Skkn một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường thpt chu văn an

Trường THPT Chu Văn An Giáo viên Lê Quốc Sang Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ[.]

Trường THPT Chu Văn An SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Giáo viên: Lê Quốc Sang CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN An Giang, ngày 20 tháng năm 2019 BÁO CÁO Kết thực sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN I SƠ LƯỢC LÝ LỊCH CỦA TÁC GIẢ: Họ tên: Lê Quốc Sang Ngày tháng năm sinh: 09/08/1982 Nơi thường trú: Thị trấn Phú Mỹ, Phú Tân, An Giang Đơn vị công tác: Trường trung học phổ thông Chu Văn An Chức vụ nay: Tổ trưởng tổ Tốn, Bí thư Chi KHTN Lĩnh vực cơng tác: chun mơn Tốn II SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ: Đặc điểm tình hình: Trường THPT Chu Văn An thành lập từ năm 1975, tiền thân trường cấp III Phú Tân, trải qua thập kỷ đội ngũ cán bộ, giáo viên, viên chức ngày lớn mạnh Nhìn chung, máy tổ chức trường THPT Chu Văn An ổn định, tổ chun mơn đồn kết, gương mẫu làm tốt nhiệm vụ giao Trường học nhiều năm liền đánh giá “hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ” Thành tích đạt năm học 2017-2018 sau:  Chất lượng văn hóa:  Học lực: Giỏi: 304 học sinh, tỉ lệ: 23,68% Khá: 708 học sinh, tỉ lệ: 55,14% Trung bình: 244 học sinh, tỉ lệ: 19% Yếu: 06 học sinh, tỉ lệ: 2,18%  Hạnh kiểm: Tốt: 1265 học sinh, tỉ lệ: 98,52% Khá: 18 học sinh, tỉ lệ: 1,4% Trung bình: học sinh, tỉ lệ: 0,08% Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang  Chất lượng học sinh giỏi cấp tỉnh:  Học sinh giỏi mơn văn hóa cấp tỉnh: 21 giải  Học sinh thi máy tính bỏ túi cấp tỉnh: 07 cấp tỉnh  Chất lượng hoạt động thi:  Tham gia nhiều thi Sở, Huyện tổ chức tích cực, đạt hiệu  Tổ chức Câu lạc bộ:Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, … thành công, học sinh giáo viên hướng dẫn tận tình, tham gia nhiều viết, nhiều tiết mục sáng tạo, phát học sinh có nhiều tiềm triển vọng Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Lĩnh vực sáng kiến: Tốn học III MỤC ĐÍCH U CẦU CỦA SÁNG KIẾN: Thực trạng cần thiết phải áp dụng giải pháp, sáng kiến: Dãy số, hàm số vấn đề tảng giải tích, lĩnh vực khó rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác tốn học Có nhiều tốn dãy số tìm số hạng tổng quát dãy, chứng minh tính chất dãy, tính tổng số hạng dãy, tìm giới hạn dãy,….trong tốn tìm giới hạn dãy thường xuất nhiều kì thi học sinh giỏi, kỳ thi Olympic Những năm gần đây, toán dãy số xuất đề thi trung học phổ thông quốc gia nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung Tài liệu tham khảo dãy số ít, có nội dung đề cập cao so với trình độ học sinh phổ thơng khơng chun Do học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm dãy số học sinh có ý định ơn thi học sinh giỏi khó tìm cho tài liệu tham khảo phù hợp Học sinh khối 11 trung học phổ thông không chuyên, đặc biệt học sinh trường THPT Chu Văn An khơng có điều kiện để học hỏi, trao đổi kinh nghiệm thông qua kỳ thi Olympic 30/4, kỷ yếu, trường chuyên tổ chức Thực tế nay, em chủ yếu học tập toán dãy số sách giáo khoa sách tập, gặp toán dãy số kỳ thi học sinh giỏi, em thường lúng túng, khơng tìm lời giải Bài viết tất vấn đề giới hạn dãy số đề cập mà viết đề cập đến số tốn tìm giới hạn dãy gặp nhiều kì thi Bài viết khơng phải giáo trình, tài liệu dãy số mà cóp nhặt, ghi nhận thân trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, đơi mang tính chủ quan