1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Chuyên đề nguyên hàm tích phân môn toán lớp 12

15 139 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 15
Dung lượng 739,02 KB

Nội dung

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I NGUYÊN HÀM Khái niệm Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định K (K đoạn, khoảng, nửa khoảng) Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) K, F '( x)  f ( x) , với x  K Định lý Giả sử F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) khoảng K Khi a Với số C, hàm số G( x)  F ( x)  C nguyên hàm f ( x) b Ngược lại, G(x) nguyên hàm f ( x) tồn số C cho G(x) = F(x) + C c Họ tất nguyên hàm f ( x)  f ( x)dx  F ( x)  C , F ( x) nguyên hàm f ( x) , C số d Bảng nguyên hàm Nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp u  u( x)  kdx  kx  C , k  R  kdu  ku  C , k  R x  dx  x 1  C (  1) 1  u  du  u 1  C (  1) 1   dx  ln x  C ( x  ) x  du  ln u  C ( x  ) u  dx  x C x  du  u C u  e dx  e x x  a dx  x  e du  e C u ax  C (0  a  1) ln a u  a du  u C au  C (0  a  1) ln a  cos udu  sin u  C  cos xdx  sin x  C Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  sin udu   cos u  C  sin xdx   cos x  C dx  cos x  tan x  C ; dx  sin x du  cos   cot x  C u  tan u  C ; du  sin u   cot u  C Ngồi số công thức thường gặp k  (ax  b) dx  (ax  b) k 1  C , (a  0, k  1); a k 1 1 ax b e C; a  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C e ax  b  ax  b dx  a ln ax  b  C , a   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C dx  Một số tính chất nguyên hàm Định lý Nếu F ( x), G( x) tương ứng nguyên hàm f ( x), g ( x) a  f '( x)dx  f ( x)  C b  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx  F ( x)  G( x)  C ; c  a.f(x)dx  a  f ( x)dx  aF( x)  C (a  0) Một số phương pháp tìm nguyên hàm a Phương pháp đổi biến số Cơ sở phương pháp đổi biến số định lý sau: Cho hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục K hàm số y  f (u) liên tục cho f [u( x)] xác định K Khi F nguyên hàm f, tức  f (u )du  F (u )  C  f [u ( x)]dx=F[u(x)]+C b Phương pháp tích phân phần Một số dạng thường gặp: Dạng  P( x).eax b dx ,  P( x) sin(ax  b)dx ,  P( x)cos(ax  b)dx c dv  sin(ax  b)dx, dv  cos(ax  b)dx) Cách giải: Đặt u  P( x), dv  eax b dx ( hoaë Dạng  P( x) ln(ax  b)dx Cách giải: Đặt u  ln(ax  b), dv  P( x)dx Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn I TÍCH PHÂN Định nghĩa Cho hàm f ( x) liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F ( x) nguyên hàm f ( x) hiệu số F (b)  F (a) gọi tích phân b b f ( x) từ a đến b ký hiệu  f ( x)dx Trong trường hợp a  b tích phân f  a; b   f ( x)dx a a Tính chất tích phân Cho hàm số f ( x), g ( x) liên tục K a, b, c ba số thuộc K a b   f ( x)dx   a  a f ( x)dx    f ( x )dx a b c b a a c   f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x )dx b b b a a   k f ( x )dx  k  f ( x )dx b b b a a a   [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx Một số