Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề Đường thẳng và mặt phẳng song song Toán 11 A Lý thuyết I Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α) Tùy theo số điểm chung của d và (α), ta có ba trường[.]
Chuyên đề Đường thẳng mặt phẳng song song - Tốn 11 A Lý thuyết I Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng (α) Tùy theo số điểm chung d (α), ta có ba trường hợp sau: - d (α) khơng có điểm chung Khi ta nói d song song với (α) hay (α) song song với d kí hiệu d // (α) hay (α) // d - d (α) có điểm chung M Khi ta nói d (α) cắt điểm M kí hiệu d∩(α) = M - d (α) có từ hai điểm chung trở lên Khi đó, d nằm (α) hay (α) chứa d kí hiệu d⊂ (α) II Tính chất - Định lí Nếu đường thẳng d khơng nằm mặt phẳng (α) d song song với đường thẳng d’ nằm (α) d song song với (α) - Định lí Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Nếu mặt phẳng (β) chứa a cắt (α) theo giao tuyến b b song song với a - Hệ Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng - Định lí Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Ví dụ Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Gọi O, O1 tâm ABCD ABEF, gọi M trung điểm CD Chứng minh: a) OO1 // mp (BEC) b) OO1 // mp (AFD) Lời giải a) Xét tam giác ACE có O; O1 trung điểm AC; AE (tính chất hình hình hành) Suy OO1 đường trung bình tam giác ACE OO1 // EC Mà EC thuộc mp (BEC) nên OO1 // mp (BEC) (đpcm) b) Tương tự; OO1 đường trung bình tam giác BFD nên OO1 // FD Mà FD nằm mp(AFD) Suy ra: OO1 // mp (AFD) (đpcm) Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi H điểm nằm tam giác ABC (α) mặt phẳng qua H song song với AB CD Thiết diện tứ diện cắt mp (α) hình gì? Lời giải: + Qua H kẻ đường thẳng song song AB đường thẳng cắt BC, AC M, N + Từ N kẻ NP song song với CD P ∈AD Từ P kẻ PQ song song với AB Q∈BD + Ta có: MN // PQ // AB Suy điểm M; N; P Q đồng phẳng Suy thiết diện tứ diện cắt mp (α) tứ giác MNPQ + Ta chứng minh MNPQ hình bình hành Trước tiên, ta chứng minh PN // QM Ta có: PN // CDPN ⊂ mp(MNPQ), CD ⊂mp(BCD)QM = mp(MNPQ)∩mp(BCD) Suy ra: QM // PN // CD Lại có: PQ // MN Do đó, tứ giác MNPQ hình bình hành B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) đường thẳng song song với đường thẳng sau đây? A AC B BD C AD D SC Lời giải: Đáp án: C Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, M, N, P, Q trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA Khẳng định sau đúng? A MNPQ hình bình hành B MNPQ hình thoi C MNPQ hình thang có cặp cạnh đối song song D MNPQ tứ giác khơng có cặp cạnh song song Lời giải: Đáp án: A Bài 3: Cho tứ diện ABCD cạnh a I, J trung điểm AC BC Gọi K giao điểm cạnh BD với KB = 2KD Thiết diện tứ diện với mặt phẳng (IJK) hình gì? A thiết diện hình thang cân B hình bình hành C tam giác D tứ giác khơng có cặp cạnh song song Lời giải: Đáp án: A I, J trung điểm AC BC nên IJ // AB Do giao tuyến (IJK) với (ABD) đường thẳng qua K song song với AB cắt AD H Vậy IJ // KH // AB Ta có ∆BJK = ∆AIH ⇒ JK = IH Hơn KH ≠ IJ Vậy thiết diện hình thang cân IJKH Bài 4: Cho hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) sẽ: A song song với hai đường thẳng B song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng C trùng với hai đường thẳng D cắt hai đường thẳng Lời giải: Đáp án: B Bài 5: Cho tứ diện ABCD Gọi IJ trung điểm BC BD Giao tuyến hai mặt phẳng (AIJ) (ACD) đường sau đây? A đường thẳng d qua A d // BC B đường thẳng d qua A d // BD C đường thẳng d qua A d // CD D đường thẳng d qua A, M M giao điểm IJ CD Lời giải: Đáp án: C Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi I, J trọng tâm tam giác SAB SAD E, F trung điểm AB AD Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A IJ // (SBD) B IJ // (SEF) C IJ // (SAB) D IJ // (SAD) Lời giải: Đáp án: A Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD ABCD hình bình hành tâm O gọi M, N trung điểm SA SB Giao tuyến hai mặt phẳng (MNC) (ABD) đường đường thẳng sau đây? A OA B OM C OC D CD Lời giải: Đáp án: D Bài 8: Với điều kiện sau đường thẳng a song song với mặt phẳng (∝) ? A a // b b ∩ (∝) = ∅ B a // b b // (∝) C a // b b ⊂ (∝) D a ∩ (∝) = ∅ Lời giải: Đáp án: D Các phương án A, B, C sai ∝ thuộc (∝) Phương án D theo định nghĩa Đáp án D Bài 9: Cho tứ diện ABCD, M, N trọng tâm tam giác ABC, ABD Những khẳng định sau đúng? (1) MN //(BCD) (2) MN //(ACD) (3) MN // (ABD) A Chỉ có (1) B (2) (3) C (1) (2) D (1) (3) Lời giải: Đáp án: C Gọi E trung điểm AB, M, N trọng tâm tam giác ABC, ABD nên: Theo định lí Ta – lét ta có: MN // CD Vậy MN // (BCD), MN // (ACD) Đáp án C Bài 10: Cho tứ diện ABCD, điểm M thuộc AC Mặt phẳng (∝) qua M, song song với AB AD Thiết diện (∝) với tứ diện ABCD hình gì? A Thiết diện tam giác B Hình bình hành C Hình thoi D Hình thang Lời giải: Đáp án: A (∝) // AB nên giao tuyến (∝) với (ABC) đường thẳng qua M, song song với AB cắt BC P (∝) // AD nên giao tuyến (∝) với (ADC) đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC N Vậy thiết diện tam giác MNP Đáp án A II Bài tập tự luận có lời giải Bài 1: Cho tứ diện ABCD Giả sử M thuộc đoạn BC Một mặt (∝) qua M song song với AB CD Thiết diện (∝) hình tứ diện ABCD hình gì? Lời giải: (∝) // AB nên giao tuyến (∝) với (ABC) đường thẳng qua M, song song với AB cắt AC Q (∝) // CD nên giao tuyến (∝) với (BCD) đường thẳng qua N, song song với CD cắt BD N (∝) // AB nên giao tuyến (∝) với (ABD) đường thẳng qua N, song song với AB cắt AD P Ta có: MN // PQ // CD, MQ // PN // AB Vậy thiết diện hình bình hành MNPQ Đáp án B Bài 2: Có vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng ? Lời giải: Đáp án: Bài 3: Cho hai đường thẳng a b chéo Có mặt phẳng chứa a song song với b ? Lời giải: vô số Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA Thiết diện mặt phẳng (MCD) với hình chóp S.ABCD hình gì? Lời giải: Vì CD ⊂ (MCD), CD // AB, AB ⊂ (SAB) nên giao tuyến (MCD) (SAB) đường thẳng qua M song song với AB, cắt SB N trung điểm SB Vậy MN // CD Hơn MN ≠ CD Vậy thiết diện hình thang CNMD Bài 5: Cho hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng, có tâm O O’ Chọn khẳng định khẳng định sau: - OO’ // (ABCD) - OO’ // (ABEF) - OO’ // (BDF) - OO’ / /(ADF) Lời giải: OO’ / /(ADF) Bài 6: Cho tứ diện ABCD Hai điểm M, N trung điểm AC, AD Mặt phẳng (∝) chứa MN song song với AB Thiết diện (∝) với tứ diện ABCD là: Lời giải: Đáp án: Bình hành Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P) đồng thời song song với AC SB cắt đoạn thẳng SA, AB, BC, SC, SD BD M, N, E, F, I, J ta có Lời giải: IJ // (SAB) Bài 8: Cho tứ diện ABCD M, N trọng tâm tam giác ABC, ABD Thiết diện tứ diện với mặt phẳng (∝) chứa MN song song với AB hình gì? Lời giải: (∝) // AB nên giao tuyến (∝) với (ABC) đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC Q, cắt AC G (∝) // AB nên giao tuyến (∝) với (ABC) đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BD P, cắt AD F Gọi E trung điểm AB M, N trọng tâm tam giác ABC, ABD nên theo định lí Ta- lét ta có MN // CD Do MN // CD nên PQ // GF // CD, lại có QG // FP