Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12, tỉnh Bắc Kan năm 20172018

Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ SỞ GD VÀ ĐT TỈNH BÁC KẠN Câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN 12 (Thời gian làm 180 phút) (4,0 điểm)  x   y  xy  y  Giải hệ phương trình:  y x  y   x 1  Giải phương trình:  sin x  sin x   cos x   2sin x  Câu 2: (3.0 điểm) a) Cho hàm số y  x  x  có đồ thị  C  Tìm điểm trục tung cho từ vẽ ba tiếp tuyến với  C  b) Cho Parabol  P  : y  x  x  Gọi d đường thẳng qua điểm A  1;0  có hệ số góc  Tìm  để diện tích hình phẳng giới hạn  P  d đạt giá trị nhỏ Câu 3: (3 điểm) a) Với số tự nhiên k , gọi N (k ) số nghiệm nguyên phương trình: 2017 x  2018 y  k N (k ) k k  Tính giới hạn sau: L  lim b) Cho a, b, c ba số thực đôi khác Chứng minh bất đẳng thức  a  2018b   b  2018c   c  2018a         4072325  a b   bc   c a  Câu 2 (4,0 điểm) a) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Đường vng góc với AD A cắt BC E Đường vng góc với AB A cắt CD F Chứng minh ba điểm E , O , F thẳng hàng b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , lập phương trình đường thẳng d1 qua A  2;1 tạo với đường thẳng d : x  y   góc 45 Câu (4,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC tam giác vuông C , ABC  60  , BC  2a , M trung điểm cạnh AB , hình chiếu vng góc C mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm I CM Góc cạnh bên CC mặt phẳng đáy  ABC  45  a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC b Tính khoảng cách hai đường thẳng BC C I Câu (2,0 điểm)Cho z  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ T   z3  z  z  HẾT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 1/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ CÁC GIÁO VIÊN THAM GIA THỰC HIỆN LÊ ĐỨC ANH MỘT THẾ GIỚI LÊ MINH NGUYỄN TỬ PHÚC HOÀNG MINH QUÂN VŨ THƠM MAI NGỌC THI Câu 1:  x   y  xy  y  Giải hệ phương trình:  y x  y   x 1  Giải phương trình:  sin x  sin x   cos x   2sin x  Lời giải  x   y  xy  y 1   y  2 x  y   x 1  1  x2   y  x  y    y  3 Thế   vào  3 ta x   y   x2  1   x2  1 y  y  y  2y x 1 2   x2   y    y  x2  x  Thay vào   ta x  x      x  2 Vậy phương trình có nghiệm  x; y   1;  ;  x; y    2;5  Điều kiện: 2sin x   Phương trình cho tương đương với:  sin x  sin x  4 cos x    sin x.cos x  sin x  cos x    sin x  2cos x  1   2cos x  1    2cos x  1 sin x     cos x     x   k 2   x    k 2  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 2/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Kết hợp với điều kiện, phương trình cho có họ nghiệm x  Câu 3:   k 2 (3.0 điểm) a) Cho hàm số y  x  x  có đồ thị  C  Tìm điểm trục tung cho từ vẽ ba tiếp tuyến với  C  b) Cho Parabol  P  : y  x  x  Gọi d đường thẳng qua điểm A  1;0  có hệ số góc  Tìm  để diện tích hình phẳng giới hạn  P  d đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Tập xác định D  y  x  x   y  x3  x Giả sử M  0; m   Oy Phương trình đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k y  kx  m  x  x   kx  m 1 d tiếp tuyến đồ thị  C     2 4 x  x  k   Thế PT   vào PT 1 ta x  x   x3  x x  m  3 x  x   m (3) Xét hàm số g  x   3x  x  x  g   x   12 x  x , g   x     x    Bảng biến thiên Để qua điểm M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị  C   PT (3) có nghiệm phân biệt Từ bảng biến thiên m   M  0;1 b) d đường thẳng qua điểm A  1;0  có hệ số góc   Phương trình đường thẳng d y    x  1 Phương trình hồnh độ giao điểm d  P  x  x     x  1  x  1    x     (1) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 3/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Ta có   1     4.2  3       6  25    3  16  0,  2  PT (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1   1   , x2   1   x1  x2  với   1   x1  x2  Định lý viet   x x  3    2 Ta có x  1    x      0, x   x1; x2  Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng d  P  x2 x2 S   x  1    x    dx     x  1    x    dx x1 x1 x2  x3  x2     x  1    x    dx     1         x    x1 x1 x2  x1  x23   1     x12  x22       x1  x2     2    x1  x2    x1  x2   x1 x2  1    x1  x2       3    48   3  16      6  25 24   16   3  16  Ta có   3  0,   S  ,  Vậy diện tích S nhỏ Câu 3: c)   3 (3 điểm) Với số tự nhiên k , gọi N ( k ) số nghiệm nguyên phương trình: 2017 x  2018 y  k N (k ) k k  Tính giới hạn sau: L  lim Lời giải Ta có 2017( x  y )  2017 x  2018 y  k  2018(x  y)  k k  x y  2018 2017 k   k ; thỏa mãn a   phương trình có nghiệm  2018 2017  y=k-2017a, x=2018a-k ngược lại phương trình có nghiệm ngun x, y Ta thấy lấy số a  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 4/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ k   k a  x y ; Do số nghiệm nguyên N (k ) phương trình số số tự  2018 2017  k k k k k   k -1< N(k) < 1 ; nhiên thuộc   2017 2018 2017 2018  2018 2017  1 1 N (k ) 1   Từ lim  (đpcm)    lim  lim    L k  2017.2018 k  2017.2018 2017.2018 k  k  k k   d) Cho a, b, c ba số thực đôi khác Chứng minh bất đẳng thức  a  2018b   b  2018c   c  2018a         4072325  a b   bc   c a  2 Lời giải Ta chứng minh cho toán tổng quát  a  kb   b  kc   c  ka  (*)        k  a  b b  c c  a       a  kb b  kc c  ka  x;  y;  z , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Đặt a b bc ca x  y  z  k  Ta có a  kb   b  kc   c  ka   1   1   1  x  1 y  1 z  1    a b  bc  ca  2   k   k   k   abc       x  k  y  k  z  k   a  b  b  c  c  a  hay  x  1 y  1 z  1   x  k  y  k  z  k    k  1 x  y  z   xy  yz  zx  k  k  Ta cần chứng minh x  y  z  k  Do ta chứng minh  k  1 x  y  z   xy  yz  zx  k  x  y  z   k  1 x  y  z    xy  yz  zx   2k  x  y  z   k  1 x  y  z    xy  yz  zx   2k  k   x  y  z 2   x  y  z    k  1   Bất đẳng thức cuối Vậy (*)được chứng minh Áp dụng với k  2018, ta có  a  2018b   b  2018c   c  2018a         2018   4072325  a b   bc   c a  Câu 2 (4,0 điểm) a) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Đường vng góc với AD A cắt BC E Đường vng góc với AB A cắt CD F Chứng minh ba điểm E , O , F thẳng hàng b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , lập phương trình đường thẳng d1 qua A  2;1 tạo với đường thẳng d : x  y   góc 45 Lời giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 5/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ a) A B E O D F A' C Trường hợp 1: BAD  90 EF đường kính đường tròn, suy điều phải chứng minh Trường hợp 2: BAD  90 , gọi A đối xứng với A qua EF Ta có: EAF  EAF  BAF  EAD  BAD  180  BAD  ECF  EFCA tứ giác nội tiếp Nên: AEF  ACF  180  AEF  ACF  180 Mà AEF  AAD (góc có cạnh tương ứng vng góc) nên AAD  ACD  180 Do AADC tứ giác nội tiếp Mà A   O  nên suy O thuộc đường trung trực AA Vậy E , O , F thẳng hàng Trường hợp 3: BAD  90 chứng minh tương tự   b) Giả sử d1 có véc tơ pháp tuyến n1   a; b  , a  b  d có véc tơ pháp tuyến n2   2;3 Theo giả thiết: cos  d1; d2     2a  3b  2a  3b 1  cos n1; n2    2 2 13 a  b    a  5b  13a  13b  5a  24ab  5b    a   b  2 2 Với a  5b : Chọn b   a  Vậy phương trình d1 : x  y  11  Với a   b : Chọn b  5  a  Vậy phương trình d1 : x  y   TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 6/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Câu Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC tam giác vng C , ABC  60  , BC  2a , M trung điểm cạnh AB , hình chiếu vng góc C mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm I CM Góc cạnh bên CC mặt phẳng đáy  ABC  45  a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC b Tính khoảng cách hai đường thẳng BC C I Lời giải C' B' A' H K B C I M A a Ta có C I   ABC  nên góc  CC , ABC     CC ,CI   ICC  cos 60   BC 1  AB  4a , CM  AB  2a , CI  CM  a AB 2 Do ICC   45 nên tam giác ICC vuông cân nên IC  a AC  AB  BC  3a Vậy thể tích khối lăng trụ là: VABC ABC   IC .S ABC  a a 3a  3a b Kẻ IK  BC nên d  BC ,C I   IK Kẻ đường cao MH tam giác BCM S BCM  2S 3a S ABC  3a ; MH  MBC  a BC 2a Mà IK  Câu 6: a a MH  Vậy d  BC ,C I   2 Cho z  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ T   z  z  z  Lời giải Cách T   z  z  z   Đẳng thức xảy z  Vậy max T  T  1 z   z3 1 z   z3   z3   z3   z3  Đẳng thức xảy z  1 Vậy T  Cách T   z z  z   z  z    z z 1  z  z   z   Đặt t   z  t   0; 2 t  1  z   z  z  z  t  Khi T  t t   t  với t   0; 2 * Với t   0;1 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 7/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ 1  10 Khi T  f1  t   t  t  3t   f1  t   3t  2t  ; f1  t    t    0;1  1  10  2  20 10 Ta có f1    , f1 1  , f1    27    f1  t   ; max f1  t   0;1  * Với t  1;  0;1 2  20 10 27  10 Khi T  f  t   t  t  3t   f 2  t   3t  2t  ; f 2  t    t   1;     f  t   t  1; max f  t   1;    20 10 27 * Với t   3; 2   Khi T  f3  t   t  t  3t   f3  t   3t  2t   t   3;2  f3  t  đồng biến  3; 2  f3  t   f3  ; max f3  t   f3     3;2      3;2   Vậy max T  z  ; T  z  1 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 8/8 ... 1 sin x     cos x     x   k 2   x    k 2  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 2/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Kết hợp với điều kiện, phương trình... giao điểm d  P  x  x     x  1  x  1    x     (1) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 3/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Ta có   1     4.2  3 ... ngược lại phương trình có nghiệm nguyên x, y Ta thấy lấy số a  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 4/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ k   k a  x y ; Do số nghiệm