SKKN một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT chu văn an

Trường THPT Chu Văn An SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN BÁO CÁO Kết thực sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN I SƠ LƯỢC LÝ LỊCH CỦA TÁC GIẢ: Họ tên: Lê Quốc Sang Ngày tháng năm sinh: 09/08/1982 Nơi thường trú: Thị trấn Phú Mỹ, Phú Tân, An Giang Đơn vị công tác: Trường trung học phổ thông Chu Văn An Chức vụ nay: Tổ trưởng tổ Tốn, Bí thư Chi KHTN Lĩnh vực cơng tác: chun mơn Tốn II SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ: Đặc điểm tình hình: Trường THPT Chu Văn An thành lập từ năm 1975, tiền thân trường cấp BI Phú Tân, trải qua thập kỷ đội ngũ cán bộ, giáo viên, viên chức ngày lớn mạnh Nhìn chung, máy tổ chức trường THPT Chu Văn An ổn định, tổ chun mơn đồn kết, gương mẫu làm tốt nhiệm vụ giao Trường học nhiều năm liền đánh giá “hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ” Thành tích đạt năm học 2017-2018 sau:  Chất lượng văn hóa:  Học lực: Giỏi: 304 học sinh, tỉ lệ: 23,68% Khá: 708 học sinh, tỉ lệ: 55,14% Trung bình: 244 học sinh, tỉ lệ: 19% Yếu: 06 học sinh, tỉ lệ: 2,18%  Hạnh kiểm: Tốt: 1265 học sinh, tỉ lệ: 98,52% Khá: 18 học sinh, tỉ lệ: 1,4% Trung bình: học sinh, tỉ lệ: 0,08% Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang  Chất lượng học sinh giỏi cấp tỉnh:  Học sinh giỏi mơn văn hóa cấp tỉnh: 21 giải  Học sinh thi máy tính bỏ túi cấp tỉnh: 07 cấp tỉnh  Chất lượng hoạt động thi:  Tham gia nhiều thi Sở, Huyện tổ chức tích cực, đạt hiệu  Tổ chức Câu lạc bộ:Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, … thành công, học sinh giáo viên hướng dẫn tận tình, tham gia nhiều viết, nhiều tiết mục sáng tạo, phát học sinh có nhiều tiềm triển vọng Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Lĩnh vực sáng kiến: Tốn học BI MỤC ĐÍCH U CẦU CỦA SÁNG KIẾN: Thực trạng cần thiết phải áp dụng giải pháp, sáng kiến: Dãy số, hàm số vấn đề tảng giải tích, lĩnh vực khó rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác tốn học Có nhiều tốn dãy số tìm số hạng tổng quát dãy, chứng minh tính chất dãy, tính tổng số hạng dãy, tìm giới hạn dãy,….trong tốn tìm giới hạn dãy thường xuất nhiều kì thi học sinh giỏi, kỳ thi Olympic Những năm gần đây, toán dãy số xuất đề thi trung học phổ thông quốc gia nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung Tài liệu tham khảo dãy số ít, có nội dung đề cập cao so với trình độ học sinh phổ thơng khơng chun Do học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm dãy số học sinh có ý định ơn thi học sinh giỏi khó tìm cho tài liệu tham khảo phù hợp Học sinh khối 11 trung học phổ thông không chuyên, đặc biệt học sinh trường THPT Chu Văn An khơng có điều kiện để học hỏi, trao đổi kinh nghiệm thông qua kỳ thi Olympic 30/4, kỷ yếu, trường chuyên tổ chức Thực tế nay, em chủ yếu học tập toán dãy số sách giáo khoa sách tập, gặp toán dãy số kỳ thi học sinh giỏi, em thường lúng túng, khơng tìm lời giải Bài viết tất vấn đề giới hạn dãy số đề cập mà viết đề cập đến số tốn tìm giới hạn dãy gặp nhiều kì thi Bài viết khơng phải giáo trình, tài liệu dãy số mà cóp nhặt, ghi nhận thân trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, đơi mang tính chủ quan Rất mong quý thầy, cô, bạn đọc giả xem tài liệu mở tiếp tục triển khai, ghi nhận góp ý cho chưa hay, chưa xác Phần nội dung giải pháp, sáng kiến xoay quanh số toán tìm:  Giới hạn dãy số cách xác định số hạng tổng quát dãy số  Giới hạn dãy số dạng: un f un Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trường THPT Chu Văn An Trang n  Giới hạn tổng thường gặp: lim H xi i  Giới hạn dãy số sinh nghiệm phương