Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12 trên cả nước năm học 2011 - 2012(có đáp án)

Từ một điểm thuộc miền trong tam giác vẽ các đoạn thẳng IH, IK, IL lần lượt vuông góc với BC,CA, AB.. - Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, trong hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lư

Trang 1

www.vnmath.com

1

 2 2

0 0

b) Khi m =2, tìm trên đồ thị (C) của hàm số (1) hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng (d): 2 1

Bài 3: (4đ) Cho hệ phương trình ,với a là tham số

a) Giải hệ phương trình với a=1

b) Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt (x1,y1), (x2,y2) Chứng minh rằng

(x x ) (y y) 1

Bài 4: (4đ) Lớp 12A của trường trung học phổ thông chuyên có 33 học sinh trong đó

có 7 học sinh nữ Trong một chuyến tham quan thực tế, theo yêu cầu của ban tổ chức, cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh trong đó mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy?

Bài 5: (2đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình

4y3 – 4x2y2 – 4xy2 + x2y + 5x2 +4y2 + 4xy + 8x =0

Bài 6: (2đ) Cho hàm số f:  thỏa điều kiện

( ) ( )( ) f x f y ; , , 0

Trang 2

www.vnmath.com

2

Buổi chiều :

Bài 1 : (4,5đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Từ một điểm thuộc miền trong tam

giác vẽ các đoạn thẳng IH, IK, IL lần lượt vuông góc với BC,CA, AB Tìm vị trí của điểm I sao cho AL2

nghiệm dương duy nhất Chứng minh rằng lim n 1

3 1 ( 4); 1,2,3,

3

n n

2

x y

f xy  f   x y x y

Trang 3

————————————

Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số :f  thỏa mãn điều kiện

f xy  f xy  f xy x y

1 Hãy chỉ ra một hàm số không phải là hàm hằng và thỏa mãn bất đẳng thức trên

2 Chứng minh rằng ( ) 0f x  với mọi số thực x

Câu 2 (2 điểm) Cho dãy các số dương  a n n1 thỏa mãn

 Hết 

Họ và tên thí sinh ……… SBD …………

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi

www.VNMATH.com

Trang 4

1

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

HDC MÔN TOÁN – CHUYÊN Chú ý

- Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, trong hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược một

cách giải, nếu học sinh có lời giải đúng và khác với lời giải trong HDC, giám khảo vẫn cho điểm tối đa của phần đó

- Câu 3 (Hình học) không vẽ hình hoặc vẽ hình sai, không cho điểm

- Hướng dẫn chấm này có 4 trang

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi ,x y Suy ra hàm số f x( )x2 với 4

x là một hàm số khác hằng số thỏa mãn bất phương trình hàm đã cho 0.25 Với x1, ta chọn x y sao cho , xy x y (tức là

1

x y x

Từ điều kiện thứ nhất suy ra dãy  b k , với b k a ka k1, là dãy số giảm 0.25

Trang 5

Gọi các điểm như hình vẽ Do 3    

Bằng lập luận tương tự, cũng được các đường thẳng C A B C cắt nhau tại 1 2, 1 2 DABC và các đường

thẳng A B B C cắt nhau tại điểm 1 2, 1 2 D nằm trên đường tròn này 0.5

Từ đó, do một đường thẳng và một đường tròn có không quá hai điểm chung nên DDD hay

Trang 6

3

Câu 4 (2điểm)

Từ giả thiết suy ra | 2k1 2k1  2k 2k 2k 2k

k

p b

h   p 

0.5

Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp

Với n thì tập hợp {1, 2} chỉ có đúng ba tập con không rỗng 2 {1},{2},{1; 2} và {1; 2} {1} {2}  0.5 Với n Giả sử có 2 12 n tập con không rỗng của tập hợp {1, 2,3, , n 1}

 Nếu ít nhất trong 2n 1 tập hợp trong chúng không chứa phần tử 1 n , thì sử dụng giả thiết 1

quy nạp, được điều phải chứng minh

0.5

 Nếu ít nhất 2n 1 tập hợp chứa 2 n , thì loại bỏ 1 n khỏi những tập này, ta thu được ít nhất 1

