Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12, tỉnh Bạc Lie năm 2017-2018 (kèm lời giải)

Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẠC LIÊU Câu 1: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN 12 (Thời gian làm 180 phút) (4,0 điểm) 2x 1 có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  biết x 1 tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x  y  6051  a) Cho hàm số y  b) Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị  C  Gọi d đường thẳng qua điểm A  2;  có hệ số góc k Tìm k cho đường thẳng d cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt A , B , C tam giác OBC cân O ( O gốc tọa độ) Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau tập số thực log3  x    log5  x  19  b) Giải phương trình sin 3x  1  cos x  cos x   sin x  2cos x  sin x Câu 3: (2 điểm) Tính tích phân I   x  x2 dx x3 Câu 4: (3,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  z Tìm giá trị lớn biểu thức P x x2  y  y y2  z2  z zx Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, E điểm cạnh AD cho BE vng góc với AC H AB  AE Biết SH vng góc với mặt phẳng  ABCD  ; góc hợp 2a , BE  a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB , CD Câu 6: (3,0 điểm) 3  Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác nhọn ABC AB  AC  Gọi D  2;   2  chân đường phân giác góc A , E  1;0  điểm thuộc đoạn thẳng AC thỏa mãn AB  AE Tìm tọa độ đỉnh A, B ,C biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x  y  x  2y  30  điểm A có hồnh độ dương SB mặt phẳng  SAC  30 , AH  HẾT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 1/9 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ CÁC LỜI GIẢI VÀ CHỈNH SỬA ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI Đỗ Đường Hiếu Đặng Mạnh Hùng Phạm Tiến Hùng Nguyễn Tấn Linh Nguyễn Bình Nguyên Hoàng Minh Quân FB : Datlong Van Câu 1: (4,0 điểm) 2x 1 có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  biết x 1 tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x  y  6051  c) Cho hàm số y  d) Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị  C  Gọi d đường thẳng qua điểm A  2;  có hệ số góc k Tìm k cho đường thẳng d cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt A , B , C tam giác OBC cân O ( O gốc tọa độ) Lời giải a) Đường thẳng d : x  y  6051  có hệ số góc k  2x 1 có tập xác định D  \ 1 x 1 Ta có y   Do đó, hồnh độ tiếp điểm tiếp tuyến vng góc với đường thẳng  x  1 Hàm số y  d nghiệm phương trình: x  3 4    1   x  1      x  1    x  1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 23 y    x  3  hay y   x  4  Với x  1 y  Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 3 y    x  1  hay y   x  4 23 Vậy, phương trình đường tiếp tuyến cần tìm là: y   x  y   x  4 4 b) Đường thẳng d qua điểm A  2;  có hệ số góc k có phương trình  Với x  y  d : y  k  x  2  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 2/9 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị  C  đường thẳng d x3  3x   k  x     x3  3x   k  x      x   x  1  k  x      x    x  1  k     x    x  1  k * Điều kiện để d cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt A , B , C phương trình * có hai k  nghiệm phân biệt khác   k  x   y   Khi đó, hồnh độ giao điểm  C  d  x  1  k  y  k k  3k   x  1  k  y   k k  3k       Như vậy: A  2;  ; B 1  k ; k k  3k  C 1  k ; k k  3k  Tam giác OBC cân O OB  OC  OB  OC   1  k  2    k k  3k  4  1  k   k k  3k  4  3k k  4k k  k   3k  4k   (do k  ) k  (thỏa mãn)  k   1  Vậy k   ;1 3  Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau tập số thực log3  x    log5  x  19  b) Giải phương trình sin 3x  1  cos x  cos x   sin x  2cos x  sin x Lời giải x x a) log3     log5   19   Xét x   log3  x    log5  x  19   log5 19   Xét  x Hàm số y  log3  x    log5  x  19  có y  x ln x ln  0  x  2 ln  6x  19 ln Thật x ln x ln  ln 7.ln  42x  19.7 x   ln 6.ln  42x  2.6x  ,  x x   2 ln   19 ln TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 3/9 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Suy y  x  Nên hàm số đồng biến  0;   Nhận thấy x  nghiệm phương trình Vậy x  nghiệm b) Giải phương trình sin 3x  1  cos x  cos x   sin x  2cos x  sin x  sin3x  cos 2x  cos 2x cos x  sin 2x sin x  2cos x sin 2x  sin3x  cos 2x  cos x  sin3x  sin x cos x  sin x   cos x  sin x     x    k   sin  x     1    4     x    k      x     k 2  4   5 x    k 2 4     x    k    x  k 2  3  k 2 x   Câu 3: (2 điểm) Tính tích phân I   x  x2 dx x3 Lời giải x  x2 dx   x x 1 Ta có I   Đặt u   dx x 1 1   u    2udu   dx  2udu  dx x x x x Đổi cận: với x   u 1 x 1  u  1 Khi I   2u du   u dx  31 u  3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 