Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12, tỉnh Lai Châu năm 20172018

Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ SỞ GD VÀ ĐT TỈNH LAI CHÂU Câu 1: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN 12 (Thời gian làm 180 phút) ( 6, điểm) a Cho hàm số y  x  mx  m  có đồ thị  Cm  Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị  Cm  cắt trục hoành bốn điểm phân biệt b Cho hàm số y  f  x  liên tục   thỏa mãn f x3  x   x  Tính tích phân 10 I   f  x  dx Câu 2: c Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 25x  2.10 x  m x  có hai nghiệm trái dấu ( 4, điểm) a) Cho hình lăng trụ ABCD.ABCD có đáy ABCD hình thoi Hình chiếu vng góc A lên  ABCD  trọng tâm tam giác ABD Biết AB  a ; ABC  120 ; AA  a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.ABCD theo a b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :   : x  y  z   x3 y 3 z   , mặt phẳng điểm A 1; 2; 1 Viết phương trình tắc đường thẳng  qua điểm A , cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng   Câu 3: Câu 4: Câu x  2y  x  y   3xy ( 4, điểm).Giải hệ phương trình:  x  2x  y  2x    2y ( điểm) Cho số thực không âm a , b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  ab  3ac  5bc ( điểm) Có 20 người xếp thành vòng tròn Hỏi có cách chọn người cho khơng có người kề chọn HẾT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 1/6 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ CÁC GIÁO VIÊN THAM GIA GIẢI LÊ ĐỨC ANH LÊ THANH BÌNH MỘT THẾ GIỚI PHẠM TIẾN HÙNG LÊ MINH HOÀNG MINH QUÂN Câu 1: ( 6, điểm) d Cho hàm số y  x  mx  m  có đồ thị  Cm  Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị  Cm  cắt trục hoành bốn điểm phân biệt e Cho hàm số y  f  x  liên tục   thỏa mãn f x3  x   x  Tính tích phân 10 I   f  x  dx f Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 25x  2.10 x  m x  có hai nghiệm trái dấu Lời giải a Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x  mx  m     x  1 x  m  1   x2 1   x  1    x  m 1 x  m 1  m  m    m  m   Do yêu cầu toán           f  x  x    x  3x  x  b Ta có 3x  f x3  x   3x   x  1   3x 3 2    3x   f  x  x   dx    x3  3x  x   dx 1 Ta có:  Xét 135 3  x  3x  x  dx   x  x3  x  x   2 1   3x    f  x3  x   dx Đặt x  x   t  10 10 1  3x  2 f  x  2x  2 dx   f  t  dt  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập  f  x  dx Trang 2/6 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Vậy I  135 x 5 c Chia hai vế phương trình cho đặt    t , t  2 Ta có phương trình : f  t   t  2t  m2  Khi u cầu tốn tương đương tìm giá x trị thực m để phương trình bậc hai ẩn t có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa mãn :  t1   t2  f 1   Khi ta có hệ sau  S   P   m2   1  m     m  m  1  m  m  Vậy  Chú ý: ta lập bảng biến thiên hàm số f  t  tập  0;   cho ta kết Câu a) Cho hình lăng trụ ABCD.ABCD có đáy ABCD hình thoi Hình chiếu vng góc A lên  ABCD  trọng tâm tam giác ABD Biết AB  a ; ABC  120 ; AA  a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.ABCD theo a b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :   : x  y  z   x3 y 3 z   , mặt phẳng điểm A 1; 2; 1 Viết phương trình tắc đường thẳng  qua điểm A , cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng   Lời giải a) A' D' B' C' a A a D G B C ABCD hình thoi cạnh a ; ABC  120  ABD cạnh a có trọng tâm G TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 3/6 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ a a  AG   3 Theo giả thiết: AG   ABCD   AG  AG  AG  AA2  AG  a  S ABCD  2S ABD  a2 a  3 a a a3 a2 a2 Vậy VABCD ABCD  AG.S ABCD    2 x   t  b) Phương trình tham số d :  y   3t ;   có véc tơ pháp tuyến n  1;1; 1  z  2t  Giả sử   d  M   t;3  3t; 2t   AM   