Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12, tỉnh Lâm Đồng năm 20172018

Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ SỞ GD VÀ ĐT LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN 12 (Thời gian làm 180 phút) Câu (2,0 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3mx  3x  3m  cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12  x22  x32  15 Câu (3,5 điểm) Tính tổng tất nghiệm thuộc  0;100  phương trinh sin2x+2sin x-5sinx-cosx+2  2cosx+ 2.Giải bất phương trình : log x  log x  Câu  cm  (2,5 điểm) Có năm đoạn thẳng có chiều dài , , , , Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng Tính xác suất để ba đoạn thẳng chọn xếp thành hình tam giác x  x  ex Câu 4: (2,5 điểm) Tìm hàm số y  f  x  biết đạo hàm y  f   x   Câu 5: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a Gọi M , N x  e x f    trung điểm AB, BC Biết mặt phẳng  SAB  vng góc với mặt phẳng  ABCD  tam giác SAM tam giác Tính thể tích khối chóp S.MND khoảng cách h hai đường thẳng SM DN Câu 6: (2,0 điểm) Gọi S tổng hệ số lũy thừa bậc nguyên dương x khai triển nhị thức 1  P  x   x   x  2018 1009 Tính S  C2018 Câu 7:   2x 1  y 1  y  x 1 (2,5 điểm) Giải hệ phương trình  ‘ 2 x y  y  xy  x  y   x y    Câu (2,5 điểm) Cho ba số thực không âm a , b, c thỏa mãn  a   2b   2c  Tìm giá trị lớn biểu thức M  2a  b3  c TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 1/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ LỜI GIẢI ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI CÁC THẦY CÔ GIÁO Câu LÊ THANH BÌNH NGUYỄN THẾ DUY ĐỖ ĐƯỜNG HIẾU ĐẶNG MẠNH HÙNG HOÀNG MINH QUÂN MAI NGỌC THI PHẠM ĐỨC TÙNG ĐINH VĂN VANG BÙI THỊ THÚY VÂN Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3mx  3x  3m  cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12  x22  x32  15 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x  3mx  3x  3m     x  1  x  1  3m  x    3m   x   f x  x  m  x  m          Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt  f  x  có nghiệm phân biệt khác m  m    m   9m  6m    3m  1   3m     x1  x2  3m  Gọi x1 ; x2 hai nghiệm f  x  Ta có   x1 x2  3m  Khi x12  x22  x32  15  x12  x22  14   3m  1   3m    14   m   m    m  1 Vậy m   ; 1  1;   : Câu Tìm m để đồ thị Tính tổng tất nghiệm thuộc  0;100  phương trinh sin2x+2sin x-5sinx-cosx+2  2cosx+ Lời Giải   2sin x-5sinx+2+2sinx.cosx-cosx  Điều kiện: cosx   2sin x     2sin x  1 s inx+cosx-2     s inx+cosx-2=0 +) sin x  cos x   (phương trình vơ nghiệm) TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 2/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/    x   k 2 +) 2sin x     k  Z   x  5  k 2    k 2, k  Z Đối chiếu điều kiện nghiệm phương trình là: x    k 2  100   k  49, k  Z Tổng tất nghiệm phương trình là:           50 7375    2     4      98      98    6  6  6  6  2.Giải bất phương trình : log x  log x  Lời Giải x   0;100   x 0  Dk :   x   log x    log x  3 log8 x  log x 1  x  0  log x  log 22 x  log x  0   x log x   log x    1 x  Kết hợp điều kiện : Nghiệm bpt là:  0  x   Câu Có năm đoạn thẳng có chiều dài , , , ,  cm  Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng Tính xác suất để ba đoạn thẳng chọn xếp thành hình tam giác Lời giải Số phần tử không gian mẫu: C5  10 Số phần tử biến cố: 7,3,5 , 9,3,5 , 9,7,5 nên có cách Vậy: P  A   Câu 4: 10 (2,5 điểm) Tìm hàm số y  f  x  biết đạo hàm y  f   x  Ta có f  x    f  x  dx    xe x  x e x  e x x   x  ex x  e x f    Lời giải x dx    e x  xe x  1   e x  xe x  x  x  e2 x xe x  dx  x e x  xe x  x  xe  e  d x   dx  xe x   xe x  d  xe x  1 e x  xe x x x x x   xe dx   e dx   dx   x de   e dx   xe x  xe x   x  xe x   e x dx   e x dx  ln xe x   C  xe x  ln xe x   C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 3/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Mà f     C  Vậy f  x   xe x  ln