Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 11

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 ĐỀ SỐ b a ba 3sin a  Bài 1: a) Cho tan  tan Chứng minh: tan 2  3cos a 1   0 cos 290 sin 250 35 c) sin x  cos8 x  cos8 x  cos x  64 16 64 b) Chứng minh : Bài 2: a) Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm: 2m sin x  cos x  m  ( m tham số) b)Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y   2cos2 x.sin x Bài Giải phương trình sau: a) sin x  3sin x cos x  cos6 x  8  12 cos x  5sin x  14  cot2x.tan x   6(1  sin 2 x) ; c) cos x Bài 4: Tìm giá trị  để phương trình: b) 12 cos x  5sin x  (cos   3sin   3)x  ( cos   3sin   2)x  sin   cos    có nghiệm x =1 Bài 5: a).Trong mặt phẳng 0xy ,cho vectơ v =(-2;1), đường thẳng d có phương trình 2x –3y +3 =0 Hãy xác định phương trình d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ v b) Trong mặt phẳng 0xy , cho đường tròn ( C) co phương trình : x  y2  2x  4y   Tìm ảnh ( C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ v =(-2;5) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN b a tan  tan ba a b 2  3t  Bài 1: a) Đặt tan = t tan = 4t ,do : tan a b  4t 2 2  tan tan 2 2t ba 3sin a  t  3t Từ suy điều phải chứng minh   Mặt khác : tan  t  4t 2  3cos a 53 1 t2 b)VT = 1 1    0 cos 70 sin 20 sin 70 cos 200   0 cos 20  sin 20   2 cos 200  sin 200 4sin 400    = = ( đpcm)  0 sin 20 cos 20 3 sin 40 sin 40 c) VT = (sin x  cos4 x)2  2sin x cos x = (1  2sin x cos x)2  2sin x cos x  cos x   cos x    =  4sin x cos x  2sin x cos x =   =… 8  35 cos8 x  cos x  = 64 16 64 m  2 Bài 2: a) Pt có nghiệm  4m   (m  1)  3m  2m    m   b)  cos x sin x   sin 2 x    sin 2 x    y 2 2    ymax  x  k ; ymin  x  k 2 6 Bài 3: a) sin x  3sin x cos x  cos x   (sin x  cos x)3  3sin x cos x(sin x  cos x)  3sin x cos x  k  3sin x cos x  3sin x cos x  giải phương trình ta nghiệm x  b)Đặt y = 12cosx +5 sinx + 14 ,ta có phương trình y    giải phương trình ta y y 8  =1vày =5 Do : 12 cos x  5sin x  12 cos x  5sin x  14 12 cos x  5sin x  13 (1) 12 cos x  5sin x  14      12 cos x  5sin x  9 (2) 12 cos x  5sin x  14  12  9 Giải (1) (2) ta : x      k2 ; x    arccos     k2 với cos   sin   13 13  13  cos x   cot2x.tan x    3sin 2 x   6(1  sin 2 x)  c)ĐK: x  k ; sin x.sin x.cos x cos x 2 2 4 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn   3sin 2 x  3t  5t   (t  sin 2 x) sin 2 x    x    k  sin 2x    cos 2x          x  k 2 sin 2x  cos 4x    cos      3  x    k    Bài 4: x= nghiệm phương trình cho ta có đẳng thức cos   sin    cos   sin   Đẳng thức xảy    k2 2 Bài 5: a) Lấy M(0;1) thuộc d Khi M'  Tv (M)  (2;2)  d ' Vì d’ song song với d nên d’ có hay phương trình dạng : 2x-3y + C = Thay toạ độ M’vào pt d’ ta C =10 Vậy phương trình d’ : 2x –3y +10 =0 b) Đường tròn ( C) có tâm I (1;-2) ,R= 3.Gọi I'  Tv (I)  (1;3) ( C’) ảnh ( C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v ( C’) có tâm I’ bán kính R’= có pt : (x  1)2  (y  3)2  Đề số Câu 1:(3.0 điểm)   a) Giải phương trình: sin 3x  cos3x  2cos  x     4  1 16  x     x y x y  b) Giải hệ phương trình:  1 100 2( x  y )    2  ( x  y) ( x  y) Câu 2:(2.0 điểm) Cho dãy số ( xn ) xác định sau:  x1  30   xn1  30 xn  xn  2011,  n  * xn1 xn Câu 3:(3.0 điểm) Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi I, J trọng tâm tam giác ABC DBC Mặt phẳng ( ) qua IJ cắt cạnh AB, AC, DC, DB điểm M, N, P, Q với AM = x , AN = y (  x, y  a ) a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui song song MNPQ hình thang cân 4a 3a  x y b) Chứng minh rằng: a( x  y)  3xy Suy ra: Tìm lim Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a s  x  y Câu 4:(1.0 điểm) Cho phương trình: ax   2b  c  x   2d  e   có nghiệm khơng nhỏ Chứng minh phương trình ax4  bx3  cx2  dx  e  có nghiệm Câu 5:(1.0 điểm) Cho x, y, z  Chứng minh rằng: xy yz 3zx P    ( z  x)( z  y ) ( x  y )( x  z ) ( y  z )( y  x) HẾT ĐỀ SỐ Câu I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác sin 3x cos2 x  sin x    x   y   2) Giải hệ phương trình  2  x  y  y  x  Câu II (2,0 điểm) 1) Cho a, b, c ba số (un ) dãy số xác định công thức: un  a n   b n   c n  (n  *) Chứng minh lim un  a  b  c  n  2) Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số nhân có tổng 26 Tìm số đó, biết rằng: cấp số cộng có a số hạng thứ nhất, b số hạng thứ ba c số hạng thứ chín Câu III (2,0 điểm) 1) Chứng minh rằng: với số tự nhiên n, số 23  chia hết cho 3n 1 không chia hết cho 3n  n 2) Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0, lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Câu IV (3,0 điểm) 1) Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Trên cạnh AB lấy điểm M khác A B Gọi (P) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng ( ACD ') a) Trình bày cách dựng thiết diện hình hộp mặt phẳng (P) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn b) Xác định vị trí M để thiết diện nói có diện tích lớn 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC Một mặt phẳng (P) chứa AM cắt cạnh SB, SD điểm B', D' SB ' SD ' khác S Chứng minh rằng:    SB SD Câu V (1,0 điểm) Khảo sát tính chẵn - lẻ, tính tuần hồn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  sin   sin x  - HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: ... mặt phẳng ( ACD ') a) Trình bày cách dựng thi t diện hình hộp mặt phẳng (P) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn b) Xác định vị trí M để thi t diện nói có diện tích lớn 2) Cho hình... ( x  y) Câu 2:(2.0 điểm) Cho dãy số ( xn ) xác định sau:  x1  30   xn1  30 xn  xn  2 011,  n  * xn1 xn Câu 3:(3.0 điểm) Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi I, J trọng tâm tam giác ABC DBC... yz 3zx P    ( z  x)( z  y ) ( x  y )( x  z ) ( y  z )( y  x) HẾT ĐỀ SỐ Câu I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác sin 3x cos2 x  sin x    x   y 