phương pháp tính tích phân  Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số u (b ) b  f [u ( x)]u '( x)dx  a  f (u )du Trong u (a) f ( x) hàm số liên tục u ( x) có đạo hàm liên tục khoảng J cho hàm hợp f [u( x)] xác định J; a, b  J Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách Cách Đặt ẩn phụ u  u( x) ( u hàm x) Cách Đặt ẩn phụ x  x(t ) ( x hàm số t)  Phương pháp tích phân phần Định lý Nếu u( x), v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục khoảng K a, b hai số b b thuộc K  u ( x)v '( x)dx  u ( x)v( x)   v( x)u '( x)dx b a a a Ứng dụng tích phân  Tính diện tích hình phẳng  Nếu hàm số y  f ( x) liên tục  a; b  diện tích S hình phẳng giới hạn đồ b thị hàm số y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b S   f ( x) dx a Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) hai đường thẳng x  a, x  b b S   f ( x)  g ( x) dx a  Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể B giới hạn hai mặt phẳng vng góc với b trục Ox điểm a, b V   S ( x)dx Trong S(x) diện tích thiết diện a vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   a; b  S(x) hàm liên tục  Tính thể tích khối tròn xoay  Hàm số y  f ( x) liên tục không âm  a; b  Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b quay quanh trục hoành tạo nên b khối tròn xoay Thể tích V tính cơng thức V    f ( x)dx a Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x  g ( y) , trục tung hai đường thẳng y  c, y  d quay quanh trục tung tạo nên khối tròn xoay Thể tích V tính d cơng thức V    g ( y)dy c CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Phần Tìm nguyên hàm Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm hàm số (  x )dx x a  ( x  2)( x  x  4)dx b d  sin xdx e  tan xdx g  sin x.cos xdx h 2x x x  10 dx k x3  x  dx x5 l  sin(2 x  1)dx  c  sin f  cot i  xdx xdx ( x  1)( x  3) x2 m  (1  x )10 xdx dx Gia sư Tài Năng Việt n  ln x  x dx https://giasudaykem.com.vn o x  xe dx p dx  (1  x) Dạng Tìm ngun hàm phương pháp đổi biến Tính tích phân I   f ( x)dx Phương pháp Đổi biến t   ( x) , rút x theo t +) Xác định vi phân: dx   '(t )dt +) Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f ( x)dx  g (t )dt Khi I   g (t )dt Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Có thể chọn Hàm số có mẫu Đặt t mẫu Hàm f ( x,  ( x)) Đặt t   ( x) Hàm f ( x, n  ( x), m  ( x)) Đặt t  mn  ( x) Hàm f ( x)  asin x  b cos x c sin x  d cos x  e Đặt t  tan x Hàm lẻ với sinx Đặt t  cos x Hàm lẻ với cosx Đặt t  s inx Hàm chẵn với sinx cosx t =tanx Phương pháp Đổi biến x   (t ) +) Lấy vi phân dx   '(t )dt +) Biểu thị f(x) theo t dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt Khi I   g (t )dt Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Có thể chọn     x | a | sin t ,   t    x | a | cost ,  t   a2  x2 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn x2  a2 |a|     x  sin t ,   t  ; t   x  | a | ,  t   ;t    cost x2  a2     x | a | tan t ,   t    x | a | cott ,  t   