Rất mong quý thầy, cô, bạn đọc giả xem tài liệu mở tiếp tục triển khai, ghi nhận góp ý cho chưa hay, chưa xác Phần nội dung giải pháp, sáng kiến xoay quanh số toán tìm:  Giới hạn dãy số cách xác định số hạng tổng quát dãy số  Giới hạn dãy số dạng: un 1  f un  Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang n  Giới hạn tổng thường gặp: lim  H x i  i 1  Giới hạn dãy số sinh nghiệm phương trình Nội dung sáng kiến: 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề: 2.1.1 Các định nghĩa: 1) Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số un  gọi dãy số tăng un  un 1, n  * Dãy số un  gọi dãy số giảm un  un 1, n  * 2) Dãy số bị chặn Dãy số un  gọi bị chặn tồn số M cho un  M , n  * Dãy số un  gọi bị chặn tồn số m cho un  m, n  * Dãy số un  gọi bị chặn bị chặn bị chặn 3) Cấp số cộng Dãy số un  gọi cấp số cộng un 1  un  d , n   * , d số khơng đổi, gọi cơng sai cấp số cộng Nếu dãy số un  cấp số cộng un  u1  n  1d, n  Nếu dãy số un  cấp số cộng tổng Sn  u1  u2   un  n u  un  4) Cấp số nhân Dãy số un  đươc gọi cấp số nhân un 1  un q , n   * , q số khơng đổi, gọi cơng bội cấp số nhân Nếu dãy số un  cấp số nhân un  u1.q n 1, n  Nếu dãy số un  cấp số nhân với q  1, q  tổng qn Sn  u1  u2   un  u1 q 2.1.2 Các định lý: 1) Định lý Nếu lim un  a lim un  a 2) Định lý Nếu q  lim q n  Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 3) Định lý Cho dãy un  xác định công thức truy hồi un 1  f (un ) , f (x ) hàm số liên tục Khi đó, un   a a nghiệm phương trình f (x )  x 4) Định lý Cho dãy số un  với u1  a số thực cho trước un 1  f (un ) Khi a) Nếu f (x ) hàm số đồng biến x  x un  dãy số tăng b) Nếu f (x ) hàm số đồng biến x  x un  dãy số giảm 5) Định lí Cho dãy số (un ) với u1  a số thực cho trước un 1  f (un ) Khi a) Nếu f (x ) hàm số nghịch biến x  x u2n  dãy số tăng u2n 1  dãy số giảm b) Nếu f (x ) hàm số nghịch biến x  x u2n  dãy số giảm u2n 1  dãy số tăng 6) Nguyên lý kẹp Cho ba dãy số un , vn , wn  cho: n  , n  , n  n  u  v  w  0 n n n  lim  a  lim u  lim w  a  n  n n n  n  7) Tiêu chuẩn hội tụ (Tiêu chuẩn Weierstrass) a) Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ b) Một dãy số tăng bị chặn hội tụ c) Một dãy số giảm bị chặn hội tụ 8) Định lý LAGRANGE Nếu f (x ) hàm số liên tục đoạn khoảng a;b  tồn c  a; b  cho f '(c )  a;b  , có đạo hàm   f (b )  f (a ) hay f (b)  f (a )  f '(c )(b  a ) b a 2.2 Các dạng toán thường gặp: 2.2.1 Giới hạn dãy số cách xác định số hạng tổng quát dãy số Trong dạng này, chủ yếu áp dụng công thức định nghĩa cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng n số hạng đầu cấp số cộng, cấp số nhân đặt dãy số phụ Bài toán 1: Cho dãy số un  u  xác định bởi:   un 1  un  2n  3, n   Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang Trường THPT Chu Văn An Tính giới hạn L  lim Giáo viên: Lê Quốc Sang un un 1 Bài giải u1  Theo đề suy ra: u2  u1  2.1  u  u2  2.2  … … un  un 1  n  1  Cộng theo vế n đẳng thức ta un   1    n  1  n  1    un   n  1 n  n  1  n  4n   un 1  un  2n   n  2n  L  lim un un 1  n  4n  n n  lim  lim 1 2 n  2n  1  n n Bài toán 2: Cho dãy số un  1  u1   un xác định bởi:   ;n  un 1   3n  2 un   Tính giới hạn L  lim un Bài giải Từ công thức truy hồi suy un 1   3n  2; n  un Từ ta có 1 u1 1   3.1  u2 u1 1   3.2  u3 u2 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 1   3.3  u4 u3 … … 1   n  1  un un 1 Cộng n đẳng thức theo vế ta   1    n  1  n  1   un n  1 n  3n  n    1  n  1  un 2  un  3n  