http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN - LỚP 11 PHỔ THƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi:31 /03/2013 Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu (5 điểm) Giải phương trình sau: 1) cos x + cos x − 2sin x = , 2) sin x cos x + 4sin x cos x − 3sin x − cos2 x − cos x + = 0, (x ∈ ℝ ) (x ∈ ℝ ) Câu (4 điểm) 1) Có số tự nhiên có chữ số cho số có chữ số xuất hai lần, chữ số lại xuất không lần 2) Cho n số nguyên dương thoả mãn 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn = 128n Tìm hệ số x6 khai triển thành đa thức f ( x) = 2(1 + x) n + x(2 + x) n +1 Câu (3 điểm) 1) Cho dãy số (un) xác định sau x1 = 1 2013 xn +1 = xn + x , n ≥ n Chứng minh dãy số có giới hạn tìm lim xn n →+∞ 2) Tính giới hạn lim x →0 + x.3 + x − x Câu (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng, cho ba điểm A, B, C di động cho chúng tạo thành tam giác có trọng tâm G cố định trực tâm H chạy đường thẳng ∆ cố định Tìm tập hợp tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Góc SB (ABCD) 600 Gọi N trung điểm BC Mặt phẳng (P) qua A vng góc với SC a Tính cosin góc hai đường thẳng SD AN b Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (P) hình chóp S.ABCD Câu (2 điểm) Cho A, B, C ba góc tam giác Chứng minh sin A + sin B − cos C ≤ 2 Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI 31/3/2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN LỚP 11 PHỔ THƠNG Bản hướng dẫn chấm có 03 trang Câu Câu I Phương pháp – Kết 1) Phương trình tương đương với (1 + cos x) + cos x − (1 − cos x) = ⇔ cos 2 x + 14 cos x − 15 = cos2 x = ⇔ ⇔ cos2 x = cos2 x = −15 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ 2) Phương trình cho tương đương với sin 2x(2cos2 x -1) + 4sin x cos2 x –3sin2x –(2cos2 x – ) –2cos x + = ⇔ (2sin2xcos2x – 2cos2 x) + (4sinxcos2 x – 2cos x) – 4sin 2x + = ⇔ 2cos x(sin2x – 1) + 2cos x(sin2x – 1) – 4(sin 2x - 1) = ⇔ (sin 2x - 1)(cos x + cos x - 2) = sin x = π x = + kπ ⇔ cos x = ⇔ cos x = −2 x = k 2π , k ∈ ℤ Câu II 1) Trường hợp 1: Chữ số xuất lần Có C32 cách chọn vị trí cho chữ số Có A92 cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại Vậy có C32 A92 số có chữ số thoả mãn trường hợp TH2: Chữ số a (khác 0) xuất lần a vị trí (vị trí hàng nghìn) Có cách chọn a Có cách chọn thêm vị trí cho a Có A92 cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại Vậy có 9.3 A92 số có chữ số thoả mãn trường hợp TH3: Chữ số a (khác 0) xuất lần a khơng xuất vị trí hàng nghìn Có cách chọn a Có C32 cách chọn vị trí cho chữ số a Có cách chọn chữ số (khác khác a) vào vị trí hàng nghìn Có cách chọn chữ số vào vị trí cịn lại Vậy có 9.8.8 C32 số có chữ số thoả mãn trường hợp Theo quy tắc cộng, có C32 A92 + 9.3 A92 + 9.8.8 C32 = 3888 số thoả mãn đầu Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 http://toanhocmuonmau.violet.vn 2) Chứng minh 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn = n.2n −1 Từ suy 2n – = 128 ⇔ n = 8 Vậy f ( x) = 2(1 + x)8 + x(2 + x)9 = ∑ 2C8k x k + ∑ C9i 29−i xi +1 k =0 i =0 Từ tìm hệ số cần tìm 2C + C = 2072 Câu III 0,5 0,5 0,5 0,5 1) Dễ thấy xn > với n 1 2 Ta có xn +1 = xn + 2013 2013 = 2013 ≥ xn xn xn 0,5 Do xn ≥ 2013 với n ≥ 1.nên (xn) dãy bị chăn 2013 − xn2 2013 Mặt khác xn +1 − xn = ( − xn ) = ≤ xn ≥ 2013 với n ≥ 2 xn xn Do dãy (xn) giảm kể từ số hạng thứ Từ suy dãy (xn) có giới hạn hữu hạn 1 2013 2013 Đặt a = lim xn suy a = a + ⇔ a = ± 2013 ⇔a= n →+∞ 2 a a Suy lim xn = 2013 xn > với n n →+∞ + x + 2x − + x ( + x − 1) + + x − = lim x →0 x x + x ( + x − 1) 4+ x −2 = lim + x →0 x x 2) Ta có lim x →0 4+ x = lim + x →0 + x + x x (1 + ) + + + 19 = + = 12 Câu IV 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1) Gọi A’, B’, C’ trung điểm BC, CA, AB Khi O trực tâm tam giác A’B’C’ − Phép vị tự VG biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ − 1 Do VG : H → O − Gọi ∆ ’ ảnh ∆ qua VG Khi tập hợp O đường thẳng ∆ ’ 2) Góc SB (ABCD) SBA = 600 Từ tính SA = a Gọi K, L trung điểm AD SA ⇒ KL//SD CK // AN Do góc α SD AN góc KL CK a a 11 , KL = a, LC = 2 2 CK + KL − LC Do cos CKL = =− 2CK KL 10 0,5 0,5 0,5 0,5 Tính CK = 0,5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Suy cos α = 0,5 10 2) (P) cắt SB, SC, SD B’C’D’ Dễ chứng minh AC’ ⊥ B’D’ Từ suy S AB 'C ' D ' = 0,5 AC ' B ' D ' a 30 AC ' = ∆ SAC vuông A, AC’ ⊥ SC nên tính SC ' = 3a SD ' SC ' 3a ∆ SD’C’ đồng dạng với ∆ SCA nên = = ⇒ SD ' = SC SD 10 B ' D ' SD ' 3a = = ⇒ B'D' = Ta có BD SD 4 ' AC B ' D ' 3a 15 Vậy S AB 'C ' D ' = = 20 0,5 0,5 0,5 Câu V Ta có A+ B A− B cos C ≤ sin cos − cos C 2 2 C C ≤ cos − (2 cos − 1) 2 C Đặt t = cos 2 Ta chứng minh 2t − (2t − 1) ≤ 2 sin A + sin B − (*) Thật (*) ⇔ 2t − 2t + ≥ ⇔ (t − 1)2 ≥ (ln đúng) Từ suy (*) Vậy có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC vuông cân C Lưu ý chấm bài: Trên sơ lược đáp án, làm học sinh phải trình bày tỉ mỉ Mọi cách giải khác, đúng, cho điểm tương đương ...http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO T? ??O BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP T? ??NH NGÀY THI 31/3/2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: T? ??N LỚP 11 PHỔ THƠNG... (*) Th? ?t (*) ⇔ 2t − 2t + ≥ ⇔ (t − 1)2 ≥ (ln đúng) T? ?? suy (*) Vậy có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC vuông cân C Lưu ý chấm bài: Trên sơ lược đáp án, làm học sinh phải trình bày t? ??... C32 số có chữ số thoả mãn trường hợp Theo quy t? ??c cộng, có C32 A92 + 9.3 A92 + 9.8.8 C32 = 3888 số thoả mãn đầu Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 http://toanhocmuonmau.violet.vn 2) Chứng minh