có thể... AB và CD Chứng minh: a IJ⏊AB b IJ⏊CD Bài 4 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Lấy M trên cạnh BC, mặt phẳng (MB’D) cắt A’D’ tại N Chứng minh MN và C’D vuông góc với nhau Bài 5 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA bằng a và vuông góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với cạnh SC cắt SB tại B’ Chứng minh AB’ vuông góc với SB 27     C.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC... PHẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa 1 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó 2 Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 II.Định lý 1.Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau 𝑎 ⊂ (𝑃) ⇒(P)⏊(Q) 𝑎⏊(𝑄) 2.Hai mặt phẳng song song cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba 𝑄 ⏊(𝑅) . hình học không gian lớp 11, cụ thể là quan hệ song song và quan hệ vuông góc. Tôi xin giới thiệu đến các bạn sáu dạng chứng minh cơ bản trong hai loại quan hệ song song và vuông góc sau: 1 3 Đề tài: QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN N g ư Người thực hiện: Hoàng Thị Ái Nhi Huế, 11/2013 0" " MỤC LỤC QUAN HỆ SONG SONG. thẳng vuông góc với mặt phẳng; 6. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Mục tiêu của đề tài nhằm định hướng cách chứng minh một số bài toán trong quan hệ song song và quan hệ vuông góc,