Toán học 12 Chuyên đề: Nguyên hàm tích phân27075

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Phần Tìm nguyên hàm Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm hàm số a  ( x  2)( x  x  4)dx e b 2x x x  10 dx  f m  (1  x )10 xdx n  (  x )dx x ( x  1)( x  3) x2 c g dx  ln x dx x o   xe  sin xdx x3  x  dx x5 x2 dx d  sin x.cos xdx h  sin(2 x  1)dx p  (1  x) dx Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến Tính tích phân I   f ( x)dx Phương pháp Đổi biến t   ( x) , rút x theo t +) Xác định vi phân: dx   '(t )dt +) Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f ( x)dx  g (t )dt Khi I   g (t )dt Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Có thể chọn Hàm số có mẫu Đặt t mẫu Hàm f ( x,  ( x)) Đặt t   ( x) Hàm f ( x, n  ( x), m  ( x)) Đặt t  mn  ( x) Hàm f ( x)  a sin x  b cos x c sin x  d cos x  e Đặt t  tan x Hàm lẻ với sinx Đặt t  cos x Hàm lẻ với cosx Đặt t  s inx Hàm chẵn với sinx cosx t =tanx Phương pháp Đổi biến x   (t ) +) Lấy vi phân dx   '(t )dt +) Biểu thị f(x) theo t dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt Khi I   g (t )dt GV : Lê Xuân Toàn -Trường THPT Chương mỹ B ThuVienDeThi.com - DĐ: 01655455881- 0975851198 Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Có thể chọn a2  x2     x | a | sin t ,   t    x | a | cost ,  t   x2  a2 |a|     x  sin t ,   t  ; t   x  | a | ,  t   ;t    cost x2  a2 x ; ax ax     x | a | tan t ,   t    x | a | cott ,  t   dx  a2 Đặt x  a cos 2t ax ax Đặt x  a  (b  a) sin t ( x  a )(b  x) Bài Tìm nguyên hàm hàm số a  (2 x  1)3 dx f b 2x  x  x  dx  2z z2  c  x( x  1)dx dz g  sin 2012 x.cos xdx h  dx x (1  x ) m  x  x dx n sin(3 x  1) dx r  cos (3 x  1) xdx s  x  x2  o d  sin(7 x  6)dx   e x dx  cos (5 x  2) dx 2x 1 k  p x x  x  2012 l dx 1 sin cos dx x x  9x2  x3 dx q  sin x.cos xdx x3 dx u  x x 2 xdx t  x  4x  1 x  xe dx e x2 dx v  (1  x)39 Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp phần Bài Tìm nguyên hàm hàm số a  xe x dx e  b  x cos xdx x ln( x  x  1) x2  dx c  ( x  1).ln xdx f  e x cos xdx d  x ln xdx g x  cos x dx Dạng Nguyên hàm số hàm phân thức hữu tỷ Bài Tìm nguyên hàm a  dx 2x  b  4x  dx 2x  c dx  (2 x  1)2 d  x  3x  dx x3 GV : Lê Xuân Toàn -Trường THPT Chương mỹ B ThuVienDeThi.com - DĐ: 01655455881- 0975851198 e x 2x  dx  5x  Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân f i  4x  dx x  3x  g  x3  x  dx x2  k  x  3x  dx x2  5x  h 4x  dx x  x 1   x2  x  dx ( x  1)3 l x h x3  14 x  13 x  dx  x2  5x  xdx 3 Dạng Nguyên hàm số hàm số lượng giác Các toán bản: a) Nguyên hàm hàm số có dạng:  f ( x)  cos ax.cos bx  f ( x)  sin ax.sin bx  f ( x)  sin ax.cos bx  f ( x)  sin ax; cos2bx Phương pháp chung: Dùng công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa tổng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm: b  s inx.cos 2 xdx a  cos3x.cos xdx c  cos3 x.sin xdx b) Nguyên hàm hàm số có dạng: f ( x)  sin n x.cosm x Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ m, n để biến đổi đặt ẩn phụ cho phù hợp Bài Tìm nguyên hàm a  (sin x  cos3 x)dx b  (sin x  cos5 x)dx e  sin 2xdx cos3 x  sin x dx d dx  sin x cos2 x h  dx sin x sin x g  dx cos x dx f  sin x c Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến lượng giác Bài Tìm nguyên hàm a  dx b (1  x )3  x2 x2 1 c dx  dx d (1  x )3  x 2x x2 1 dx Dạng Nguyên hàm số hàm số mũ lơgarit Bài Tìm ngun hàm a dx  e (3  e x x ) d  x.ln xdx b  x ln x dx  ln x c  ( x  1).e x 1dx e e dx  ex  f 2x   ln x dx x Phần Tính tích phân  Dạng Dùng định nghĩa tính chất tích phân Bài 10 Tính tích phân 2 a   cos2 xdx x b  ( x  ) dx c  ( x x  1)dx GV : Lê Xuân Toàn -Trường THPT Chương mỹ B ThuVienDeThi.com - DĐ: 01655455881- 0975851198 d x  x  dx Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân   16 e  dx x9  x f  tan xdx i g cos x  s inx.cos x l  dx  s inx  4 x x k  (sin  cos4 )dx 2  cos5x.sin3xdx    x2  x  dx h  x  1  s inx.cos ( x  )dx   2 m   dx sin (5 x  6) Dạng Tính tích phân phương pháp phân tích Bài 11 Tính tích phân a xdx 0 ( x  1)2 b x dx 0 x    c  cos3 xdx d  sin xdx 0 cos x  s inx dx 0 cos4 x e f dx  x ( x  1)  Dạng Tính tích phân phương pháp đổi biến Bài 12 Tính tích phân sau  a  ( x  1) 25 xdx x2 dx c  x  4x  1 b  x5 x  1dx   cos3 x f  dx  sin x 2x 1 d  x2  x  e  ecos x s inx.cos xdx dx  2 g  sin xdx h   ln x 1 x dx e  cos3 x s inx.cos5 xdx i  ln k  (sin x  es inx ).cos xdx l  (3  e x )5 e x dx  m e x x p dx ( x  1)dx  x ln x x Bài 13 Tính tích phân a dx  1 x b  2  x dx c 0 x dx d x2 1  dx  x2  e   3x dx x2 sin xdx g  2sin x  cos2 x h x dx x2   Dạng Tính tích phân phương pháp tích phân phần Bài 14 Tính tích phân  a  ( x  1)e2 x dx b  x e2 x dx e  e  e x cos xdx f  cos(ln x)dx c  (1  x) sin 3xdx d  x ln( x  1)dx  ln(1  x) dx g  x 2 h  cos x.ln(1  cos x)dx  Dạng Liên kết phương pháp đổi biến số tích phân phần Bài 15 Tính tích phân GV : Lê Xn Tồn -Trường THPT Chương mỹ B ThuVienDeThi.com - DĐ: 01655455881- 0975851198 Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân  e5 ln x.ln(ln x)dx b  x e2 a  x (e2 x  x3  1)dx c  ( x  sin x  es inx ).cos xdx Phần Bài tập tổng hợp Bài 16 Tính tích phân  (ln x  2013) dx a  x e  g  sin x cos2 x  2sin x 3x b  dx ( x  3) c  x4    2 i  cos x cos x  cos3 xdx dx x3 d dx  e s inx   cos x dx o  cos xdx sin x  4sin x  l  k  (es inx  cos x) cos xdx x5  x dx Bài 17 Tính tích phân  e ln x a  dx x 3x x b  x.cos cos dx 2 1 x dx d  x  3x  c  x ln( x  1)dx  x ln( x  x  1)dx  ln 3 e  x.tan xdx xe x  f ex  0 e3 x3  x  x  dx g  x2  x  dx  h e ln dx x ln x ln(ln x) 2(2 x  1) dx k  ( x  2)( x  1) l   ex  dx   e4  i e2 x dx x sin (ln x) e2 x 1 m  dx x 1 n x  dx   sin p 3 dx x cot x Bài 18 Tính tích phân ln a  ln h b (e x  1)3 e x  e x 0 e x  e x dx e x dx x 0 (1  x )2  i 2x  x dx k dx ln e x  2e x  f  ln dx x (1  x )  2(e g e x dx x  1) e x   2  1 x dx 1 x  m  e sin x cos2 x  4sin x dx s  1  3ln x ln x dx x   2sin x 0  sin x dx p ln c sin x  s inx 0  3cos x dx e q ln x 1 x(2  ln x)2 dx r n  dx x x2  v Bài 19 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a y  y  x  0, x  y  c y  0, y  s inx, x   ,x  b y   x  x , y  x  3 d y  x  x  , x  2, y  x  e y  (e  1) x, y  (1  e x ) x f y  x  x  , y  x  Bài 20 Tính tích phân  a x 0 x  3x  dx  ln(1  x) dx x2 b  x(1  sin x)dx c  GV : Lê Xuân Toàn -Trường THPT Chương mỹ B ThuVienDeThi.com - DĐ: 01655455881- 0975851198 Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân Bài 21 Tính tích phân x2 1 1 x ln xdx a ( x  1) 0 x  dx b  x  x dx c TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009-2013  KQ:   KQ: 27 (3  ln ) 16 Bài 1: Tính I =  (cos3 x  1) cos xdx - ĐHKA-2009 Bài 2: Tính I =  ln x  x  1 dx Bài 3: Tính I = e 1 Bài 4: Tính I = x dx - ĐHKD-2009 1 x  e x  x 2e x 0  2e x dx - ĐHKA-2010 e Bài 5: Tính I = - ĐHKB-2009 ln xdx  x(2  ln x) - ĐHKB-2010 KQ: ln(e2+e+1) – KQ: 1   2e   ln     KQ:   ln 3  Bài 6: Tính I = I    x   ln xdx - ĐHKD-2010 x 1 e e2 KQ:   Bài 7: Tính I =  x sin x  ( x  1) cos x dx - ĐHKA-2011 x sin x  cos x KQ:     ln            x sin x dx cos x Bài 8: Tính I =  Bài 9: Tính I =  4x 1 dx 2x 1  KQ:  - ĐHKD-2011 KQ: 34  10 ln KQ: 2  ln  ln 3 KQ: 2ln  3ln   ln( x  1) dx - KA-2012 x Bài 10: Tính tích phân I   x3 dx - ĐHKB-2012 x  3x  Bài 11: Tính tích phân I   / Bài 12: Tính tích phân I   x(1  sin 2x)dx - ĐHKD-2012 KQ: 2  ln(2  3) - ĐHKB-2011 x2  ln xdx - ĐHKA-2013 x2 2 32  KQ: ln  2 Bài 14: Tính tích phân I   x  x dx - ĐHKB-2013 KQ: 2 1 ( x  1) Bài 15: Tính tích phân I   dx - ĐHKD-2013 x 1 KQ:  ln Bài 13: Tính tích phân I   1 GV : Lê Xuân Toàn -Trường THPT Chương mỹ B ThuVienDeThi.com - DĐ: 01655455881- 0975851198 ... dx ( x  1)3 l x h x3  14 x  13 x  dx  x2  5x  xdx 3 Dạng Nguyên hàm số hàm số lượng giác Các toán bản: a) Nguyên hàm hàm số có dạng:  f ( x)  cos ax.cos bx  f ( x)  sin ax.sin bx... thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa tổng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm: b  s inx.cos 2 xdx a  cos3x.cos xdx c  cos3 x.sin xdx b) Nguyên hàm hàm số có dạng: f ( x)  sin n x.cosm x Phương... phương pháp đổi biến số tích phân phần Bài 15 Tính tích phân GV : Lê Xn Tồn -Trường THPT Chương mỹ B ThuVienDeThi.com - DĐ: 01655455881- 0975851198 Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân  e5 ln x.ln(ln