vuông tại B. Kẻ AM vuông góc với SB tại M, lấy điểm N trên SC sao cho
𝑆𝑀 𝑆𝐵 =
𝑆𝑁 𝑆𝐶 Chứng minh SB⏊AN.
Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H vuông góc với mặt phẳng (ABC).Chứng minh:
a. AA’⏊BC b. AA’⏊B’C’
Bài 3. Cho hai tam giác ABD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. AC=CD=BC=BD=a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:
a. IJ⏊AB. b. IJ⏊CD.
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Lấy M trên cạnh BC, mặt phẳng (MB’D) cắt A’D’ tại N. Chứng minh MN và C’D vuông góc với nhau.
Bài 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA bằng a và vuông góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với cạnh SC cắt SB tại B’. Chứng minh AB’ vuông góc với SB.
C.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa
1. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
2. Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900
II.Định lý
1.Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
𝑎⊂(𝑃)
𝑎⏊(𝑄)⇒(P)⏊(Q)
2.Hai mặt phẳng song song cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
𝑄 ⏊(𝑅)
III.Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Phương pháp:
Để chứng minh mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) ta có thể sử dụng những cách sau:
1. Thông thường ta chứng minh trong mặt phẳng (P) có chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Q) hoặc ngược lại.
2. Chứng minh (P) song song mặt phẳng (R) nào đó mà (R) vuông góc với (Q).
Ví dụ1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Chứng minh (AB’C’D)⏊(BCD’A’).
Ta có: 𝐵𝐶⏊𝐶𝐷 𝐵𝐶⏊𝐶𝐶′ ⇒BC⏊(DCC’D’) ⇒BC⏊DC’ Mặt khác DC’⏊D’C BC⏊DC’ BC⏊DC’ ⇒DC’⏊(BCD’A’) ⇒(AB’C’D)⏊(BCD’A’) (đpcm).
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Chứng minh hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc với nhau.
Ta có SO⏊(ABCD) ⇒ SO⏊BD Mặt khác ta có BD⏊AC
SO⏊BD BD⏊AC
𝑆𝑂,𝐴𝐶 ⊂(𝑆𝐴𝐶)⇒ BD (SAC) (SBD) (SAC).
IV. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Chứng minh hai mặt phẳng (MNE) và (AA’B’B) vuông góc với nhau.
Bài 2. Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng của A qua I. Dựng đoạn SD= !!! vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh:
a. (SAB) ⏊ (SAC). b. (SBC) ⏊ (SAD).
Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD). Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên cạnh BC, Dc sao cho BM=!!, DN=!!! . Chứng minh hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
Bài 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA=SB=SC=a.Chứng minh (ABCD) ⏊ (SBD).
Bài 5. Tứ diện (ABCD) có cạnh AB vuông góc với (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các dường cao BE, DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ADC) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh
a. (ADC)⏊(ABE). b. (ADC) ⏊ (DFK).
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao – NXB Giáo Dục; 2. Sách bài tập Hình học 11 nâng cao – NXB Giáo Dục;
3. Sách bài tập bồi dưỡng Hình Không Gian – Văn Như Cương; 4. Một số bài tập trên các trang web học tập.