Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12 ĐỀ SỐ Câu 1: ( 5,0 điểm ) a Giải phương trình sau tập số thực: x   (2 x  1) x    x  y  xy  y  b Giải hệ phương trình sau tập số thực:   xy  y  xy  x  y   12 Câu 2: ( 5,0 điểm ) a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A1;2  , B  4;3 Tìm trục hồnh điểm M cho AMB  450 b Cho tam giác ABC đều, cạnh 6cm , trọng tâm G Một đường thẳng  qua G ,  cắt đoạn thẳng AB AC hai điểm M N cho AM  AN Tính diện tích tam giác AMN Câu 3: ( 4,0 điểm ) Cho dãy số  un  xác định u1  un1  un  2n với n  a Chứng minh rằng: un  2n  b Tính tổng S  u1  u2  u3   un theo n Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho số thực dương a, b, c a Chứng minh rằng:   a   b     a  b    16 b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (2  a )(2  b )(2  c ) P (3  a  b  c) Câu 5: ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y  mx3   m  1 x    3m  x  có đồ thị  Cm  , m tham số Tìm giá trị m để  Cm  có điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến  Cm  điểm vng góc với đường thẳng d : x  y  Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:………… Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Hướng dẫn Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu hướng dẫn chấm mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định Câu Đáp án a ( 2,5 điểm ) (5,0 điểm) x   ( y  ), Điều kiện: x   Đặt y   x   y  2( x  1) y ta thu hệ   y  x   Suy      y x 1 1 y  x 1 y2 x 1    0,25 0,25 0,25 x   y  y  x  ( x  1) y  Thang điểm  0,25  y x 1 1 y  x 1  0,25  y  x 1 0,25 Do x 1   x 1  x  Thay vào, thử lại thấy x  15  33 32 15  33 thỏa mãn 32 15  33 32 b ( 2,5 điểm ) 0,5 0,25 Đáp số: x  0,25 u  v  Đặt u  x  x  y  , v  y  y  1 , hệ trở thành:  u.v  12 0,5 u  u  Giải hệ tìm  hay  v  v  u  Với  ta tìm được: v    17  x  1  x     y   y  3  0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn u   x   x  3 Với  ta tìm được:  ,  v  y 1 y 1  x     y  2 Kết luận : Hệ cho có nghiệm   x  1   x   17  x   x  3  x   ,  , ,  ,   y   y  2 y 1 y 1  y  3  a ( 2,5 điểm ) (5,0 điểm) Gọi I  x; y  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB  AI  BI Ta có:   AI BI  3x  y  10  2  x  y  x  y  10  x  x  hay   y  y 1 0,25 0,25 0,5 0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 0,25 + 0,25  Với I  3;1 IA  Đường tròn tâm I bán kính IA có phương trình  x  3   y  1  cắt trục hoành hai điểm 2 M 1;0  M  5;0   Với I  2;  IA  Đường tròn tâm I, bán kính IA khơng cắt trục hồnh 0,5 0,5 b ( 2,5 điểm ) Đặt AM  x, AN  y với x  0,y  1 y x , S ANG  AN AG.s in300  AM AG.s in300  2 2 xy , S AMN  S AMG  S ANG  AM AN s in600  S AMG  0,25 + 0,25 S AMN 0,25 + 0,25 3 ( x  y)  xy   x  y   xy 2  x  y   xy Vậy ta có hệ :  2 x  y  x  5cm  Giải hệ tìm  10  y  cm Nên ta có: Diện tích cần tìm: S AMN  xy 25  cm2 0,25 0,25 0,5 0,5 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Câu Đáp án a 2,0 điểm (4,0 điểm) Khi n  : u2  u1  21    22  Thang điểm 0,5 Giả sử uk  2k  với k  1, k  N 0,5 Ta chứng minh: uk 1  2k 1  0,5 Thật vậy: uk 1  uk  2k  2k   2k  2k 1  0,5 b 2,0 điểm       S  21   22    2n   21  22   2n  n 2n   n  2n 1  n  2 1 a 1,5 điểm Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: (3,0 điểm) 14a  14b2  16a 2b2  36ab   S  0,5 + 0,5 0,5 0,5  14  a  b    4ab  1  2 Đẳng thức xảy a  b  0,5 b 1,5 điểm Đặt t  a  b , ta có: 16 P (2t  7)(c  2)  (3  t  c) 0,5 2 1 1    tc    