trình Nội dung sáng kiến: 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề: 2.1.1 Các định nghĩa: 1) Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số un gọi dãy số tăng u n u n 1, n Dãy số un gọi dãy số giảm u n u n 1, n * * 2) Dãy số bị chặn Dãy số un gọi bị chặn tồn số M cho u n M,n * Dãy số un gọi bị chặn tồn số m cho u n m,n * Dãy số un gọi bị chặn bị chặn bị chặn 3) Cấp số cộng * Dãy số un gọi cấp số cộng un un d , n , d số khơng đổi, gọi công sai cấp số cộng Nếu dãy số un cấp số cộng un u1 n 1d,n Nếu dãy số un cấp số cộng tổng S n u1 u un n u1 un 4) Cấp số nhân * Dãy số un đươc gọi cấp số nhân un un.q , n , q số không đổi, gọi công bội cấp số nhân Nếu dãy số un cấp số nhân u n u1.q n1 , n Nếu dãy số un cấp số nhân với q 1, q tổng n q S u u u n u n q 2.1.2 Các định lý: 1) Định lý Nếu lim un a lim u n n 2) Định lý Nếu q lim q a Một số tốn giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An 3) Định lý Cho dãy un f (x) hàm số liên tục Khi đó, un a a nghiệm phương trình f (x ) x 4) Định lý Cho dãy số un với u1 a số thực cho trước un f (un ) Khi a) Nếu f (x) hàm số đồng biến x x2 un dãy số tăng b) Nếu f (x) hàm số đồng biến x x2 un dãy số giảm 5) Định lí Cho dãy số (un ) với u1 a số thực cho trước un f (un ) Khi a) Nếu f (x) hàm số nghịch biến x x2 u2n dãy số tăng u2n dãy số giảm b) Nếu f (x) hàm số nghịch biến x x2 u2n dãy số giảm u2n dãy số tăng 6) Nguyên lý kẹp Cho ba dãy số un , , wn cho: n0 , n ,n lim n u n 7) Tiêu chuẩn hội tụ (Tiêu chuẩn Weierstrass) a) Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ b) Một dãy số tăng bị chặn hội tụ c) Một dãy số giảm bị chặn hội tụ 8) Định lý LAGRANGE Nếu f (x) hàm số liên tục đoạn a ; b , có đạo hàm khoảng a ; b tồn c a ; b f '(c ) 2.2 Các dạng toán thường gặp: 2.2.1 Giới hạn dãy số cách xác định số hạng tổng quát dãy số Trong dạng này, chủ yếu áp dụng công thức định nghĩa cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng n số hạng đầu cấp số cộng, cấp số nhân đặt dãy số phụ Bài toán 1: Cho dãy số un Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tính giới hạn L lim Bài giải Theo đề suy ra: un un 2n Cộng theo vế n đẳng thức ta un 21 un n 1n 3n n un un 2n n L lim Bài toán 2: Cho dãy số un Tính giới hạn L limun Bài giải Từ cơng thức truy hồi suy Từ ta có 1 u1 n 2n 3n 4n 1 u 1 u2 3.12 u 3.22 u Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang … un Cộng n đẳng thức theo vế ta u n un Vậy L lim un Bài toán Cho dãy số un Tính giới hạn L limun Bài giải Ta có un Đặt vu n nhân có số hạng đầu v Suy v Vậy L lim u Bài toán Cho dãy số (u Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An u Trang n Từ đẳng thức (1), ta có: un 2un un 2un Đặt v n u n 2u n , n Khi đó: un 2un un 2un v n 3.v n (vn ) cấp số nhân có cơng bội q số hạng đầu v1 u 2u1 v1.q Suy v n n n ,n Mặt khác, từ đẳng thức (1), ta có: un Đặt w n u n 3u n , n Khi đó: un 3un nhân có cơng bội q số hạng đầu w1 u 3u11 Suy w n Ta có hệ phương trình Vậy L lim w 1.q n n , n 3un un 3un Bài toán Cho dãy số (un ) xác định công thức: 1; u u n u n Bài giải Từ đẳng thức (1): n un (3n 2).un 2(n 1).un n un un 2(n Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An 1) u n un Trang Ta có x k 2019x k x1 Suy x Vậy L lim Bài toán 13 Cho dãy số xn xác định Chứng minh dãy yn Bài giải Nhận thấy x n 0, n Ta có x x n Do dãy xn n dãy tăng Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 14 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang (vơ lí) Giả sử lim x Vậy lim xn Từ x n x x x n n Suy y 1 Vậy yn ,n x x nxnx1 có giới hạn hữu hạn lim yn 2.2.4 Giới hạn dãy sinh phương trình Bài tốn 14 Xét phương trình n số ngun dương 