Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 10 có đáp án

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 10 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ Câu (2,5 điểm) Cho hàm số y  x2  x  có đồ thị (P) đường thẳng (d) có phương trình y  x  m Tìm m để đường thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho OA2  OB  82 Câu (3,0 điểm) Giải bất phương trình  x  3x  1 x  x 1  Giải phương trình 3x   x   2  x  2( x  y )  Giải hệ phương trình  2  2( x  y )  Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vng ABCD  A  D  90  có đỉnh D (2; 2) CD  AB Gọi H hình chiếu vng góc điểm D lên đường chéo AC Điểm 22 14 ; ) trung điểm HC Xác định toạ độ đỉnh B , biết đỉnh B nằm đường thẳng 5  : x  2y   Cho tam giác ABC tam giác Chứng minh với số x ta có: 1  x  cosA x  cos B  cos C  M( Câu (1,5 điểm) Chứng minh rằng:   sin10 cos100 Câu (1,0 điểm) 1    Chứng minh rằng: a b c a2 b2 c2 abc    a  bc b  ca c  ab Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn -Hết Họ tên thí sinh : Số báo danh Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: Họ tên, chữ ký: Giám thị 2: Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn – Lớp 10 – THPT Lời giải sơ lược Câu Hoành độ giao điểm d (P) nghiệm phương trình: x  x   x  m  x  3x   m  (1) Điểm 2,5 0,5 Để d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B  (1) có hai nghiệm phân biệt     4(2  m)   4m    m  1/ (*) Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm A( x1; x1  m), B( x2 ; x2  m) , x1 , x2 nghiệm 1,0 (1) Theo định lý Viet ta có: x1  x2  3, x1 x2   m Ta có: OA2  OB2  82  x12   x1  m   x22   x2  m   82 2   x12  x22   2m  x1  x2   2m2  82   x1  x2   x1 x2  m  x1  x2   m  41 m    2(2  m)  3m  m2  41  m2  5m  36    m  9 Đối chiếu điều kiện (*) ta m = giá trị cần tìm 2.1 0,5 0,5 1,0 ĐKXĐ: x  2  x  1 Ta có:  x  x    (2 x  1)     với x  , nên 0,5 BPT   x  3x    x  x    x  x   x  3x   x  x   x  x    x  3x   x  x    x x  x  x  1  13     1  13 1  13  x  2 x x  x 1  4x 3 x  x   x   2 0,5  1  13  ;   Vậy BPT có tập nghiệm S     2.2 1,0 ĐKXĐ: x  7 / Đặt: x   t  x  t3  PT trở thành:  3(t  6)   5t  0,25 t  4 / t  4 / t  4 /    2 12t  25t  40t  84  (t  2)(12t  t  42)  4(3t  25)  (5 t  4) t  4 / t      2017    2017 t t   t    24 24 Với t   x  14 0,5 Gia sư Tài Năng Việt   2017   2017  x    Với t   24 24   https://giasudaykem.com.vn 3    2017     Vậy phương trình có tập nghiệm là: S  14;       24       0,25 2.3 1,0 2 x  a  b  2 2 2 2( x  y )  ( x  y )  ( x  y )  a  b a  b  2ab  2ab   (a  b) 2ab   (a  b)   HPT trở thành:    2 a  b  (a  b)  (a  b)  12  (a  b)  2ab  2ab   (a  b) ab  11/ a  b    (thoả mãn)   (loại) a  b   a  b  4 a  b  4 ab  a  b  a  a    *  ab  b  b  x  y  a Đặt  Khi đó: x  y  b 0,5 a   x  y  x  /   Với  b  x  y   y  1/ a   x  y  x  / Với    b   x  y   y  1/ 0,5      Vậy hệ có tập nghiệm là: S   ;  ,  ;     2   2   3.1 1,0 B A H Gọi E trung điểm đoạn DH Khi ABME hình bình hành suy ME  AD nên E trực tâm tam giác ADM suy AE  DM Mà AE//BM nên DM  BM E 0,5 M D  12   22 14  Phương trình đường thẳng BM qua M  ;  nhận DM   ;  làm VTPT là:  5  5 12  22   14   x     y     3x  y  16  