Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chọn lọc số 20

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN LỚP 11 Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi:4/4/2013 Câu 1. a) Giải phương trình: b)Tính giới hạn sau Câu 2. a) Cho khai triển: Chứng minh đẳng thức sau: b) Tính tổng: Câu 3. a) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao và . Tính diện tích tam giác ABC. b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn . Tính các góc của tam giác đó khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất Câu 4. Cho hình chóp SABC có và tam giác ABC vuông tại B. Biết và góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng với . Tính độ dài SC theo a. Câu 5. Cho dãy số thỏa mãn: Tìm . HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay, - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: …………………………………………………Số báo danh: ……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11 ( ) 2 2 3 sin . 1 cos 4cos .sin 3 2 0 2sin 1 x x x x x + − − = − 3 2013 4 0 2 1. 2.3 1. 3.4 1 2012.2013 1 lim x x x x x L x → + + + − = ( ) 11 2 3 10 2 3 110 0 1 2 3 110 1 x x x x a a x a x a x a x+ + + + + = + + + + + 0 1 2 3 10 11 11 0 11 1 11 2 11 3 11 10 11 11 11C a C a C a C a C a C a− + − + + − = ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 2.3 3.4 4.5 1 2 n n n n n n nC C C C S n n − − = + − + + + + ' 5; ' 2BB CC= = 2 cos ' 5 CBB∠ = 2 A B C π ≤ ≤ ≤ 2cos 4 4cos2 cos 2 cos 2P C C A B= + + + ( ) SC ABC⊥ ; 3AB a AC a= = α 13 sin 19 α = ( ) n a ( ) ( ) 1 2 2 1 1 4 3 1, 2 1 n n n n a n n n a n a n a a + +  =  ∀ ≥ ∈   + = − +  ¥ lim n a Câu Đáp án Điểm 1a) Điều kiện: (*). 0,5 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: 0,5 0,5 TH1: 0,5 TH2: 0,5 Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm 0,5 1b) 3,0 điểm 1,0 Chứng minh công thức: (1). 1,0 Áp dụng (1) ta thu được . 1,0 2a) 2,5 điểm Xét từ khai triển trên nhân hai vế với ta có: (2) 1,0 Hệ số của trong vế trái bằng 0,5 Hệ số của trong vế phải bằng Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh 1,0 2b) Ta có (3) 0,5 Áp dụng 2 lần công thức (3) ta được: 0,5 Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng vế các đẳng thức trên ta có 0,5 Vậy . 0,5 1 6 sin , , 5 2 6 x k x k l x l π π π π  ≠ +   ≠ ⇔ ∈   ≠ +   ¢ ( ) 2 2 3sin . 1 cos 4cos .sin 3 0 2 x x x x+ − − = ( ) 2 3 sin 2 3 sin .cos 2cos 1 cos 3 0x x x x x⇔ + − − − = ( ) ( ) 2 2 2 3 sin cos 3sin 2 3sin .cos cos 0x x x x x x⇔ − − − + = ( ) ( ) 3 sin cos 0 3 sin cos 3 sin cos 2 0 3 sin cos 2 x x x x x x x x  − = ⇔ − − − = ⇔  − =   3sin cos 0 cot 3 , 6 x x x x k k π π − = ⇔ = ⇔ = + ∈¢ 3 sin cos 2 2 sin cos cos sin 2 sin 1 6 6 6 x x x x x π π π     − = ⇔ − = ⇔ − =  ÷  ÷     2 2 2 , 6 2 3 x k x k k π π π π π ⇔ − = + ⇔ = + ∈¢ 7 2 2 , 2 , 6 3 x k x k k π π π π = + = + ∈¢ ( ) ( ) 3 2013 4 2 0 3 2013 4 2013 0 0 2 1 1 2.3 1. 3.4 1 2012.2013 lim 2.3 1 1 3.4 1 2012.2013 2012.2013 1 lim lim x x x x x x x L x x x x x x x → → → + − + + = + − + − + + + ( ) * 0 1 1 lim 0; n x ax a a n x n → + − = ≠ ∈¥ 2011.2012 1 2 3 2012 2011.1006 2023066 2 L = + + + + = = = 1x ≠ ( ) 11 1x − ( ) ( ) ( ) 11 11 11 2 110 0 1 2 110 1 1 x x a a x a x a x− = − + + + + ( ) 11 11 11 11 0 (2) 1 k k k k VT C x − = = − ∑ ⇒ 11 x 1 11 11C = ( ) ( ) 11 11 2 110 11 0 1 2 110 0 (2) 1 k k k k VP C x a a x a x a x − =   = − + + + +  ÷   ∑ ⇒ 11 x 0 1 2 3 10 11 11 0 11 1 11 2 11 3 11 10 11 11 C a C a C a C a C a C a− + − + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ! ! 