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 1; ký hiệu nghiệm xn lim x 2) Chứng minh n n Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình có nghiệm 1; Xét phương trình x 1; (1) f (x) n Khảo sát tính đơn điệu fn(x) 1; Dễ thấy f (x) liên tục 1; Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 15 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Do f ' (x ) n2 0, x 1; nx1 n (3) nên fn(x) nghịch biến x 1; Xét tồn nghiệm phương trình (2) 1; (4) Do fn Từ (3) (4) suy với số nguyên dương n, phương trình có nghiệm 1; 2) Ký hiệu nghiệm xn Chứng minh So sánh fn (xn ) fn(4), ta có f (4) n 1 2 Do fn (xn ) Do fn(x) nghịch biến 1; fn (x n ) fn(4)nên theo định nghĩa tính đơn điệu suy xn Lại tiếp tục đánh giá x với số n nguyên dương, tồn cn ' xn ;4 ' fn fn (x n ) fn (cn )(4 x n ) fn (cn ) Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 16 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Mặt khác ' f (c ) n n (Do x Tóm lại ta ln có: Từ (5) theo nguyên lý kẹp ta suy Bài toán 15 Xét phương trình n số ngun dương 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 0;1 ký hiệu nghiệm xn 2) Chứng minh tồn giới hạn hữu hạn Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 0;1 Xét phương trình x 0;1 Đặt f (x) n Khảo sát tính đơn điệu fn(x) 0;1 Do ' fn(x ) 2x Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 17 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang (2) nên fn(x) nghịch biến 0;1 Xét tồn nghiệm phương trình (1) 0;1 (3) Do fn (x) Từ (2) (3) suy với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 0;1 2) Chứng minh tồn giới hạn hữu hạn lim xn n Khảo sát tính đơn điệu bị chặn xn Với số nguyên dương n ta có: f (x n ) n f Mặt khác lim f (x)và f phương trình fn 1(x) có xn Do 0;xn 0;1 Dãy xn dãy đơn điệu giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn n lim xn Bài tốn 16 Xét phương trình x n n x x n số nguyên dương 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm dương ký hiệu nghiệm xn lim xn 2) Tìm n Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm Xét phương trình x n x x x n x x 1 x 0, n suy phương trình có nghiệm x Một số tốn giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trường THPT Chu Văn An Đặt fn xx n x Trang 18 x 1, x 1, n Khảo sát tính đơn điệu fn(x) 1; Do fn '(x ) nx n 2x 1, fn "(x ) n n x n 2 n 3, x ' Suy fn '(x ) fn n 0, nên fn(x)đồng biến x 1; Xét tồn nghiệm phương trình 1; lim x Do fn(x) liên tục 1;và lim x tồn x0 1;2 cho fn(x0) Từ (2) (3) suy với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 1;2 2) Ký hiệu nghiệm xn Chứng minh lim Do xn nghiệm phương trình (1) nên : x n x n n Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: x n Kết hợp với x Từ (4) (5) suy ra: xn x n n Do lim n n Bài toán 17 Xét phương trình x x n n số nguyên dương n 1) Chứng minh với số ngun dương, phương trình có nghiệm dương ký hiệu nghiệm xn Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 19 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 2) Chứng minh dãy có giới hạn tìm giới hạn lim xn n Bài giải 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm dương Xét phương trình: x n x n Khảo sát tính đơn điệu fn (x ) Dễ thấy fn x ' Do fn (x ) 1; nx 0, x n x n x n , x 0;1 (1) với x 1; Do fn(x) nên fn(x) hàm số đồng biến liên tục 0; cho fn(x0) Từ (2) (3) suy với số ngun dương n , phương trình có nghiệm 1;n 2) Ký hiệu nghiệm xn Do xn nghiệm phương trình (1) nên xn n xn 1 xn n xn n n 2n lim Vì n lim Vậy n Bài tốn 18 Xét phương trình x n n x n x 1) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm dương ký hiệu nghiệm xn lim xn 2) Tìm n Bài giải 1) Chứng minh với số ngun dương n , phương