t  2;3t  1; 2t  1 véc tơ phương  Vì  song song với mặt phẳng   nên AM n   t   3t   2t 1   2t    t  1  AM  1; 2; 1 Vậy phương trình đường thẳng  : Câu 3: Giải hệ phương trình: x 1 y  z 1   2 1 x  2y  x  y   3xy  x  2x  y  2x    2y Lời giải  x  ĐKXĐ:  y   x 3  y x  2y    Ta có: x  2y  x  y   3xy  x  1  3y  x  2y  y      x  y  y  x  x 3 TH1: y  thay vào phương trình x  2x  y  2x    2y ta được: x 3 x  2x   2x   x   1 2 2  x  Do ĐKXĐ 1 là:  nên 1 vô nghiệm x  2 TH2: y  x  thay vào phương trình x  2x  y  2x    2y ta được: x  2x  x  2x    2x    2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 4/6 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/  x   ĐKXĐ   là:  x   Khi đó: x  2x  x  2x    2x    x x  2  x  2   x x    x    2x   2x   1   2x   2x  4  2x  2   x   x     2x   1   2x   2x    x  ( thỏa mãn điều kiện)  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất:  x ; y    2;0   Câu 4:          2x      2x   2x  0  0 3  2x    ( điểm) Cho số thực không âm a , b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  ab  3ac  5bc Lời giải Ta chứng minh P  Cách Thật P  5  ab  3ac  5bc  (a  b  c ) 4 2  5(a  b  c  2ab  2ac  2bc)  4ab  12ac  20bc  5a  5b  5c  6ab  2ac  10bc   3(a  b  c)  2a  4ac  2(b  c)  Bất đẳng thức sau a , b, c số thực không âm (dpcm) Vậy giá trị lớn biểu thức P  ab  3ac  5bc a  0, b  c  Cách ab  3ca  5bc  a  b  c tương đương  b  c    c  a  b   4ab  4a  2 1 ,   2 Nhận xét: Lời giải tốn khơng tự nhiên, chứng minh đơn giản Giá trị lớn tìm nhờ nhận xét “ giá trị Min, Max biểu thức thường đạt biên” Bài tốn có lẽ giải cách tự nhiên xét P  ab  3ac  5bc  M (a  b  c) đưa dạng tam thức bậc hai với ẩn a tham số b c , nhiên trường hợp cách biện luận cồng kềnh Đẳng thức xảy Câu  a, b, c    0, Có 20 người xếp thành vòng tròn Hỏi có cách chọn người cho khơng có người kề chọn Lời giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 5/6 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Ta giải tốn tổng qt sau: Có n người xếp thành vòng tròn Hỏi có cách chọn k người cho khơng có người kề chọn Bài tốn phụ: Có cách lấy k phần tử n phần tử xếp đường thẳng cho khơng có phần tử kề lấy ra? Giải Lấy k phần tử ra, lại n  k phần tử Tính đầu, có tổng cộng n  k 1 khoảng trống (giữa phần tử) Mỗi cách lấy k khoảng từ khoảng này, tương ứng chọn k phần tử thoả mãn yêu cầu nêu Số cách cần tìm là: Cnkk 1 Trong n người trên, định người A , để cố định xem xét cho dễ Khi tốn chia làm trường hợp để giải: A Trường hợp 1: Tập hợp cách chọn, mà có chọn người A Khi A chọn, người kề A (trái, phải) không chọn Số người lại n  Ta phải chọn lấy k  người số n  người lại Số người coi đường thẳng (quy toán phụ), nên số cách thuộc trường hợp là: Ckn13 k 11  Cnkk11 Trường hợp 2: Tập hợp cách chọn, mà khơng chọn người A Khi bỏ A đi, trở thành dạng toán lấy k phần tử từ n  1phần tử xếp đường thẳng (bài toán phụ) Nên số cách thuộc trường hợp là: Cnkk Áp dụng quy tắc cộng, số cách cần tìm là: Cnkk11  Cnkk Quay trở lại toán cho, áp dụng với n  20; k  ta có số cách cần tìm C144  C155  4004 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 6/6 - Mã đề thi 132 ... ABD cạnh a có trọng tâm G TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 3/6 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ a a  AG   3 Theo giả thi t: AG   ABCD   AG... 1  3x  2 f  x  2x  2 dx   f  t  dt  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập  f  x  dx Trang 2/6 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Vậy I  135 x 5... 2x    2y ta được: x  2x  x  2x    2x    2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 4/6 - Mã đề thi 132 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/  x   ĐKXĐ   là: 