nên thiết diện hình bình hành GQPF Bài 9: Hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Giả sử M thuộc đoạn thẳng SB Mặt phẳng (ADM) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình: Lời giải: (hình 1) Do AD//BC, M thuộc (SBC) nên giao tuyến (ADM) với (SBC) đường thẳng qua M song song với BC, đường thẳng cắt SC N Ta có MN//AD Vậy thiết diện hình thang AMND Bài 10: Cho tứ diện ABCD có cạnh a, điểm M trung điểm AB Tính diện tích thiết diện hình tứ diện cắt mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (ACD) III Bài tập vận dụng Bài Cho hình chóp S.ABCD ABCD hình bình hành tâm O gọi M, N trung điểm SA SB Giao tuyến hai mặt phẳng (MNO) (ABCD) đường đường thẳng sau đây? Bài Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD Qua A, B, C, D vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với không nằm (α) Trên a, b c lấy ba điểm A’, B’ C’ tùy ý a) Hãy xác định giao điểm D’ đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’) b) Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M M’ trung điểm cạnh BC B’C’ a) Chứng minh AM song song với A’M’ b) Tìm giao điểm mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M c) Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (AB’C’) (BA’C’) d) Tìm giao điểm G đường thẳng d với mp(AMA’) Chứng minh G trọng tâm tam giác AB’C’ Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) (B’D’C) song song với b) Chứng minh đường chéo AC’ qua trọng tâm G G2 hai tam giác BDA’ B’D’C c) Chứng minh G1 G2 chia đoạn AC’ thành ba phần d) Gọi O I tâm hình bình hành ABCD AA’C’C Xác định thiết diện mặt phẳng (A’IO) với hình hộp cho Bài Cho hình chóp S ABCD Gọi A1 trung điểm cạnh SA A2 trung điểm đoạn AA1 Gọi (α) (β) hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) qua A1, A2 Mặt phẳng (α) cắt cạnh SB, SC, SD B1, C1, D1 Mặt phẳng (β) cắt cạnh SB, SC, SD B2, C2, D2 Chứng minh: a) B1, C1, D1 trung điểm cạnh SB, SC, SD b) B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D c) Chỉ hình chóp cụt có đáy tứ giác ABCD Bài Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng a) Gọi O O' tâm hình bình hành ABCD ABEF Chứng minh đường thằng OO' song song với mặt phẳng (ADF) (BCF) b) Gọi M N trọng tâm hai tam giác ABD ABE Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF) Bài Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Cho (α) mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC BD a) Tìm giao tuyến (α) với mặt tứ diện b) Thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (α) hình gì? Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α) qua O, song song với AB SC Thiết diện hình ? Bài Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (∝), mặt phẳng (β) chứa d cắt (∝) theo giao tuyến d’ Khẳng định sau ? - d’ // d d’ ≡ d - d’ // d - d’ ≡ d - d’ d chéo Bài 10 Cho tứ diện ABCD Lấy M điểm thuộc miền tam giác ABC Gọi (∝) mặt phẳng qua M song song với đường thẳng AB CD Thiết diện tạo (∝) tứ diện ABCD hình gì? ... chất - Định lí Nếu đường thẳng d không nằm mặt phẳng (α) d song song với đường thẳng d’ nằm (α) d song song với (α) - Định lí Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Nếu mặt phẳng (β) chứa... b song song với a - Hệ Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng - Định lí Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng. .. IJKH Bài 4: Cho hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) sẽ: A song song với hai đường thẳng B song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng