Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12 tỉnh vĩnh phúc năm học 2015 2016 (có đáp án)

Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho.. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,5 điểm).

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 3   2   2

3

đồng biến trên khoảng 0;3 

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx33mx2 3m 1 có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối xứng với nhau qua đường thẳng x2y 1 0

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Giải phương trình:

2

2

cos cos 1 cos 2 tan

cos

b) Cho đa giác đều có 15 đỉnh Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của

đa giác đã cho Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác được chọn

là một tam giác cân nhưng không phải tam giác đều

Câu 3 (1,5 điểm).

Giải phương trình:  2 4   2 4 1 1 

2

x

x  x  x   x    x x 

Câu 4 (2,0 điểm).

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a AD b a b ,   , 0, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA2a Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh SA sao cho

AM x với 0x2a

a) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( MBC )

b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích) bằng nhau

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G Gọi E, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD Biết điểm D   1; 1, đường thẳng IG có phương trình 6 x 3y 7 0 và điểm E có hoành độ bằng 1 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Câu 6 (1,0 điểm).

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn 1;9 và x y x z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu , 

P

-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …… …….….….; Số báo danh:……… ………

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN - THPT

(Hướng dẫn chấm có 05 trang)

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

II ĐÁP ÁN:

1 a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

1

3

y x m x m x m đồng biến trên khoảng 0;3 

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

y x mx m có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối

xứng với nhau qua đường thẳng x2y 1 0.

2,5

a TXĐ: 

2

y x  m x m

Do phương trình ' 0y  có nhiều nhất hai nghiệm trên  , nên để hàm số đã

cho đồng biến trên khoảng 0;3  y' 0,  x 0;3

0,5

2

2 3

2 1

m x x

Xét hàm số  

2

2 3

2 1

g x

x



 trên khoảng 0;3

 

2

2

1

2

2 1

x

x loai x





 



0,5

BBT

 

'

 

g x

3

2

18 7

Từ BBT, g x  m, x 0;3  m2

Vậy, m  thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2 0;3 

0,5

b TXĐ: 

' 3 6 ; ' 0

2

x





 Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu  phương trình ' 0y  có hai nghiệm phân biệt  m0

0,5

Tọa độ hai điểm cực trị    3   3

A  m B m m  m  AB m m

0,5

và trung điểm của AB là I m m ;2 3 3m 1

A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng : d x 2y 1 0 I d

AB d





    



 3

3

1

m



 (thỏa mãn) Vậy, m  1

2

a) Giải phương trình:

2

2

cos cos 1 cos 2 tan

cos

b) Cho đa giác đều có 15 đỉnh Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba

đỉnh của đa giác đã cho Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác

suất để tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải tam giác

đều

2,0

a

2

x l l 

(1) cos 2x tan x 1 cosx (1 tan ) x

0,25

2

cos

2

x

x









0,25 +) cosx 1 x  k2 k  0,25

x  x  k  k  Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm xk2 ,

2 3

x  k  k 

0,25

b Số tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho là: 3

15 455

C  tam giác

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều Xét một đỉnh A bất kì của

đa giác: Có 7 cặp đỉnh của đa giác đối xứng với nhau qua đường thẳng OA, hay

có 7 tam giác cân tại đỉnh A Như vậy, với mỗi một đỉnh của đa giác có 7 tam

giác nhận nó làm đỉnh tam giác cân

0,25

Số tam giác đều có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác là 15 5

3  tam giác.

Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên có cả tam giác đều, do

mọi tam giác đều thì đều cân tại ba đỉnh nên các tam giác đều được đếm ba lần

0,25

Suy ra, số tam giác giác cân nhưng không phải tam giác đều có ba đỉnh là ba

đỉnh của đa giác đã cho là: 7.15 3.5 90 

Vậy, xác suất để chọn được một tam giác cân nhưng không phải tam giác đều

từ tập M: 90 18

455 91

0,25

3

Giải phương trình:  2 4   2 4 1 1 1 

2

x

 1  2 x 2 4   x 2 x 2 4 x   x 1 2 x1

Xét hàm số: f t   t2 2 ,t t 0 Có f t'  2t    2 0 t 0 hàm số đồng

biến trên 0; Suy ra phương trình (1) có dạng

f x   x f x  x   x  x

0,5

5

        Nghiệm tìm được thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm: 3; 11

5

x x

0,5

4 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB a AD b a b   , SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và

2



SA a Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh SA sao cho AM x với 0x2a

a) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( MBC )

b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có)

thể tích bằng nhau

2,0

N H

M

D

C B

A S

a Do BC/ /AD  mặt phẳng (MBC) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MN

( N SD ) và MN / /AD

AD SAB  MN  SAB  MN BM Suy ra thiết diện của hình chóp

S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MBC) là hình thang BCNM vuông tại B và M

0,5

,

2

b a x



Diện tích thiết diện BCNM:

2

BCNM

b a x

S

a

0,5

b

Kẻ AH BM tại H, suy ra AH BCNM, AH 2ax 2

a x





0,5

Do        

, ,

MA

d A BCNM

 ,  a a x22 2

d S BCNM

a x





Thể tích khối chóp S.BCNM:

.

1

b a x a x

Để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng

.

2 2

S ABCD SBCNM

b a x a x

a b

  



  



Vậy x3 5a

0,5

5 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G Gọi E, H lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của

đường thẳng AB và đường thẳng CD Biết điểm D   1; 1, đường thẳng IG có

phương trình 6x 3y 7 0 và điểm E có hoành độ bằng 1 Tìm tọa độ các

đỉnh của tam giác ABC.

1,0

F K

E

G H

I D

C

B

A

Gọi K là trung điểm của BI, suy ra HK/ /CD  A là trung điểm của KI,

1 2

HK DI  IC;

1

/ / 2

AK  BK  GK AC  GK AB GB GI GC hay G là tâm đường

tròn đi qua ba điểm C, I, B  CGI 2IBC 90o, 1 / /

2

ID IC DE IG

0,5

Phương trình đường thẳng DE: 2x y   1 0 E1;3

CEIG, suy ra phương trình CE x: 2y 7 0 Tọa độ của G là nghiệm của

0,25

hệ phương trình

7

;

3

x

G

x y

y









5;1

C



5

1;1 1;5 2

DG  AG A  B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vậy, A1;1 , B1;5 và C5;1 . 0,25

6 Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn 1;9 và xy x z Tìm giá trị nhỏ nhất, 

của biểu thức 1

P

Với a, b dương thỏa mãn ab  ta có bất đẳng thức 1 1 1 2

1a 1b 1 ab

Thật vậy: 1 1 2

1a1b1 ab   a b 2 ab 1 0 đúng do ab  1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b hoặc ab  1

0,25

Áp dụng bất đẳng thức trên: 1 1 1 1 1 1

2

P

0,25

Đặt x t 1;3

y   Xét hàm số   2

f t

  trên đoạn 1;3 

 

2

1 10

t

t t





t t  t   t  do t3 24t 50 0  t 1;3

BBT

 

'

 

f t

11 18

1 2

5 4

0,25

Suy ra min

1 2

P  khi và chỉ khi

4

4 2 1

z x

y z

x y















 