xe x  Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Gọi M , N trung điểm AB, BC Biết mặt phẳng  SAB  vng góc với mặt phẳng  ABCD  tam giác SAM tam giác Tính thể tích khối chóp S.MND khoảng cách h hai đường thẳng SM DN Lời giải (Bạn đọc tự vẽ hình) Gọi H trung điểm AM   SAM    ABCD   Ta có  SAM    ABCD   AB   SH   ABCD    SH  AB a 2 3a 2  4a  a  .a.2a  2 Tam giác SAM cạnh a suy SH  S DMN  S ABCD  S BMN  S ADM  S DCN 1 a 3a a3 VSMDN  SH SMDN   3 2 Gọi I trung điểm AD , J trung điểm AI E hình chiếu H MJ , K hình chiếu H SE Ta có DN / / BI / / MJ  DN / /  SMJ   d  SM , DN   d  DN ,  SMJ    3d  A,  SMJ    6d  H ,  SMJ   HK   SMJ  Ta có MJ  1 a a     d  A, MJ   , BI  d  A, MJ  a a a 2 1 16 15 a      HK  a , d  H , MJ   d  A, MJ   2 HK HE SH 5a 3a 68 Vậy d  SM , DN   6a Câu 6: 15 68 (2,0 điểm) Gọi S tổng hệ số lũy thừa bậc nguyên dương x khai triển nhị thức 1  P  x   x   x  2018 1009 Tính S  C2018 Lời giải 2018 k 2018 1    2018 k 20182 k k P  x    x     C2018 x 2018k     C2018 x x   x k 0 k 0 , với k  k  2018 x Số hạng có lũy thừa bậc nguyên dương tương ứng với 2018  2k   k  1009 1008  S  C2018  C2018   C2018 Ta có 1  1 2018 2018 2018  C2018  C2018   C2018  C2018  C2018   C2018  22018 1 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 4/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Lại có 2018 C2018  C2018 2017 C2018  C2018 … 1008 1010 C2018  C2018 Do 1009 1008 1008 1009 2018  C  C   C  C2018  22017 2018 2018 2018  C  C   C  C   2018 2018 1 2018  2018 1009  S  C2018  22017 Câu 7:   2x 1  y 1  y  x 1 Giải hệ phương trình  ‘ 2 x y  y  xy  x  y   x y    Lời giải   x   y   y  x  1 Giải hệ phương trình  2   x y  y  3xy  3x  y   x y    1 Điều kiện: x  , y   2 Ta có: 1      2x 1  y  1     x   y    x 1  y    x 1   y  1   2x 1  y 1  2x 1  y  2x 1   y 1   2x 1  y    x   y   y  x   3 Thay  3 vào   ta được: x  x  1   x  1  3x  x  1  3x   x  1   x  x  1   x3  3x  x   x x   x x2  x    x2  x x    x  2      x  x  2  x  x  2    4   x  x  2   x   y 1  4   x  x     Vậy, hệ cho có nghiệm  x; y    2;1 Vì x  nên Nhận xét: Ta có cách giải khác từ phương trình x  x  x   x x   4 Do x x   x  x  suy    x3  3x  x   x  x   x3  x2  x   x  x     x   y  Câu Cho ba số thực không âm a , b, c thỏa mãn  a   2b   2c  Tìm giá trị lớn biểu thức M  2a  b3  c Lời giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 5/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Bổ đề Với hai số không âm x, y ta có  x   y    x  y   Thật vậy,     x  y  1  x 1  y    x  y   x  y   x  y  xy   x  y  xy  (luôn đúng) Dấu đẳng thức xảy x  y  Áp dụng bổ đề   , ta có   a   2b   2c    a  2b   2c    a  2b  2c  a  2b  2c   b  c   a2   a2  Khi M  2a  b  c  2a   b  c   2a     f  a    Mà  3 3 a  a2 bc 0    a  2  a  0; 2  2 8  a    a2   a2     f a  a  a  Xét hàm số f  a   2a   đoạn có 0;2 ,            a  Với a  0; 2  f   a    a  a   a 12  a   16  a       a    Tính f  0  64; f    24; f 2  32 suy f  a   64, a  0;2     x  y  0; z  Do M  f  a   64 Dấu xảy   x  z  0; y  Vậy giá trị lớn biểu thức M 64 Cảm ơn quý thầy cô em học sinh đọc! TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 6/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 7/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 8/8 ... thầy cô em học sinh đọc! TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 6/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 7/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/... giá trị lớn biểu thức M  2a  b3  c Lời giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 5/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Bổ đề Với hai số không âm x, y ta có  x   y ... xe x   e x dx   e x dx  ln xe x   C  xe x  ln xe x   C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 3/8 Cập nhật đề thi http://toanhocbactrungnam.vn/ Mà f     C  Vậy f  x  