Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12 trên cả nước năm học 2012 - 2013(có đáp án)

Gọi , M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn O sao cho các đường thẳng AM và BK cắt nhau tại E ; các đường thẳng BM và AH cắt nhau tại F.. Chứng minh rằng khi M di động tr

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013

MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 18 - 10 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút

1 2

,

n n

Cho tam giác nhọnABC với các đường cao AH BK nội tiếp đường tròn (O) Gọi ,

M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) sao cho các đường thẳng AM và BK cắt nhau tại E ; các đường thẳng BM và AH cắt nhau tại F Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) thì trung điểm của đoạn EF luôn nằm trên một đường thẳng cố định

ĐÁP ÁN ĐỀ VÒNG 1

12

,

n n

Suy ra (x n)tăng và bị chặn trên  (x có giới hạn hữu hạn a n)

Do x n x n1 f x( n) f x( n1)y n  y n1  dãy (y n)giảm và bị chặn dưới

www.VNMATH.com

a a

yzx  y zx , 1 1 1 1

z xy  z xy

Cộng ba bất đẳng thức trên ta thu được (**)

Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với các đường

cao AH BK nội tiếp đường tròn (O) Gọi M là một ,

điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) sao

cho các đường thẳng AM và BK cắt nhau tại E ; các

đường thẳng BM và AH cắt nhau tại F Chứng minh

rằng khi M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O)

thì trung điểm của đoạn EF luôn nằm trên một đường

thẳng cố định

Giải

E

F H

K

O

B

C A

M

www.VNMATH.com

Ta chứng minh hai tam giác EHK và FHK có diện tích bằng nhau

S S suy ra E, F cách đều HK mà E,F nằm về hai phía của HK

 Trung điểm của EF nằm trên đường thẳng HK

Từ (1) lại thay x bằng  +3 ta có P((+3)2)=0  x=(+3)2 là nghiệm của P(x)

Từ x = (+3)2 là nghiệm của P(x) tương tự phần trên ta có (+3)2, (+3)4, (+3)8,

(+3)16,…là các nghiệm của P(x) Mà P(x) chỉ có hữu hạn nghiệm

y

x

O I

Biểu diễn các số phức  thỏa (I) và thỏa (II) trên mặt phẳng phức ta có hệ (I)

(II)





 không có nghiệm 

 Không tồn tại đa thức hệ số thực P(x) bậc lớn hơn hoặc bằng 1 thỏa (1)

Kết luận Các đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(x)P(x – 3)=P(x 2 ) x gồm P(x)  0 , P(x)  1

www.VNMATH.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013

MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 19 - 10 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1 (4 điểm)

Cho số nguyên dương n Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau:

1 3 1

3 ( 1, 2, , )

0

i n i i n i i

x n x

(C ) cắt ( )C tại hai điểmA và E Đường thẳng AB cắt (C tại điểm thứ hai 1) M,

đường thẳng AC cắt (C2) tại điểm thứ hai N Chứng minh rằng: 1 1 2

DA DE  MN

Bài 5 (4 điểm)

Cho một bảng ô vuông có 2012  2012 ô, mỗi ô đều điền vào một dấu + Thực hiện phép biến đổi sau: đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng (+ thành – , – thành +) Hỏi sau một số lần thực hiện phép biến đổi, bảng có thể có đúng 18 dấu – được hay không ?

HẾT

www.VNMATH.com

ĐÁP ÁN VÒNG 2

Bài 1 (4 điểm)

Cho số nguyên dương n Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau:

1 3 1

3 ( 1, 2, , )

0

i n i i n i i

x n x

1

0 ( 1, 2, , )

24

49

2

9

n l

 Khi n không chia hết cho 9 hệ vô nghiệm

 Khi n 9m (mN*),ta có k = m, l = 8m, hệ có tập nghiệm:

( , , , )1 2 n 

S t t t trong đó m giá trị bằng 0 và 8m giá trị bằng 9

2 Hay S ( ,x x1 2, ,x n)trong đó m giá trị bằng3 và 8m giá trị bằng 3

(*)  2 2

g x g y  y g x (1)