1 . 1 ! 1 ! 1 1 1 ! 1 1 ! k k n n n C C n k k k n k n n k n k + + + = = = + + − + + + + − +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 1 2 k k k k n n kC kC k k n n + + − − = + + + + ( ) ( ) ( ) 3 4 5 2 2 2 2 2 1 2 2 3 1 n n n n n n n n S C C C nC + + + + + + + = − + − + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 4 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 3 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C nC C C C C + + + + + + + + + + + + + = − + + + − + + + − = − + − + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n n + + + + + + + + + + + − = − − − + − + − + + − = − + − − = − ( ) ( ) 1 2 n S n n − = + + 3a) 2,5 điểm Xét hai trường hợp: +) B và C không tù. Khi đó Suy ra 1 1,0 +) B hoặc C tù Do nên và C tù Còn (giống trường hợp 1) Suy ra 0,5 3b) 2,5 điểm Ta có 0,5 (3) ( Do và ). Dấu bằng trong (3) xảy ra khi hoặc 0,5 Từ đó 0,5 (4). Dấu bằng trong (4) xảy ra khi Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi 0,5 0,5 4) 2,5 điểm Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB. Ta chứng minh được . Suy ra vuông tại K và . Do đó 1,0 2 2 1 cos ' sin ,cos 5 5 5 ' 5 cos ' 2 CBB C C BB BC CBB ∠ = ⇒ = = = = ∠ ' 4 3 sin ,cos 5 5 CC B B BC = = = A B C B’ C’ H 2 ' 5 1 5 sin sin cos sin cos . ' sin 2 2 2 5 BB A B C C B AB S AB CC A ⇒ = + = ⇒ = = ⇒ = = ' 'BB CC> B C< 2 1 sin ,cos 5 5 C C⇒ = = − 4 3 sin ,cos 5 5 B B= = 2 25 sin , 2 5 5 A AB⇒ = = 25 2 S = 1 0 cos 3 2 2 A B C C C π π ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) cos2 cos 2 2cos cos 2 cos 2cosA B A B A B cocC A B C+ = + − = − − ≥ − cos 0C ≥ ( ) cos 1A B− ≤ A B= 2 C π = ( ) ( ) 2 2 2 4 2cos 1 2 2cos 1 1 2cosP C C C   ≥ − + − − − =     ( ) 2 2 8cos 2cos 1 2cosC C C= − − ( ) ( ) 2 4 2 2 16cos 8cos 1 1 2cos 4 4cos 1 1 2cos 4 4C C C C C− + + − − = − + − − ≥ − 3 C π = 3 A B C π = = = )(),( CHKSASABCK ⊥⊥ CHK ∆ KHSA ⊥ .CHK ∠= α C A B S H K x a Đặt . Trong tam giác vuông SAC ta có Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có 1,0 Ta có , vì x > 0. Vậy 0,5 5) 2,0 điểm Dễ thấy . Từ giả thiết ta có 0.5 Với mỗi , đặt ta có và 1,0 Do đó Vậy . 0,5 Lưu ý: Mọi cách giải khác mà đúng đều cho điểm tương ứng HẾT . 2 2 22 22 2 xa xa CK + = . 3 3111 22 22 2 222 xa xa CH CSCACH + =⇒+= 0>= xSC 2 2 13 13 sin 19 19 CK CH α = ⇔ = 2 2 2 2 2(3 ) 13 3(2 ) 19 a x a x + ⇔ = + ax 6=⇔ 6SC a= * 0, n a n≠ ∀ ∈¥ ( ) ( ) 2 2 1 2 1 n n n n n a a + + = − + * n∈¥ 1 1 4 n n y a = + 1 1y = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 4 4 2 n n n n n n n n y n y n n y n y y y n + + +     + − = − − + ⇒ + = ⇒ =  ÷  ÷     + ( ) 2 2 2 1 2 2 1 2 1 4 1 1 3 1 n n n y y n n n n − −       = =  ÷  ÷  ÷ + −       + ( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 16 1 n n n a n n + ⇒ = − + lim 4 n a = . n → + − = ≠ ∈¥ 2 011. 201 2 1 2 3 201 2 2 011. 1006 202 3066 2 L = + + + + = = = 1x ≠ ( ) 11 1x − ( ) ( ) ( ) 11 11 11 2 110 0 1 2 110 1 1 x x a a x a x a x− = − + + + + ( ) 11 11 11 11 0 (2) 1 k k. x − = = − ∑ ⇒ 11 x 1 11 11C = ( ) ( ) 11 11 2 110 11 0 1 2 110 0 (2) 1 k k k k VP C x a a x a x a x − =   = − + + + +  ÷   ∑ ⇒ 11 x 0 1 2 3 10 11 11 0 11 1 11 2 11 3 11 10 11 11 C a C a. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 201 2 -201 3 MÔN TOÁN LỚP 11 Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 4/4 /201 3 Câu 1. a) Giải phương trình: