Bài 1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 45 SGK Toán lớp 11 Hình học Hãy vẽ thêm một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác Lời giải Hoạt động[.]
Bài 1: Đại cương đường thẳng mặt phẳng A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 45 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Hãy vẽ thêm vài hình biểu diễn hình chóp tam giác Lời giải: Hoạt động trang 47 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Tại người thợ mộc kiểm tra độ phẳng mặt bàn cách rê thước thẳng mặt bàn? Lời giải: Theo tính chất 3, đường thẳng cạnh thước có điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng bàn Khi đó, rê thước mà có điểm thuộc cạnh thước khơng thuộc mặt bàn bàn chưa phẳng ngược lại Hoạt động trang 47 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tam giác ABC, M điểm thuộc phần kéo dài BC (h.2.12) Hãy cho biết M có thuộc mặt phẳng (ABC) khơng đường thẳng AM có nằm mặt phẳng (ABC) khơng? Lời giải: M BC mà BC ( ABC ) Nên M ( ABC ) Vì A ( ABC ) M ( ABC ) nên điểm thuộc AM thuộc (ABC) Hay AM ( ABC ) Hoạt động trang 48 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD Lấy điểm S nằm mặt phẳng (P) Hãy điểm chung hai mặt phẳng (SAC) (SBD) khác điểm S (h.2.15) Lời giải: Một điểm chung hai mặt phẳng (SAC) (SBD) khác điểm S điểm I vì: I AC (SAC) I BD (SBD) Hoạt động trang 48 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Hình 2.16 hay sai? Tại sao? Lời giải: Sai theo tính chất 2, có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng Theo hình vẽ lại có: ba điểm không thẳng hàng M, L, K vừa thuộc (ABC), vừa thuộc (P) Suy vô lý Hoạt động trang 52 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Kể tên mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy hình chóp hình 2.24 Lời giải: - Hình chóp tam giác có: Các mặt bên: (SAB), (SBC), (SAC) Các cạnh bên: SA, SB, SC Các cạnh đáy: AB, AC, BC - Hình chóp tứ giác có: Các mặt bên: (SAB), (SBC), (SCD), (SAD) Các cạnh bên: SA, SB, SC, SD Các cạnh đáy: AB, BC, CD, DA B Bài tập Bài tập trang 53 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho điểm A không nằm mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD Lấy E, F điểm nằm cạnh AB, AC a) Chứng minh đường thẳng EF nằm mặt phẳng (ABC) b) Khi EF BC cắt I, chứng minh I điểm chung hai mặt phẳng (BCD) (DEF) Lời giải: a) Ta có: E AB (ABC) suy F AC (ABC) E ( ABC ) F ( ABC ) Theo tính chất 3, đường thẳng EF có hai điểm E, F thuộc mặt phẳng (ABC) nên EF ( ABC ) b) Ta có: EF BC = I Khi đó: I EF (DEF) suy I ( DEF ) ( BCD ) I BC (BCD) Suy I điểm chung hai mặt phẳng (BCD) (DEF) Bài tập trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Gọi M giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (α) Chứng minh M điểm chung (α) với mặt phẳng chứa d Lời giải: Ta có M = d ( ) suy M ( ) (1) Gọi (β) mặt phẳng chứa d M d suy M ( ) (2) d ( ) Từ (1), (2) suy M ( ) ( ) Vậy M điểm chung (α) với mặt phẳng chứa d Bài tập trang 53 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 không nằm mặt phẳng cắt đôi Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Lời giải: Gọi d1, d2, d3 ba đường thẳng cho I d1 Gọi I = d1 d suy I d Ta chứng minh I d3 Thật vậy, Gọi (β) mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt d1, d3 (γ) mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt d2, d3 Do ba đường thẳng không nằm mặt phẳng nên (β) (γ) phân biệt d () Ngoài suy () ( ) = d d ( ) I d1 () suy I () = ( d1 ,d ) I d ( ) suy I ( ) = ( d ,d ) Từ suy ra, I () () = d3 Vậy d1, d2, d3 đồng quy Cách khác: Gọi (P) mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt d1, d2 Goi d3 d1 = M;d3 d = N M d1 , mà d1 (P) suy M (P) N d , mà d (P) suy N (P) Nếu M N suy d3 có hai điểm M, N thuộc (P) Suy d3 (P) Suy d1, d2, d3 đồng phẳng (trái với giả thiết d1, d2, d3 không đồng phẳng) Suy M N điểm thuộc d1, d2, d3 Vậy d1, d2, d3 đồng quy Bài tập trang 53 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho bốn điểm A, B, C D không đồng phẳng Gọi GA, GB, GC, GD trọng tâm tam giác BCD, CDA, ABD, ABC Chứng minh AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy Lời giải: Gọi N trung điểm CD GA trọng tâm tam giác BCD G A BN ( ANB ) Suy AG A ( ANB ) GB trọng tâm tam giác ACD G B AN ( ANB ) Suy BG B ( ANB ) Trong (ANB): AGA không song song với BGB Suy AG A BG B = O Chứng minh tương tự: BG B CG C ; CG C AG A CG C ( ANB ) suy AGA; BGB; CGC không đồng phẳng đôi cắt Áp dụng kết suy AGA; BGB; CGC đồng quy O Chứng minh tương tự: AGA; BGB; DGD đồng quy O Vậy AGA; BGB ; CGC; DGD đồng quy O (điều phải chứng minh) Bài tập trang 53 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ giác ABCD nằm mặt phẳng (α) có hai cạnh AB CD không song song Gọi S điểm nằm mặt phẳng (α) M trung điểm đoạn SC a) Tìm giao điểm N đường thẳng SD mặt phẳng (MAB) b) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy Lời giải: a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E giao điểm AB CD E AB (MAB) E (MAB) Vì E DC (SDC) E (SDC) M (MAB) Lại có M SD M (SDC) Suy (MAB) (SDC) = ME Trong mặt phẳng (SDC) ta có: N = EM SD N EM Vì suy N (MAB) EM (MAB) Lại có N SD Suy N giao điểm SD mặt phẳng (MAB) b) O giao điểm AC BD O AC Suy O BD AC (SAC) O (SAC) Mà BD (SBD) O (SBD) Suy O điểm chung (SAC) (SBD) Mặt khác S điểm chung (SAC) (SBD) Suy (SAC) (SBD) = SO Gọi I giao điểm AM BN AM (SAC) I (SAC) Mà BN (SBD) I (SBD) Như I điểm chung (SAC) (SBD) Nên I (SAC) (SBD) = SO Vậy ba đường thẳng SO, AM BN đồng quy I Bài tập trang 54 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho bốn điểm A, B, C D không đồng phẳng Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AC BC Trên đoạn BD lấy điểm P cho BP = 2PD a) Tìm giao điểm đường thẳng CD mặt phẳng (MNP) b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNP) (ACD) Lời giải: a) Ta có: Suy BN BP = = , BC BD BN BP nên NP không song song với CD BC BD Trong (BCD), gọi I giao điểm NP CD Suy I CD I NP (MNP) suy I (MNP) Vậy giao điểm đường thẳng CD mặt phẳng (MNP) điểm I b) Trong (ACD), gọi J giao điểm MI AD J AD (ACD) suy MJ ( ACD ) M AC ACD ( ) Mà J MI (MNP) Suy J (MNP) Suy MJ (MNP) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (MNP) (ACD) MJ Bài tập trang 54 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho bốn điểm A, B, C D không đồng phẳng Gọi I, K trung điểm hai đoạn thẳng AD BC a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (KAD) b) Gọi M N hai điểm lấy hai đoạn thẳng AB AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (DMN) Lời giải: a) Ta có: I AD (KAD) suy I (KAD) (IBC) I (IBC) K BC (IBC) suy K (KAD) (IBC) K (KAD) Suy IK = (KAD) (IBC) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (KAD) IK b) Trong mặt phẳng (ACD), gọi E = CI DN E CI (BIC) Suy E DN (DMN) Suy E (IBC) (DMN) Trong mặt phẳng (ABD), gọi F = BI DM F BI (BIC) Suy F DM (DMN) Suy F (IBC) (DMN) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (DMN) EF Bài tập trang 54 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm cạnh AB CD, cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm AD a) Gọi E giao điểm đường thẳng MP đường thẳng BD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (PMN) (BCD) b) Tìm giao điểm mặt phẳng (PMN) BC Lời giải: a) Vì M trung điểm AB, P không trung điểm AD nên MP không song song với BD Trong mặt phẳng (ABD), gọi E = MP BD E (BCD) E BD (BCD) E (MNP) E MP (MNP) Suy E (BCD) (MNP) N CD (BCD) N (BCD) Có N (MNP) Suy N (BCD) (MNP) Do NE = (BCD) (MNP) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (PMN) (BCD) NE b) Trong mặt phẳng (BCD), gọi Q = NE BC ta có: Q BC Q NE (MNP) Q (MNP) Suy Q = BC (MNP) Vậy giao điểm mặt phẳng (PMN) BC điểm Q Bài tập trang 54 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d qua A không song song với cạnh hình bình hành, d cắt đoạn BC E Gọi C’ điểm nằm cạnh SC a) Tìm giao điểm M CD mặt phẳng (C’AE) b) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (C’AE) Lời giải: a) Trong (ABCD) gọi M = AE DC M AE Suy M (C'AE) AE (C'AE) Mà M CD Suy M = CD (C'AE) b) Trong (SDC): MC' SD = F F MC' (C'AE) Suy F (C'AE) (SDC) F SD SDC ( ) Mà C' (C'AE) (SDC) Suy C'F (C'AE) (SDC) (C'AE) (ABCD) = AE (C'AE) (SAD) = AF Ta có: (C'AE) (SBC) = C'E (C'AE) (SDC) = C'F Vậy thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (C’AE) tứ giác AEC’F Bài tập 10 trang 54 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có AB CD khơng song song Gọi M điểm thuộc miền tam giác SCD a) Tìm giao điểm N đường thẳng CD mặt phẳng (SBM) b) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBM) (SAC) c) Tìm giao điểm I đường thẳng BM mặt phẳng (SAC) d) Tìm giao điểm P SC mặt phẳng (ABM), từ suy giao tuyến hai mặt phẳng (SCD) (ABM) Lời giải: a) Trong (SCD) kéo dài SM cắt CD N N CD Suy N = CD (SBM) N SM (SMB) b) ( SBM ) ( SBN ) Dễ thấy S (SAC) (SBM) Trong (ABCD), gọi O = AC BN O AC (SAC) Suy O (SAC) (SBN) O BN (SBN) Do đó: SO = (SAC) (SBM) c) Trong (SBN) gọi I giao MB SO Mà SO (SAC) Do đó: I = BM (SAC) d) Trong (ABCD), gọi K = AB CD Khi (ABM) (AKM) Trong (SCD), gọi P = MK SC Lại có MK (ABM) Do đó: P = SC (ABM) Trong (SDC), gọi Q = MK SD , MK (ABM) Suy Q = SD (ABM) Suy PQ (ABM),PQ (SCD) Vậy PQ = (SCD) (ABM) ... Suy I điểm chung hai mặt phẳng (BCD) (DEF) Bài tập trang 53 SGK Toán lớp 11 Hình học: Gọi M giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (α) Chứng minh M điểm chung (α) với mặt phẳng chứa d Lời giải:... chứng minh I d3 Thật vậy, Gọi (β) mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt d1, d3 (γ) mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt d2, d3 Do ba đường thẳng không nằm mặt phẳng nên (β) (γ) phân biệt d ()... lớp 11 Hình học: Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 không nằm mặt phẳng cắt đôi Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Lời giải: Gọi d1, d2, d3 ba đường thẳng cho I d1 Gọi I = d1 d suy I d Ta