Chuyên đề Nguyên hàm Toán 12 A Lý thuyết I Nguyên hàm và tính chất 1 Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm c[.]
Chuyên đề Nguyên hàm - Toán 12 A Lý thuyết I Nguyên hàm tính chất Nguyên hàm - Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng R) Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x) với x∈K Ví dụ - Hàm số F(x) = sinx + nguyên hàm hàm số f(x) = cosx khoảng (− ∞; + ∞) F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với ∀x ∈(− ∞; + ∞) - Hàm số là nguyên hàm hàm số khoảng (−∞; 3) ∪(3; + ∞) Vì =f(x) với ∀x∈(−∞;3)∪(3;+∞) - Định lí Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K với số C, hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) K - Định lí Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C, với C số Do F(x)+C; C∈ℝ họ tất nguyên hàm f(x) K Kí hiệu: ∫f(x)dx=F(x)+C - Chú ý: Biểu thức f(x)dx vi phân nguyên hàm F(x) f(x), dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx Ví dụ 2 Tính chất nguyên hàm - Tính chất Ví dụ - Tính chất ∫kf(x)dx = k.∫f(x)dx(k số khác 0) - Tính chất Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số f(x) = 3x2 + 2sinx khoảng (− ∞; + ∞) Lời giải: Với x∈(− ∞; + ∞) ta có: Sự tồn ngun hàm Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Ví dụ a) Hàm số b) Hàm số có nguyên hàm khoảng (0; + ∞) có nguyên hàm khoảng (−∞; 0) ∪(0; + ∞) Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Ví dụ Tính: Lời giải: - Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định II Phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp đổi biến số - Định lí Nếu ∫f(u)du= F(u) + C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục thì: ∫f(u(x)). u'(x)dx= F(u(x)) + C Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có: Ví dụ Tính ∫(3x+ 2)3dx Lời giải: Ta có: nên theo hệ ta có: Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến u (u = u(x)) sau tính ngun hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu cách thay u u(x) Ví dụ Tính ∫sinx.cos2xdx Lời giải: Phương pháp tính nguyên hàm phần - Định lí Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K thì: ∫u(x). v'(x).dx =u(x).v(x)− ∫u'(x).v(x)dx - Chú ý Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv Nên đẳng thức viết dạng: ∫udv = uv− ∫vdu Đó cơng thức ngun hàm phần Ví dụ Tính Lời giải: B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Lời giải: Đặt u = ex + ⇒ u' = ex Ta có Bài 2: Trong hàm số sau hàm số nguyên hàm f(x) = cosxsinx ? Lời giải: Cách Cách Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có: Đặt u = cosx u’ = -sinx ∫sinxcosxdx = -∫u.u'dx = -∫udu Vậy chọn đáp án D Bài 3: Tìm I=∫(3x2 - x + 1)exdx A I = (3x2 - 7x +8)ex + C B I = (3x2 - 7x)ex + C C I = (3x2 - 7x +8) + ex + C D I = (3x2 - 7x + 3)ex + C Lời giải: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần ta có: Đặt u = 3x2 - x + dv = exdx ta có du = (6x - 1)dx v = ex Do đó: ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - ∫(6x - 1)exdx Đặt u1 = 6x - 1; dv1 = exdx Ta có: du1 = 6dx v1 = ex Do ∫(6x - 1)exdx = (6x - 1)ex - 6∫exdx = (6x - 1)ex - 6ex + C Từ suy ∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - (6x - 7)ex + C = (3x2 - 7x + 8)ex + C Vậy chọn đáp án A Bài 4: Lời giải: Vậy chọn đáp án C Bài 5: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc Vận tốc ban đầu vật 6m/s Vận tốc vật sau 10 giây xấp xỉ A 10m/s B 11m/s C 12m/s D 13m/s Lời giải: Vận tốc vật với t = ta có v(0)= C = nên phương trình vận tốc chuyển động : v(t) = 3ln(t + 1) + (m/s) v(10) = 3ln11 + ≈ 13 (m/s) Vậy chọn đáp án D Bài 6: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx A I = sin(4x + 2) + C B I = - sin(4x + 3) + C C I = sin(4x + 3) + C D I = 4sin(4x + 3) + C Lời giải: Đặt u = 4x + ⇒ du = 4dx ⇒ dx = du cos(4x+3)dx viết thành Bài 7: Trong mệnh đề sau mệnh đề nhận giá trị đúng? A Hàm số y = có nguyên hàm (-∞; +∞) B 3x2 số nguyên hàm x3 (-∞; +∞) C Hàm số y = |x| có nguyên hàm (-∞;+∞) D + C họ nguyên hàm lnx (0;+∞) Lời giải: Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục K có ngun hàm K Vì y = |x| liên tục R nên có nguyên hàm R Phương án A sai y= khơng xác định x=0 ∈ (-∞;+∞) Phương án B sai 3x2 đạo hàm x3 Phương án D sai đạo hàm lnx (0; +∞) Vậy chọn đáp án C Bài 8: Hàm số nguyên hàm f(x)=2x-sin2x ? B x2 + cos2 x C x2 - sin2x D x2 + cos2x Lời giải: Ta có ∫(2x-sin2x)dx=2∫xdx-∫sin2xdx D nguyên hàm f(x) Vậy chọn đáp án D Bài 9: Tìm nguyên hàm Lời giải: Với x ∈ (0; +∞) ta có Vậy chọn đáp án C Bài 10: Lời giải: Vậy chọn đáp án B Ghi Yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định II Bài tập tự luận có lời giải Bài 1: Tìm I = ∫x.e3xdx Lời giải: Bài 2: Hàm số sau nguyên hàm của: Lời giải: Bài 3: Họ nguyên hàm hàm số Lời giải: Bài 4: Họ nguyên hàm hàm số Lời giải: Bài 5: Hàm số không nguyên hàm Lời giải: Bài 6: Họ nguyên hàm hàm số f(x) = (2 tanx + cotx)2 là: Lời giải: ∫(2tanx + cotx)2dx = ∫(4tan2x + 2tanx.cotx + cot2x)dx = ∫ [4(tan2x + 1) + (cot2x + 1) - 1]dx = 4tanx = cotx - x + C Bài 7: Biết rằng: f'(x) = ax + bằng? , f(-1) = 2, f(1) = 4, f'(1) = Giá trị biểu thức ab ... Bài 7: Trong mệnh đề sau mệnh đề nhận giá trị đúng? A Hàm số y = có nguyên hàm (-∞; +∞) B 3x2 số nguyên hàm x3 (-∞; +∞) C Hàm số y = |x| có nguyên hàm (-∞;+∞) D + C họ nguyên hàm lnx (0;+∞) Lời... có nguyên hàm khoảng (0; + ∞) có nguyên hàm khoảng (−∞; 0) ∪(0; + ∞) Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Ví dụ Tính: Lời giải: - Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên. .. tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định II Bài tập tự luận có lời giải Bài 1: Tìm I = ∫x.e3xdx Lời giải: Bài 2: Hàm số sau nguyên hàm của: Lời giải: Bài 3: Họ nguyên hàm hàm