n  Vậy L  lim un  Bài toán Cho dãy số un  u   xác định bởi:  u  un 1  , n   n Tính giới hạn L  lim un Bài giải Ta có un  un 1   2un  un 1   un  1  un 1  1 v  (vn ) cấp số n 1 nhân có số hạng đầu v1  u1   công bội q  Đặt  un  Ta được: 2vn  1    n 1  n 1  Suy     un     1, n       n 1     Vậy L  lim un  lim    1       u  2, u  Bài toán Cho dãy số (un ) xác định sau:   un 2  5un 1  6un , n  (1)  Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang  u  Tính giới hạn L  lim  n   3n  Bài giải Từ đẳng thức (1), ta có: un 2  2un 1  un 1  2un  Đặt  un 1  2un , n  Khi đó: un 2  2un 1  un 1  2un   1  3.vn  (vn ) cấp số nhân có công bội q  số hạng đầu v1  u2  2u1  Suy  v1.q n 1  3n 1, n  Mặt khác, từ đẳng thức (1), ta có: un 2  3un 1  un 1  3un  Đặt wn  un 1  3un , n  Khi đó: un 2  3un 1  un 1  3un   wn 1  2.wn  (wn ) cấp số nhân có cơng bội q  số hạng đầu w1  u2  3u1  1 Suy wn  w1.q n 1  2n 1, n  n 1 u  n 1  2un  Ta có hệ phương trình   un  3n 1  2n 1, n  n  u  3un  2  n 1 n 1    u  3n 1  2n 1  1     n  Vậy L  lim  n   lim  lim          3    3n   Bài toán Cho dãy số (un ) xác định công thức: u  1; u    n un 2  (3n  2).un 1  2(n  1).un , n  * (1)   u  Tính giới hạn L  lim  nn   n.2  Bài giải Từ đẳng thức (1): n.un 2  (3n  2).un 1  2(n  1).un  n un 2  un 1   2(n  1) un 1  un   un 2  un 1 n 1  un 1  un Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn n Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang un 1  un , ta được: 1  2vn  (vn ) cấp số nhân có cơng n bội q  số hạng đầu v1  u2  u1  Đặt  Suy  2n 1, n  Khi đó: un 1  un  n.2n 1  un  u1  1.20  2.21  3.22   (n  1).2n 2  un   2.21  3.22   (n  1).2n 2  , n     2un   2.22  3.23   (n  2).2n 2  (n  1).2n 1      2un  un  (n  1).2n 1   22  23   2n 2   un  (n  1).2n 1  (2n 1  2)  (n  2).2n 1   u  1 n 2 (n  2).2n 1    n   L  lim  n   lim  lim   2 n  n.2  n.2n n.2n 1   2.2.2 Giới hạn dãy số dạng un 1  f un  u   u Bài toán Cho dãy số thực (un ) xác định  un  n 1 , n   un 1   (1) Tính giới hạn L  lim un Bài giải Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh un  0, n  , dãy (un ) bị chặn Từ hệ thức (1), ta suy được: * n   , un 1  un  un un2   un   un3 un2   , dãy (un ) dãy số giảm Do (un ) giảm bị chặn nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass có giới hạn Giả sử lim un  a a  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: a a a 1 a 0 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Vậy L  lim un  u   Bài toán Cho dãy số thực (un ) xác định  1 2019  , n  (1) un  un 1    un 1   Tính giới hạn L  lim un Bài giải Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh un  0, n  Mặt khác, ta lại có: 1 2019  2019 un  un 1   2019 , dãy (un ) bị chặn   un 1  un 1  un 1 Từ hệ thức (1), ta suy được: 2019  un2  2019  n   , un 1  un  un   , dãy (un )   un   un  2un * dãy số giảm Do (un ) giảm bị chặn nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass có giới hạn Giả sử lim un  a a  2019 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n   ta có: a  2019    a  2019 a  2 a  Vậy L  lim un  2019 Bài toán Cho dãy số thực x n  x  2019  xác định bởi:   x n 1  , n    3x n  Tính giới hạn L  lim x n Bài giải Xét hàm số f x   , ta có f ' x    suy f hàm tăng  3x 4  3x  Tính tốn trực tiếp ta có x  x , dãy x n  n 2 tăng Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn (1) Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Dễ dàng chứng minh qui nạp ta x n  , với n  (2) Từ (1) (2) suy dãy có