trình có nghiệm dương Xét phương trình: x n n x x Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Khảo sát tính đơn điệu fn(x ) x ' Do fn (x ) nx n n 1x n x n Trang 20 x 0; n n Xét tồn nghiệm phương trình (1) n Do f cho fn(x0) Từ (2) (3) suy với số nguyên dương n , phương trình có nghiệm 0;1 2) Ký hiệu nghiệm xn Do xn nghiệm phương trình (1) nên: x n Vì xn nên từ (4) suy (xn ) dãy giảm, mặt khác lại bị chặn 0, nên tồn giới hạn hữu hạn lim x a n n Ta lại có: x (4), (5) suy a a a Vậy lim xn n IV HIỆU QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Bản thân mang đề tài giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 11 trường THPT Chu Văn An năm qua Sau trình học tập em làm quen với toán dãy số từ đơn giản đến nâng cao, cách giải tự nhiên theo chiều hướng dễ tiếp cận Chất lượng đội tuyển học sinh giỏi Toán trường nâng lên rõ rệt Kết thi học sinh giỏi năm qua sau:  Năm học 2013 – 2014: Học sinh giỏi cấp tỉnh: giải ba Vào vòng 2: học sinh  Năm học 2014 – 2015: Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trường THPT Chu Văn An Trang 21 Học sinh giỏi cấp tỉnh: Vào vòng 2: Học sinh giỏi cấp quốc gia:  Năm 2015-2016: Học sinh giỏi cấp tỉnh: Vào vòng 2:  Năm 2016-2017: Học sinh giỏi cấp tỉnh: Vào vòng 2:  Năm 2017-2018: Học sinh giỏi cấp tỉnh: Vào vòng 2: V MỨC ĐỘ ẢNH HƯỞNG: Giáo viên trường trung học phổ thông không chuyên ngồi tỉnh áp dụng sáng kiến để giảng dạy cho học sinh giỏi khối 11, đặc biệt áp dụng để giaing3 dạy cho đội tuyển học sinh giỏi tốn trường Học sinh khối lớp 11 có nhìn bao qt cách giải tốn dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng chun, từ giúp em tự tin đứng trước toán dãy số VI KẾT LUẬN: Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh giỏi lớp 11, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung trình bày Tơi thấy em học sinh tự tin đứng trước toán dãy số phép biến đổi dãy số góp phần đáng kể nâng cao khả tư duy, yêu cầu cần thiết người học Tốn nói riêng học mơn tự nhiên nói chung Tơi vui nhiều năm gần đây, học sinh giỏi toán khối 11 trường THPT Chu Văn An tập làm quen cách tiếp cận toán dãy số cách tự nhiên, em khơng cịn ngán ngại gặp câu dãy số đề thi học sinh giỏi Điều góp phần làm cho chất lượng học sinh giỏi Toán trường ngày nâng cao năm vừa qua Với thời gian ngắn nên việc thực đề tài khó tránh khỏi thiếu sót Một lần nữa, tơi mong góp ý chân tình q thầy, bạn đồng nghiệp Xin chân thành cám ơn! Xác nhận đơn vị áp dụng sáng kiến Người viết sáng kiến Lê Quốc Sang Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 22 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải Các toán dãy số NXBGD 2007 [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm số NXBGD 2002 [3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXBGD 2009 [4] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 năm [5] Tơ Văn Ban Giải tích tập nâng cao NXBGD 2005 [6] Các diễn đàn toán học http://diendantoanhoc.net/ http://mathscope.org/ http://k2pi.net.vn/ http://boxmath.vn/forum/ http://www.mathvn.com/ http://www.vnmath.com/ http://www.hexagon.edu.vn/ http://artofproblemsolving.com/community/c89 Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 23 ... cấp số nhân đặt dãy số phụ Bài toán 1: Cho dãy số un Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang Tính giới hạn. .. Năm học 2013 – 2014: Học sinh giỏi cấp tỉnh: giải ba Vào vòng 2: học sinh  Năm học 2014 – 2015: Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trường THPT Chu Văn An. .. Quốc Sang Một số toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 22 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải Các toán dãy số