+) Từ (1) suy ra nếu g y( )1 g y( 2) thì y1 y2 suy ra g là đơn ánh

+) Từ (1) cho x 0 suy ra g g y( ( )) y ( (0))g 2 suy ra tập giá trị của glà R

Suy ra g là song ánh, nên tồn tại aR sao cho ( )g a 0

Giả sử tồn tại x0R Q\ sao cho g x( 0)x0

Trường hợp x0 g x( 0): tồn tại số hữu tỉ r sao cho x0 r g x( 0)g x( 0)g r( )r(vô lý) Trường hợp x0 g x( 0): tồn tại số hữu tỉ r sao cho x0  r g x( 0)g x( 0)g r( )r(vô lý) ( ) ,

+ Nếu s chẵn thì vế trái (*) chẵn (vô lý), suy ra s lẻ

+ Với s lẻ, nếu m chẵn thì vế trái (*) cũng chẵn (vô lý), suy ra m lẻ (m = 2t + 1)

(C ) cắt ( )C tại hai điểmA và E Đường thẳng AB cắt (C tại điểm thứ hai 1) M,

đường thẳng AC cắt (C2) tại điểm thứ hai N. Chứng minh rằng: 1 1 2

DA DE  MN

F M

N O

A

D

E B

Đường tròn (C) đi qua A, B, C biến thành đường thẳng MN

Do (C và 1) (C2)tiếp xúc với ( )C tại B,C nên MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn này Gọi F là giao điểm của AE và MN Suy ra F biến thành E và

Cách 2: Ta có AM.AB = AN.AC  AM AC

AN  AB AMN ~  ACB

  

1

OABOBAO MB  O1M // OA

Tương tự có O2N // OA

Giải

Giả sử sau một số lần thực hiện phép biến đổi , bảng có đúng 18 dấu –

Gọi x i là số lần đổi dấu ở hàng thứ i (i = 1, 2,…,2012 , thứ tự các hàng tính từ trên xuống dưới ),

yj là số lần đổi dấu ở cột thứ j (j = 1, 2, ,2012 , số thứ tự các cột tính từ trái sang phải)

Gọi p là số các số lẻ trong các số x 1, x2,…, x2012 , q là số các số lẻ trong các số y 1, y2,…, y2012 ,

nên (2)  p –1006 = 0 hoặc q –1006 = 0 : mâu thuẫn với (1)

Kết luận : Bảng không thể có đúng 18 dấu –

x

F N M

A

E D O

www.VNMATH.com

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

AN GIANG Năm học 2012 – 2013

Môn : TOÁN (vòng 1) Lớp : 12 Thời gian làm bài : 180 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (3,0điểm)

Cho hàm số ( m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu lần lượt là và đồng thời tam giác cân tại với

Bài 2: (3,0 điểm)

Giải phương trình :

Bài 5 : (3,0 điểm)

Tìm tọa độ các đỉnh của một hình thang cân ABCD biết rằng CD=2AB, phương trình hai đường chéo , các tọa độ hai điểm A, B đều dương và hình thang có diện tích bằng 36

Bài 6: (4,0 điểm)

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng , cho a cố định, thay đổi Tìm để thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Bài 2

Giải phương trình

 Nhận xét: Nếu viết phương trình trên lại là

thì phương trình có nghiệm khi do vế phải dương

 Đặt

phương trình trở thành

3,0 điểm

ebooktoan.com

 Lại đặt phương trình trở thành

ạ

 Với

vậy là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có hai nghiệm

Cách khác: + Nhận xét không là nghiệm của phương trình + Nếu phương trình trên viết lại là :

So với điều kiện phương trình có hai nghiệm

Bài 3

 TXĐ:

 Đặt

Vậy

 Xét hàm số

3,0 điểm

ebooktoan.com

ố

ố

trong đó có đúng 2012 số1 và 2 số 0

Như vậy số bộ ba số cần tìm chính là số các cách sắp xếp hai chữ số 0 và

2012 chữ số 1 vào 2013 vị trí sao cho hai số 0 không đứng cạnh nhau và

không được đứng đầu và đứng cuối

 Để sắp xếp các số như trên ta thực hiện

* Sắp xếp 2012 chữ số 1 có 1 cách sắp xếp

* Sắp xếp số 0 đầu tiên vào giữa 2012 số1 có 2011 cách sắp xếp (trừ đi vị trí

đầu và cuối)

* Sắp xếp số 0 thứ hai vào giữa 2013 số trên có 2010 cách sắp xếp ( không

sắp đầu và cuối và không sắp bên trái, bên phải số 0 vừa sắp)

* Vì hai số 0 có thể đổi chổ cho nhau nên có các bộ số cần tìm

Ta có nhận xét 2012 không chia hết cho 3 nên phương trình không có ba

nghiệm bằng nhau

 Ta đếm các nghiệm trong đó

Để có nghiệm loại này ta thấy mỗi cặp có duy nhất một số nguyên

với để chọn nghiệm loại này ta thực hiện

* Chọn một số nguyên thuộc vào hai vị trí có 1005 cách

ebooktoan.com

Bài 5

* Gọi M là giao điểm hai đường chéo hình thang, tọa độ M là nghiệm của hệ

* Ta có nhận xét hai đường thẳng vuông góc nhau CD=2AB suy ra hình thang cân có hai đáy là AB; CD * Vậy diện tích hình thang cân ABCD là:

* Ta lại có Vậy

Vậy tọa độ điểm A là (loại) Với do

*

Ta lại có

Vậy tọa độ B là (loại)

Với do

Vậy tọa độ các đỉnh của hình thang là

3,0 điểm Bài 6 * Do hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD Gọi M là trung điểm của CD dể thấy CD (SHM) nên (SHM) (SCD) hay SM là hình chiếu của SH lên mặt phẳng (SCD) vậy ớ

* Đặt

* Tam giác SHM vuông tại H ta được

* Đặt ớ

4,0 điểm

M H

A

D S

ebooktoan.com

Xét hàm số :

Bảng biến thiên

+ -

Vậy

B HƯỚNG DẪN CHẤM

+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

+ Điểm từng câu có thể chia nhỏ đến 0,25 và không làm tròn

ebooktoan.com

Câu 1 (5,0 điểm) Cho hàm số 3 2  

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013

================

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT

Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013

với đường thẳng d có phương trình x5y  1 0

 cắt đồ thị hàm số  1 tại ba điểm phân biệt A B C  phương trình (*) có , ,

hai nghiệm phân biệt khác 0

5

(**)4

Gọi x x là hai nghiệm của (*), ta có: 1, 2

m m

f x   x Lập BBT, từ đó suy ra phương trình (4) có nhiều nhất hai

nghiệm Mà f  2  f  4 0 4 có hai nghiệm x2; x 4

Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm x y;  : 8;7 ; 2;1 ; 4;3    

Câu

4.1

1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 1;1 , B3; 2, C7;10 Lập

phương trình đường thẳng  đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến

  S2 : x32y12z12 25 Chứng minh rằng hai mặt cầu trên cắt

nhau theo giao tuyến là một đường tròn Tính bán kính đường tròn đó

I I   R R I I R R  hai mặt cầu cắt nhau 0.5

Khi đó tọa độ giao điểm của hai mặt cầu thỏa mãn hệ phương trình

Do đó hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn Đường tròn

đó là giao tuyến của măt cầu  S và mặt phẳng 1 ( )P : 6 x2y4z110

Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng 1 Gọi M N là hai điểm ,

thay đổi lần lượt thuộc cạnh AB CD sao cho mặt phẳng , SMN luôn vuông góc 

với mặt phẳng (ABC) Đặt AM x AN,  y Chứng minh rằng xy3xy, từ

đó tìm ,x y để tam giác SMN có diện tích bé nhất, lớn nhất

x y

x y

3 Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm

SỞ GD&ĐT BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN-LỚP 12 THPT

Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đãy ABCD là hình thang (AD//BC) và AD=3BC Gọi M, N

lần lượt là trung điểm của SA, SB Mặt phẳng (DMN) cắt SC tại P Tính tỉ số CP

CS

Bài 4: Trong ΔABC, M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường phân giác trong của

góc ∠BCA N,L lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ các đỉnh A,C xuống đường phân giác trong của góc ∠ABC Gọi F là giao điểm của các đường thẳng MN và AC, E là giao điểm của các đường thẳng BF và CL, D là giao điểm của BL và AC Chứng minh rằng: DE//MN

