Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 11 có đáp án

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn ĐỀ THI HOC SINH GỎI LỚP 11 ĐỀ SỐ Câu (1,5 điểm) Giải phương trình: tan x  tan x    sin  x   tan x  4  Câu (3,0 điểm) Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Chứng minh đẳng thức sau: C   C   C   C  2012 2012 2 2012 2012 2011 2012 1006    C2012   C2012   C2012 2 Câu (2,5 điểm) Chứng minh phương trình 8x3  x   có ba nghiệm thực phân biệt Hãy tìm nghiệm sin n Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  sin1; un  un 1  , với n  , n  n Chứng minh dãy số  un  xác định dãy số bị chặn Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên 3a ( a  ) Hãy xác định điểm O cho O cách tất đỉnh hình chóp S.ABCD tính độ dài SO theo a Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (SBC) Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh đường thẳng SB vng góc với đường thẳng 1 1  2 2 SC, biết SH SA SB SC Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB  CD, BC  AD, AC  BD điểm X thay đổi khơng gian Tìm vị trí điểm X cho tổng XA  XB  XC  XD đạt giá trị nhỏ —Hết— Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT KHÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Nội dung trình bày Câu Ý 1,5 điểm   k (*) Phương trình cho tương đương với: 2cos x(tan x  tan x)  sin x  cos x Điều kiện: cos x   x   2sin x  2sin x.cos x  sin x  cos x  2sin x(sin x  cos x)  sin x  cos x  (sin x  cos x)(2sin x  1)  + Với sin x  cos x   tan x  1  x     k  5  x   k 2 ; x   k 2 6 Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho là:   5 x    k ; x   k 2 ; x   k 2 (k  ) 6 1,5 điểm Số số tự nhiên có chữ số 99999 10000   90000 Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng đơn vị là: abcd Ta có abcd1  10.abcd   3.abcd  7.abcd  chia hết cho 3.abcd  h 1 chia hết cho Đặt 3.abcd   7h  abcd  2h  số nguyên h  3t  Khi ta được: abcd  7t   1000  7t   9999 998 9997  t   t  143, 144, , 1428 suy số cách chọn t cho số abcd 7 chia hết cho chữ số hàng đơn vị 1286 1286  0, 015 Vậy xác suất cần tìm là: 90000 1,5 điểm + Với 2sin x    sin x  Xét đẳng thức 1  x  +) Ta có 1  x  2012 2012 1  x  2012  1  x  2012 k 1006   C2012   x2  suy hệ số số hạng chứa x2012 C2012 2012 2012 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 k 0,5 k 0 2012  2012 k  k  k    C2012 xk    x    C2012  k 0  k 0  2012 suy hệ số số hạng chứa x +) Ta có 1  x  Điểm 1  x  2012 0,5 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn o 2012 2011 2010 2009 2012 2012 C2012 C2012  C2012 C2012  C2012 C2012  C2012 C2012   C2012 C2012 2011 2012   C2012   C2012   C2012   C2012    C2012   C2012  2 Từ suy đẳng thức cần chứng minh 1,5 điểm Đặt f  x   x3  x  ; tập xác định D  2 suy hàm số liên tục Ta có  1 f  1  3, f     1, f    1, f 1  suy  2  1  1 f  1 f     0, f    f    0, f   f 1  Từ bất đẳng thức tính liên  2  2 tục hàm số suy pt f  x   có ba nghiệm phân biệt thuộc  1; 1 0,25 0,5 0,25 Đặt x  cos t , t   0;   thay vào pt ta được:  cos3 t  3cos t    cos 3t  cos   5 7   t  k 2 , kết hợp với t   0;   ta t   ; ;  Do phương trình cho có nghiệm: 9 9   5 7 x  cos , x  cos , x  cos 9 1,0 điểm 1 1 Nhận xét Với số nguyên dương n ta có:      2 n 1 1 1     Thật vậy, ta có       n 1.2 2.3 n  n  1 1 1 1            suy nhận xét chứng minh 2 n 1 n n sin1 sin sin n Trở lại toán, từ công thức truy hồi ta được: un     2 n 1 Ta có un      với n (theo nhận xét trên) (1) n  1 Mặt khác un         2 với n (theo nhận xét trên) (2) Từ (1) n  1 (2) suy dãy số cho bị chặn 1,0 điểm 0,5 0,5 0,25 0,25 S M D 0,25 O C I A B Gọi I  AC  BD Do SA  SB  SC  SD nên tam giác SAC, SBD cân đỉnh S Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn nên SI vng góc với AC, BD suy SI vng góc với mặt phẳng (ABCD) Dễ thấy điểm nằm đường thẳng SI cách đỉnh A, B, C, D Trong tam giác SIC, dựng trung trực cạnh SC cắt đường thẳng SI O suy OS  OA  OB  OC  OD SM SC 3a.3a 9a 2a Ta có SM SC  SO.SI  SO     2 2 SI SA  IA 9a  a 2a Vậy SO  1,0 điểm 0,25 0,5 A H 0,25 C S K B D Gọi K giao điểm đường thẳng AH BC; mặt phẳng (SBC) gọi D giao điểm đường thẳng qua S, vng góc với SC Ta có BC vng góc với SH SA