8i8qq0h de thi hoc sinh gioi mon toan lop 11 chuye

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT chun Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu I (4 điểm) Giải phương trình:    cos x     sin x.cos x  sin x  cos x   x2  y2   Giải hệ phương trình: 2 y  z   xy  yz  zx    x, y, z   Câu II (2 điểm) Giả sử A, B, C , D số đo góc DAB, ABC , BCD, CDA tứ giác lồi ABCD A BC A Tìm giá trị lớn biểu thức P   sin  sin B  sin C  sin D Chứng minh sin A  sin B  sin C  3sin Câu III (1 điểm) Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Phân giác góc A, B, C cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC điểm A1 , B1 , C1 Đường thẳng AA1 cắt đường thẳng CC1 điểm I ; đường thẳng AA1 cắt đường thẳng BC điểm N ; đường thẳng BB1 cắt đường thẳng A1C1 điểm P Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IPC1 Đường thẳng OP cắt đường thẳng BC điểm M Biết BM  MN BAC  ABC Tính góc tam giác ABC Câu V (1 điểm) 1  Cho hàm số f :  0;     0;   thỏa mãn điều kiện f  x   f  f  x    x với 2  x  Chứng minh f  x   x với x  -Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho học sinh trường THPT chuyên) Đáp án gồm trang Câu Nội dung I I.1 (2 điểm) 4điểm  cos x        Điểm  sin x.cos x  sin x  cos x    cos x   sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x  0,5   sin x  sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x  cos x    sin x  sin x  cos x   cos x  sin x  cos x   sin x  cos x    sin x  cos x       sin  x     sin x  cos x  4     sin x  cos x  sin  x        6        x   k x   k        x    k 2   x  k 2 k   6  2   k 2 x   x    5  k 2   6 0,5  I.2 (2 điểm) +) Nếu x  thay vào hệ ta có hệ vơ nghiệm +) Nếu x  ta đặt y  ax; z  bx thay vào hệ ta   0,5 sin x  cos x   0,5 0,25 0,25   x  2a  2 2   1  2a  2a  3b 4a  3b  2  1  x 2a  3b    2a  a   b  a  1   1  2a  a  ab  b  x  a  ab  b    0,5  a  1  4a  3b  4a  3b  b  1     b   2a  a  1 2a  1  b  a  1   a  1 2a   b     2a  3a    a  1 +) Nếu  thay vào (1) không thỏa mãn b  1 2 2 0,5 0,25  a    b  1 b   2a a  +) Nếu    vào (1) không thỏa mãn, thay thay  b   a  a   a        b   a  vào (1) ta có x   Do nghiệm hệ  b  1      x; y; z    2; ;  ,   2;  ;0      0,25 II II.1 (1 điểm) 2điểm x y Nhận xét Nếu  x,  y;   x y x y x y sin x  sin y  sin cos  2sin Dấu xảy x  y 2 0,25 Sử dụng nhận xét ta có A BC A B A  B  4C  sin  2sin A  B A  B  4C  A BC  sin  sin A BC sin A  sin B  sin C  3sin Dấu xảy A  B  C sin A  sin B  sin C  sin 0,5 0,25 II.2 (1 điểm) Đặt t  BC  D  2 , ta có A  2  3t;  t  3 1 Khi theo phần II.1 ta có  2  3t  P   sin  cos t  sin t   3sin t   2   0,25 0,25 2  3 5   Khi P         sin t  cos t           0,25 ; sin t   2 28 28 Vậy max P   B  C  D  t , A  2  3t (với t xác định (1) (2)) Đẳng thức xảy cos t   0,25 +) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có tám chữ số đơi khác 1điểm chữ số có cách chọn có A97 cho vị trí cịn lại Vậy III 0,25 n  A   A97 +) Giả sử B  0;1; 2; ;9 ta thấy tổng phần tử B 45 nên số có chín chữ số đơi khác chia hết cho tạo thành từ chữ số đôi khác tập B \ 0; 9 ; B \ 1; 8 ; B \ 2; 7 ; B \ 3; 6 ; B \ 4; 5 nên số số loại A88  4.7 A77 Vậy xác suất cần tìm A88  4.7 A77  A97 0,25 IV * Dễ thấy IPC1  900 , O trung điểm IC1 2điểm * IOP  IC1P  CAB  CC1B  BC1 // OP * Do BM=MN; OI  OC1  IN // C1 B Do CIA1  BAC , mà CIA1  0,5 BAC  ACB  0,5 0,5  0,5 BAC  ACB  BAC  ACB Cùng với BAC  ABC ta BAC  ACB  720 ; ABC  360 Vậy BAC    C A1 N B1 I M 0,5 P B A O C1 V 1điểm 1  f (3x )  f  f (2 x)   x (1) 2  1 Từ (1) suy f ( x)  f  2 0,25 2x  2x   2x f     f ( x)  , x  (2)   Khi   2x   2x f ( x)  f  f         3  2x  x  x  2x   f    f      x   3    27  Xét dãy (an ) , (n=1,2,…) xác định sau: a1  0,25 2 an1  an2  3 Ta chứng minh quy nạp theo n với n  * ln có f ( x)  an x với x  (3) Thật vậy, n  theo (2), ta có (3) Giả sử mệnh đề (3) với n  k Khi   2x   2x 2x 2x  2x  x f ( x)  f  f      a f    a a  k k k 3      a2   k x  ak 1.x 0,25 Vậy (3) với n  k  Tiếp theo ta chứng minh lim an  Thật vậy, ta thấy an  n  * Do đó: an1  an  (an  1)(an  2)  , suy dãy (an ) tăng ngặt Dãy (an ) tăng bị chặn nên hội tụ Đặt lim an  l l  l  với l  , 3 suy l  Vậy lim an  Do ®ã tõ (3) suy f ( x )  x víi mäi x  (®pcm) 0,25 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2 011 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho học sinh trường THPT chuyên) Đáp án gồm trang Câu