giới hạn Gọi a giới hạn dãy a  a nghiệm phương trình a  f a   a  Vậy L  lim x n  1 a   3a u  2019   un Bài toán Cho dãy số thực un  xác định bởi:  , n  * (1) un 1    un2   Tính giới hạn L  lim un Bài giải Bằng quy nạp chứng minh un  3, n  Giả sử un  có giới hạn a a  a nghiệm phương trình a 3 a a2    a    a  3a  a2 a2    a 2 a  3a  1   a  a  3a   Xét hàm số f (x )   Ta có: f '(x )   x x 1 x  1    3a    15  3;  , un 1  f (un ) f (a )  a  f '(x )  2 , x   3;   Xét hiệu sau kết hợp với định lý Lagrange ta suy ra: Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang 10 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang un 1  a  f (un )  f (a )  f '(cn ) un  a  (cn  un ; a   cn  a; un ) = f '(cn ) un  a  n  u1  a < un  a < <    2  2  n  u a Như ta có:  un 1  a    2   n  u1  a  mà lim  n    2  nên lim un 1  a   lim un 1  a   n  n   lim un  lim un 1  a n  n  Vậy dãy số un  có giới hạn hữu hạn n   lim un  n   15 Bài toán 10 Khảo sát hội tụ dãy số thực an  cho a1  a  0, an 1  , n  *  an Bài giải Chứng minh qui nạp ta an   0;1 Với f x   1 , x   0;1 an 1  f an  f ' x   0 1x 1  x     x  Xét g x   f f x   f  , x  0;1 , g x  hàm tăng 1  x   x   (1) Đối với dãy a2n 1  ta có   g a2n 1   f f a2n 1   f a2n 2   a2n 3  a2n 11 (2) Từ (1) (2) suy dãy a2n 1  đơn điệu bị chặn 0;1 nên a2n 1  hội tụ đến k , tương tự dãy a2n  hội tụ đến l Do k l nghiệm dương phương trình g x   x hay k l  1 Vậy lim an  1 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang 11 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Bài toán 11 Cho dãy số x n  x  a  xác định  xn 1  3xn3  7x n2  5x n , n   Tìm tất giá trị a để dãy x n  có giới hạn hữu hạn Bài giải Nếu dãy có giới hạn k k nghiệm phương trình 3k  7k  5k  k  k  0; k  1; k  Xét hàm số f x   3x  7x  5x Khi dãy cho có dạng x n 1  f x n , n   *  5 Ta có f ' x   9x  14x   x  1x     f x   x  3x  7x  4x  x x  13x  4 , suy x  x  f x   x  x x  13x  4 Ta có bảng biến thiên sau Trường hợp a  Từ bảng biến thiên suy x n  x  x ; f tăng nên x n  dãy giảm   Giả sử lim x n  b b  0;1;  b  a , a  nên không tồn b   Suy dãy khơng có giới hạn a  Trường hợp a  Khi dãy x n  dãy lim x n  Trường hợp a  Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang 12 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 4  Từ bảng biến thiên suy x n   ;  x  x f tăng nên x n  dãy    4  tăng Nếu tồn giới hạn dãy b b  0;1;  b  a , a  nên  3  không tồn b Suy dãy khơng có giới hạn a  Trường hợp a  Khi dãy x n  dãy lim x n   4 Trường hợp a  0;     4 Từ bảng biến thiên suy x n  0;    x n 1   x n  1 3x n  1  x n   4 (do x n  0;  nên x n  13x n  1  )   Bằng phương pháp qui nạp ta thu x n 1   a   , suy x n  có giới hạn n 2.2.3 Giới hạn tổng thường gặp  H x i  i 1 Cho dãy số x n  f x n 1 , n  Để tính giới hạn n  H x i  (trong i 1 H x i  biểu thức theo số hạng dãy cho) ta thực theo bước sau Bước Chỉ lim x n   n Bước Tính  H x i  i 1 n Bước Tìm lim  H x i  i 1 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang 13 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Bài toán 12 Cho dãy số x n  x   thoả mãn  x n 1  2019x n2  x n , n   x x2 x n    Tìm L  lim      x x x n 1  Bài giải Bước (có thể sử dụng định nghĩa tính chất dãy đơn điệu) Ta có x n 1  x n  2019x n2  n  1,2,  nên dãy x n  dãy tăng dãy dương Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn a a  2019a  a  a  (vô lý) Vậy lim x n   Bước Ta có x k 1  2019x k2  x k  Suy x1 x2  x2 x3   xn x n 1 xk x k 1    1     2019  x k x k 1   1     2019  x1 x n 1  x x x  Vậy L  lim     n    x x x n 1  2019 Bài toán 13 Cho dãy số x n   x   xác định    x n21  4x n 1  x n 1 x n  , n   n i 1 x i2 Chứng minh dãy yn  với yn   có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài giải Nhận thấy x n  0, n  Ta có x n  x n 1  x n2 1  4x n 1  x n 1  x n 1  2x n 1 x n2 1  0, n   4x n 1  x n 1 Do dãy x n  dãy tăng Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang 14 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang a  4a  a Giả sử lim x n  a suy a  a   a  (vơ lí) Vậy lim x n   Từ x n  x n2 1  4x n 1  x n 1  x n2  x n  1 x n 1  n i 1 x i2 Suy yn    x 12   x n2  , n  2, 3, x n 1  , n  xn 1  1 1 1 1              x 12  x x   x x   x n 1 x n  1 1    , n  x1 x n xn Vậy yn  có giới hạn hữu hạn lim yn  2.2.4 Giới hạn dãy sinh phương trình Bài tốn 14 Xét phương trình 1 1       x  4x  k x 1 n x 1 n số nguyên dương 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 1;  ký hiệu nghiệm x n 2) Chứng minh lim x  n  n Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình có nghiệm 1;  Xét phương trình x  1;  1 1       với x  4x  k x 1 n x 1 (1) 1 1 (1)  fn (x )         0 x  4x  k x 1 n x 1 (2) Khảo sát tính đơn điệu fn (x ) 1;  Dễ thấy f (x ) liên tục 1;  Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang 15 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Do   k2 n2  ' fn (x )          x  12 4x  12 n 2x  k x 1          0, x  1;       nên fn (x ) nghịch biến x  1;  (3) Xét tồn nghiệm phương trình (2) 1;   lim f (x )     n x 1 Do fn (x ) liên tục 1;     lim f (x )   x  n (4) Từ (3) (4) suy với số nguyên dương n, phương trình có nghiệm 1;  2) Ký hiệu nghiệm x n Chứng minh lim x n  n  So sánh fn (x n ) fn (4) , ta có 1 1 fn (4)         2 2 1 1 2k   2n   1 1 1 1    1           2 3 2k  2k  2n  2n  1  1 0 2n  1 Do fn (x n )  nên fn (x n )  fn (4) Do fn (x ) nghịch biến 1;  fn (x n )  fn (4) nên theo định nghĩa tính đơn điệu suy x n  Lại tiếp tục đánh giá x n Áp dụng định lý Lagrange cho fn (x n ) x n ;  , ta suy với số n nguyên dương, tồn cn  x n ;  cho fn 4  fn (x n )  fn' (cn )(4  x n )  fn' (cn )  1 2n  14  x n  Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang 16 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Mặt khác     2 k n   1 ' fn (cn )         2 2  c  1 4cn  1 k 2cn  n 2cn    n    (Do  x n  cn    cn  1    1 cn  1    ) nên 1    xn   2n  14  x n  2n  1 Tóm lại ta ln có: 4  x n  với số nguyên dương n 2n  1 (5) Từ (5) theo nguyên lý kẹp ta suy lim x n  n  Bài tốn 15 Xét phương trình n số nguyên dương 1 1       0 2x x  x  x k x  n2 1) Chứng minh với số ngun dương n , phương trình có nghiệm 0;1 ký hiệu nghiệm x n 2) Chứng minh tồn giới hạn hữu hạn lim x n n  Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 0;1 Xét phương trình x  0;1 Đặt fn (x )  1 1        với 2x x  x  x k x  n2 (1) 1 1       2x x  x  x  k2 x  n2 Khảo sát tính đơn điệu fn (x ) 0;1 Do   1 ' fn (x )        2x 2 x  12 x  k2        0, x  0;1     2  x n     Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang 17 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang nên fn (x ) nghịch biến 0;1 (2) Xét tồn nghiệm phương trình (1) 0;1  lim f (x )     n Do fn (x ) liên tục 0;1 x   lim fn (x )   x 1 (3) Từ (2) (3) suy với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 0;1 2) Chứng minh tồn giới hạn hữu hạn lim x n n  Khảo sát tính đơn điệu bị chặn x n  Với số nguyên dương n ta