5  5 5 C 0,5 3x  y  16  x    B(4; 4) Toạ độ B nghiệm hệ:  x  y   y  Vậy B(4; 4) 3.2 1,0 BPT viết lại sau: x  x  cos B  cos C    2cos A  (*) 0,5 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  B C   B C  A Xét  '   cos B  cos C     cos A  4cos   cos    4sin     BC  A   Do A, B, C ba góc tam giác nên A  B  C    2 A  BC   cos    sin Vì    '  4sin A A  B C   B C   A cos   4sin  cos    4sin   1 2 2      0.5 A  B C  sin    0, A, B, C   Do Bpt (*) nghiệm với giá trị thực x  4sin 1,5 Đặt P   sin10 cos100 1  0 cos10  sin10   2 cos100  sin100   Ta có: P   sin100 cos100 sin 20 2sin(300  100 ) 4sin 200   4 sin 200 sin 200 1,0 0,5 1,0 Với số thực dương a, b, c từ giả thiết ta có: abc  ab  bc  ca Khi đó: a2 a3 a3 a3    a  bc a  abc a  ab  bc  ca (a  c )(a  b) 0,5 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (cơsi) ta có: a3 a3 a  c a  b 3a 4a  b  c a2 4a  b  c        (1) a  bc (a  c)(a  b) (a  c)(a  b) 8 Tương tự: b2 4b  a  c c2 4c  a  b   (2); (3) b  ac c  ab Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được: a2 b2 c2 abc    (đpcm) a  bc b  ac c  ab Dấu đẳng thức xảy a  b  c  Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác tính điểm tối đa Với cách giải khác đáp án, tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho phần Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ Điểm toàn tổng số điểm phần chấm, không làm tròn điểm 0,5 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Đề số Câu a) Giải bất phương trình x2  x   2(2  x) x 1 10   x  xy  y  y b) Giải hệ phương trình:    4x   y   Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm   x  m  y ( x  my )    x  y  xy Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (2; 4) đường thẳng d1 : x  y   0, d2 : x  y   Viết phương trình đường tròn (C ) có tâm I cho (C ) cắt d1 A, B cắt d C, D thỏa mãn AB2  CD2  16  AB.CD Câu4 Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b Trung tuyến CM vng góc với phân giác AL CM  52 AL b Tính cos A c Cho a,b  thỏa mãn: (2  a)(1  b)  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  16  a   b Câu Cho f  x   x  ax  b với a,b  biệt  m, n, p  cho: thỏa mãn điều kiện: Tồn số nguyên m, n, p đôi phân f  m  f  n  f  p   Tìm tất số (a;b) _ Hết _ Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn - Thí sinh không sử dụng tài liệu - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………Số báo danh: ……………… SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm trang) Đáp án Câu1 Điểm Điều kiện: x  Đặt t  x  ( t  ) x  t  Khi ta có 1.0 x  x   2(2  x)t   x  2tx  4t  3(t  1)    ( x  t )2  (2t  1)2   ( x  3t  1)( x  t  1)  0.5  x   t (do x  3t   0; x  ; t  ) điểm 0.5 x   x   Với x 1  t ta có x   x    x  x   x   Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình S  [2  2; ) điểm  x5  xy  y10  y (1)   x   y   (2) Th1: y   x  không thỏa mãn Th2: y  ta có: Điều kiện: x   1.0 0.5 0.5 0,5 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn x x (1)      y  y  (t  y)(t  t y  t y  ty  y )  với t=x/y  y y  (t  y ) (t  y )  (t  y ) (t  yt  y )     t=y hay y  x Thay vào (2): x   x    x  37 x  40  23  x 23  x    x   y  1  x  42 x  41   Đối chiếu