3(t  1)   c   2 (2t  7)(c  2) 2 2   1  1 2 (3  t  c) (3  t  c) a  b  c  16 / y  mx  2(m  1) x   3m Tiếp tuyến có hệ số góc Vậy giá trị nhỏ P (3,0 điểm) 0,5 + 0,5 Ta tìm m : mx  2(m  1) x   3m  * có nghiệm âm *   x  1 mx  3m     x  mx   3m m  : không thỏa yêu cầu m   3m 0 m  , yêu cầu toán xảy m  m  m  Kết luận:  m   0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 0,5 0,25 + 0,25 0,5 0,25 + 0,25 0,5 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Đề số Câu (2 điểm) x2 có đồ thị (C) điểm M tùy ý thuộc (C) Tiếp tuyến x 1 (C) điểm M cắt hai tiệm cận A B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Chứng minh tam giác IAB có diện tích khơng phụ thuộc vị trí điểm M Cho hàm số y  Tìm m để hàm số y  x  m x  có cực đại Câu (2 điểm) c Giải phương trình sin 2012 x  cos 2012 x  1005  x  x   y  y  d Giải hệ phương trình  2  x  y  xy  Câu (2 điểm)   Chứng minh tan x  sin x  x  (   ), x   0;  Từ suy 2  2 tam giác nhọn ABC ta có tan A  tan B  tan C  sin A  sin B  sin C  2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y  x    x  16  x Câu (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a M N hai điểm thay đổi thuộc cạnh BC DC cho MAN  450 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ thể tích khối chóp S.AMN Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b2  c  Chứng minh a  ab  b  bc  c  ca     5(a  b  c) a  3ab  c b2  3bc  a c  3ca  b ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Gia sư Tài Năng Việt Câu Ý I https://giasudaykem.com.vn Nội dung CM tam giác IAB có diện tích khơng phụ thuộc vị trí điểm M 3  a2 y '   y '( a )  M  (C )  M  a; , a    ( x  1) (a  1)  a 1  a2 ( x  a)  Tiếp tuyến (C) M có pt y  () (a  1) a 1 Tiệm cận đứng 1 có phương trình x  1 Tiệm cận ngang 2 có phương trình y   I (1;1) a 5    1  A  A  1;  ,   2  B  B  2a  1;1 a 1   1 a 5 S IAB  IA.IB   2a   a   (không 2 a 1 a 1 phụ thuộc vào a, đpcm) TXĐ: Tìm m để hàm số y  x  m x  có cực đại mx 9m , y'   , y ''  x2  ( x  9) x  Điểm 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 y '   x   mx   x   mx  mx  mx  (I)    2 2 81( x  9)  m x (m  81) x  81.9 0,25 TH m2  81  9  m   m x  x  x  9(x) nên y'  x   mx x 9  0, x suy hàm số đồng biến , khơng 0,25 có cực trị TH m   ( I )  x1  y ''( x1 )  9m ( x12  9) x12  m2  81   x1 điểm cực tiểu  m  loại TH m  9  ( I )  x2  y ''( x2 )  27 27 m2  81 9m   x2 điểm cực đại ( x22  9) x22  Vậy hàm số có cực đại  m  9 II 0,25 Giải phương trình sin 2012 x  cos 2012 x  0,25 21005 Đặt t  sin x, t   0;1 (1) có dạng: t1006  (1  t )1006  (1) 1005 (2) 1,00 0,25 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Xét hàm số f (t )  t1006  (1  t )1006 , t  0;1 f '(t )  1006[t1005  (1  t )1005 ] ; f '(t )   t  1 1 f (0)  f (1)  1, f    1005  f (t )  1005 Vậy (2)  t  0;1 2 2   hay (1)  sin x   cos x   x   k ( k  Z )  x  x   y  y  (1) Giải hệ phương trình  2 (2)  x  y  xy  0,25 0,25 0,25 1,00 ĐK: y  (1)  x  y  y   x   x  xy  y  y   x   ( y  1)( x  1)  xy  ( y  1)( x  1)  x y  x y  y  x   x  y  1 0,25  x  y  1 x  Kết hợp với (2) ta   x  xy    y  2x  x  y  xy   0,25 x  & (2)  y   y  1 1  x  y 3 ,y Thử lại ta có x  0, y  x  thỏa mãn hệ pt 3 Vậy hệ có nghiệm   Chứng minh tan x  sin x  x  (   ), x   0;  2  2   Xét hàm số f ( x)  tan x  sin x  x  0;   2 y  x & (2)  3x   x  III f '( x)  2cos3 x  9cos x  (2cos x  1)(cos x  4cos x  2)  cos x    cos2 x 2cos x 2cos x   Vì x   0;    cosx