1

2n  tập con không rỗng, phân biệt của S và một tập con {1 n1} Do đó, áp dụng giả thiết

quy nạp, có ngay điều phải chứng minh

0.5

 Nếu có đúng 2n 1 tập con không chứa n , thì có đúng 1 2n 1 tập con chứa n (số phần tử lớn 1

hơn 1) và tập con {n1}

Loại bỏ n trong những tập con này, ta được 21 n tập con không rỗng của {1, 2, , } n , và do đó

trong chúng phải có hai tập hợp trùng nhau, gọi tập đó là A Khi đó rõ ràng

Trang 7

y x  tại đúng hai điểm phân biệt

2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm thực

| sin 2 | (x  m2) | sin | (2x  m) | cos | 2x  m0

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho tam giác ABC và đường thẳng  có phương trình : x3y  Giả sử 1 0 D     4; 2 ,E 1;1 ,N 3;3 theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ A chân đường cao kẻ từ , B và trung điểm cạnh AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng  và điểm M có hoành độ lớn hơn 2

Câu 4 (1.5 điểm) Cho các số thực a b c, , với a và đa thức 3   3 2

P x x ax bx c có ba nghiệm âm phân biệt Chứng minh rằng b c  4

Câu 5 (1 điểm) Tìm số các cặp sắp thứ tự ( ; )A B hai tập con của tập hợp S {1, 2,3, , 2011}

sao cho số phần tử của tập hợp AB là chẵn

 Hết 

Họ và tên thí sinh ……… SBD …………

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi

www.VNMATH.com

Trang 8

1

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

HDC MÔN TOÁN – KHÔNG CHUYÊN

Chú ý

- Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, trong hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược một cách giải, nếu học sinh có lời giải đúng và khác với lời giải trong HDC, giám khảo vẫn cho điểm tối đa của phần đó

- Câu 3, ý 1 (Hình học) không vẽ hình hoặc vẽ hình sai, không cho điểm

- Hướng dẫn chấm này có 5 trang

Hệ đã cho tương đương với

Trang 9

Pt đã cho viết lại dưới dạng: 2 | sin || cos | (x x  m2)(| sin | | cos |) 2x  x  m 0

Suy ra 2 | sin || cos | 1x x   thay vào phương trình, t2 t  ta được: 2 0,

2 2 12

t t m

t

 



 (1) Xét hàm số

Gọi H K, theo thứ tự là hình chiếu của I trên AC A C,   Khi đó do (ABC)(ACC A ) nên

Trang 10

d A IBC

S

2 Vì các điểm đối xứng với trực tâm của tam giác qua các đường thẳng chứa cạnh, qua trung điểm

các cạnh nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác; nên D E M N cùng nằm trên một , , ,

đường tròn

0.25 Gọi  C :x2y22ax2by c 0,a2b2 c 0 , là đường tròn đi qua bốn điểm

Phương trình đường thẳng qua hai điểm ,B C có pt: x 4 0 Giả sử B 4;t và M là trung

điểm của đoạn BC nên C4; 2t; N là trung điểm của đoạn thẳng AB nên A2;6t 0,2 5

Vì P x  có ba nghiệm âm, nên a b c, , 0. Gọi ba nghiệm của P x  là x x x với 1, ,2 3 x1 x2 x3 0

Ta có P x( ) 3 x22ax b Phương trình 3x22ax b 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi 0.25

C'

www.VNMATH.com

Trang 11

4

2 3 02

Ký hiệu X để chỉ số phần tử của một tập X Để ý rằng với AX B,  A X thì

0

k k k

Trang 14

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

1 Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh C(1; 2).− Tìm toạ ñộ của

các ñỉnh A và B, biết ñường cao ñi qua ñỉnh B, ñường phân giác trong ñi qua ñỉnh A của tam giác ABC lần lượt có phương trình là x− − =y 2 0 và 2x+ + =y 4 0

2 Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ ñộ các ñỉnh lần lượt là A( 1; 2;0),− B(2;1;1),C(0; 3; 4),− D(3; 0;3) và cho mặt phẳng ( )α :x−2y− − =z 5 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB++MC+MD , biết M là một ñiểm thay ñổi trong mặt phẳng ( )α

3 Cho tứ diện ABCD có một cạnh lớn hơn a và có các cạnh còn lại ñều không lớn

hơn a Gọi V là thể tích của khối tứ diện ABCD Chứng minh rằng:

3

.8

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Giám thị 1 (Họ tên và chữ ký)

http://toanhocmuonmau.violet.vn/

Trang 15

Trang 1/5

BẮC GIANG

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2011-2012 NGÀY THI 01/4/2012

MÔN THI: TOÁN LỚP 12

Để y có cực trị thì y’ phải có hai nghiệm phân biệt và y’ ñổi dấu khi x ñi

qua hai nghiệm ñó

cos 21

Trang 16

Biến ñổi phương trình về dạng x+ =2 3− +x 1

Trang 17

Chỉ ra A là giao ñiểm của AC và ñường phân giác ñi qua ñỉnh A của tam

Tìm ñược toạ ñộ ñiểm '( 11; 18)