có: 1 1 1        2x n x n  x n  xn  k x n  n x  n  12 n 1  fn (x n )   fn 1(x n )   (do  x n  1) 2 x n  n  1 x n  n  1 fn 1(x n )  Mặt khác lim fn 1(x )   fn 1(x ) nghịch biến 0; x n  nên suy x  0 phương trình fn 1(x )  có nghiệm 0; x n  , gọi nghiệm x n 1 Do 0; x n   0;1 nên  x n 1  x n Dãy x n  dãy đơn điệu giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn lim x n  n Bài tốn 16 Xét phương trình x n  x  x   n số nguyên dương n  1) Chứng minh với số nguyên dương n  , phương trình có nghiệm dương ký hiệu nghiệm x n 2) Tìm lim x n  n Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n  , phương trình có nghiệm Xét phương trình x n  x  x    x n  x  x   x  0, n  2 suy phương trình có nghiệm x  Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn (1) Trang 18 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Đặt fn x   x n  x  x  1, x  1, n  2 Khảo sát tính đơn điệu fn (x ) 1;  Do fn '(x )  nx n 1  2x  1, fn "(x )  n n  1 x n 2   n  3, x  1 Suy fn '(x )  fn' 1  n    0, n  3 nên fn (x ) đồng biến x  1;  (2) Xét tồn nghiệm phương trình 1;   lim f (x )  2   n Do fn (x ) liên tục 1;   nên x 1  lim fn (x )  2n     0, n  x 2 tồn x  1;2 cho fn (x )  (3) Từ (2) (3) suy với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 1;2 2) Ký hiệu nghiệm x n Chứng minh lim x n  n  Do x n nghiệm phương trình (1) nên : x nn  x n2  x n    x n  n x n2  x n    Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: xn  n x n2  x n   n xn2  xn  1.1  x n2  x n  1  1   1  n sô n  x n2  x n  n n Kết hợp với x n  , với n  1, ta được: x n2  x n  Từ (4) (5) suy ra:  x n   n 1 sô (4) (5) n  6 Do lim 1    theo nguyên lý kẹp suy lim x n  n   n  n   Bài toán 17 Xét phương trình x n  x  n n số nguyên dương n  1) Chứng minh với số nguyên dương, phương trình có nghiệm dương ký hiệu nghiệm x n Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang 19 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 2) Chứng minh dãy có giới hạn tìm giới hạn lim x n n  Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n  , phương trình có nghiệm dương Xét phương trình: x n  x  n Khảo sát tính đơn điệu fn (x )  x n  x  n, x  Dễ thấy fn x   0, x  0;1   (1) Do fn' (x )  nx n 1   với x  1;  nên fn (x ) hàm số đồng biến 1;   (2)  f (1)  n  n  Do fn (x ) liên tục  0;   nên tồn x  1; n   fn (n )  n n  2n   cho fn (x )  (3) Từ (2) (3) suy với số nguyên dương n  , phương trình có nghiệm 1;n  2) Ký hiệu nghiệm x n Tìm lim x n  n Do x n nghiệm phương trình (1) nên x nn  x n    x n  n x n  n  n 2n Vì lim n n  2n  , theo nguyên lý kẹp ta lim x  n  n Vậy lim x n  n  Bài tốn 18 Xét phương trình x n  x n 1   x   với n số nguyên dương n  1) Chứng minh với số nguyên dương n  , phương trình có nghiệm dương ký hiệu nghiệm x n 2) Tìm lim x n  n Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n  , phương trình có nghiệm dương Xét phương trình: x n  x n 1   x   Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn (1) Trang 20 ... lim  H x i  i 1 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang 13 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Bài toán 12 Cho dãy số x n  x  ... lim an  1 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang 11 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Bài toán 11 Cho dãy số x n  x  a  xác...  Bài toán Cho dãy số (un ) xác định sau:   un 2  5un 1  6un , n  (1)  Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An skkn Trang Trường THPT Chu Văn An