4/9 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Vậy I  Câu 4: (3,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  z Tìm giá trị lớn biểu thức x P x2  y y  y2  z2 Lời giải  z zx Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Với a, b số thực dương thỏa mãn ab  , Thật vậy, BĐT  1  ab     a   b2  1  a2   b2    4(1  a )(1  b ) 2  ab  (1  ab)  a  b  (1  a )(1  b )   2a  2b  2(ab)  2(1  a )(1  b )  (a  b) (1  ab)  (1  a )(1  b )   (a  b) (1  ab)  (1  a )(1  b ) 2  (1  a )(1  b )  (1  ab)  ( a  b) 2 (1  a )(1  b2 )   ab  (dpcm) Dấu”=” BDT xảy a  b x y z Ta có P    zx x2  y y2  z2  y  ( )2 x  Xét hàm f (t )  z  ( )2 y  z x 1 z x  z t với  t    x t 1 1 t t 1 t với  t  Ta có f '(t )  0t   t 1 1 t t (t  1) y z  x  y  x  4z Do f(t)  f ( )  hay Max P=    y  2z z 1  x Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, E điểm cạnh AD cho BE vng góc với AC H AB  AE Biết SH vng góc với mặt phẳng  ABCD  ; góc hợp 2a , BE  a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB , CD Lời giải SB mặt phẳng  SAC  30 , AH  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 5/9 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ S E A D I H E A D F H B C B C Đặt BH  x , HE  y Ta có hệ phương trình sau:   xy  a   x  y  5a  Do đó, x y hai nghiệm phương trình:  X  a  X  5aX  a    X  a    x  a x  a   5  Từ suy  y  a y  a   5  x  a  Với  , ta suy AE  a , AB  2a (thỏa mãn) y  a   x  a  Với  , ta suy AB  a , AE  2a (loại) y  a  1 1 1       BC  4a Xét ABC , ta có: 2 2 2 BH AB BC 2a  BC    a     BH  AB Ta có:   BH   SAC   H hình chiếu B lên  SAC   BH  SH  SH hình chiếu SB lên  SAC    SB,  SAC     SB, SH   BSH  30 (do SHB vuông H ) 4 15 a.cot 30  a 5 15 32  a.2a.4a  a 15 Xét SHB , ta có: SH  BH cot BSH  Vậy: VS ABCD  SH S ABCD TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 6/9 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ * Tính d  SB, CD  Ta có: CD  AB  CD   SAB   d  SB, CD   d  CD,  SAB    d C ,  SAB   Ta có: d  C ,  SAB   CA HC   SAB   A    d  H ,  SAB   HA  2a    4a  2a 5   d  C ,  SAB    5d  H ,  SAB   Từ H kẻ HF  AB , HI  SF I  AB  HF Ta có:   AB   SHF   AB  IH ,  AB  SH  IH  SF  IH   SAB   d  H ,  SAB    IH   IH  AB Áp dụng định lí Ta-lét tam giác ABC , ta có: HF  BC  a 5 1 1 15 Xét SHF , ta có:       HI  a 2 2 HI SH HF 3a  15    a  a       d  SB, AC   HI  15a Câu 6: (3,0 điểm) 3  Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác nhọn ABC AB  AC  Gọi D  2;   2  chân đường phân giác góc A , E  1;0  điểm thuộc đoạn thẳng AC thỏa mãn AB  AE Tìm tọa độ đỉnh A, B ,C biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x  y  x  2y  30  điểm A có hồnh độ dương Lời giải B D H I A TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập E C Trang 7/9 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Do AB  AE nên AD đường trung trực BE Từ suy DB  DE  3  DB  DE x   y   9      Gọi B a ;b  ta có:  2   x  y  x  2y  30  x  y  x  2y  30   x x  y  4x  3y     2 x  y  x  2y  30  x  2  y    y  4x  3y   2y  9y     y    y 5 x  y     x  y  2  x    y  B  5;0      x    1 9  B ;     2    y    Gọi H  AD  BE TH1: B  5;0  điểm H  2;0  suy phương trình đường thẳng DH x  x  x   Tọa độ A nghiệm hệ phương trình:    y  x  y  x  2y  30   y  4   A  2;6  A  2; 4  ( loại AH DH phương) Vậy A  2;6  x 2 y 6   2x  y   1  6 Tọa độ C nghiệm hệ phương trình:  x   2 x  y  x  2y  30  y  2x   y   C  3; 4    2x  y   x  x    x  3   y  4 Phương trình đường thẳng AE là: 1 9 TH2: B  ;   2 2 y 2   2x  1   2y   Phương trình đường thẳng BD là: 2   2 4x  11  4x  2y  11   y  x 4x  11  4x  11  Hoành độ C nghiệm phương trình: x    30   x 2    x  Vậy C  ;   20x  100x  45      2 2 x   TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 8/9 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Phương trình đường thẳng CE là: x 1 y 7x   y  11 1 2 7x   7x   Hoành độ A nghiệm phương trình: x    30    x  11  11   x   83 42  Vậy A   ;  170x  65x  3735     (loại)  17 17  x   83  17 Vậy A  2;6  ; B  5;0  ;C  3; 4  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 9/9 - Mã đề thi 132 ... góc k có phương trình  Với x  y  d : y  k  x  2  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 2/9 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Phương trình hồnh độ giao...   ln 6.ln  42x  2.6x  ,  x x   2 ln   19 ln TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 3/9 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Suy y  x  Nên hàm số... 1 x 1  u  1 Khi I   2u du   u dx  31 u  3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 4/9 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Vậy I  Câu 4: (3,0 điểm)