C − − ñối xứng với ñiểm C qua ñường

phân giác ñi qua ñỉnh A của tam giác ABC

Chỉ ra ñỉnh B là giao ñiểm của ñường thẳng AC’ và ñường cao ñi qua

ñỉnh B của tam giác ABC, tìm ñược toạ ñộ ñỉnh ( 17; 33)

0.5

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD và tìm ñược toạ ñộ G(1; 0; 2) 0.5

Lý luận chỉ ra ñược ñể MA MB++MC+MD =4MG =4MG ñạt giá trị

Lập ñược phương trình ñường ( )∆ thẳng ñi qua G và vuông góc với

mặt phẳng ( )α là

122

B

C

D H

E K M

Trang 18

Trang 4/5

+ Vẽ các ñường cao BK, AE, AH lần lượt của các tam giác BCD, ACD

và của tứ diện ABCD

Trang 19

Lưu ý khi chấm bài:

hợp logic

thang ñiểm của phần ñó

Trang 20

a Tính diện tích tam giác SBD theo a

b Chứng minh rằng: BD vuông góc với SC

Giám thị 1 (Họ tên và chữ ký)

Giám thị 2 (Họ tên và chữ ký)

ĐỀ DỰ BỊ

Trang 21

1 Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh C(1; 2).− Tìm toạ ñộ của

các ñỉnh A và B, biết ñường cao ñi qua ñỉnh B, ñường phân giác trong ñi qua ñỉnh A của tam giác ABC lần lượt có phương trình là x− − =y 2 0 và 2x+ + =y 4 0

2 Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ ñộ các ñỉnh lần lượt là A( 1; 2;0),− B(2;1;1),C(0; 3; 4),− D(3; 0;3) và cho mặt phẳng ( )α : x−2y− − =z 5 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB++MC+MD , biết M là một ñiểm thay ñổi trong mặt phẳng ( )α

3 Cho tứ diện ABCD có một cạnh lớn hơn a và có các cạnh còn lại ñều không lớn

hơn a Gọi V là thể tích của khối tứ diện ABCD Chứng minh rằng:

3

.8

Trang 22

Trang 1/5

BẮC GIANG

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2011-2012 NGÀY THI 01/4/2012 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 - CHUYÊN

Để y có cực trị thì y’ phải có hai nghiệm phân biệt và y’ ñổi dấu khi x

ñi qua hai nghiệm ñó

cos 21

Trang 23

Suy ra h(x) ñồng biến trên [−3; 4]

Do ñó ñể phương trình ñã cho có nghiệm thì

Biến ñổi phương trình về dạng x+ =2 3− +x 1

Trang 24

Thử lại: f(x)=x, với mọi số thực x thoả mãn ñề bài

Vậy f(x)=x, với mọi số thực x

2012 2012

x x

Chỉ ra A là giao ñiểm của AC và ñường phân giác ñi qua ñỉnh A của

Tìm ñược toạ ñộ ñiểm '( 11; 18)

C − − ñối xứng với ñiểm C qua ñường

phân giác ñi qua ñỉnh A của tam giác ABC

Chỉ ra ñỉnh B là giao ñiểm của ñường thẳng AC’ và ñường cao ñi qua

ñỉnh B của tam giác ABC, tìm ñược toạ ñộ ñỉnh ( 17; 33)

Lý luận chỉ ra ñược ñể MA MB++MC+MD =4 MG =4MG ñạt giá trị

nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng ( )α 0.5 Lập ñược phương trình ñường ( )∆ thẳng ñi qua G và vuông góc với

mặt phẳng ( )α là

122

Chỉ ra M là giao ñiểm của hai ñường ( )∆ và và mặt phẳng ( )α , tìm

Trang 25

K M

Không giảm tính tổng quát, ta giả sử AB>a, khi ñó

a≥m AC AD BC BD CD

+ Vẽ các ñường cao BK, AE, AH lần lượt của các tam giác BCD, ACD

và của tứ diện ABCD

Trang 26

Lưu ý khi chấm bài:

hợp logic

thang ñiểm của phần ñó

Trang 27

a Tính diện tích tam giác SBD theo a

b Chứng minh rằng: BD vuông góc với SC

ĐỀ DỰ BỊ

Trang 28

Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:

Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn a2 +b2+c2 = Chứng minh rằng: 3

Cho tập hợp M ={1;2;3; ;2011} Hỏi trong tập hợp M có bao nhiêu phần tử

chia hết cho ít nhất một trong ba số 2, 5 và 11?