đk ta nghiêm hệ là: ( x; y )  (1;1);(1;1) Câu2 my  y  m  (1) Hệ cho tương đương với:   x  yx  y  (2) y  Phương trình (2) (ẩn x ) có nghiệm  x  y  y     y  4 Th1: m  0, ta có y  0, x  Suy m  thỏa mãn 0.5 0,5 0,5 0,5 Th2: m  Phương trình (1) (ẩn y ) khơng có nghiệm thuộc khoảng (; 4]  [0; ) (*) (1) vô nghiệm (1) có nghiệm thuộc (4;0), điều kiện điểm 1     4m     m  (;  )  ( ; )      4m       4m       m       m     (B)     m    4     4  y         4m   8m ( A)  2m    4  y2    4m     m  1  m         2m 0.5 (với y1 , y2 nghiệm phương trình (1))  1 4   m      m    (B)  m  (;  )  ( ; ) (A)   17 17   4m  1  8m  0,5 Hệ phương trình cho có nghiệm phương trình (1) (ẩn y ) có nghiệm thuộc khoảng (; 4]  [0; ) hay (*) không xảy ra, điều kiện 4 4  m  ; m  Vậy tất giá trị m cần tìm m 17 17 0,5 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Gọi hình chiếu I d1 , d E , F IE  d ( I ;d1 )  0,5 ; IF  d ( I ;d2 )  5 Gọi R bán kính đường tròn (C ) cần tìm ( R  ) Câu3 điểm 36 AB  AE  R  ; CD  2CF  R  5 4  36  36  Theo giả thiết ta có:  R     R    16  20 R  R2  5   5  0,5  8R  16  (5R  4)(5R  36)  R   (5R  4)(5R  36)  (2 R  4)2  (5R  4)(5R  36) (do R  6 )  R  2 ( R  ) 5 Vậy phương trình đường tròn (C ) cần tìm (C ) : ( x  2)2  ( y  4)  Ta có: AL  CM  0.5 b c AB  AC bc bc 0.5 CA  CB AB  AC  2 0.25 Theo giả thiết: AL  CM  AL.CM    bAB  c AC  AB  AC    bc 0.25  bc cos A  2cb cos A  2cb    c  2b 1  cos A   c  2b (do cos A  1) 4.a điểm 0.5 Khi đó: CM  AL2  0.5 b2  a c2 a  b2    AB  AC   0.25   AB  AC  AB AC   9b  a  9 CM CM a  b  52    52 2 AL AL 9b  a  0.5  0.5  cos A  a b a  52   6 2 9b  a b 2 b2  c  a 5b  a 1   2bc 4b 0.25 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn a b  c d 0.5  a2   a2  p (a  4b2 )2 Áp dụng (1) ta có :       b4     b2    16  4   0.5  a  2b  ab  (2) 2 0.25   a   2a  3(a  4b )    2a  4b  2ab  a  4b  (3) Mà: 4b   4b  a  4b   2ab  0.75 C/M : a  b  c  d  (a  c)  (b  d ) ấu xẩy khi: Mặt khác: (1  2a )(1  b)  4.b điểm Từ (1) (3) suy ra: p  17 Dấu “=” xẩy khi: a=1 b  0.5 Vậy: MinP  17 Đạt a=1 b  số f(m),f(n),f(p) dương, âm có số dấu nên: Th1: f(m),f(n),f(p) -7  loại phương trình f(x)-7=0 có nghiệm 0,5 phân biệt Th2: f (m)  f (n)  f ( p)  7 Không tính tổng quát,giả sử m>n m  p  n  p ta có: m,n nghiệm pt: x2  ax  b   p nghiệm pt: x2  ax  b   nên : 0,5 điểm  n  p   n  m  9(l ) m  n  a  p  m     (n  p )(n  p  a )  14  (n  p )( p  m)  14    n  p  2 (m  p )(m  p  a )  14   n  m  9(l )    p  m  7 Th3: f (m)  f (n)  7 f ( p)  ,khiđó hồn tồn tương tự ta có:  m  p  7 m  p   ( p  n)(m  p)  14   pn   p  n  2 Do m,n,p  1;9 nên tìm là: (a;b)= (11;17), (13; 29), (7; 1), (9;7) Chú ý: Mọi cách giải khác cho điểm tương ứng 0,5 0.5 ... sin10 cos100 1  0 cos10  sin10   2 cos100  sin100   Ta có: P   sin100 cos100 sin 20 2sin(300  100 ) 4sin 200   4 sin 200 sin 200 1,0 0,5 1,0 Với số thực dương a, b, c từ giả thi t... https://giasudaykem.com.vn - Thí sinh không sử dụng tài liệu - Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………Số báo danh: ……………… SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn – Lớp 10 – THPT Lời giải sơ lược Câu Hoành độ giao điểm d (P) nghiệm