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu I (4 điểm) Cho hàm số yx44mx2m có đồ thị là 2 C m, (với m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C khi m 1

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có ba cực trị và ba điểm cực trị tạo thành một tam

giác đều

Câu II (5 điểm)

1 Giải phương trình sau: 2sin 2 2 3 cos 2 sin 3 0

Câu III (4 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1; 0

2

I 

 , phương trình đường thẳng AB x: 2y  và 2 0 AB 2AD Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh

A có hoành độ âm

2 Cho tam giác ABC và các điểm K L M lần lượt nằm trên các đoạn , , AB BC CA sao cho , ,

1 3

Ghi chú: Đối với thí sinh học tại các trung tâm GDTX thì không làm câu VI

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh……… Số báo danh……… Chữ ký giám thị 1:………Chữ ký giám thị 2:………

SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN-LỚP 12 THPT

Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

-

SỞ GD&ĐT CÀ MAU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN-LỚP 12 THPT

Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

x



Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(1;6), B(4;9), C(7;4) và đường tròn (C) có

phương trình x2   y2 4 x 6 y   12 0 Tìm điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4:

Cho n, k là các số tự nhiên ( n khác 0 và n>k) Hày tìm dãy số (U n) thõa cả 3 điều kiện:

Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều AB=2 3, đường thẳng B'C tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 0

60 1) Tính thể tích khối tứ diện BCB'A'

2) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng B'C

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực R

Cho dãy số nguyên (un) được xác định như sau:

(

u1 = 1 ; u2 = 2

un = 4un−1− un−2, ∀n ≥ 3, n ∈ N a) Chứng minh rằng u 2

n + u 2 n−1 − 4unun−1= −3 với n ≥ 2, n ∈ N b) Chứng minh rằng u

a) Chứng minh rằng khi P di động trên (T ) thì các đường thẳng M N và HL luôn cùng đi qua một điểm cố định K.

b) Gọi C, D theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O 1 ) với M A và M B, E là giao điểm của CN với BK và F là giao điểm của DN với AK Chứng minh rằng khi P di động trên (T ), ta luôn có bất đẳng thức p > R(3 + √

2), trong đó p là chu vi tứ giác ABEF Câu 4 (4 điểm)

Cho dãy 2013 số nguyên dương a1, a2, a3, a2013 thỏa mãn mỗi số không lớn hơn 4026 và với hai

số bất kì thì bội số chung nhỏ nhất của hai số ấy luôn lớn hơn 4026 Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 1342.

Câu 5 (4 điểm)

Trong một bảng ô vuông có 10 × 10 ô được điền ở tất cả các ô là dấu “+” Một bước thực hiện bằng cách đổi toàn bộ những dấu ở một hàng hoặc một cột nào đó sang dấu ngược lại Có khả năng hay không sau hữu hạn bước như trên, bảng ô vuông nhận được có đúng 6 dấu “-” ? Hãy chứng minh khẳng định của mình.

——HẾT——

Ghi chú: Giám thi coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

+b = 12, ta được f (t) = t 3 + 12t − 16 có nghiệm duy nhất (không thỏa)

λ1 λ2

λ21 λ22

= λ1λ2(λ2− λ1) = 2 √

3

Dc1 =

... class="page_container" data-page="34">

SỞ GD&ĐT ĐÀ NẴNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2 01 2- 2013

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TOÁN-LỚP 12 THPT

... class="page_container" data-page="37">

SỞ GD&ĐT GIA LAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2 01 2- 2013

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TOÁN-LỚP 12 THPT

... TỈNH

NĂM HỌC 2 01 2- 2013

ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN-LỚP 12 THPT

Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

-