ax ax Đặt x  a cos 2t ax ax Đặt x  a  (b  a)sin t ( x  a)(b  x) Bài Tìm nguyên hàm hàm số a  (2 x  1)3 dx b d  sin(7 x  6)dx e g  sin 2012 x.cos xdx h 9x2 l  o  cos (5 x  2) dx r u 1 x  2z z 5 dz 1 x  xe dx  1 e x dx m  x  x dx dx 1 x x dx  x4  x2  v x2  (1  x)39 dx  n  2x dx  4x  2x 1 x  x  2012 dx x (1  x )2 t s k xdx  2x2   cos (3x  1) dx sin(3 x  1) x q  sin x.cos xdx x f 1 sin cos dx x x p c  x( x  1)dx x xdx  4x  Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp phần Bài Tìm nguyên hàm hàm số a  xe x dx b  x cos xdx d  x ln xdx e  x ln( x  x  1) x 1 c  ( x  1).ln xdx dx f  e x cos xdx dx Gia sư Tài Năng Việt g x  cos x dx https://giasudaykem.com.vn h dx  sin x Dạng Nguyên hàm số hàm phân thức hữu tỷ Bài Tìm nguyên hàm a d g i dx 4x  b  x  dx  x  3x  dx x3 e x  x  3x  dx x2  5x  h  x3  x  dx x2  k  2x  dx c  (2 x  1) f x  4x  dx x  x 1 h 3x3  14 x  13x  dx  x2  5x   x2  x  dx ( x  1)3 l x 2x  dx  5x  2 4x  dx  3x  xdx 3 Dạng Nguyên hàm số hàm số lượng giác Các toán bản: a) Nguyên hàm hàm số có dạng:  f ( x)  cos ax.cos bx  f ( x)  sin ax.sin bx  f ( x)  sin ax.cos bx  f ( x)  sin ax; cos2bx Phương pháp chung: Dùng công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa tổng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm: a  cos3x.cos xdx b  s inx.cos 2 xdx c  cos3 x.sin xdx b) Nguyên hàm hàm số có dạng: f ( x)  sin n x.cosm x Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ m, n để biến đổi đặt ẩn phụ cho phù hợp Bài Tìm nguyên hàm a  (sin x  cos x)dx 3 b  (sin x  cos x)dx cos3 x c  dx sin x Gia sư Tài Năng Việt d dx  sin https://giasudaykem.com.vn e  sin 2xdx x sin x dx g  cos6 x f dx  sin x h tan x  cos2 x dx Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến lượng giác Bài Tìm nguyên hàm a  a  x dx b  x  a dx c  x  a dx d  ax dx ax e  ( x  a)(b  x)dx f  dx ( x  a )( x  b) g dx  x2  a2 k (a1 x  b1 x  c1 )dx  ( x  d )(ax  bx  c) l  ( x  a ) ( x  b) h dx 2 với ( a  b ) dx  m (a  x )2 k 1  4sin x  3cos x dx s inx  cos x n  8cos xdx  sin x  cos2 x Bài Tìm nguyên hàm a  dx (1  x )3 cos2 x d  dx sin x g xdx  x  1   x x2 b  e  dx ( x  2)( x  1) h  dx s inx  cos x x2 1 dx dx c  f  x (1  x )3 2x x2 1 dx Dạng Nguyên hàm số hàm số mũ lơgarit Bài Tìm ngun hàm a dx  e (3  e x x ) d  x.ln xdx b  x ln x dx  ln x c  ( x  1).e x 1dx e e dx  ex  f 2x Phần Tính tích phân   ln x dx x Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  Dạng Dùng định nghĩa tính chất tích phân Bài 10 Tính tích phân a x b  ( x  )2 dx  ( x  3x  1)dx 2 c  ( x x  1)dx  d 16  x  x  dx e dx x9  x  f  tan xdx  g   ( 2 x2  x  0 x  dx  4sin x  cos x)dx cos2 x h i   cos2 xdx    cos x  s inx.cos x l  dx  s inx x x k  (sin  cos4 )dx 2   sin m dx (5 x  6) n   2  cos5x.sin3xdx  o  s inx.cos ( x  )dx  p ( x  1)dx  x ln x x  Dạng Tính tích phân phương pháp phân tích Bài 11 Tính tích phân  a xdx 0 ( x  1)2 b x dx 0 x2  c  cos3 xdx    d dx 0 cos4 x e sin xdx 0 cos x  s inx f s inx  cos x   s inx  2cos x  dx  g  cos3 x.sin xdx h x dx ( x  1)  Dạng Tính tích phân phương pháp đổi biến Bài 12 Tính tích phân sau a  ( x  1) xdx 25 b  x x  1dx c x x2 dx  4x  Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn   d  2x 1 x2  x  dx cos3 x  dx  sin x e  ecos x s inx.cos xdx f   g  sin xdx h   cos x s inx.cos xdx i 0  ln x 1 x dx e 2  ln k  (sin x  e s inx ).cos xdx l  (3  e ) e dx x x  m 0 e x x dx Bài 13 Tính tích phân d   b  x dx e x2 1  3x dx x2 dx x c dx 1 x 2 dx a   x2   f a ax dx , (a  0) ax  g sin xdx 0 2sin x  cos2 x x h dx x2  Bài 14 Tính tích phân  a 2012  x sin xdx 1 d  1 x  1 x ln   x  dx cos4 x 0 sin x  cos4 x dx b cos xdx ex  1  c  e x sin xdx 0  cos2 x  ln( x  f x  1)dx 1   sin xdx g  x 1  2 h  ln(1  t anx)dx i  x.cos xdx 0   s inx )dx  cos x k  ln( l dx 0 e2 x  m  Dạng Tính tích phân phương pháp tích phân phần Bài 15 Tính tích phân 10 e dx  ex 2x Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  b  x e2 x dx a  ( x  1)e2 x dx  d  x ln( x  1)dx c  (1  x) sin 3xdx e e  e x cos xdx f  cos(ln x)dx 0  ln(1  x) 1 x dx g h  cos x.ln(1  cos x)dx  Dạng Liên kết phương pháp đổi biến số tích phân phần Bài 16 Tính tích phân  a  x (e  x  1)dx 2x e5 ln x.ln(ln x)dx b  x e2 c  ( x  sin x  es inx ).cos xdx  Dạng Lập cơng thức tích phân truy hồi Bài 17 Lập cơng thức tích phân truy hồi cho tích phân sau  a I n   sin n xdx b I n   x n  xdx với n số nguyên dương 0 • Dạng Ứng dụng tích phân Bài 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số sau a y  x  x trục hoành b y  x3  3x  đường thẳng x  y   c y  sin x cos3 x ; y  x  0; x   d y   x  x ; y  3x x2 e y  x ; y  ; y  x f y  x  x  ; y   x Bài 19 Tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hình phẳng giới hạn 11 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn a y  ln x ; trục hoành hai đường thẳng x  1, x  b y  xe x , trục hoành đường thẳng x  c y  cos2 x  x sin x , y  0, x  0, x  x2 , y  2, y  d y  Phần Bài tập tổng hợp Bài 20 Tính tích phân (ln x  2013)2 a  dx x e 3x b  dx ( x  3)2 d x  x dx  2 f    cos x  2sin x 2 dx  dx  4sin x  3cos x  dx h  (s inx  3cos x) dx x4  1  sin x x3  c  s inx e  dx  cos x o g i  cos x cos x  cos3 xdx  k  (es inx  cos x) cos xdx cos xdx sin x  4sin x  l  x m x dx  3x  Bài 21 Tính tích phân  e ln x a  dx x b  x.cos 3x x cos dx 2 c  x3 ln( x  1)dx  d  x ln( x  x  1)dx ln 3 e  x.tan xdx  f x3  x  x  g  dx x2  x  e3 h  e ln dx x ln x ln(ln x) i dx x sin (ln x) m  xe x ex  e2 x ex  dx dx  2(2 x  1) dx k  ( x  2)( x  1) e4 l   x2 1 1 x  dx e2  3 n  3 x  dx o  x3  x  x  dx 2 p   sin 12 dx x cot x Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 22 Tính tích phân ln  a e x  e x b  x  x dx e e (e  1) x ln ln e x dx e c x ln dx  2e x   x4  e  dx x 1 3 ln(t anx) d  dx  sin x f dx  x (1  x ) ln  2(e g x x2 h  (1  x )2  1) e  x i 1 x dx 1 x  2x  x dx l x 0  x8 dx m    n   k 1 e x dx o x x2  cos2 x  4sin x dx  dx sin x tan x 0 cos2 x dx (B-08)  2sin x 0  sin x dx p  sin x  s inx dx  3cos x e q (A-05)  r ln x 1 x(2  ln x)2 dx  3ln x ln x dx x e s   x  e  2x e u  dx  2e x t  ln( x  x)dx 2 x x Bài 23 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a y  y  x  0, x  y  b y   x  x , y  x   3 c y  0, y  s inx, x  , x  2 d y  x  x  , x  2, y  x  e y  2 x , y  2 x , x  e f y  x , y  x  x , x  g y  (e  1) x, y  (1  e x ) x h y   x2 x2 , y 4 i y  x  x  , y  x  13  sin( x  ) dx v  sin x  2(1  s inx  cos x) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 24 Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a y  x, y  x b y  x ln x, y  0, x  e  c y  0, y  cos x  x s in x , x  0, x  Bài 25 Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: y  0, y  x  x Bài 26 Tính tích phân  sin 2012 x 0 sin 2012 x  cos2012 x dx  ln( x   x )dx b c 1 sin x   2012x dx   x sin x  ( x  1) cos x d  dx x sin x  cos x  x sin x 0 cos2 x dx e  cot x  sin x  cos xdx  h x ln( x  2) 4 x 4x 1 dx 2x 1  4 g  a f   i dx x3  x  x x2  x    k   ( x  1)(1  2sin x)  cos2 x x cos x  cos2 x cos2 x dx  ex l  Bài 27 Tính tích phân  a b  ln(1  x) dx x2 x 0 x4  3x2  dx  x(1  sin x)dx c  Bài 28 Tính tích phân x2 1 a  ln xdx x ( x  1)2 c  dx x 1 1 b  x  x dx TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009-2013  KQ:   KQ: 27 (3  ln ) 16 Bài 1: Tính I =  (cos3 x  1) cos xdx - ĐHKA-2009 Bài 2: Tính I =  ln x  x  1 dx - ĐHKB-2009 14 dx Gia sư Tài Năng Việt Bài 3: Tính I = e 1 Bài 4: Tính I = dx - ĐHKD-2009 1 KQ: ln(e2+e+1) – x  e x  x 2e x 0  2e x dx - ĐHKA-2010 e Bài 5: Tính I = x https://giasudaykem.com.vn ln xdx  x(2  ln x) 1   2e   ln     KQ:   ln - ĐHKB-2010 KQ:  1 e 3 Bài 6: Tính I = I    x   ln xdx - ĐHKD-2010 x  KQ:  Bài 7: Tính I =  x sin x  ( x  1) cos x dx - ĐHKA-2011 x sin x  cos x KQ: e2 1     ln    1        x sin x dx cos x Bài 8: Tính I =  Bài 9: Tính I =  4x 1 dx 2x 1  KQ:  - ĐHKD-2011 KQ: 34  10 ln KQ: 2  ln  ln 3 KQ:  2ln  3ln   ln( x  1) dx - KA-2012 x2 Bài 10: Tính tích phân I   Bài 11: Tính tích phân I   x3 dx - ĐHKB-2012 x  3x  2 / Bài 12: Tính tích phân I   x(1  sin 2x)dx - ĐHKD-2012 KQ: Bài 13: Tính tích phân I   1 Bài 14: 2  ln(2  3) - ĐHKB-2011 x2  ln xdx - ĐHKA-2013 x2 Tính tích phân I   x  x dx - ĐHKB-2013 ( x  1) dx - ĐHKD-2013 x  32  KQ: ln  2 KQ: 2 1 Bài 15: Tính tích phân I   15 KQ:  ln ... - KA-2 012 x2 Bài 10: Tính tích phân I   Bài 11: Tính tích phân I   x3 dx - ĐHKB-2 012 x  3x  2 / Bài 12: Tính tích phân I   x(1  sin 2x)dx - ĐHKD-2 012 KQ: Bài 13: Tính tích phân I ... khối tròn xoay Thể tích V tính d cơng thức V    g ( y)dy c CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Phần Tìm ngun hàm Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm hàm số (  x )dx x... thức tích phân truy hồi cho tích phân sau  a I n   sin n xdx b I n   x n  xdx với n số nguyên dương 0 • Dạng Ứng dụng tích phân Bài 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số sau

Ngày đăng: 10/06/2018, 22:32

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w