Trang 29

1 Bảng A-Ngày 1

SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN (BẢNG A)

* Ngày thi: 05/11/2011

* Thời gian: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 (1,0đ)

CHÍNH THỨC

Trang 30

Gọi A là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 2

Gọi B là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 5 (1,0đ)

Gọi C là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 11

Ta cần tính A∪B∪C

Áp dụng công thức:

C B A C A C B B A C B A C

B

Theo giả thiết ta có:

1005 2

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

(1,0đ)

(0,5đ)

Trang 31

Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:

Cho phương trình: x2−(2cosα−1)x+6cos2α−cosα− =1 0 (1)

a) Tìm α để phương trình (1) có hai nghiệm x x 1, 2

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

-Hết -CHÍNH THỨC

Trang 32

Khi chia n cho 9, ta có số dư r∈{0;1;2;3;4;5;6;7;8} (0,5đ)

Ta thấy với r = 1, r = 2, r = 3, r = 4, r = 5, r = 6, r = 7 thì số dư khi chia (n2+ cho n)

Trang 33

2 Bảng A – Ngày 2

Đặt t= cosα, 1 1

2 t 2

− ≤ ≤ thì A= − 8t2 − + 2t 3 Xét hàm số f t( ) = − 8t2 − + 2t 3, ta có ( ) 16 2; ( ) 0 1

8

f t′ = − t− f t′ = ⇔ = −t (1,0đ) BBT

( )

f t

25 8

2 0 Dựa vào BBT ta có:

Từ giả thiết suy ra AB=BD và ED=EA

Đường thẳng BE là trục đối xứng của hai điểm A và D (1,0đ)

Theo giả thiết, ta cũng có các tam giác BCD và AEF là các tam giác đều được dựng

trên BD và AE về phía ngoài tứ giác lồi ABDE

Gọi C’ đối xứng với C và F’ đối xứng với F qua BE

Các tam giác ABC’ và DEF’ đều (1,0đ)

Các điểm C’ và G nằm khác phía với AB, H

và F’ khác phía với DE

Các tứ giác AGBC’ và DF’EH nội tiếp (1,0đ)

C'

G

F' C'

F

A

D B

E

C

G H

Trang 34

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH BÌNH THUẬN Năm học: 2011 - 2012

Đề chính thức Môn: Toán

Đề này cĩ 01 trang Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề)

Trang 35

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HSG BÌNH THUẬN LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA

Năm học: 2011 - 2012 Đề chính thức Môn: Toán

Đề này cĩ 01 trang Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề)

Một hình cầu nội tiếp trong một hình nĩn trịn xoay Một hình trụ ngoại tiếp hình

ĐÁP ÁN VỊNG 1

Trang 36

Bài 1: 4đ

Hoành độ giáo điểm là nghiệm của phương trình:

4x2 = (x2 – 3x + 2)( x2 – 12x + 32) 0,5

2(x 1)(x 2)(x 4)(x 8) 4x

6 2log 3

3log 2011; [1;2]

1

2log 3

3( )

Trang 37

(x y 1)a ( x 1)b (x y c) 0

1 0

1 00

x y x

Hay a2 c2 2accosBa2 c2 2accos2C

Suy ra –cosB = cos2C hay B + 2C = 1800 = A + B + C nghĩa là A = C 0,5

Thay vào (2) ta cĩ: bsin2A = csin2A mà sin2A  0 do đĩ b = c

Tĩm lại dấu ”=” xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều .0,5

ĐÁP ÁN VÒNG 2

Bài 1: 4đ

Trang 38

Ta có y  9 (9.9x x x  8.3 x x  1) 0,5 = 9 (9x X2 8 X  1) (với 34x x

X  ) = 9 (x X1)(9X1) 0,5 Xét hàm số 4

( ) ( [0;16])

g x  x x x , ta có:

3 4

Ta có 21n + 4 = kd; 14n + 3 = md ( k, m là những số nguyên dương) .1 suy ra: 7n + 1 = (k – m)d do đó: 21n + 3 = 3(k – m)d 0,5

Vì vậy: 1 = (21n + 4) – (21n + 3) = kd – 3(k – m)d = (3m – 2k)d 1 Nghĩa là 1 là tích của hai số nguyên 3m – 2k và d .0,5 Điều này chỉ có thể xảy ra khi d = 3m -2k =1 0,5 Kết luận 0,5

Bài 3: 4đ

Từ giả thiết ta có: 0 x, y, z 1 0,5

Trang 39

 là góc giữa đường sinh và trục hình nón

r là bán kính hình cầu nội tiếp hình nón

2

V

V = 1 (nghĩa là V1 = V2), ta có phương trình: 7t 2

– 4t + 1 = 0 Phương trình bậc hai này vô nghiệm, điều này có nghĩa là không tồn tại  để V1 = V2 0,5

N K