nên BC vng góc với mặt phẳng (SAH) suy BC vng góc với SK 1  2 Trong tam giác vng SAK ta có , kết hợp với giả thiết ta SH SA SK 1  2 (1) SK SB SC 1   Trong tam giác vuông SDC ta có (2) 2 SK SD SC Từ (1) (2) ta SB  SD , từ suy B  D hay suy SB vng góc với SC 1,0 điểm 0,5 0,25 A Q M G D B N P C Gọi G trọng tâm tứ diện; M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, BC, AD Ta có tam giác ACD tam giác BCD nên AN  BN suy MN  AB , tương tự ta chứng minh MN  CD đường thẳng PQ vng góc với hai 0,25 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn đường thẳng BC, AD Từ suy GA  GB  GC  GD XA.GA  XB.GB  XC.GC  XD.GD Ta có XA  XB  XC  XD  GA XA.GA  XB.GB  XC.GC  XD.GD  GA XG GA  GB  GC  GD  4.GA2   4GA Dấu xảy X trùng với GA điểm G Vậy XA  XB  XC  XD nhỏ X trọng tâm tứ diện ABCD   ĐỀ SỐ Bài 1: a) Cho tan 0,5 b a ba 3sin a  tan Chứng minh: tan  2  3cos a 1   cos 290 sin 2500 35 c) sin x  cos8 x  cos8 x  cos x  64 16 64 b) Chứng minh : Bài 2: a) Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm: 2m sin x  cos x  m  ( m tham số) b)Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y   2cos2 x.sin x Bài Giải phương trình sau: a) sin x  3sin x cos x  cos6 x  8  12 cos x  5sin x  14  cot2x.tan x   6(1  sin 2 x) ; c) cos x Bài 4: Tìm giá trị  để phương trình: b) 12 cos x  5sin x  (cos   3sin   3)x  ( cos   3sin   2)x  sin   cos    có nghiệm x =1 Bài 5: a).Trong mặt phẳng 0xy ,cho vectơ v =(-2;1), đường thẳng d có phương trình 2x –3y +3 =0 Hãy xác định phương trình d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ v b) Trong mặt phẳng 0xy , cho đường tròn ( C) co phương trình 2 : x  y  2x  4y   Tìm ảnh ( C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ v =(-2;5) 0,25 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN b a tan  tan ba a b 2  3t  Bài 1: a) Đặt tan = t tan = 4t ,do : tan a b  4t 2 2  tan tan 2 2t ba 3sin a  t  3t Từ suy điều phải chứng   Mặt khác : tan  t  4t 2  3cos a 53 1 t2 minh 1 1    b)VT = 0 cos 70 sin 20 sin 70 cos 200   0 cos 20  sin 20   2 cos 200  sin 200 4sin 400    = = ( đpcm)  0 sin 20 cos 20 3 sin 40 sin 40 c) VT = (sin x  cos4 x)2  2sin x cos x = (1  2sin x cos x)2  2sin x cos x  cos x   cos x    =  4sin x cos x  2sin x cos x =   =… 8  35 cos8 x  cos x  = 64 16 64 m  Bài 2: a) Pt có nghiệm  4m2   (m  1)  3m2  2m    m   b)  cos x sin x   sin 2 x    sin 2 x    y 2 2    ymax  x  k ; ymin  x  k 2 6 Bài 3: a) sin x  3sin x cos x  cos x   (sin x  cos x)3  3sin x cos x(sin x  cos x)  3sin x cos x  2 4 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  3sin x cos x  3sin x cos x  giải phương trình ta nghiệm x  k y b)Đặt y = 12cosx +5 sinx + 14 ,ta có phương trình y    giải phương trình 8  12 cos x  5sin x  14 12 cos x  5sin x  13 (1) 12 cos x  5sin x  14      12 cos x  5sin x  9 (2) 12 cos x  5sin x  14  12  9 Giải (1) (2) ta : x      k2 ; x    arccos     k2 với cos   13  13  sin   13 cos x   cot2x.tan x    3sin 2 x   6(1  sin 2 x)  c)ĐK: x  k ; 2 sin x.sin x.cos x cos x 2   3sin 2 x  3t  5t   (t  sin 2 x)  sin 2 x    x    k  sin 2x    cos 2x          x  k 2 sin 2x  cos 4x    cos      3  x    k   ta y =1vày =5 Do : 12 cos x  5sin x  Bài 4: x= nghiệm phương trình cho ta có đẳng thức cos   sin    cos   sin   Đẳng thức xảy    k2 2 Bài 5: a) Lấy M(0;1) thuộc d Khi M'  Tv (M)  (2;2)  d ' Vì d’ song song với d nên hay d’ có phương trình dạng : 2x-3y + C = Thay toạ độ M’vào pt d’ ta C =10 Vậy phương trình d’ : 2x –3y +10 =0 b) Đường tròn ( C) có tâm I (1;-2) ,R= 3.Gọi I'  Tv (I)  (1;3) ( C’) ảnh ( C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v ( C’) có tâm I’ bán kính R’= có pt : (x  1)2  (y  3)2  ... ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT KHÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2 011- 2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo... điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Nội dung trình bày Câu Ý 1,5 điểm   k (*) Phương trình... : 2x –3y +10 =0 b) Đường tròn ( C) có tâm I (1;-2) ,R= 3.Gọi I'  Tv (I)  (1;3) ( C’) ảnh ( C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v ( C’) có tâm I’ bán kính R’= có pt : (x  1)2  (y  3)2 