nHZfI4E de thi hoc sinh gioi mon toan lop 11 chuye

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN - LỚP 11 CHUN Ngày thi:31 /03/2013 Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (4 điểm) 1) Giải phương trình sin x cos x + 4sin x cos x − 3sin x − cos2 x − cos x + = 0, (x ∈ ℝ ) 2) Giải phương trình x − + x + + x − x − = 0, (x ∈ ℝ ) Câu (4 điểm) y  + y2 = x + 1+ x + x  1) Giải hệ phương trình (x, y ∈ ℝ )   x + x + + y = 3,  y 2) Cho n số nguyên dương thoả mãn: 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn = 128n Tìm hệ số x6 khai triển thành đa thức f ( x) = 2(1 + x) n + x(2 + x) n +1 Câu (4 điểm) 1) Cho dãy số (un) xác định sau  x1 =  1 2013    xn +1 =  xn + x  , n ≥  n   Chứng minh dãy số có giới hạn tìm lim xn n →+∞ 2) Tính giới hạn lim x →0 + x.3 + x − x Câu (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD Đường thẳng chứa cạnh BD có phương trình: 2x + y – = Điểm M(6;-1) điểm N(2;1) nằm đường thẳng (AB), (AD) Tìm toạ độ đỉnh hình vng ABCD, biết B có hồnh độ dương 2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Góc SB (ABCD) 600 Gọi N trung điểm BC a Tính cosin góc hai đường thẳng SD AN b Tính khoảng cách hai đường thẳng SB DN Câu (2 điểm) Cho A, B, C ba góc tam giác Chứng minh sin A + sin B + sin C ≤ A B C cos + cos + cos 2 Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh Số báo danh: Giám thị 1: (Họ tên ký) Giám thị 2: (Họ tên ký) http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HỐ CẤP TỈNH NGÀY THI 31 /3/2013 MƠN THI: TỐN LỚP 11 CHUYÊN Bản hướng dẫn chấm có 03 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Câu I Phương pháp – Kết 1) Phương trình cho tương đương với sin 2x(2cos2 x -1) + 4sin x cos2 x –3sin2x –(2cos2 x – ) –2cos x + = ⇔ (2sin2xcos2x – 2cos2 x) + (4sinxcos2 x – 2cos x) – 4sin 2x + = ⇔ 2cos2x(sin2x – 1) + 2cos x(sin2x – 1) – 4(sin 2x - 1) = ⇔ (sin 2x - 1)(cos2 x + cos x - 2) = sin x = π  x = + kπ   ⇔ cos x = ⇔  cos x = −2  x = k 2π ) ( x −1 −1 + 1 0,5 2) Điều kiên x ≥ Phương trình tương đương với ( Điểm ) x + − + x2 − 3x + = x−2 x−2 + + ( x − 1)( x − 2) = x −1 + x+7 +3 1   ⇔ ( x − 2)  + + x − 1 = x+7 +3  x −1 +  1 + + x −1 > Vì x ≥ nên x −1 + x+7 +3 Do (*) ⇔ x – = ⇔ x = ⇔ Câu II (*) 1) Điều kiện y ≠ Phương trình thứ hệ tương đương với 0,5 0,5 0,5 0,5 x + y ( x + − x) + y = x + y + x2 + − x = y x ⇔ x2 + = x − ( + y) y ⇔ 0,5 Thế vào phương trình thứ hai hệ ta  x  x2 +  x −  + y  + y = y   y x  x  ⇔  + y  − 2 + y  = y  y  x  y + y = −1 ⇔ x y + y=3  0,5 http://toanhocmuonmau.violet.vn ( 3) thay vào giải ta có nghiệm (x, y) = (0, -1) 2) Chứng minh 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn = n.2n −1 Từ suy 2n – = 128 ⇔ n = 8 k =0 i =0 Vậy f ( x) = 2(1 + x)8 + x(2 + x)9 = ∑ 2C8k x k + ∑ C9i 29 −i xi +1 Câu III Từ tìm hệ số cần tìm 2C86 + C95 = 2072 1) Dễ thấy xn > với n 1 2013  2013 = 2013 Ta có xn +1 =  xn +  ≥ xn 2 xn  xn 2013 với n ≥ 1.nên (xn) dãy bị chăn 2013 − xn2 2013 Mặt khác xn +1 − xn = ( − xn ) = ≤ xn ≥ 2013 , ∀n ≥ 2 xn xn Do dãy (xn) giảm kể từ số hạng thứ Từ suy dãy (xn) có giới hạn hữu hạn 1 2013  2013 Đặt a = lim xn suy a =  a + ⇔ a = ± 2013 ⇔a= n →+∞ 2 a  a 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Do xn ≥ Suy lim xn = n →+∞ 2) Ta có lim x →0 2013 xn > với n + x.3 + 2x − + x ( + x − 1) + + x − = lim x →0 x x  + x ( + x − 1) 4+ x −2 = lim  +  x →0 x x     4+ x  = lim  + x →0  3  + + x (1 + x ) + + x +   19 = + = 12 Câu IV 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1) Gọi n(a; b) vectơ pháp tuyến đường thẳng AB Vì góc AB BD 450 nên ta có | 2a + b | = ⇔ 3a + 8ab − 3b = 2 5(a + b )  a = −3b ⇔  a = b  0,5 0,5 TH1: a = - 3b, chọn b = -1, a = Lập phương trình (AB): 3x – y – 19 = (AD): x + 3y – = Từ tìm A( TH2: a = 31 13 24 ; − ), B (4; −7), C (− ; − ), D(− ; ) 5 5 5 0,5 b , chọn b = 3, a = Lập phương trình (AB): x + 3y – = Tìm B(0; 1) (loại) 0,5 http://toanhocmuonmau.violet.vn 2) Góc SB (ABCD) SBA = 600 Từ tính SA = a Gọi K, L trung điểm AD SA ⇒ KL//SD CK // AN Do góc α SD AN góc KL CK a a 11 Tính CK = , KL = a, LC = 2 2 CK + KL − LC Do cos CKL = =− 2CK KL 10 Suy cos α = 10 2) Dễ chứng minh DN // (SBK) Do d(SB; DN) = d(D; (SBK)) Mà AD cắt (SBK) K trung điểm AD nên d(D; (SBK)) = d(A; (SBK)) := h Tứ diện ABSK tứ diện vuông nên 1 1 = + + 2 h AS AB AK a Từ tìm d(SB; DN) = h = Câu V Chứng minh sin A + sin B ≤ cos Từ chứng minh 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 C sin A + sin B + sin C ≤ cos 0,5 A B C + cos + cos 2 Suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC Lưu ý chấm bài: Trên sơ lược đáp án, làm học sinh phải trình bày tỉ mỉ Mọi cách giải khác, đúng, cho điểm tương đương ...http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI 31 /3/2013 MƠN THI: TỐN LỚP 11 CHUYÊN Bản hướng... B(0; 1) (loại) 0,5 http://toanhocmuonmau.violet.vn 2) Góc SB (ABCD) SBA = 600 Từ tính SA = a Gọi K, L trung điểm AD SA ⇒ KL//SD CK // AN Do góc α SD AN góc KL CK a a 11 Tính CK = , KL = a, LC...   y x  x  ⇔  + y  − 2 + y  = y  y  x  y + y = −1 ⇔ x y + y=3  0,5 http://toanhocmuonmau.violet.vn ( 3) thay vào giải ta có nghiệm (x, y) = (0, -1) 2) Chứng minh 1Cn1 + 2Cn2